（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br> 推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?br> 推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?br>二．垂徑定理的應用
垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：
（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．
這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法一定要掌握．
考點精講
一．垂徑定理（共12小題）
1．（2022?浦東新區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三條邊所截得弦長相等，則∠BOC＝（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
【分析】過O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF、OB、OC，根據(jù)垂徑定理和已知求出DM＝KQ＝FN，根據(jù)勾股定理求出OM＝ON＝OQ，可得點O是△ABC的內(nèi)心即可解決問題．
【解答】解：過O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF、OB、OC，設AB，AC，BC與⊙O的另一個交點分別為E，H，G．
由垂徑定理得：DM＝DE，KQ＝KH，F(xiàn)N＝FG，
∵DE＝FG＝HK，
∴DM＝KQ＝FN，
∵OD＝OK＝OF，
∴由勾股定理得：OM＝ON＝OQ，
即O到三角形ABC三邊的距離相等，
∴O是△ABC的內(nèi)心，
∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠BOC＝115°，
故選：B．
【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的內(nèi)心的判定，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
2．（2022?浦東新區(qū)校級模擬）在半徑為13cm的圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，一條弦長為24cm，另一條弦長為10cm，則這兩條弦之間的距離為 17或7 cm．
【分析】分兩種情況進行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．
【解答】解：有兩種情況：①如圖，當AB和CD在O的兩旁時，
過O作MN⊥AB于M，交CD于N，連接OB，OD，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
由垂徑定理得：BM＝AB＝12，DN＝CD＝5，
∵OB＝OD＝10，
由勾股定理得：OM＝＝5，
同理ON＝12，
∴MN＝5+12＝17，
②當AB和CD在O的同旁時，MN＝12﹣5＝7．
故答案為：17或7．
【點評】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進行計算．
3．（2022春?徐匯區(qū)期中）已知正三角形ABC的弦心距為a，那么△ABC的周長是 6a .（用含a的式子表示）．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用30°角的正切得到BD，由垂徑定理得到BC，進而可得周長．
【解答】解：如圖，
由題意得，OD＝a，∠OBD＝30°，
∴tan30°＝，
∴BD＝＝a，
由垂徑定理得，BC＝2BD＝2a，
∴△ABC的周長是6a，
故答案為：6a．
【點評】本題考查的是正三角形的性質(zhì)、邊心距、半徑、周長和面積的計算；熟練掌握正三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
4．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半徑為 2 ．
【分析】先證明△AFO和△BCE是等邊三角形，設DE＝x，根據(jù)CD＝5列方程，求出x得到AD＝，從而得解．
【解答】解：如圖，記DC與⊙O交于點F，連接AF、OF、OB，過點C作CT⊥AB于點T，連接OE，OT．
∵D為半徑OA的中點，CD⊥OA，
∴FD垂直平分AO，
∴FA＝FO，
又∵OA＝OF，
∴△AOF是等邊三角形，
∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，
∵CE＝CB，CT⊥EB，
∴ET＝TB，
∵BE＝2AE，
∴AE＝ET＝BT，
∵AD＝OD，
∴DE∥OT，
∴∠AOT＝∠ADE＝90°，
∴OE＝AE＝ET，
∵OA＝OB，
∴∠OAE＝∠OBT，
∵AO＝BO，AE＝BT，
∴△AOE≌△BOT（SAS），
∴OE＝OT，
∴OE＝OT＝ET，
∴∠ETO＝60°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，
∴△CEB是等邊三角形，
∴CE＝CB＝BE，
設DE＝x，
∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，
∴CD＝5x＝5，
∴x＝1，
∴AD＝，
∴AO＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查了垂徑定理和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△CBE是等邊三角形．
5．（2022?楊浦區(qū)三模）已知AB是⊙O的弦，如果⊙O的半徑長為5，AB長為4，那么圓心O到弦AB的距離是 ．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過點O作OD⊥AB于點D，由垂徑定理可得出AD的長，在Rt△OAD中，利用勾股定理及可求出OD的長．
【解答】解：如圖所示：
過點O作OD⊥AB于點D，
∵AB＝4，
∴AD＝AB＝×4＝2，
在Rt△OBD中，
∵OA＝5，AD＝2，
∴OD＝＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
6．（2022?徐匯區(qū)校級模擬）如圖，點P是y軸正半軸上一點，以P為圓心的圓與x軸、y軸分別交于點A、B、C、D．已知點A的坐標為（﹣3，0），點C的坐標為（0，﹣1），則點D的坐標為 （0，9） ．
【分析】首先連接AP，然后設⊙P的半徑為x，由勾股定理可求得半徑的長，繼而求得點D的坐標．
【解答】解：連接AP，
∵點A的坐標為（﹣3，0），點C的坐標為（0，﹣1），
∴OA＝3，OC＝1，
設⊙P的半徑為x，
則OP＝PC﹣OC＝x﹣1，
在Rt△AOP中，OA2+OP2＝AP2，
即32+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝5，
∴PD＝5，OP＝x﹣1＝4，
∴OD＝OP+PD＝9，
∴點D的坐標為：（0，9）．
故答案為：（0，9）．
【點評】此題考查了垂徑定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．
7．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足為點F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝ ．
【分析】根據(jù)AB是⊙O的直徑，OF⊥CD，和垂徑定理可得CF＝DF，再根據(jù)30度角所對直角邊等于斜邊一半，和勾股定理即可求出EF的長，進而可得CD的長．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，OF⊥CD，
根據(jù)垂徑定理可知：
CF＝DF，
∵∠CEA＝30°，
∴∠OEF＝30°，
∴OE＝2，EF＝，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，
∴CD＝2DF＝10﹣2．
故答案為：10﹣2．
【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理．
8．（2022春?長寧區(qū)校級期中）如圖，已知在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為點D．如果CD＝4，AB＝16，那么OC＝ 10 ．
【分析】根據(jù)垂徑定理可得AD＝AB＝8，∠ADO＝90°，設CO＝x，則AO＝x，DO＝x﹣4，再利用勾股定理列出方程，解出x的值即可．
【解答】解：∵半徑OC垂直于弦AB，
∴AD＝AB＝8，∠ADO＝90°，
設CO＝x，則AO＝x，DO＝x﹣4，
x2＝82+（x﹣4）2，
解得：x＝10，
∴CO＝10，
故答案為：10．
【點評】此題主要考查了垂徑定理和勾股定理，關(guān)鍵是掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>9．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，點A、B、C在圓O上，弦AC與半徑OB互相平分，那么∠AOC度數(shù)為 120 度．
【分析】首先根據(jù)垂徑定理得到OA＝AB，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可求出∠AOC的度數(shù)．
【解答】解：∵弦AC與半徑OB互相平分，
∴OA＝AB，
∵OA＝OC，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
故答案為120．
【點評】本題主要考查了垂徑定理的知識，解題的關(guān)鍵是證明△OAB是等邊三角形，此題難度不大．
10．（2022春?楊浦區(qū)校級月考）如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB＝CD，已知CE＝2，ED＝6，求⊙O的半徑長．
【分析】過點O分別作AB、CD的垂線OM、ON，則四邊形OMEN是正方形，利用垂徑定理即可求得OM，AM的長度，然后在直角△AOM中利用勾股定理即可求得OA的長度．
【解答】解：過點O分別作AB、CD的垂線OM、ON，則四邊形OMEN是矩形，連接OA．
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴OM＝ON，
∴矩形OMEN是正方形．
∵CE＝2，ED＝6，
∴CD＝2+6＝8，
∵ON⊥CD
∴CN＝CD＝4，
∴EN＝OM＝2，
同理：AM＝4．
在直角△AMO中，OA＝＝＝2．
∴⊙O的半徑長為2．
【點評】本題考查了垂徑定理，利用垂徑定理可以把求弦長以及半徑的計算轉(zhuǎn)化成求直角三角形的邊長的計算．
11．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，圓O經(jīng)過平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、D，且圓心O在平行四邊形ABCD的外部，tan∠DAB＝，D為弧AB的中點，⊙O的半徑為5，求平行四邊形的面積．
【分析】連接OD，交AB于點E，連接OA，由D為弧AB的中點，利用垂徑定理的逆定理得到OD垂直于AB，E為AB的中點，在直角三角形ADE中，由tan∠DAB的值，得到AE＝2DE，設DE＝x，則有AE＝2x，由半徑為5，得到OA＝OD＝5，由OD﹣DE表示出OE，在直角三角形AEO中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AB與DE的長，利用平行四邊形的面積公式即可求出面積．
【解答】解：連接OD，交AB于點E，連接OA，如圖所示，
∵D為的中點，
∴OD⊥AB，
∴E為AB的中點，即AE＝BE，
在Rt△ADE中，tan∠DAB＝＝，
設DE＝x，OA＝OD＝5，
則AE＝2x，OE＝OD﹣DE＝5﹣x，
在Rt△AOE中，
根據(jù)勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，即25＝4x2+（5﹣x）2，
解得：x＝0（舍去）或x＝2，
∴AE＝4，DE＝2，
∴AB＝2AE＝8，
則S平行四邊形ABCD＝AB?DE＝8×2＝16．
【點評】此題考查了垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．
12．（2022?嘉定區(qū)校級模擬）如圖，點C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并與弧AB相交于點M、N．
（1）求線段OD的長；
（2）若tan∠C＝，求弦MN的長．
【分析】（1）根據(jù)CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可求出OD的長；
（2）過O作OE⊥CD，連接OM，由垂徑定理可知ME＝MN，再根據(jù)tan∠C＝可求出OE的長，利用勾股定理即可求出ME的長，進而求出答案．
【解答】解：（1）∵CD∥AB，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴＝，
即＝，
又OA＝3，AC＝2，
∴OB＝3，
∴＝，
∴OD＝5；
（2）過O作OE⊥CD，連接OM，則ME＝MN，
∵tan∠C＝，即＝，
∴設OE＝x，則CE＝2x，
在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，即52＝x2+（2x）2，解得x＝，
在Rt△OME中，OM2＝OE2+ME2，即32＝（）2+ME2，解得ME＝2．
∴MN＝4，
答：弦MN的長為4．
【點評】本題考查的是垂徑定理，涉及到銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
二．垂徑定理的應用（共3小題）
13．（2022?上海）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O，點C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個花壇的面積為 400π .（結(jié)果保留π）
【分析】根據(jù)垂徑定理，勾股定理求出OB2，再根據(jù)圓面積的計算方法進行計算即可．
【解答】解：如圖，連接OB，過點O作OD⊥AB于D，
∵OD⊥AB，OD過圓心，AB是弦，
∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，
在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，
∴S⊙O＝π×OB2＝400π，
故答案為：400π．
【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計算，掌握垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計算公式是正確解答的前提．
14．（2022春?松江區(qū)校級期中）鏟車輪胎在建筑工地的泥地上留下圓弧形凹坑如圖所示，量得凹坑跨度AB為80cm，凹坑最大深度CD為20cm，由此可算得鏟車輪胎半徑為 50 cm．
【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理可知．
【解答】解：將圓弧補全，如左圖．
根據(jù)垂徑定理，BD＝AB＝×80＝40cm
設半徑為R，則OD＝（R﹣20）cm，
根據(jù)勾股定理得：（R﹣20）2+402＝R2，
解得R＝50cm．鏟車輪胎半徑為50cm．
【點評】解答此題要先補全圖形，根據(jù)垂徑定理和勾股定理解答．
15．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的活動．小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧GH的中點到弦GH的距離，即MN的長）為2米，求小橋所在圓的半徑．
【分析】根據(jù)已知得出旗桿高度，進而得出GM＝MH，再利用勾股定理求出半徑即可．
【解答】解：∵小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，
∴8米高旗桿DE的影子為：12m，
∵測得EG的長為3米，HF的長為1米，
∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），
∴GM＝MH＝4m．
如圖，設小橋的圓心為O，連接OM、OG．
設小橋所在圓的半徑為r，
∵MN＝2m，
∴OM＝（r﹣2）m．
在Rt△OGM中，由勾股定理得：
∴OG2＝OM2+42，
∴r2＝（r﹣2）2+16，
解得：r＝5，
答：小橋所在圓的半徑為5m．
【點評】此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理的應用，根據(jù)已知得出關(guān)于r的等式是解題關(guān)鍵．
一、單選題
1．（2021·上?！の挥袑W九年級階段練習）已知⊙O的半徑為3cm，在平面內(nèi)有一點A，且OA=6cm，則點A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點A在⊙O內(nèi) ；B．點A在⊙O上；
C．點A在⊙O外；D．不能確定．
【答案】C
【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系；利用d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內(nèi)判斷出即可．
【詳解】解：∵⊙O的半徑為3cm，OA=6cm，
∴d＞r，
∴點A與⊙O的位置關(guān)系是：點A在⊙O外，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內(nèi)．
2．（2022·上海金山區(qū)世界外國語學校一模）如圖，是弧所在圓的圓心．已知點B、C將弧AD三等分，那么下列四個選項中不正確的是（ ）
A．B．C．D．．
【答案】B
【分析】利用三等分點得到，由此判斷A；根據(jù)AB=BC=CD，得到AB+BC>AC，由此判斷B；根據(jù)即可判斷C；根據(jù)，得到，由此判斷D．
【詳解】解：連接AB、BC，OB，
∵點B、C將弧AD三等分，
∴，
∴，故A選項正確；
∵，
∴AB=BC=CD，
∵AB+BC>AC，
∴AC

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