1.一般式
當(dāng)題目給出函數(shù)圖像上的三個點(diǎn)時，設(shè)為一般式（，，為常數(shù)，），轉(zhuǎn)化成一個三元一次方程組，以求得a，b，c的值；
2.頂點(diǎn)式
若已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點(diǎn)式．這頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ h，k ），對稱軸直線x = h，最值為當(dāng)x = h時，y最值=k來求出相應(yīng)的系數(shù).
3.交點(diǎn)式
已知圖像與 x軸交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．
4.平移變換型
將一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過上下左右的平移得到一個新的拋物線．要借此類題目，應(yīng)先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點(diǎn)式y(tǒng) = a( x – h)2 + k，當(dāng)圖像向左（右）平移n個單位時，就在x – h上加上（減去）n；當(dāng)圖像向上（下）平移m個單位時，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負(fù)，右、左移；k值正負(fù)，上下移．由于經(jīng)過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．
5.對稱變換型
根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．
考點(diǎn)精講
解法一：一般式
1.一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三點(diǎn)，求這個二次函數(shù)的解析式．
2.已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，10），（1，4），（2，7）三點(diǎn)．求這個二次函數(shù)的解析式，并求出它
的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
3.二次函數(shù)圖象過A，C，B三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，
且AB＝OC，求二次函數(shù)的表達(dá)式．
4.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，過點(diǎn)A、C，D作拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)
分別為（﹣2，0），（3，0），（0，4），求拋物線的解析式．
解法二：頂點(diǎn)式
1.設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2），且過點(diǎn)（1，1），求這個函數(shù)的關(guān)系式．
2.已知二次函數(shù)當(dāng)x＝1時有最大值是﹣6，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣8），求二次函數(shù)的解析式．
解法三：交點(diǎn)式
1.拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2和1，且過點(diǎn)（2，8），它的關(guān)系式為（ ）
A．y＝2x2﹣2x﹣4B．y＝﹣2x2+2x﹣4
C．y＝x2+x﹣2D．y＝2x2+2x﹣4
2.如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函數(shù)表達(dá)式．
3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B，點(diǎn)C分別為x軸，y軸正半軸上一點(diǎn)，其滿足OC＝OB＝2OA．求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；
4.已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，且BC＝5，求該二次函數(shù)的解析式．
解法四：平移變換型
1.將拋物線y＝x2﹣6x+5向上平移兩個單位長度，再向右平移一個單位長度后，求平移后的拋物線解析式．
2.將拋物線y＝2x2先向下平移3個單位，再向右平移m（m＞0）個單位，所得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，5），求新拋物線的表達(dá)式及新拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．
3.已知a+b+c＝0且a≠0，把拋物線y＝ax2+bx+c向下平移一個單位長度，再向左平移5個單位長度所得到的新拋物線的頂點(diǎn)是（﹣2，0），求原拋物線的表達(dá)式．
4.拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸正半軸交于A點(diǎn)，M（﹣2，m）在拋物線上，AM交y軸于D點(diǎn)，拋物線沿射線AD方向平移個單位，求平移后的解析式．
解法五：對稱變換型
1.已知拋物線y＝﹣2x2+8x﹣7．
（1）二次函數(shù)的圖象與已知拋物線關(guān)于y軸對稱，求它的解析式；
（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與已知拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱，求a，b，c的值．
2.已知二次函數(shù)yx2﹣3x+1
（1）若把它的圖象向右平移1個單位，向下平移3個單位，求所得圖象的函數(shù)表達(dá)式．
（2）若把它的圖象繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，求所得圖象的函數(shù)表達(dá)式．
（3）若把它繞x軸翻折，求所得圖象的表達(dá)式．
3.已知拋物線的頂點(diǎn)為P，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱時，求C3的解析式．
4.將拋物線C1：y（x+1）2﹣2繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2，若拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上，求拋物線C2的解析式．
一、單選題
1．（2021·上海楊浦·九年級三模）將拋物線向左平移2個單位后，所得新拋物線的解析式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·上海九年級專題練習(xí)）將二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位，則平移后的二次函數(shù)的解析式為（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·上海）拋物線先向右平移4個單位，再向上平移4個單位，得到拋物線的解析式為（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·上海靜安·九年級一模）將拋物線平移后與拋物線重合，那么平移的方法可以是（ ）
A．向右平移1個單位，再向上平移3個單位
B．向右平移1個單位，再向下平移3個單位
C．向左平移1個單位，再向上平移3個單位
D．向左平移1個單位，再向下平移3個單位
5．（2021·上海）如果將拋物線y＝x2+2向左平移1個單位，那么所得新拋物線的解析式為（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝x2+1D．y＝x2+3
6．（2010·上海浦東新·七年級競賽）如表所示，則x與y的關(guān)系式為（ ）
A．y=4x-1B．y=x2+x+1
C．y=（x2+x+1）（x-1）D．非以上結(jié)論
7．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)這三個點(diǎn)都在同一個函數(shù)的圖像上，那么這個函數(shù)的解析式可能是 ( )
A．B．C．D．
二、填空題
8．（2011·上海浦東新區(qū)·中考模擬）請寫出一個圖像的對稱軸為y軸，且經(jīng)過點(diǎn)(2，－4)的二次函數(shù)解析式，這個二次函數(shù)的解析式可以是____________
9．（2021·上海九年級專題練習(xí)）用“描點(diǎn)法”畫二次函數(shù)的圖像時，列出了如下的表格：
那么當(dāng)時，該二次函數(shù)的值為___________．
10．（2020·崇明縣大同中學(xué)九年級月考）已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣6），并且該圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，3）表達(dá)式為_______．
11．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)）若函數(shù)過點(diǎn)(1，-4)，則m=_______．
12．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為，且與軸交于點(diǎn)，則拋物線的解析式為______.
13．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如果拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，那么該拋物線的開口方向______．（填“向上”或“向下”）
14．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如果將二次函數(shù)的圖像平移，有一個點(diǎn)既在平移前的函數(shù)圖像上又在平移后的函數(shù)圖像上，那么稱這個點(diǎn)為“平衡點(diǎn)”．現(xiàn)將拋物線：向右平移得到新拋物線，如果“平衡點(diǎn)”為(3，3)，那么新拋物線的表達(dá)式為______．
15．（2021·上海青浦·九年級二模）如果將拋物線y＝﹣x2向下平移，使其經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣2），那么所得新拋物線的表達(dá)式是__________．
16．（2021·上海崇明·九年級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，如果拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個單位后恰好能同時經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)，那么a+b+c＝_____．
三、解答題
17．（2021·上海寶山·九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將拋物線平移，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，求的面積；
（3）如果點(diǎn)在軸上，與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
18．（2021·上海寶山區(qū)·九年級三模）如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)這個二次函數(shù)圖象的對稱軸l與OB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)E，求的值；
（3）設(shè)P是這個二次函數(shù)圖象的對稱軸l上一點(diǎn)，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
19．（2021·上海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)：
（2）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)結(jié)、，求的正切值；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
20．（2017·上海楊浦區(qū)·九年級一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交 y軸于點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)H．
（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)拋物線過點(diǎn)（1，-2），且不經(jīng)過第一象限時，平移此拋物線到拋物線的位置，求平移的方向和距離；
（3）當(dāng)拋物線頂點(diǎn)D在第二象限時，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．
21．（2021·上海普陀區(qū)·）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是在第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，直線AD與直線BC交于點(diǎn)E．
（1）求b、c的值和直線BC的表達(dá)式；
（2）設(shè)∠CAD＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為d，用含d的代數(shù)式表示△ACE與△DCE的面積比．
22．（2021·上海青浦·九年級二模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)是點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P為該拋物線第三象限上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PBDC為梯形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)tan（∠PBO＋∠PEO）＝時，求OE的長．
23．（2021·上海中考真題）已知拋物線過點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)A在直線上且在第一象限內(nèi)，過A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．
①若A與Q重合，求C到拋物線對稱軸的距離；
②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo)．
x
1
2
3
4
5
y
3
7
13
21
31
…
0
1
2
3
4
…
…
0
1
0
…

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