滬教版暑假新九年級(jí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第16講二次函數(shù)中的角相等問(wèn)題(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

對(duì)于等角問(wèn)題，往往有以下解決路徑：
1利用等角的三角比相等，構(gòu)造直角三角形，尋找比例關(guān)系；
2將等角轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決；
3利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理。
【考點(diǎn)剖析】
1．(2023?浦東新區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2x+c與直線y=?12x+3分別交于x軸、y軸上的B、C兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)CD交x軸于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求tan∠BCD；
（3）點(diǎn)P在直線BC上，若∠PEB＝∠BCD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
2．(2023春?靜安區(qū)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱軸為直線x＝1，交x軸于點(diǎn)E．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)，證明：∠CDB＝∠CAB；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，以及拋物線上一點(diǎn)N，使得以M、N、B、C四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？如果有，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．(2023?黃浦區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，直線y=12x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E．
（1）求△ABE的面積；
（2）聯(lián)結(jié)EC，交x軸于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AC，若S△AEFS△AFC=34，求拋物線的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是直線AE上一點(diǎn)，且∠EPB＝∠ECB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
4．(2023?浦東新區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果點(diǎn)P是原拋物線上的一點(diǎn)，且∠PAB＝∠DAC，將原拋物線向右平移m個(gè)單位（m＞0），使平移后新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求平移距離．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1.(2023長(zhǎng)寧一模24）拋物線與軸相交于兩點(diǎn) (點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)), 與軸交于點(diǎn), 其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 4．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）求的正切值；
（3）點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上, 且 , 求的長(zhǎng)．
2.(2023黃埔一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸及B點(diǎn)的坐標(biāo)
（2）如果，求拋物線的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)F是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且在線段的下方，，求點(diǎn)的坐標(biāo)
3.(2023年松江一模24題）如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）直線x＝t與該拋物線交于點(diǎn)C，與線段AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），與x軸交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AC、BC．
①當(dāng)＝時(shí)，求t的值；
②當(dāng)CD平分∠ACB時(shí)，求△ABC的面積．
4.(2023年長(zhǎng)寧二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，聯(lián)結(jié)AC、BC，當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的值；
（3）如果點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)B的右側(cè)，聯(lián)結(jié)PC，直線PA交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)∠PCE＝∠PEC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
5.(2023年楊浦二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x﹣5與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+6x+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCPQ是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC，在∠QCB內(nèi)作射線CD與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，使得∠QCD＝∠ABC，求線段DQ的長(zhǎng)．
第16講二次函數(shù)中的角相等問(wèn)題（核心考點(diǎn)講與練）
【基礎(chǔ)知識(shí)】
對(duì)于等角問(wèn)題，往往有以下解決路徑：
1利用等角的三角比相等，構(gòu)造直角三角形，尋找比例關(guān)系；
2將等角轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決；
3利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理。
【考點(diǎn)剖析】
1．(2023?浦東新區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2x+c與直線y=?12x+3分別交于x軸、y軸上的B、C兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)CD交x軸于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求tan∠BCD；
（3）點(diǎn)P在直線BC上，若∠PEB＝∠BCD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；
（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出EC，BF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（3）分別利用①點(diǎn)P在x軸上方，②點(diǎn)P在x軸下方，分別得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）由題意得B（6，0），C（0，3），
把B（6，0）C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c
得0=36a?12+c3=c，
解得：a=14c=3，
∴拋物線的解析式為：
y=14x2﹣2x+3
=14（x2﹣8x）+3
=14（x﹣4）2﹣1，
∴D（4，﹣1）；
（2）可得點(diǎn)E（3，0），
OE＝OC＝3，∠OEC＝45°，
過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為點(diǎn)F
在Rt△OEC中，EC=OEcs∠CEO=32，
在Rt△BEF中，BF＝BE?sin∠BEF=322，
同理，EF=322，
∴CF＝32+322=922，
在Rt△CBF中，tan∠BCD=BFCF=13；
（3）設(shè)點(diǎn)P（m，?12m+3）
∵∠PEB＝∠BCD，
∴tan∠PEB＝tan∠BCD=13，
①點(diǎn)P在x軸上方
∴?12m+3m?3=13，
解得：m=245，
∴點(diǎn)P（245，35），
②點(diǎn)P在x軸下方
∴12m?3m?3=13，
解得：m＝12，
∴點(diǎn)P（12，﹣3），
綜上所述，點(diǎn)P（245，35）或（12，﹣3）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合以及銳角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，正確分類討論是解題關(guān)鍵．
2．(2023春?靜安區(qū)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱軸為直線x＝1，交x軸于點(diǎn)E．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)，證明：∠CDB＝∠CAB；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，以及拋物線上一點(diǎn)N，使得以M、N、B、C四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？如果有，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)題意求出線段CD，BC，BD的長(zhǎng)度，證明ABDC是直角三角形，再求出兩個(gè)角對(duì)應(yīng)的正切值，從而證明兩個(gè)角相等；
（3）按照對(duì)邊平行進(jìn)行討論，根據(jù)對(duì)邊相等或者對(duì)角線互相平分進(jìn)行計(jì)算，也可結(jié)合圖象判斷．
【解答】（1）解：設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，3），
且對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴a?b+c=0c=3?b2a=1，
解得a=?1b=2c=3，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）證明令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)（1，4），
∴CD=(1?0)2+(4?3)2=2，
BD=(1?3)2+(4?0)2=25，
CB=32+32=32，
∵BC2+CD2＝（32）2+（2）2＝20，
BD2＝（25）2＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠tan∠CDB=BCCD=322=3，
∵tan∠CAB=OCOA=3，
∴∠CDB＝∠CAB；
（3）解：①當(dāng)BM∥CN時(shí)，如圖：
∵對(duì)稱軸為直線x＝1，C （0，3），
∴N（2.3），CN＝2，
∵B（3，0），
∴CN＝BM，
∴BM＝2，
當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，M1（1，0），
當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，M2（5，0），
∴M1（1，0）或M2（5，0）；
②當(dāng)CM∥BN時(shí)，如圖：
CN與BM互相平分，N點(diǎn)和C點(diǎn)縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，
可得N點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣3，
把y＝﹣3代入解析式得：﹣x2+2x+3﹣3，
解得：x1=7+1，x2=?7+1，
所以N1的橫坐標(biāo)為7+1．，N2的橫坐標(biāo)為?7+1，
由平行四邊形對(duì)角線互相平分可得?7+1+0＝3+xM或7+1+0＝3+xM，
解得xN=?7?2或xN=7?2，
所以M3（7?2，0）或M4（?7?2，0）．
綜上所述：M1（1，0）或M2（5，0）或M3（7?2，0）或M4（?7?2，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，坐標(biāo)系中線段長(zhǎng)度及角的正切值的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，證明△BDC是直角三角形以及利用平行四邊形對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．
3．(2023?黃浦區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，直線y=12x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E．
（1）求△ABE的面積；
（2）聯(lián)結(jié)EC，交x軸于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AC，若S△AEFS△AFC=34，求拋物線的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是直線AE上一點(diǎn)，且∠EPB＝∠ECB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
分析：（1）將A（﹣2，0）代入y=12x+b可得b＝1，由拋物線y＝ax2﹣2ax+c的對(duì)稱軸為直線x=??2a2a=1，在y=12x+1中，令x＝1可得E（1，32），根據(jù)A（﹣2，0），B關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝1對(duì)稱，即知B（4，0），從而可得S△ABE=12AB?|yE|=92；
（2）過(guò)E作EK⊥y軸于K，由S△AEFS△AFC=34，OF∥EK，可得OKOC=EFCF=34，即得C（0，﹣2），用待定系數(shù)法得拋物線的表達(dá)式為y=14x2?12x﹣2；
（3）過(guò)B作BP∥CE交直線AE于P，以B為圓心，BP為半徑作圓與直線AE另一交點(diǎn)為P'，直線AE為y=12x+1，用待定系數(shù)法可得直線BC為y=12x﹣2，即知AE∥BC，從而四邊形ECBP是平行四邊形，有∠ECB＝∠EPB，P是滿足題意的點(diǎn)，由平移可得P（5，72），因BP＝BP'，所以∠EP'B＝∠EPB＝∠ECB，P'是滿足題意的點(diǎn)，設(shè)P'（m，12m+1），可得（5﹣4）2+（72?0）2＝（m﹣4）2+（12m+1）2，即可解得P'（35，1310）．
【解答】解：（1）將A（﹣2，0）代入y=12x+b得：
﹣1+b＝0，
解得b＝1，
∴y=12x+1，
拋物線y＝ax2﹣2ax+c的對(duì)稱軸為直線x=??2a2a=1，
在y=12x+1中，令x＝1得y=32，
∴E（1，32），
∵拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B兩點(diǎn)，
∴A（﹣2，0），B關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝1對(duì)稱，
∴B（4，0），
∴AB＝6，
∴S△ABE=12AB?|yE|=12×6×32=92，
答：△ABE的面積是92；
（2）過(guò)E作EK⊥y軸于K，如圖：
∵S△AEFS△AFC=34，
∴EFCF=34，
∵OF∥EK，
∴OKOC=EFCF=34，
由（1）知E（1，32），
∴OK=32，
∴OC＝2，
∴C（0，﹣2），
把A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax+c得：
4a+4a+c=0c=?2，
解得a=14c=?2，
∴拋物線的表達(dá)式為y=14x2?12x﹣2；
（3）過(guò)B作BP∥CE交直線AE于P，以B為圓心，BP為半徑作圓與直線AE另一交點(diǎn)為P'，如圖：
由（1）（2）知直線AE為y=12x+1，C（0，﹣2），B（4，0），
設(shè)直線BC為y＝tx﹣2，將B（4，0）代入得：
4t﹣2＝0，
解得t=12，
∴直線BC為y=12x﹣2，
∴AE∥BC，
∵BP∥CE，
∴四邊形ECBP是平行四邊形，
∴∠ECB＝∠EPB，
∴P是滿足題意的點(diǎn)，
由C（0，﹣2）平移至B（4，0）與E（1，32）平移至P方式相同，可得P（5，72），
∵BP＝BP'，
∴∠EP'B＝∠EPB＝∠ECB，
∴P'是滿足題意的點(diǎn)，
設(shè)P'（m，12m+1），
∵BP＝BP'，
∴（5﹣4）2+（72?0）2＝（m﹣4）2+（12m+1）2，
解得m＝5（與P重合，舍去）或m=35，
∴P'（35，1310），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，72）或（35，1310）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，平行四邊形、等腰三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．
4．(2023?浦東新區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果點(diǎn)P是原拋物線上的一點(diǎn)，且∠PAB＝∠DAC，將原拋物線向右平移m個(gè)單位（m＞0），使平移后新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求平移距離．
分析：（1）利用待定系數(shù)法構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題．
（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，證明∠ACD＝90°即可解決問(wèn)題．
（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H．設(shè)P（a，﹣a2﹣2a+3），可得PH＝|﹣a2﹣2a+3|，AH＝a+3，由∠PAB＝∠DAC，推出tan∠PAB＝tan∠DAC=PHAH=13．接下來(lái)分兩種情形，構(gòu)建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），
則有?9?3b+c=0c=3，
解得b=?2c=3，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，頂點(diǎn)D（﹣1，4）．
（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4），
∴AD=(?3+1)2+(0?4)2=25，
CD=(0+1)2+(3?4)2=2，
AC=(?3?0)2+(0?3)2=32，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC=CDAC=13．
（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H．
∵點(diǎn)P在拋物線y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴設(shè)P（a，﹣a2﹣2a+3），可得PH＝|﹣a2﹣2a+3|，AH＝a+3，
∵∠PAB＝∠DAC，
∴tan∠PAB＝tan∠DAC=PHAH=13．
①當(dāng)a+3＝3（﹣a2﹣2a+3），解得a=23或﹣3（舍棄），
∴P（23，119），
過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)N，則點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，
根據(jù)對(duì)稱性可知N（?83，119），
∴平移的距離為103．
②當(dāng)a+3＝﹣3（﹣a2﹣2a+3），解得a=43或﹣3（舍棄），
∴P（43，?139），
過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，
根據(jù)對(duì)稱性可知Q（?103，?139），
∴平移的距離為143，
綜上所述，平移的距離為103或143．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1.(2023長(zhǎng)寧一模24）拋物線與軸相交于兩點(diǎn) (點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)), 與軸交于點(diǎn), 其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 4．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）求的正切值；
（3）點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上, 且 , 求的長(zhǎng)．
【詳解】解：（1）把點(diǎn)代入得：
當(dāng)時(shí)，
頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 4．
故拋物線的表達(dá)式為
（2）過(guò)點(diǎn)B作交于E點(diǎn)，
令
則

故，

（3）過(guò)點(diǎn)D作軸，過(guò)點(diǎn)A作，

當(dāng)點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上，F(xiàn)只能在第四象限，故
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，勾股定理逆定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是確定出拋物線解析式，是一道中等難度的中考?？碱}．
2.(2023黃埔一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸及B點(diǎn)的坐標(biāo)
（2）如果，求拋物線的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)F是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且在線段的下方，，求點(diǎn)的坐標(biāo)
【小問(wèn)1詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2?3ax?4a，
∴對(duì)稱軸是，
∵A(?1，0)，∵1+1.5=2.5，∴1.5+2.5=4，∴B(4，0)；
【小問(wèn)2詳解】∵二次函數(shù)y=ax2?3ax?4a，C在y軸上，∴C的橫坐標(biāo)是0，縱坐標(biāo)是?4a，
∵y軸平行于對(duì)稱軸，∴ ，∴，∵ ，∵M(jìn)D=，
∵M(jìn)的縱坐標(biāo)是+∵M(jìn)的橫坐標(biāo)是對(duì)稱軸x，∴ ，
∴+=，
解這個(gè)方程組得：，
∴y=ax2?3ax?4a= x2-3×（）x-4×（）=；
【小問(wèn)3詳解】假設(shè)F點(diǎn)在如圖所示的位置上，連接AC、CF、BF，CF與AB相交于點(diǎn)G，
由（2）可知：AO=1，CO=2，BO=4，∴ ，∴，
∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠BCO=∠CAO，
∵∠CFB=∠BCO，∴∠CAO=∠CFB，∵∠AGC=∠FGB，∴△AGC∽△FGB，
∴ ，
設(shè)EF=x，
∵BF2=BE2+EF2= ，AC2=22+12=5，CO2=22=4，
∴= ，
解這個(gè)方程組得：x1=5，x2=-5，
∵點(diǎn)F在線段BC的下方，∴x1=5（舍去），∴F（，-5）．
3.(2023年松江一模24題）如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）直線x＝t與該拋物線交于點(diǎn)C，與線段AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），與x軸交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AC、BC．
①當(dāng)＝時(shí)，求t的值；
②當(dāng)CD平分∠ACB時(shí)，求△ABC的面積．
【小問(wèn)1詳解】解：由y=-x+2可得：
當(dāng)x=0時(shí)，y=2；當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴A（3，0），B（0，2），
把A、B的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x2+x+2；
【小問(wèn)2詳解】①如圖1，
∵DE∥OB，∴，∵，∴，
又∵∠ADE=∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴∠DAE=∠DBC，∴AE∥BC，
∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∴2=-x2+x+2，∴x=0或x=2，∴C（2，2），∴t=2；
②如圖2，設(shè)C（t，-t2+t+2），
過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，∵∠BCH=∠ACE，∴tan∠BCH=tan∠ACE，
∴，∴，∴t=，∴C（，），
∴S△ACB=S△ACE+S梯形BOCE-S△ABO
=．
4.(2023年長(zhǎng)寧二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，聯(lián)結(jié)AC、BC，當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的值；
（3）如果點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)B的右側(cè)，聯(lián)結(jié)PC，直線PA交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)∠PCE＝∠PEC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，
解得
故拋物線的表達(dá)式為；
（2）令x=0，y=4
∴C（0，4）
當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，4）
由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為x＝2，
則平移后拋物線再過(guò)點(diǎn)C時(shí)，m＝4；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，) ，
設(shè)直線PA的表達(dá)式為y＝kx+b，
代入A、P坐標(biāo)得，解得，
∴直線PA的表達(dá)式為y＝（）x，
令x=0，y=
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣t+4），
而點(diǎn)C（0，4），
∵∠PCE＝∠PEC，
則點(diǎn)P在CE的中垂線上，
由中點(diǎn)公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），
解得t＝1（舍去）或，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
5.(2023年楊浦二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x﹣5與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+6x+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCPQ是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC，在∠QCB內(nèi)作射線CD與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，使得∠QCD＝∠ABC，求線段DQ的長(zhǎng)．
【詳解】解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣5，令y＝0得x＝5，
∴A（5，0），B（0，﹣5），
將A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：
，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）在y＝﹣x2+6x﹣5中令y＝0得x1＝1，x2＝5，
∴C（1，0），
點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，
設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（n，n﹣5），
則BP的中點(diǎn)為（，），CQ的中點(diǎn)為（，），
∵四邊形BCPQ是平行四邊形，
∴線段BP的中點(diǎn)即是CQ的中點(diǎn)，
∴，
解得或，
∴Q（3，﹣2）；
（3）設(shè)CD與AB交于N，如圖：
∵B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），
∴CQ＝2，BQ＝3，
∵∠QCD＝∠ABC，∠CQN＝∠BQC，
∴△CQN∽△BQC，
∴，即＝，
∴QN＝，
設(shè)N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），
∴＝，
∴t＝或t＝，
∵在∠QCB內(nèi)作射線CD，
∴t＝，N（，﹣），
設(shè)CN解析式為y＝kx+b，將N（，﹣），C（1，0）代入得：
，
解得，
∴CN解析式為y＝﹣5x+5，
令x＝3得y＝﹣10，
∴Q（3，﹣10），
∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．

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