1.平面向量的相關(guān)概念
向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；
向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模）；
零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；
相等的向量：方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量；
互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量；
平行向量：方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量．
2.平面向量的加減法則
幾個向量相加的多邊形法則；
向量減法的三角形法則；
向量加法的平行四邊形法則．
3.實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算
設(shè)k是一個實(shí)數(shù)，是向量，那么k與相乘所得的積是一個向量，記作．
如果，且，那么的長度；
的方向：當(dāng)k > 0時(shí)與同方向；當(dāng)k < 0時(shí)與反方向．
如果k = 0或，那么．
4.實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算律
設(shè)m、n為實(shí)數(shù)，則
；；．
平行向量定理
如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)m，使．
5.單位向量
單位向量：長度為1的向量叫做單位向量．設(shè)為單位向量，則．
單位向量有無數(shù)個；不同的單位向量，是指它們的方向不同．
對于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作．
由實(shí)數(shù)與向量的乘積可知：，．
6.向量的線性運(yùn)算
向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算．
如、、、等，都是向量的線性運(yùn)算．
一般來說，如果、是兩個不平行的向量，是平面內(nèi)的一個向量，那么可以用、表示，并且通常將其表達(dá)式整理成的形式，其中x、y是實(shí)數(shù)．
7.向量的合成與分解
如果、是兩個不平行的向量，（m、n是實(shí)數(shù)），那么向量就是向量與的合成；也可以說向量分解為、兩個向量，這時(shí)，向量與是向量分別在、方向上的分向量，是向量關(guān)于、的分解式．
平面上任意一個向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解
考點(diǎn)精講
1．（2022?徐匯區(qū)二模）關(guān)于非零向量、、，下列選項(xiàng)中錯誤的是（ ）
A．如果＝，那么||＝||
B．如果、都是單位向量，那么||＝||
C．如果＝2，那么∥
D．如果＝+，那么||＝||+||
【專題】三角形；推理能力．
【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)和向量模的定義進(jìn)行分析判斷．
【解答】解：A、如果＝，那么||＝||，不符合題意；
B、如果、都是單位向量，那么||＝||，不符合題意；
C、如果＝2，那么∥，不符合題意；
D、如果＝+，那么||≤||+||，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量，需要考慮共線向量和非共線向量兩種情況．
2．（2022?青浦區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝2BC，聯(lián)結(jié)DE，設(shè)＝，＝，那么可表示為（ ）
A．+2B．﹣2C．﹣+2D．﹣﹣2
【專題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀．
【分析】由平面向量和平行四邊形的性質(zhì)可得，＝，＝2，則＝+＝．
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∴，＝，
∵CE＝2BC，
∴＝2，
∴＝+＝．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平面向量和平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則＝ ．
【專題】三角形；推理能力．
【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)作答．
【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，
∴＝﹣．
∴＝．
故答案是：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向．
4．（2022?長寧區(qū)二模）如圖，已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，P是直線l外的一點(diǎn)，BC＝2AB，＝，＝，那么等于（ ）
A．﹣2+3B．﹣+2C．2﹣D．4﹣3
【專題】數(shù)形結(jié)合；幾何直觀．
【分析】＝﹣＝﹣，則＝2﹣2，再根據(jù)＝可得出答案．
【解答】解：∵＝，＝，
∴＝﹣＝﹣，
∵BC＝2AB，
∴＝2﹣2，
∴＝＝3﹣2＝﹣2+3．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2022春?長寧區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)，CE交對角線BD于點(diǎn)F．如果＝，＝，那么用、的線性組合表示向量為（ ）
A．﹣﹣B．+C．﹣﹣D．
【專題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀．
【分析】由已知條件可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，進(jìn)而可得△DEF∽△BCF，則，所以CF＝CE，根據(jù)＝＝+，可求出，即可得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE＝DE＝，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF∽△BCF，
則，
∴CF＝2EF，
∴CF＝CE，
∵＝＝+，
∴＝，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平面向量的定義是解答本題的關(guān)鍵．
6．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE、DE，設(shè)＝，＝，那么下列向量中，可表示為+的是（ ）
A．B．C．D．
【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC；然后利用三角形法則解答即可．
【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AD＝BC．
∵＝，
∴＝＝．
∵E是邊AB的中點(diǎn)，＝，
∴＝＝．
∴+＝+＝．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量和平行四邊形的性質(zhì)，注意平面向量既有大小又有方向．
7．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知，非零向量，且|+|＝||+||，則一定有（ ）
A．＝B．∥，且，方向相同
C．＝﹣D．∥，且，方向相反
【專題】三角形；運(yùn)算能力．
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用平方法進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：∵，非零向量，且|+|＝||+||，
∴平方得||2+||2+2?＝||2+||2+2||?||，
即?＝||?||，
∴||?||cs＜，＞＝||?||，
則cs＜，＞＝1，即∥，且，方向相同．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用平方法是解決本題的關(guān)鍵．
二．實(shí)數(shù)與向量相乘（共2小題）
8．（2019春?徐匯區(qū)校級月考）計(jì)算2（﹣）+3＝ 2+ ．
【專題】特定專題；運(yùn)算能力．
【分析】根據(jù)平面向量的加法法則計(jì)算即可．
【解答】解：2（﹣）+3＝2﹣2+3＝2+，
故答案為2+．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的加法法則，屬于中考?？碱}型．
9．（2019秋?黃浦區(qū)期末）計(jì)算：2（3﹣2）+（﹣2）＝ ﹣3+4 ．
【專題】特定專題；運(yùn)算能力．
【分析】根據(jù)平面向量的加法法則計(jì)算即可．
【解答】解：2（3﹣2）+（﹣2）＝6﹣4+﹣2＝﹣3+4，
故答案為﹣3+4．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量的加法法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
三．平面向量定理（共2小題）
10．（2019秋?閔行區(qū)校級月考）下列命題中是真命題的是（ ）
A．若，則B．
C．若，則D．單位向量有且只有一個
【專題】特定專題；應(yīng)用意識．
【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)一一判斷即可．
【解答】解：A、模相等的向量不一定是等向量，本選項(xiàng)不符合題意．
B、根據(jù)三角形法則可知，||+||≥|+|，本選項(xiàng)不符合題意．
C、是真命題，本選項(xiàng)符合題意．
D、單位向量的方向不一定相同，本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查命題，平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
11．（2019?徐匯區(qū)校級一模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位線，點(diǎn)E在AB上，若AD：BC＝1：3，＝，則用表示是：＝ ﹣2 ．
【分析】此題只需根據(jù)梯形的中位線定理得到EF和AD的關(guān)系即可．
【解答】解：根據(jù)AD：BC＝1：3，則BC＝AD．
根據(jù)梯形的中位線定理，得EF＝2AD．
又∵＝，
∴＝﹣2．
【點(diǎn)評】考查了梯形的中位線定理．
四．向量的線性運(yùn)算（共3小題）
12．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝，＝，請用向量，表示向量＝ + ．
【分析】首先根據(jù)已知求得向量CD，再根據(jù)向量的知識求得，代入數(shù)值即可求得．
【解答】解：∵AB＝2CD，＝，
∴，
∵，
∵＝，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)評】此題考查向量的知識．題目比較簡單，要注意識圖．
13．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）在△ABC中，E、F分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，，，那么向量用向量和表示為 ．
【專題】計(jì)算題．
【分析】此題主要用到了平行四邊形法則，在向量AB，AC已知的情況下，E、F分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，可求出向量AE，AF，從而求出向量．
【解答】解：因?yàn)镋、F分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，
所以＝，
＝，
＝﹣＝﹣＝．
故答案為．
【點(diǎn)評】本題難度中等，考查向量的知識，主要運(yùn)用平行四邊形法則．
14．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC與BD交于點(diǎn)P，令，那么＝ ．（用向量、表示）
【分析】由AB∥CD，即可證得△PCD∽△PAB，又由AB＝2CD，即可求得與的關(guān)系，利用平行四邊形法則，求得，即可求得．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2CD，
∴△PCD∽△PAB，
∴，
∴＝，
∵＝+＝+，
∴＝（+）＝+．
故答案為：+．
【點(diǎn)評】此題考查向量的知識與相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意向量是有方向的．
一．選擇題（共4小題）
1．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，已知△ABC，AD為三角形ABC的中線，，，則＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知可得BD＝CD＝BC，則＝，則＝．
【解答】解：∵AD為△ABC的中線，
∴BD＝CD＝BC，
∴＝，
∴＝．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
2．（2022春?楊浦區(qū)校級月考）下列判斷不正確的是（ ）
A．＝0
B．如果，那么||＝||
C．
D．如果非零向量＝k?（ k≠0 ），那么∥
【分析】，即可判斷A；根據(jù)向量模的定義可判斷B；根據(jù)向量的交換律可判斷C；根據(jù)平行向量的判定可判斷D．
【解答】解：對于A選項(xiàng)，，
故A選項(xiàng)錯誤，符合題意；
對于B選項(xiàng)，由，根據(jù)向量模的定義，可得，
故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
對于C選項(xiàng)，根據(jù)向量的交換律可得，
故C選項(xiàng)正確，不符合題意；
對于D選項(xiàng)，根據(jù)平行向量的判定可知，如果非零向量（k≠0），則，
故D選項(xiàng)正確，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的基本知識是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2022?寶山區(qū)模擬）已知單位向量與非零向量，，下列四個選項(xiàng)中，正確的是（ ）
A．||＝B．||＝C．＝D．＝
【分析】根據(jù)平面向量的定義，平面向量模的定義以及共線向量的定義進(jìn)行判斷．
【解答】解：A、當(dāng)單位向量與非零向量的方向相同時(shí)，該等式才成立，故本選項(xiàng)不符合題意．
B、等式||＝成立，故本選項(xiàng)符合題意．
C、當(dāng)單位向量與非零向量的方向相同時(shí)，該等式才成立，故本選項(xiàng)不符合題意．
D、當(dāng)單位向量與非零向量的方向相同時(shí)，等式＝才成立，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的知識，需要掌握向量共線定理，單位向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．
4．（2021春?徐匯區(qū)月考）D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，＝，＝，則等于（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】首先由D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，可得DE∥BC，DE＝BC，然后由＝﹣，即可求得答案．
【解答】解：∵D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴＝，
∵＝，＝，
∴＝﹣，＝﹣，
∴＝（﹣）．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識與三角形中位線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
二．填空題（共12小題）
5．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如果||＝5，||＝3，則||的取值范圍是 2≤||≤8 ．
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析求解．
【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得
5﹣3＜||＜5+3，即2＜||＜8．
當(dāng)向量與向量共線時(shí)，2≤||≤8．
故答案為：2≤||≤8．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量和三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
6．（2022?松江區(qū)二模）如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，設(shè)＝，＝，那么可以用
，表示為 ﹣ ．
【分析】根據(jù)平行向量的性質(zhì)求得；然后在△ACD中，利用三角形法則求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2CD，＝，
∴＝＝．
∴＝﹣＝﹣．
故答案是：﹣．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量和梯形，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意向量是有方向的．
7．（2022?普陀區(qū)二模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，設(shè)＝，＝，那么向量用向量、表示為 ﹣ ．
【分析】根據(jù)＝+，＝+，只要求出即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接AC，
∵AD∥BC，BC＝3AD，
∴＝3．
∵＝+，＝+，
∴＝++，即＝﹣++3．
∴＝﹣．
故答案是：﹣．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
8．（2022?閔行區(qū)二模）計(jì)算：＝ 16+12 ．
【分析】實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則同樣能應(yīng)用于平面向量的計(jì)算過程中，所以根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則解答即可．
【解答】解：
＝6﹣3+10+15
＝．
故答案是：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量．此題屬于平面向量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
9．（2022?崇明區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE交對角線BD于F，設(shè)＝，＝，那么可用、表示為 ﹣+ ．
【分析】根據(jù)三角形法則求得；利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線分線段成比例求得BF＝BD，繼而求得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴＝＝，
∴＝+＝﹣+，
∵在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴＝．
∵點(diǎn)E是邊CD中點(diǎn)，
∴＝＝．
∴＝＝﹣+．
故答案是：﹣+．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
10．（2022?奉賢區(qū)二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是腰BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE．如果設(shè)＝，＝，那么＝ 2+ （含、的式子表示）．
【分析】由題可得＝2，＝，再根據(jù)＝+可得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2CD，＝，
∴＝2，
∵E是腰BC的中點(diǎn)，＝，
∴＝，
∴＝+＝2+．
故答案為：2+．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．
11．（2022?嘉定區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝2DC，設(shè)向量＝，＝，那么向量＝ ﹣﹣ （結(jié)果用、表示）．
【分析】首先由已知條件BD＝2DC得到＝；然后根據(jù)三角形法則求得答案．
【解答】解：如圖，在△ABC中，BD＝2DC，＝，則到＝＝．
在△ABD中，＝﹣＝﹣（+）＝﹣﹣．
故答案是：﹣﹣．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量，注意：平行向量既有大小又有方向．
12．（2022?寶山區(qū)二模）如圖，已知AC、BD是梯形ABCD的對角線，AD∥BC，BC＝2AD，如果設(shè)＝，＝，那么向量用向量、表示為 3+ ．
【分析】由已知條件可得＝2＝2，則＝＝2，再根據(jù)＝可得出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，BC＝2AD，
∴＝2＝2，
∵＝，
∴＝＝2，
∴＝＝2++＝3+．
故答案為：3+．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．
13．（2022?虹口區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)E，設(shè)＝，＝，那么向量用向量、表示為 （﹣） ．
【分析】首先利用三角形法則求得；然后根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分和共線向量求得答案．
【解答】解：∵＝，＝，
∴＝﹣＝﹣．
在平行四邊形ABCD中，BE＝BD．
∴＝＝（﹣）．
故答案是（﹣）．
【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
14．（2022春?金山區(qū)月考）如圖，已知AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線．設(shè)向量＝，向量＝，那么向量可以表示為 2+ （用向量、表示）．
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，三角形法則求解即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴＝＝，
∵＝+＝+，
∴＝＝+，
∵＝+，
∴＝++＝2+，
故答案為：2+．
【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
15．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，如果＝，那么＝ ﹣x （用表示）．
【分析】首先證明AD＝2CD，推出CD＝AC即可解決問題．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，DB＝2DC，
∴AD＝2DC，
∴CD＝AC，
∴＝﹣，
故答案為﹣．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是證明AD＝2CD，屬于中考?？碱}型．
16．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，如果，，用含、的式子表示向量＝ + ．
【分析】首先取AB的中點(diǎn)F，連接EF，由四邊形ABCD是平行四邊形與點(diǎn)E、F分別是CD、AB上的中點(diǎn)，即可得＝＝，然后根據(jù)平行四邊形法則，即可求得的值．
【解答】
解：如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵點(diǎn)E、F分別是CD、AB上的中點(diǎn)，
∴DE＝AF，
即＝＝，
∴＝+＝+．
故答案為：+．
【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識與平行四邊形的性質(zhì)．解此題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與平行四邊形法則．
三．解答題（共8小題）
17．（2021秋?閔行區(qū)校級月考）如圖，已知兩個不平行的非零向量和．先化簡，再在方格中求作：（3﹣）﹣（2+5）．（寫出結(jié)論，不要求寫作法）
【分析】首先利用平面向量的運(yùn)算法則，化簡原式，再利用三角形法則畫出向量．
【解答】解：（3﹣）﹣（2+5）
＝3﹣﹣﹣
＝2﹣3．
作圖如下：＝2，＝3，＝﹣＝2﹣3．
∴即為所求作的向量．
【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的運(yùn)算．注意掌握三角形法則是解此題的關(guān)鍵．
18．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）如圖，已知平面內(nèi)兩個不平行的向量、，求作：2（﹣）+3．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）
【分析】首先利用平面向量的加減運(yùn)算法則化簡原式，再利用三角形法則畫出圖形．
【解答】解：2（﹣）+3＝2+．
如圖：＝2，＝，
則＝+＝2+．
故即為所求．
【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的運(yùn)算法則以及作法．注意作圖時(shí)準(zhǔn)確利用三角形法則是關(guān)鍵．
19．（2021?上海模擬）如圖，已知兩個不平行的向量先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量．）
【分析】首先利用平面向量的加減運(yùn)算法則化簡原式，再利用三角形法則畫出圖形．
【解答】解：＝＝．
如圖：＝2，＝﹣，
則＝．
即即為所求．
【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的運(yùn)算法則以及作法．注意作圖時(shí)準(zhǔn)確利用三角形法則是關(guān)鍵．
20．（2021秋?松江區(qū)校級期中）如圖，是平行四邊形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，且，CE交BD點(diǎn)E，BF＝15．
（1）求DF的長；
（2）如果＝，＝，用、表示向量．
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理求解即可；
（2）利用三角形法則求出，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵＝，
∴＝＝，
∴DF＝；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝﹣（+）＝﹣，
∵＝＝，
∴CF＝CE，
∴＝﹣．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則求平面向量．
21．（2021春?普陀區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中．
（1）用圖中的向量表示：++＝ ；（2）用圖中的向量表示：﹣＝ ；
（3）在作圖區(qū)內(nèi)求作并寫結(jié)論：+．
【分析】（1）（2）利用三角形法則求解即可．
（3）如圖作OE∥BC，使得OE＝BC，連接DE，即為所求．
【解答】解：（1）用圖中的向量表示：++＝；
故答案為：．
（2）用圖中的向量表示：﹣＝；
故答案為：．
（3）在作圖區(qū)內(nèi)求作并寫結(jié)論：+＝+＝，
即為所求，
【點(diǎn)評】本題考查平面向量，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考?？碱}型．
22．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)E在平行四邊形ABCD的對角線BD上．
（1）填空：＝ ；＝ ；
（2）求作：．（不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)果）．
【分析】（1）根據(jù)＝，﹣＝，等量代換后運(yùn)算即可；
（2）將轉(zhuǎn)化為，將△ADE向右補(bǔ)全為平行四邊形，則AF即是所求向量．
【解答】解：（1）∵＝，﹣＝，
∴＝+＝；＝+＝；
（2）所作圖形如下：
即為所求向量．
【點(diǎn)評】本題考查了向量的知識，注意掌握向量的加減運(yùn)算法則及向量的平移，屬于基礎(chǔ)題．
23．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，點(diǎn)E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，設(shè)＝，＝，用、的線性組合表示向量．
【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算即可．
【解答】解：∵AD是△ABC中BC邊上的中線，
∴＝（+）．
∵點(diǎn)E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，
∴＝+，＝＝+．
∴＝﹣﹣+＝﹣＝﹣．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形中位線定理和向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則．
24．（2021秋?金山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，D、E在AB邊上，且AD＝DE＝EB，CF＝2AF，DF＝1.2．
（1）求BC的長．
（2）填空：設(shè)＝，＝，則＝ ﹣+ ．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，求出BC＝3DF；
（2）根據(jù)向量的三角形法則求出．
【解答】解：（1）∵AD＝DE＝EB，DF∥BC，
∴AB＝3AD，△ADF∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴BC＝3DF，
∵DF＝1.2，
BC＝3.6；
（2）由（1）知，BC＝3DF．
∵＝﹣，即3＝﹣，
∴＝﹣+．
故答案是：﹣+．
【點(diǎn)評】本題考查了平面向量，主要利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，向量的三角形法則．

相關(guān)試卷

滬教版數(shù)學(xué)九年級上冊考點(diǎn)講練第09講 直線與圓的位置關(guān)系（4大考點(diǎn)）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份滬教版數(shù)學(xué)九年級上冊考點(diǎn)講練第09講 直線與圓的位置關(guān)系（4大考點(diǎn)）（2份，原卷版+解析版），文件包含滬教版數(shù)學(xué)九年級上冊考點(diǎn)講練第09講直線與圓的位置關(guān)系4大考點(diǎn)原卷版doc、滬教版數(shù)學(xué)九年級上冊考點(diǎn)講練第09講直線與圓的位置關(guān)系4大考點(diǎn)解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共63頁， 歡迎下載使用。

滬教版數(shù)學(xué)九年級上冊考點(diǎn)講練第08講 垂徑定理 （2大考點(diǎn)）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份滬教版數(shù)學(xué)九年級上冊考點(diǎn)講練第08講 垂徑定理 （2大考點(diǎn)）（2份，原卷版+解析版），文件包含滬教版數(shù)學(xué)九年級上冊考點(diǎn)講練第08講垂徑定理2大考點(diǎn)原卷版doc、滬教版數(shù)學(xué)九年級上冊考點(diǎn)講練第08講垂徑定理2大考點(diǎn)解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共43頁， 歡迎下載使用。

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第12講二次函數(shù)的應(yīng)用(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)：

這是一份滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第12講二次函數(shù)的應(yīng)用(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)，共28頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第08講銳角的三角比(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第08講銳角的三角比(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)
滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第03講平面向量的線性運(yùn)算(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第03講平面向量的線性運(yùn)算(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)
滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第02講相似三角形的判定與性質(zhì)(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第02講相似三角形的判定與性質(zhì)(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)
滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第01講相似形與比例線段(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)

滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第01講相似形與比例線段(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部