類(lèi)型一：固定面積的存在性問(wèn)題
固定面積的存在性問(wèn)題最為簡(jiǎn)單，在待求圖形中，往往只有一個(gè)是變量，此時(shí)只需通過(guò)方程將其解出即可．
類(lèi)型二：有關(guān)面積比的存在性問(wèn)題
有些問(wèn)題是關(guān)于兩個(gè)未知面積比的，此類(lèi)問(wèn)題的難度稍大．一般都需要先通過(guò)公共邊或公共高，將面積比轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段之比，從而進(jìn)一步列出方程解決問(wèn)題．
解題思路：
根據(jù)題目條件，求出相應(yīng)的固定面積；
找到待求圖形合適的底和高；
列出方程，解出相應(yīng)變量；
根據(jù)題目實(shí)際情況，驗(yàn)證所有可能點(diǎn)是否滿(mǎn)足要求并作答．
【考點(diǎn)剖析】
1．(2023秋?閔行區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y＝﹣x+5與x牰交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C為拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2a2x+a3+12a的頂點(diǎn)．
（1）用含a的代數(shù)式表示頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)頂點(diǎn)C在△AOB內(nèi)部，且S△AOC=52時(shí)，求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（3）如果將拋物線(xiàn)向右平移一個(gè)單位，再向下平移12個(gè)單位后，平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P仍在△AOB內(nèi)，求a的取值范圍．
2．(2023春?金山區(qū)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．拋物線(xiàn)y＝f（x）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且頂點(diǎn)為B，將該拋物線(xiàn)與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)記為C．
（1）求拋物線(xiàn)y＝f（x）的表達(dá)式；
（2）如果點(diǎn)D在拋物線(xiàn)y＝f（x）上，且S△DOC＝2S△AOC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在拋物線(xiàn)y＝f（x）的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)E，使得拋物線(xiàn)y＝f（x）上的任意一點(diǎn)F到點(diǎn)E的距離都等于點(diǎn)F到直線(xiàn)y＝﹣2的距離？如果存在，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由．
3．(2023?青山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1．
（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）直線(xiàn)MN平行于x軸，與拋物線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且MN=34AB，點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，求線(xiàn)段OE的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)P是該拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)CP、EP，EP交線(xiàn)段BC于點(diǎn)F，當(dāng)S△CPF：S△CEF＝1：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
4．(2023秋?徐匯區(qū)期末）如圖，拋物線(xiàn)y=?43x2+103x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，C為線(xiàn)段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D，交該拋物線(xiàn)于點(diǎn)E．
（1）求直線(xiàn)AB的表達(dá)式，直接寫(xiě)出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)以B，E，D為頂點(diǎn)的三角形與△CDA相似時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)∠BED＝2∠OAB時(shí)，求△BDE與△CDA的面積之比．
5．(2023?黃浦區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，直線(xiàn)y=12x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E．
（1）求△ABE的面積；
（2）聯(lián)結(jié)EC，交x軸于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AC，若S△AEFS△AFC=34，求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是直線(xiàn)AE上一點(diǎn)，且∠EPB＝∠ECB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1．(2023?青浦區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+3的圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，且tan∠CAO＝3．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CP，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)F，當(dāng)S△CDF：S△FDP＝2：3時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，將△PCD沿直線(xiàn)MN翻折，當(dāng)點(diǎn)P恰好與點(diǎn)O重合時(shí)，折痕MN交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，求OMON的值．
2．(2023?黃浦區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，0），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝3，且對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C．直線(xiàn)y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與線(xiàn)段BC交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線(xiàn)y＝﹣x2+mx+n的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)BO、EO．當(dāng)△BOE的面積為3時(shí)，求直線(xiàn)y＝kx+b的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)D為y軸上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD、AD．當(dāng)BD＝EO時(shí)，求∠DAO的余切值．
3．(2023?寶山區(qū)三模）如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4．二次函數(shù)y＝﹣x2+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸l與OB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)E，求DEDC的值；
（3）設(shè)P是這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸l上一點(diǎn)，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
4．(2023?寶山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=13x2+bx﹣1與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在x軸的正半軸上），與y軸交于點(diǎn)C，已知tan∠CAB=13．
（1）求頂點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將拋物線(xiàn)向右平移2個(gè)單位，得到的新拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)和△APM的面積；
（3）如果點(diǎn)N在原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)△PMN與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
5．(2023?普陀區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線(xiàn)y=12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是在第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)E．
（1）求b、c的值和直線(xiàn)BC的表達(dá)式；
（2）設(shè)∠CAD＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為d，用含d的代數(shù)式表示△ACE與△DCE的面積比．
6．(2023秋?松江區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c過(guò)A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣3）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求以點(diǎn)A、點(diǎn)C及點(diǎn)D圍成的△ACD的面積；
（3）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得∠PCA＝15°，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
7．(2023?崇明區(qū)二模）已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，連接AC、BC、CD、BD．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)軸；
（2）當(dāng)S△BCD＝4S△AOC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)E是x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
第21講二次函數(shù)中面積的存在性問(wèn)題（核心考點(diǎn)講與練）
【基礎(chǔ)知識(shí)】
類(lèi)型一：固定面積的存在性問(wèn)題
固定面積的存在性問(wèn)題最為簡(jiǎn)單，在待求圖形中，往往只有一個(gè)是變量，此時(shí)只需通過(guò)方程將其解出即可．
類(lèi)型二：有關(guān)面積比的存在性問(wèn)題
有些問(wèn)題是關(guān)于兩個(gè)未知面積比的，此類(lèi)問(wèn)題的難度稍大．一般都需要先通過(guò)公共邊或公共高，將面積比轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段之比，從而進(jìn)一步列出方程解決問(wèn)題．
解題思路：
根據(jù)題目條件，求出相應(yīng)的固定面積；
找到待求圖形合適的底和高；
列出方程，解出相應(yīng)變量；
根據(jù)題目實(shí)際情況，驗(yàn)證所有可能點(diǎn)是否滿(mǎn)足要求并作答．
【考點(diǎn)剖析】
1．(2023秋?閔行區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y＝﹣x+5與x牰交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C為拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2a2x+a3+12a的頂點(diǎn)．
（1）用含a的代數(shù)式表示頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)頂點(diǎn)C在△AOB內(nèi)部，且S△AOC=52時(shí)，求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（3）如果將拋物線(xiàn)向右平移一個(gè)單位，再向下平移12個(gè)單位后，平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P仍在△AOB內(nèi)，求a的取值范圍．
分析：（1）將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解．
（2）先由直線(xiàn)解析式求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，由S△AOC=12OA?|yC|=52求出|yC|，再由點(diǎn)C在三角形AOB內(nèi)部求解．
（3）由點(diǎn)C平移得到點(diǎn)P坐標(biāo)，由點(diǎn)P在三角形AOB內(nèi)部列不等式求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2a2x+a3+12a＝a（x2﹣2ax+a2）+12a＝a（x﹣a）2+12a，
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，12a）．
（2）把x＝0代入y＝﹣x+5得y＝5，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，5），
把y＝0代入y＝﹣x+5得0＝﹣x+5，
解得x＝5，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，0），
∵S△AOC=12OA?|yC|=52，
∴52|yC|=52，
∴|yC|＝1，
解得yC＝±1，
∵C在△AOB內(nèi)部，
∴12a＝1，
解得a＝2，
∴y＝2x2﹣8x+9．
（3）∵點(diǎn)頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，12a）．
∴拋物線(xiàn)向右平移一個(gè)單位，再向下平移12個(gè)單位后，點(diǎn)P坐標(biāo)為（a+1，12a?12），
把x＝a+1代入y＝﹣x+5得y＝﹣a+4，
∴0＜a＜50＜12a?12＜?a+4，
解得1＜a＜3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，掌握函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
2．(2023春?金山區(qū)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．拋物線(xiàn)y＝f（x）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且頂點(diǎn)為B，將該拋物線(xiàn)與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)記為C．
（1）求拋物線(xiàn)y＝f（x）的表達(dá)式；
（2）如果點(diǎn)D在拋物線(xiàn)y＝f（x）上，且S△DOC＝2S△AOC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在拋物線(xiàn)y＝f（x）的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)E，使得拋物線(xiàn)y＝f（x）上的任意一點(diǎn)F到點(diǎn)E的距離都等于點(diǎn)F到直線(xiàn)y＝﹣2的距離？如果存在，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由．
分析：（1）由點(diǎn)A坐標(biāo)求出點(diǎn)B坐標(biāo)，設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)式，將（0，0）代入解析式求解．
（2）由S△DOC＝2S△AOC可得yD＝2yA＝2，進(jìn)而求解．
（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，a），點(diǎn)F坐標(biāo)為（x，14x2﹣x），用代數(shù)式表示點(diǎn)F到點(diǎn)E及點(diǎn)F到直線(xiàn)y＝﹣2的距離，列等式求解．
【解答】解：（1）點(diǎn)A（2，1）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，﹣1），點(diǎn)B為頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1，
將（0，0）代入y＝a（x﹣2）2﹣1得0＝4a﹣1，
解得a=14，
∴y=14（x﹣2）2﹣1=14x2﹣x．
（2）∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，0），
∵S△DOC＝2S△AOC，
∴yD＝2yA＝2，
將y＝2代入y=14（x﹣2）2﹣1得2=14（x﹣2）2﹣1，
解得x1＝2﹣23，x2＝2+23，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2﹣23，2）或（2+23，2）．
（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，a），點(diǎn)F坐標(biāo)為（x，14x2﹣x），
∴EF=(2?x)2+(14x2?x?a)2，
∵F到直線(xiàn)y＝﹣2的距離為14x2﹣x﹣（﹣2）=14x2﹣x+2，
∴(2?x)2+(14x2?x?a)2=14x2﹣x+2，整理得12a（x﹣2）2＝0，
∴a＝0滿(mǎn)足題意，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．
3．(2023?青山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1．
（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）直線(xiàn)MN平行于x軸，與拋物線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且MN=34AB，點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，求線(xiàn)段OE的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)P是該拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)CP、EP，EP交線(xiàn)段BC于點(diǎn)F，當(dāng)S△CPF：S△CEF＝1：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
分析：（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1求出b＝2，即可求解；
（2）由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，QM＝QN=12MN=32，則點(diǎn)N（52，74），即MN在直線(xiàn)y=74上，即可求解；
（3）S△CPF：S△CEF＝1：2，即PFEF=12，而△PP′F∽△ECF，則PFEF=PP'EC，即?a2+3a52=12，即可求解．
【解答】解：（1）由題意得：?b2×(?1)=1，解得：b＝2，
∵拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C（0，3），故c＝3，
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）對(duì)于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，則x＝﹣1或3，
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0），則AB＝4，MN=34AB＝3，
如圖1，作拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交MN于點(diǎn)Q，
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，QM＝QN=12MN=32，
則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1+32=52，故點(diǎn)N（52，74），即MN在直線(xiàn)y=74上，
則點(diǎn)C關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（0，12），
即OE=12；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PP′∥OC交BC于點(diǎn)P′，
設(shè)直線(xiàn)BC的表達(dá)式為：y＝mx+n，則n=30=3m+n，解得：m=?1n=3，
故直線(xiàn)BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，
設(shè)點(diǎn)P（a，﹣a2+2a+3），則點(diǎn)P′（a，﹣a+3），
則PP′＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，
∵S△CPF：S△CEF＝1：2，即PFEF=12，
∵PP′∥CE，
∴△PP′F∽△ECF，
∴PFEF=PP'EC，即?a2+3a52=12，
解得：a=52或12，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（52，74）或（12，154）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形相似、面積的計(jì)算等，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．
4．(2023秋?徐匯區(qū)期末）如圖，拋物線(xiàn)y=?43x2+103x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，C為線(xiàn)段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D，交該拋物線(xiàn)于點(diǎn)E．
（1）求直線(xiàn)AB的表達(dá)式，直接寫(xiě)出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)以B，E，D為頂點(diǎn)的三角形與△CDA相似時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)∠BED＝2∠OAB時(shí)，求△BDE與△CDA的面積之比．
分析：（1）求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線(xiàn)AB的解析式即可；
（2）由題意可知△BED是直角三角形，設(shè)C（t，0），分兩種情況討論①當(dāng)∠BED＝90°，時(shí)，BE∥AC，此時(shí)E（t，2），由此可求t=52；②當(dāng)∠EBD＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥y軸交于點(diǎn)Q，可證明△ABO∽△BEQ，則AOBQ=BOEQ，可求E（t，2+32t），再由E點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則可求t=118，進(jìn)而求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作BA的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)Q，連接BQ，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥EC于點(diǎn)G，則有∠BQO＝∠BED，在Rt△BOQ中，BQ2＝4+（3﹣BQ）2，求出BQ=136，QO=56，則tan∠BQO＝tan∠BEG=125，設(shè)C（t，0），則D（t，?23t+2），E（t，?43t2+103t+2），則有125=t?43t2+103t，求出t=3516，即可求S△BDES△CDA=2t23?t=1225104．
【解答】解：（1）令y＝0，則?43x2+103x+2＝0，
∴x=?12或x＝3，
∴A（3，0），
令x＝0，則y＝2，
∴B（0，2），
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y＝kx+b，
∴b=23k+b=0，
∴k=?23b=2，
∴y=?23x+2，
∵y=?43x2+103x+2=?43（x?54）2+4912，
∴M（54，4912）；
（2）∵∠ADC＝∠BDE，∠ACD＝90°，
∴△BED是直角三角形，
設(shè)C（t，0），
如圖1，當(dāng)∠BED＝90°，時(shí)，BE∥AC，
∴E（t，2），
∴?43t2+103t+2＝2，
∴t＝0（舍）或t=52，
∴C（52，0）；
②如圖2，當(dāng)∠EBD＝90°時(shí)，
過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥y軸交于點(diǎn)Q，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，∠ABO+∠QBE＝90°，
∴∠QBE＝∠BAO，
∴△ABO∽△BEQ，
∴AOBQ=BOEQ，即3BQ=2t，
∴BQ=32t，
∴E（t，2+32t），
∴2+32t=?43t2+103t+2，
∴t＝0（舍）或t=118，
∴C（118，0）；
綜上所述：C點(diǎn)的坐標(biāo)為（118，0）或（52，0）；
（3）如圖3，作BA的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)Q，連接BQ，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥EC于點(diǎn)G，
∴BQ＝AQ，
∴∠BQA＝∠QAB，
∵∠BED＝2∠OAB，
∴∠BQO＝∠BED，
在Rt△BOQ中，BQ2＝BO2+OQ2，
∴BQ2＝4+（3﹣BQ）2，
∴BQ=136，
∴QO=56，
∴tan∠BQO=125，
∴tan∠BEG=125，
設(shè)C（t，0），則D（t，?23t+2），E（t，?43t2+103t+2），
∵BG＝t，DE=?43t2+4t，AC＝3﹣t，DC=?23t+2，EG=?43t2+103t，
∴125=t?43t2+103t，
∴t=3516，
∴S△BDE=12ED?BG，
S△CDA=12AC?CD，
∴S△BDES△CDA=(?43t2+4t)t(3?t)(?23t+2)=2t23?t=1225104．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)與判定，分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
5．(2023?黃浦區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，直線(xiàn)y=12x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E．
（1）求△ABE的面積；
（2）聯(lián)結(jié)EC，交x軸于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AC，若S△AEFS△AFC=34，求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是直線(xiàn)AE上一點(diǎn)，且∠EPB＝∠ECB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
分析：（1）將A（﹣2，0）代入y=12x+b可得b＝1，由拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2ax+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=??2a2a=1，在y=12x+1中，令x＝1可得E（1，32），根據(jù)A（﹣2，0），B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，即知B（4，0），從而可得S△ABE=12AB?|yE|=92；
（2）過(guò)E作EK⊥y軸于K，由S△AEFS△AFC=34，OF∥EK，可得OKOC=EFCF=34，即得C（0，﹣2），用待定系數(shù)法得拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=14x2?12x﹣2；
（3）過(guò)B作BP∥CE交直線(xiàn)AE于P，以B為圓心，BP為半徑作圓與直線(xiàn)AE另一交點(diǎn)為P'，直線(xiàn)AE為y=12x+1，用待定系數(shù)法可得直線(xiàn)BC為y=12x﹣2，即知AE∥BC，從而四邊形ECBP是平行四邊形，有∠ECB＝∠EPB，P是滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，由平移可得P（5，72），因BP＝BP'，所以∠EP'B＝∠EPB＝∠ECB，P'是滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，設(shè)P'（m，12m+1），可得（5﹣4）2+（72?0）2＝（m﹣4）2+（12m+1）2，即可解得P'（35，1310）．
【解答】解：（1）將A（﹣2，0）代入y=12x+b得：
﹣1+b＝0，
解得b＝1，
∴y=12x+1，
拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2ax+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=??2a2a=1，
在y=12x+1中，令x＝1得y=32，
∴E（1，32），
∵拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B兩點(diǎn)，
∴A（﹣2，0），B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，
∴B（4，0），
∴AB＝6，
∴S△ABE=12AB?|yE|=12×6×32=92，
答：△ABE的面積是92；
（2）過(guò)E作EK⊥y軸于K，如圖：
∵S△AEFS△AFC=34，
∴EFCF=34，
∵OF∥EK，
∴OKOC=EFCF=34，
由（1）知E（1，32），
∴OK=32，
∴OC＝2，
∴C（0，﹣2），
把A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax+c得：
4a+4a+c=0c=?2，
解得a=14c=?2，
∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=14x2?12x﹣2；
（3）過(guò)B作BP∥CE交直線(xiàn)AE于P，以B為圓心，BP為半徑作圓與直線(xiàn)AE另一交點(diǎn)為P'，如圖：
由（1）（2）知直線(xiàn)AE為y=12x+1，C（0，﹣2），B（4，0），
設(shè)直線(xiàn)BC為y＝tx﹣2，將B（4，0）代入得：
4t﹣2＝0，
解得t=12，
∴直線(xiàn)BC為y=12x﹣2，
∴AE∥BC，
∵BP∥CE，
∴四邊形ECBP是平行四邊形，
∴∠ECB＝∠EPB，
∴P是滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，
由C（0，﹣2）平移至B（4，0）與E（1，32）平移至P方式相同，可得P（5，72），
∵BP＝BP'，
∴∠EP'B＝∠EPB＝∠ECB，
∴P'是滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，
設(shè)P'（m，12m+1），
∵BP＝BP'，
∴（5﹣4）2+（72?0）2＝（m﹣4）2+（12m+1）2，
解得m＝5（與P重合，舍去）或m=35，
∴P'（35，1310），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，72）或（35，1310）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，平行四邊形、等腰三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1．(2023?青浦區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+3的圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，且tan∠CAO＝3．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CP，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)F，當(dāng)S△CDF：S△FDP＝2：3時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，將△PCD沿直線(xiàn)MN翻折，當(dāng)點(diǎn)P恰好與點(diǎn)O重合時(shí)，折痕MN交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，求OMON的值．
分析：（1）在Rt△AOC中，tan∠CAO=OCOA=3，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求解；
（2）利用S△CDFS△FDP=CGPQ=23，即可求解；
（3）證明∠ONM＝∠POH，則tan∠ONM=OMON=tan∠POM=PHOH=85．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+3的圖象與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴OC＝3，
連接AC，在Rt△AOC中，tan∠CAO=OCOA=3，
∴OA＝1，
將點(diǎn)A（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+3，得a﹣4a+3＝0，
解得：a＝1．
所以，這個(gè)二次函數(shù)的解析式為 y＝x2﹣4x+3；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DF，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥DF，垂足分別為點(diǎn)G、Q．
∵拋物線(xiàn)y＝x2﹣4x+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，
∴CG＝2，
∵S△CDFS△FDP=CGPQ=23，
∴PQ＝3，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5，
∴把x＝5代入y＝x2﹣4x+3，得 y＝8，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，8）；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OM，垂足分別為點(diǎn)H，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，8），
∴OH＝5，PH＝8，
∵將△PCD沿直線(xiàn)MN翻折，點(diǎn)P恰好與點(diǎn)O重合，
∴MN⊥OP，
∴∠ONM+∠NOP＝90°，
又∵∠POH+∠NOP＝90°，
∴∠ONM＝∠POH，
∴tan∠ONM=OMON=tan∠POM=PHOH=85．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、圖象的翻折、面積的計(jì)算等，具有一定的綜合性，難度適中．
2．(2023?黃浦區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，0），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝3，且對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C．直線(xiàn)y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與線(xiàn)段BC交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線(xiàn)y＝﹣x2+mx+n的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)BO、EO．當(dāng)△BOE的面積為3時(shí)，求直線(xiàn)y＝kx+b的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)D為y軸上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD、AD．當(dāng)BD＝EO時(shí)，求∠DAO的余切值．
分析：（1）利用待定系數(shù)法和拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸公式即可求解；
（2）先求出頂點(diǎn)B坐標(biāo)，根據(jù)△BOE的面積為3求出BE，進(jìn)而求出點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；
（3）分BD∥OE和BD與OE不平行兩種情況，分別求出D坐標(biāo)，利用余切定義即可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝3，
∴?m?2=3?25+5m+n=0，
∴m=6n=?5，
∴拋物線(xiàn)表達(dá)式為y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）把x＝3代入y＝﹣x2+6x﹣5得y＝4，
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，4），
由△BOE的面積為3得12BE×3＝3，
∴BE＝2，
∵點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為E（3，2），
把點(diǎn)E（3，2）和點(diǎn)A（5，0）代入y＝kx+b得，
5k+b=03k+b=2，
∴k=?1b=5，
∴直線(xiàn)的表達(dá)式為y＝﹣x+5；
（3）如圖，①若BD∥OE，
∵BD＝EO，
∴四邊形OEBD為平行四邊形，
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，2），
連接DA，
∴ct∠DAO=OADO=52；
②若BD不平行OE，如圖D′，
則四邊形OEBD′為等腰梯形，
做BF⊥y軸于F，則D′F＝DF＝2，
∴點(diǎn)D′坐標(biāo)為（0，6），
連接D′A，
∴ct∠D′AO=AOD'O=56，
綜上所述，此時(shí)∠DAO的余切值為52或56．
【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，余切定義等知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，解第（3）步時(shí)要注意分類(lèi)討論思想應(yīng)用．
3．(2023?寶山區(qū)三模）如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4．二次函數(shù)y＝﹣x2+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸l與OB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)E，求DEDC的值；
（3）設(shè)P是這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸l上一點(diǎn)，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
分析：（1）由∠OAB＝90°，在直角三角形OAB中求得點(diǎn)A，代入函數(shù)式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的長(zhǎng)度，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸可知DE∥AB，OE＝AE．求得DE，進(jìn)而求得CD，從而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面積相等即求得．
【解答】解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，
∴OA=OB?cs30°=23．
∴A（23，0）．
∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴?(23)2+23b=0．
解得b=23．
∴二次函數(shù)的解析式為y=?x2+23x．
頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，3）．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，
∴AB＝2．
由DE是二次函數(shù)y=?x2+23x的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，
可知DE∥AB，OE＝AE．
∴DEAB=OEOA=12．即得DE＝1．
又∵C（3，3），∴CE＝3．
即得CD＝2．
∴DEDC=12．
（3）根據(jù)題意，可設(shè)P（3，n）．
∵OE=12OA=3，CE＝3，
∴S△OCE=12OE?CE=323．
∴S△POA=12OA?PE=12×23|n|=332．
解得n=±32．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（3，32）、P2（3，?32）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查了直角三角形內(nèi)的三角函數(shù)，拋物線(xiàn)過(guò)一點(diǎn)，即代入求得；通過(guò)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸來(lái)做題，方便快捷，這也考查了靈活的思維；通過(guò)面積的求得，來(lái)求得點(diǎn)的做標(biāo)，只是考查的手段，問(wèn)題考查的思路．
4．(2023?寶山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=13x2+bx﹣1與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在x軸的正半軸上），與y軸交于點(diǎn)C，已知tan∠CAB=13．
（1）求頂點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將拋物線(xiàn)向右平移2個(gè)單位，得到的新拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)和△APM的面積；
（3）如果點(diǎn)N在原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)△PMN與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
分析：（1）根據(jù)題意可畫(huà)出函數(shù)圖象，由tan∠CAB=13可得OCOA=13，令x＝0可得y＝﹣1，進(jìn)而可得C（0，﹣1），即OC＝1，由此可得A（3，0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可求出b的值，化作頂點(diǎn)式可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；令y＝0，可求出x的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線(xiàn)的平移可求出新拋物線(xiàn)，令x＝0，可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可求出△APM的面積；
（3）過(guò)點(diǎn)M作MQ垂直于原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，可得出MQ和PQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出tan∠MPQ＝tan∠CAB=13，由△PMN與△ABC相似可得，PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，由此可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可畫(huà)出函數(shù)圖象，
令x＝0可得y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），即OC＝1．
在Rt△AOC中，tan∠CAB=13，
∴OCOA=13，
∴OA＝3，
∴A（3，0）．
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可得，13×32+3b﹣1＝0，解得b=?23．
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=13x2?23x﹣1=13（x﹣1）2?43．
∴頂點(diǎn)P（1，?43），
令y＝0，即13（x﹣1）2?43=0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴B（﹣1，0）．
（2）將（1）中拋物線(xiàn)向右平移2個(gè)單位，得到的新拋物線(xiàn)y=13（x﹣3）2?43．
令x＝0，則y=53．
∴M（0，53）．
連接AP并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D，
∴直線(xiàn)AP的解析式為：y=23x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴S△APM=12（xA﹣xP）?MD=12×（3﹣1）×（53+2）=113．
（3）在△ABC中，A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1），tan∠CAB=13，
∴AB＝4，AC=10．
如圖，過(guò)點(diǎn)M作MQ垂直于原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，
∴MQ＝1，PQ53+43=3，
∴tan∠MPQ=MQPQ=13，PM=10．
∴∠MPQ＝∠CAB，
若△PMN與△ABC相似，則PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，
設(shè)N（1，t），則PN＝t+43，
∴10：（t+43）＝4：10或10：（t+43）=10：4，
解得t=76或t=83．
∴N（1，76）或（1，83）．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)與幾何綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角函數(shù)值，相似三角形的性質(zhì)與判定，分類(lèi)討論思想等知識(shí)．第（3）問(wèn)得出∠MPQ＝∠CAB是解題關(guān)鍵．
5．(2023?普陀區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線(xiàn)y=12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是在第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)E．
（1）求b、c的值和直線(xiàn)BC的表達(dá)式；
（2）設(shè)∠CAD＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為d，用含d的代數(shù)式表示△ACE與△DCE的面積比．
分析：（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；
（2）通過(guò)證明△ACE∽△BCA，可得ACBC=CEAC，即可求解；
（3）由相似三角形的性質(zhì)可得S△ACES△DCE=ABDF，即可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y=12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），
∴0=12×4?2b+c0=12×36+6b+c，
解得b=?2c=?6，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=12x2﹣2x﹣6，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣6，
∴點(diǎn)C（0，﹣6），
設(shè)直線(xiàn)BC解析式為y＝mx+n，
則n=?60=6m+n，
解得：m=1n=?6，
∴直線(xiàn)BC解析式為y＝x﹣6；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OC于H，
∵點(diǎn)C（0，﹣6），點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)A（﹣2，0），
∴OB＝OC＝6，OA＝2，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝62，AC=OA2+OC2=4+36=210，
∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴ACBC=CEAC，
∴21062=CE210，
∴CE=1023，
∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，
∴EH＝HC=103，
∴OH=83，
∴點(diǎn)E（103，?83）；
（3）∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為d，
∴點(diǎn)D（d，12d2﹣2d﹣6），（0＜d＜6），
如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交BC于點(diǎn)F，
∴△ABE∽△DFE，
∴ABDF=AEDE，
∵S△ACES△DCE=AEDE，
∴S△ACES△DCE=ABDF．
∵點(diǎn)F在直線(xiàn)BC上，
∴點(diǎn)F（12d2﹣2d，12d2﹣2d﹣6），
∴DF＝3d?12d2，
∴S△ACES△DCE=83d?12d2=166d?d2．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出符合條件的圖形是解題的關(guān)鍵．
6．(2023秋?松江區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c過(guò)A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣3）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求以點(diǎn)A、點(diǎn)C及點(diǎn)D圍成的△ACD的面積；
（3）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得∠PCA＝15°，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）將點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入即可求出拋物線(xiàn)解析式，再通過(guò)配方即可確定點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）過(guò)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)D作x軸垂線(xiàn)交直線(xiàn)AC于點(diǎn)E，求出直線(xiàn)AC解析式再求出E點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)S△ACD=12×DE?xA即可求出△ACD的面積；
（3）分當(dāng)點(diǎn)P位于AC上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P'位于AC下方兩種情況，數(shù)形結(jié)合即可找出點(diǎn)P坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，﹣3）分別代入拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c中得：
0=9+3b+c?3=c，
解得：b=?2c=?3，
∴拋物線(xiàn)解析式為：y＝x2﹣2x﹣3，
又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）；
（2）如圖所示，過(guò)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)D作x軸垂線(xiàn)交直線(xiàn)AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD、AD，
由（1）知：A（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y＝kx+b，將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：
0=3k+b?3=b，
解得：k=1b=?3，
∴直線(xiàn)AC的解析式為：y＝x﹣3，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，﹣2），
∴DE＝﹣2﹣（﹣4）＝2，
又∵S△ACD=12×DE?xA，
∴S△ACD=12×2×3=3；
（3）存在，理由如下：
由上可知AO＝CO＝3，∠ACO＝∠OAC＝45°，假設(shè)存在點(diǎn)P，使得∠PCA＝15°，
分情況討論①：當(dāng)點(diǎn)P位于AC上方時(shí)，連結(jié)CP交x軸于點(diǎn)H，如下圖所示：
∵∠ACO＝45°，∠PCA＝15°，
∴∠OCH＝30°，
在Rt△COH中，tan∠OCH＝tan30°=OHOC=OH3=33，
∴OH=3，H坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線(xiàn)CH的解析式為y＝k1x+b1，將點(diǎn)C、H代入得：
0=3k1+b1?3=b1
解得：k1=3b1=?3，
∴直線(xiàn)CH的解析式為：y=3x?3，
∵點(diǎn)P為直線(xiàn)PC與拋物線(xiàn)交點(diǎn)，
∴聯(lián)立方程得：y=x2?2x?3y=3x?3，
解得：x1＝2+3，x2＝0（舍去），
∴此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2+3；
分情況討論②：當(dāng)點(diǎn)P'位于AC下方時(shí)，連結(jié)CP'交x軸于點(diǎn)K，如下圖所示：
∵∠ACO＝45°，∠P'CA＝15°，
∴∠OCK＝45°+15°＝60°，
在Rt△COK中，tan∠OCK＝tan60°=OKOC=OK3=3，
∴OK＝33，K坐標(biāo)為（33，0），
設(shè)直線(xiàn)CK的解析式為y＝k2x+b2，將點(diǎn)C、K代入得：
0=33k2+b2?3=b2
解得：k2=33b2=?3，
∴直線(xiàn)CK的解析式為：y=33x?3，
∵點(diǎn)P'為直線(xiàn)CK與拋物線(xiàn)交點(diǎn)，
∴聯(lián)立方程得：y=x2?2x?3y=33x?3，
解得：x1＝2+33，x2＝0（舍去），
∴此時(shí)點(diǎn)P'的橫坐標(biāo)為2+33，
綜上所述：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2+3或2+33．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)壓軸大題，考查二次函數(shù)圖象和基本性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)以及能數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
7．(2023?崇明區(qū)二模）已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，連接AC、BC、CD、BD．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)軸；
（2）當(dāng)S△BCD＝4S△AOC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)E是x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
分析：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，根據(jù)﹣4a＝﹣4，可得a＝1，由此即可解決問(wèn)題．
（2）如圖1中，設(shè)D（m，m2﹣3m﹣4），連接OD．根據(jù)S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，構(gòu)建方程求出m即可解決問(wèn)題．
（3）分兩種情形：如圖2中，當(dāng)AE為平行四邊形的邊時(shí)，根據(jù)DF＝AE＝1，求解即可．如圖3中，當(dāng)AE，DF是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，根據(jù)點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為6，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），
∴可以假設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴﹣4a＝﹣4，
∴a＝1，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝x2﹣3x﹣4，對(duì)稱(chēng)軸x=32．
（2）如圖1中，設(shè)D（m，m2﹣3m﹣4），連接OD．
∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，
∴12×4×（﹣m2+3m+4）+12×4×m?12×4×4＝4×12×1×4
整理得：m2﹣4m+4＝0，
解得m＝2，
∴D（2，﹣6）．
（3）如圖2中，當(dāng)AE為平行四邊形的邊時(shí)，
∵DF∥AE，D（2，﹣6）
∴F（1，﹣6），
∴DF＝1，
∴AE＝1，
∴E（0，0），或E′（﹣2，0）．
如圖3中，當(dāng)AE，DF是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)F到x軸的距離相等，
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為6，
當(dāng)y＝6時(shí)，6＝x2﹣3x﹣4，
解得x＝﹣2或5，
∴F（﹣2，6）或（5，6），
設(shè)E（n，0），則有?1+n2=?2+22或?1+n2=5+22，
解得n＝1或8，
∴E（1，0）或（8，0），
，綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，0）或（1，0）或（8，0）或（﹣2，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．

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