1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的過程.
2. 直角三角形的邊角關系（中，）

3.解直角三角形的應用
（1）仰角與俯角
在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；
（2）坡度：坡面的鉛垂高度h和水平寬度的比叫做坡面的坡度，記作，即；坡度表示形式：.
坡面與水平面的夾角叫坡角，記為；坡度與坡角的關系：.
考點精講
一．解直角三角形（共6小題）
1．（2022?寶山區(qū)模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知點P（1，2），點P與原點O的連線與x軸的正半軸的夾角為α（0°＜α＜90°），那么tanα的值是（ ）
A．2B．C．D．
【分析】過P點作PA⊥x軸于A，則∠POA＝α，利用P點坐標得到OA＝1，PA＝2，然后根據(jù)正切的定義求出tan∠POA的值即可．
【解答】解：如圖，過P點作PA⊥x軸于A，則∠POA＝α，
∵點P的坐標為（1，2），
∴OA＝1，PA＝2，
∴tan∠POA＝＝＝2，
即tanα＝2．
故選：A．
【點評】本題考查了解直角三角形．靈活應用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解決此類問題的關鍵．
2．（2021秋?寶山區(qū)期末）如圖，已知Rt△ABC，CD是斜邊AB邊上的高，那么下列結論正確的是（ ）
A．CD＝AB?tanBB．CD＝AD?ctAC．CD＝AC?sinBD．CD＝BC?csA
【分析】利用直角三角形的邊角間關系，計算得結論．
【解答】解：∵CD是斜邊AB邊上的高，
∴△ACD、△BCD都是直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵CD＝sinA?AC＝tanA?AD＝，故選項B不正確；
在Rt△BCD中，
∵CD＝sinB?BC＝tanB?BD，故選項A、C不正確．
在Rt△ABC中，
∵∠A+∠B＝90°，
∴csA＝sinB．
∴CD＝sinB?BC＝csA?BC，故選項D正確．
故選：D．
【點評】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系是解決本題的關鍵．
3．（2022春?虹口區(qū)校級期中）如圖所示，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在交點處，則∠ABC的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用網(wǎng)格求出AC和AB的長，根據(jù)等腰三角形的性質可得AD⊥BC，最后根據(jù)三角函數(shù)的意義求解即可．
【解答】解：如圖，取BC的中點D，連接AD，
由網(wǎng)格可得，AC＝AB＝＝2，
∴AD⊥BC，
Rt△ABD中，
∵AD＝＝3，
∴sin∠ABC＝＝＝．
故選：D．
【點評】本題考查解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．
4．（2021秋?嘉定區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，，那么BC的長是（ ）
A．4B．8C．D．
【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一，想到過點A作AD⊥BC，垂足為D，然后放在Rt△ABD中，進行計算即可．
【解答】解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，
在Rt△ABD中，AB＝10，，
∴BD＝ABcsB＝10×＝4，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD＝8，
故選：B．
【點評】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，熟練掌握利用等腰三角形的三線合一添加輔助線是解題的關鍵．
5．（2021秋?奉賢區(qū)期末）在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°．下列線段BC的長度不能使△ABC的形狀和大小都確定的是（ ）
A．2B．4C．D．
【分析】如圖，過點B作BH⊥AC于點H．判斷出當BC＝或BC≥2時，三角形唯一確定，即可解決問題．
【解答】解：如圖，過點B作BH⊥AC于點H．
在Rt△ABH中，BH＝AB＝，
觀察圖形可知，當BC＝或BC≥2時，三角形唯一確定，
故BC＝2時，三角形不能唯一確定，
故選：A．
【點評】本題考查解直角三角形，垂線段最短等知識，解題的關鍵是理解題意，判斷出三角形唯一確定的BC的范圍，屬于中考?？碱}型．
6．（2022?楊浦區(qū)三模）如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，csB＝，點P是斜邊AB上一點，過點P作PM⊥AB交邊AC于點M，過點P作AC的平行線，與過點M作AB的平行線交于點Q．如果點Q恰好在∠ABC的平分線上，那么AP的長為 ．
【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關系可求出AB，AC，再根據(jù)相似三角形，用含有AP的代數(shù)式表示MC、NC、MN，再根據(jù)角平分線的定義以及等腰三角形的判定得出BN＝NQ，進而列方程求出AP即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，csB＝，
∴AB＝＝10，AC＝＝6，
∵PM⊥AB，
∴∠APM＝90°＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△APM∽△ACB，
∴＝＝，
設AP＝3x，則PM＝4x，AM＝5x，
∴MC＝6﹣5x，
∵MN∥AB，
∴＝＝，
∴CN＝8﹣x，MN＝10﹣x，
∵BQ平分∠ABC，MN∥AB，
∴∠QBN＝∠BQN，
∴NQ＝BN＝BC﹣CN＝x，
∵MN∥AB，PQ∥AC，
∴四邊形APQM是平行四邊形，
∴QM＝AP＝3x，
∴MN＝NQ+MQ＝x+3x＝x，
∴x＝10﹣x，
解得x＝，
∴AP＝3x＝，
故答案為：．
【點評】本題考查直角三角形的邊角關系，角平分線的定義，相似三角形的判定和性質以及平行四邊形的性質，掌握直角三角形的邊角關系以及相似三角形的判定和性質是解決問題的前提，用含有AP的代數(shù)式表示MC、NC、MN是正確解答的關鍵．
二．解直角三角形的應用（共5小題）
7．（2022春?閔行區(qū)校級期末）已知支點O位于等臂蹺蹺板AB的中點處，當AB的一端點A碰到地面時（如圖），AB與地面的夾角為α，那么當AB的另一端點B碰到地面時，AB轉過的角度為＝ 2α ．（用含α的代數(shù)式表示）
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質得到∠OB′H＝∠OAH＝α，根據(jù)三角形的外角性質計算，得到答案．
【解答】解：由題意得：OA＝OB′，∠OAH＝α，
∴∠OB′H＝∠OAH＝α，
∴∠A′OA＝∠OB′H+∠OAH＝2α，
故答案為：2α．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用，根據(jù)題意得出OA＝OB′是解題的關鍵．
8．（2022?徐匯區(qū)二模）激光電視的光源是激光，它運用反射成像原理，屏幕不通電無輻射，降低了對消費者眼睛的傷害．根據(jù)THX觀影標準，當觀影水平視場角“θ”的度數(shù)處于33°到40°之間時（如圖1），雙眼肌肉處于放松狀態(tài)，是最佳的感官體驗的觀影位．
（1）小麗家決定要買一個激光電視，她家客廳的觀影距離（人坐在沙發(fā)上眼睛到屏幕的距離）為3.5米，小佳家要選擇電視屏幕寬（圖2中的BC的長）在什么范圍內的激光電視就能享受黃金觀看體驗？（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）
（2）由于技術革新和成本降低，激光電視的價格逐漸下降，某電器商行經(jīng)營的某款激光電視今年每臺銷售價比去年降低4000元，在銷售量相同的情況下，今年銷售額在去年銷售總額100萬元的基礎上減少20%，今年這款激光電視每臺的售價是多少元？
【分析】（1）過點A作AD⊥BC于點D，根據(jù)題意可得AB＝AC，當∠BAC＝33°時，當∠BAC＝40°時，利用銳角三角函數(shù)即可解決問題；
（2）設今年這款激光電視每臺的售價是x元，則去年每臺的售價為（x+4000）元．由題意列出方程即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖，過點A作AD⊥BC于點D，
根據(jù)題意可知：AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
當∠BAC＝33°時，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，
在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），
∴BC＝2BD＝2.10（m），
當∠BAC＝40°時，∠BAD＝∠CAD＝20°，
在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），
∴BC＝2BD＝2.52m，
答：小佳家要選擇電視屏幕寬為2.10m﹣2.52m之間的激光電視就能享受黃金觀看體驗；
（2）設今年這款激光電視每臺的售價是x元，則去年每臺的售價為（x+4000）元．
由題意可得：＝，
解得：x＝16000，
經(jīng)檢驗x＝16000是原方程的解，符合題意，
答：今年這款激光電視每臺的售價是16000元．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，分式方程的應用，視點，視角和盲區(qū)，解決本題的關鍵是根據(jù)題意找到等量關系準確列出方程．
9．（2022?長寧區(qū)模擬）冬至是一年中太陽光照射最少的日子，如果此時樓房最低層能采到陽光，一年四季整座樓均能受到陽光的照射，所以冬至是選房買房時確定陽光照射的最好時機．某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓．該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓前面20米處要蓋一棟高25米的新樓．已知上海地區(qū)冬至正午的陽光與水平線夾角為29°（參考數(shù)據(jù)：sin29°≈0.48；cs29°≈0.87；tan29°≈0.55）
（1）冬至中午時，超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？
（2）若要使得超市全部采光不受影響，兩樓應至少相距多少米？（結果保留整數(shù)）
【分析】（1）延長光線交CD于點F，過點F作FG⊥AB，垂足為G，根據(jù)題意可得∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，然后在Rt△AGF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG，從而求出GB的長，進行比較，即可解答；
（2）延長光線交直線BC于點E，根據(jù)題意可得∠AEB＝29°，然后在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長，即可解答．
【解答】解：（1）冬至中午時，超市以上的居民住房采光有影響，
理由：延長光線交CD于點F，過點F作FG⊥AB，垂足為G，
則∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，
在Rt△AGF中，AG＝FG?tan29°≈20×0.55＝11（米），
∵AB＝25米，
∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），
∴FC＝GB＝14米，
∵14米＞6米，
∴冬至中午時，超市以上的居民住房采光有影響；
（2）延長光線交直線BC于點E，
則∠AEB＝29°，
在Rt△ABE中，AB＝25米，
∴BE＝≈≈45（米），
∴若要使得超市全部采光不受影響，兩樓應至少相距45米．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
10．（2022?崇明區(qū)二模）為解決群眾“健身去哪兒”問題，某區(qū)2021年新建、改建90個市民益智健身苑點，圖1是某益智健身苑點中的“側擺器”．鍛煉方法：面對器械，雙手緊握扶手，雙腳站立于踏板上，腰部發(fā)力帶動下肢做左右擺式運動．
（1）如圖2是側擺器的抽象圖，已知擺臂OA的長度為80厘米，在側擺運動過程中，點A為踏板中心在側擺運動過程中的最低點位置，點B為踏板中心在側擺運動過程中的最高點位置，∠BOA＝25°，求踏板中心點在最高位置與最低位置時的高度差．（精確到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cs25°≈0.906，tan25°≈0.466）
（2）小杰在側擺器上進行鍛煉，原計劃消耗400大卡的能量，由于小杰加快了運動頻率，每小時能量消耗比原計劃增加了100大卡，結果比原計劃提早12分鐘完成任務，求小杰原計劃完成鍛煉需多少小時？
【分析】（1）過點B作BD⊥OA垂足為D，由題意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OD的長，進行計算即可解答；
（2）先設小杰原計劃x小時完成鍛煉，然后根據(jù)實際每小時的能量消耗﹣原計劃每小時的能量消耗＝100，列出方程進行計算即可解答．
【解答】解：（1）過點B作BD⊥OA垂足為D，
由題意得：
OB＝OA＝80cm，
在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，
∴OD＝BO?cs25°≈80×0.906＝72.48（cm），
∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），
∴踏板中心點在最高位置與最低位置時的高度差約為7.5厘米；
（2）設小杰原計劃x小時完成鍛煉，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗：都是原方程的根，但不符合題意，舍去，
答：小杰原計劃鍛煉1小時完成．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，分式方程的應用，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
11．（2022?寶山區(qū)二模）某超市大門口的臺階通道側面如圖所示，共有4級臺階，每級臺階高度都是0.25米．根據(jù)部分顧客的需要，超市計劃做一個扶手AD，AB、DC是兩根與地平線MN都垂直的支撐桿（支撐桿底端分別為點B、C）．
（1）求點B與點C離地面的高度差BH的長度；
（2）如果支撐桿AB、DC的長度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的長度．
（參考數(shù)據(jù)：sin66°≈0.9，cs66°≈0.4，tan66°≈2.25，ct66°≈0.44）
【分析】（1）根據(jù)每級臺階高度都是0.25米，然后計算出3個臺階的總高度，即可解答；
（2）連接BC，根據(jù)題意可得：AB＝DC，AB∥DC，從而可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質可得AD＝BC，AD∥BC，從而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．
【解答】解：（1）∵每級臺階高度都是0.25米，
∴BH＝3×0.25＝0.75（米），
∴點B與點C離地面的高度差BH的長度為0.75米；
（2）連接BC，
由題意得：
AB＝DC，AB∥DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAB＝∠CBH＝66°，
在Rt△CBH中，BH＝0.75米，
∴BC＝≈＝1.875（米），
∴扶手AD的長度約為1.875米．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
三．解直角三角形的應用-坡度坡角問題（共5小題）
12．（2022?金山區(qū)二模）沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，這個斜坡的坡度i＝1： 2.4 ．
【分析】由勾股定理可得，此人行走的水平距離為＝12，則這個斜坡的坡度i＝5：12＝1：2.4．
【解答】解：由勾股定理可得，
此人行走的水平距離為＝12，
∴這個斜坡的坡度i＝5：12＝1：2.4．
故答案為：2.4．
【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題、勾股定理，熟練掌握坡度的定義是解答本題的關鍵．
13．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）工廠的傳送帶把物體從地面送到離地面5米高的地方，如果傳送帶與地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物體所經(jīng)過的路程為 13 米．
【分析】根據(jù)坡度的概念求出AC，根據(jù)勾股定理求出AB．
【解答】解：∵傳送帶與地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，
∴＝，即＝，
解得，AC＝12，
由勾股定理得，AB＝＝＝13（米），
故答案為：13．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關鍵．
14．（2022春?黃浦區(qū)期中）某傳送帶與地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物體從地面送到離地面10米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為 26 米．
【分析】根據(jù)坡度的概念求出水平距離，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．
【解答】解：∵傳送帶與地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物體從地面送到離地面10米高，
∴水平距離為：2.4×10＝24，
∴物體所經(jīng)過的路程為：＝26（米），
故答案為：26．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念是解題的關鍵．
15．（2022春?奉賢區(qū)校級期中）某傳送帶與地面所成斜坡的坡度為i，如果它把物體從地面送到離地面10米高的地方，物體所經(jīng)過的路程為26米，則i＝ 1：2.4 ．
【分析】根據(jù)勾股定理先求出水平距離，再根據(jù)坡度的概念即可得到答案．
【解答】解：∵傳送帶把物體從地面送到離地面10米高，物體所經(jīng)過的路程為26米，
∴水平距離為：＝24，
∴傳送帶與地面所成斜坡的坡度為i＝10：24＝1：2.4．
故答案為：1：2.4．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念是解題的關鍵．
16．（2022春?浦東新區(qū)期中）如圖，一個高BE為米的長方體木箱沿坡比為1：的斜面下滑，當木箱滑至如圖位置時，AB＝3米，則木箱端點E距地面AC的高度EF為 3 米．
【分析】根據(jù)坡度的概念求出∠DAF＝30°，根據(jù)正弦的定義求出DE，進而求出BD，得到答案．
【解答】解：設AB、EF交于點D，
∵斜坡的坡比為1：，
∴tan∠DAF＝＝，
∴∠DAF＝30°，
∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BDE＝60°，
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，
∴＝，
解得，DE＝2（米），
∴BD＝1m，
∴AD＝AB﹣BD＝2（米），
在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝1（米），
∴EF＝DE+DF＝3（米），
故答案為：3．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念是解題的關鍵．
四．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共5小題）
17．（2022?楊浦區(qū)三模）從一棟二層樓的樓頂點A處看對面的教學樓，探測器顯示，看到教學樓底部點B處的俯角為45°，看到樓頂部點C處的仰角為60°，已知兩棟樓之間的水平距離為6米，那么教學樓的高CB＝ （6+6） 米．（結果保留根號）
【分析】過點A作AD⊥BC于點D．則AD＝6米，在Rt△ACD中，tan60°＝，解得CD＝6，在Rt△ABD中，tan45°＝＝1，解得BD＝6，由BC＝CD+BD可得出答案．
【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D．
則AD＝6米，∠CAD＝60°，∠DAB＝45°，
在Rt△ACD中，tan60°＝，
解得CD＝6，
在Rt△ABD中，tan45°＝＝1，
解得BD＝6，
∴BC＝CD+BD＝（6+6）米．
故答案為：（6+6）．
【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關鍵．
18．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，小明想要測量學校操場上旗桿AB的高度，他作了如下操作：（1）在點C處放置測角儀，測得旗桿頂?shù)难鼋恰螦CE＝30°；（2）量得測角儀的高度CD＝a；（3）量得測角儀到旗桿的水平距離DB＝b．利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識，旗桿的高度可表示為 a+b ．
【分析】延長CE交AB于點F，則CD＝BF＝a，DB＝CF＝b，∠CFA＝90°，然后在Rt△ACF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，進行計算即可解答．
【解答】解：延長CE交AB于點F，
則CD＝BF＝a，DB＝CF＝b，∠CFA＝90°，
在Rt△ACF中，∠ACF＝30°，
∴AF＝CF?tan30°＝b，
∴AB＝AF+BF＝a+b，
∴旗桿的高度可表示為：a+b，
故答案為：a+b．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
19．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖，小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點D處后進球，已知小明與籃板底的距離BC＝5米，眼睛與地面的距離AB＝1.7米，視線AD與水平線的夾角為α，已知tanα的值為0.3，則點D到地面的距離CD的長為 3.2 米．
【分析】根據(jù)題意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，進行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：
AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，
在Rt△ADE中，tanα＝0.3，
∴DE＝AE?tanα＝5×0.3＝1.5（米），
∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），
∴點D到地面的距離CD的長為3.2米，
故答案為：3.2．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
20．（2022春?青浦區(qū)期中）小明要測量公園里一棵古樹的高，被一條小溪擋住去路，采用計算方法，在A點測得古樹頂?shù)难鼋菫棣粒蚯白吡?00米到B點，測得古樹頂?shù)难鼋菫棣?，則古樹的高度為 米．
【分析】設CD＝x米，用含x的代數(shù)式表示出AD和BD的長，再根據(jù)AD﹣BD＝100可得x的值．
【解答】解：設CD＝x米，
在Rt△ACD中，tanα＝，
∴AD＝，
在Rt△BCD中，tanβ＝，
∴BD＝，
∵AD﹣BD＝100，
∴﹣＝100，
解得x＝，
故答案為：．
【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
21．（2021秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，一架飛機在點A處測得水平地面上一個標志物M的俯角為α，tanα＝，水平飛行900米后，到達點B處，又測得標志物M的俯角為β，tanβ＝，那么此時飛機離地面的高度為 1200 米．
【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可表示出此時飛機離地面的高度．
【解答】解：作PC⊥AB交AB于點C，如右圖所示，
∴AC＝＝，BC＝＝，
∵AB＝AC﹣BC，
∴900＝﹣，
∴PC＝1200，
答：此時飛機離地面的高度為1200米，
故答案為：1200．
【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)解答．
五．解直角三角形的應用-方向角問題（共5小題）
22．（2022?普陀區(qū)模擬）如圖，在某海濱城市O附近海面有一股臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于該城市的南偏東20°方向200千米的海面P處，并以20千米/時的速度向P處的北偏西65°PQ的方向移動，臺風侵襲范圍是一個圓形區(qū)域，當前半徑為60千米，且圓的半徑以10千米/時速度不斷擴張．
（1）當臺風中心移動4小時時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到 100 千米：當臺風中心移動t小時時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到 （60+10t） 千米；
（2）當臺風中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風是否侵襲這座海濱城市？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）根據(jù)題意易求當臺風中心移動4小時時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到的長度；當臺風中心移動t小時時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到的長度；
（2）實質就是將最近距離與區(qū)域半徑進行比較，所以需作垂線．作OH⊥PQ于點H，在Rt△OMH中，∠OMH＝45°，OP＝200，運用三角函數(shù)求出PH的長，從而求出時間再求半徑，比較后得結論．
【解答】解：（1）由題意可得，
當臺風中心移動4小時時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到：60+10×4＝100（千米），
當臺風中心移動t小時時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到：（60+10t）（千米），
故答案為：100，（60+10t）；
（2）作OH⊥PQ于點H，
∴∠OHP＝90°，
∵∠OPH＝70°﹣25°＝45°，
在等腰直角三角形OPH中，OP＝200千米，
根據(jù)勾股定理可算得OH＝100 ≈141（千米），
設經(jīng)過t小時時，臺風中心從P移動到H，
則PH＝20t＝100 ，
解得t＝5 （小時），
此時，受臺風侵襲地區(qū)的圓的半徑為：
60+10×5 ≈130.5（千米）＜141（千米）．
∴城市O不會受到侵襲．
【點評】考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，此題的難度在于半徑的變化，理解半徑又是隨時間的變化而變化，所以轉化為求時間，又已知速度，歸結為求路程即三角形邊長，解三角形求解．
23．（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，海中有一個小島A，一艘輪船由西向東航行，在點B處測得小島A在它的北偏東60°方向上，航行12海里到達點C處，測得小島A在它的北偏東30°方向上，那么小島A到航線BC的距離等于 6 海里．
【分析】過點A作AE⊥BC交BC的延長線于點E，由三角形的外角性質得∠BAC＝∠ABC，再由等腰三角形的判定得AC＝BC，銳角由銳角三角函數(shù)定義求出AE的長即可．
【解答】解：過點A作AE⊥BC交BC的延長線于點E，
由題意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12海里，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，
∴AE＝AC?sin∠ACE＝12×＝6（海里），
即小島A到航線BC的距離是6海里，
故答案為：6．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣方向角問題，掌握方向角的概念，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
24．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，碼頭A在碼頭B的正東方向，它們之間的距離為10海里．一貨船由碼頭A出發(fā)，沿北偏東45°方向航行到達小島C處，此時測得碼頭B在南偏西60°方向，那么碼頭A與小島C的距離是 （5+5） 海里（結果保留根號）．
【分析】過C作CD⊥BA于D，證△ACD是等腰直角三角形，得CD＝AD，AC＝CD，設CD＝AD＝x海里，則AC＝x海里，再由銳角三角函數(shù)定義得BD＝CD＝x（海里），然后由BD＝AD+AB得x＝x+10，解得：x＝5+5，即可解決問題．
【解答】解：過C作CD⊥BA于D，如圖：
則∠CDB＝90°，
由題意得：∠BCD＝60°，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD，AC＝CD，
設CD＝AD＝x海里，則AC＝x海里，
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝＝tan60°＝，
∴BD＝CD＝x（海里），
∵BD＝AD+AB，
∴x＝x+10，
解得：x＝5+5，
∴x＝×（5+5）＝5+5，
即AC＝（5+5）海里，
故答案為：（5+5）．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
25．（2021秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在東西方向的海岸線l上有一長為1千米的碼頭MN，在距碼頭西端M的正西方向58千米處有一觀測站O，現(xiàn)測得位于觀測站O的北偏西37°方向，且與觀測站O相距60千米的小島A處有一艘輪船開始航行駛向港口MN．經(jīng)過一段時間后又測得該輪船位于觀測站O的正北方向，且與觀測站O相距30千米的B處．
（1）求AB兩地的距離；（結果保留根號）
（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否行至碼頭MN靠岸？請說明理由．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37≈0.75．）
【分析】（1）過點A作AC⊥OB于點C．可知△ABC為直角三角形．根據(jù)勾股定理解答．
（2）延長AB交l于D，比較OD與OM+MN的大小即可得出結論．
【解答】解：（1）過點A作AC⊥OB于點C．由題意，得
OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．
∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．
在Rt△AOC中，OC＝OA?cs∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．
∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．
在Rt△ABC中，AB＝．
（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，不能行至碼頭MN靠岸．
理由：延長AB交l于點D．
∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．
∴△ABC∽△DBO，
∴，
∴，
∴OD＝60（千米）．
∵60＞58+1，
∴該輪船不改變航向繼續(xù)航行，不能行至碼頭MN靠岸．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，此題結合方向角，考查了閱讀理解能力、解直角三角形的能力．計算出相關特殊角和作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．
26．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，在航線l的兩側分別有兩個燈塔A和B，燈塔A到航線l的距離為AC＝3千米，燈塔B到航線l的距離為BD＝4千米，燈塔B位于燈塔A南偏東60°方向．現(xiàn)有一艘輪船從位于燈塔B北偏西53°方向的N（在航線l上）處，正沿該航線自東向西航行，10分鐘后該輪船行至燈塔A正南方向的點C（在航線l上）處．
（1）求兩個燈塔A和B之間的距離；
（2）求該輪船航行的速度（結果精確到0.1千米/小時）．（參考數(shù)據(jù)：，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【分析】（1）根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可解決問題；
（2）根據(jù)三角函數(shù)定義可得CN的長，進而可以求該輪船航行的速度．
【解答】解：（1）由題意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，
在Rt△ACM中，，
∴cs60°＝，
∴AM＝6，
在Rt△BDM中，，
∴cs60°＝，
∴BM＝8，
∴AB＝AM+BM＝14千米．
答：兩個燈塔A和B之間的距離為14千米．
（2）在Rt△ACM中，，
∴，
∴，
在Rt△BDM中，，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDN中，，
由題意，得∠DBN＝53°
∴，
∴DN＝4tan53°，
∴，
設該輪船航行的速度是V千米/小時，
由題意，得，
∴V≈40.7（千米/小時 ），
答：該輪船航行的速度是40.7千米/小時．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用中的仰角俯角問題、矩形的判定與性質等知識；掌握仰角俯角定義是解題的關鍵．
一、選擇題
1.（2019新竹園9月考5）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=，那么BC的長為（ ）
A. m?tan?csB. m?ct?csC. D.
【答案】C；
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高， AD=m，∠A=α，∴tanα=，∴CD=m?tanα，
∵∠ACB=∠A+∠B=90°，∠BDC=∠B+∠BCD=90°，∠A=α，∴∠BCD=α，∴cs∠BCD=，即csα= ，∴BC=，故選C．
2．（浦東新區(qū)2020一模5）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1：3，它把物體從地面點A處送到離地面3米高的B處，則物體從A到B所經(jīng)過的路程為（ ）
A．3米B．2米C．米D．9米
【答案】A；
【解答】解：∵BC：AC＝1：3，∴3：AC＝1：3，∴AC＝9，∴AB＝，∴物體從A到B所經(jīng)過的路程為，故選：A．
二、填空題
3.（靜安2020一模13）如圖，在大樓AB的樓頂B處測得另一棟樓CD底部C的俯角為60度，已知A、C兩點間的距離為15米，那么大樓AB的高度為_____米．（結果保留根號）

【答案】
【解析】解：根據(jù)題意，△ABC是直角三角形，∠A=90°，∴，∴
；∴大樓AB的高度為米.
4.（奉賢2020一模14）小明從山腳出發(fā)，沿坡度為的斜坡前進了130米到達點，那么他所在的位置比原來的位置升高了__________米．
【答案】50；
【解析】解：設他所在的位置比原來的位置升高了x米，∵坡度為，∴他所在的位置比原來的位置水平移動了2.4x米，∴，解得：x=50，故答案是：50.
5.（松江2020一模16）如圖，某幢樓的樓梯每一級臺階的高度為20厘米，寬度為30厘米.那么斜面AB的坡度為 ．
【答案】
【解析】解：斜面AB的坡度為：，故答案為：．
6.（嘉定區(qū)2019期中17）新定義：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖所示，△ABC中AF、BE是中線，且AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形稱為“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝6，那么此時AC的長為 ．

【答案】；
【解析】解：如圖，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝90°，在Rt△ABP中，∵∠ABP＝30°，∴＝3，BP＝，∵AF、BE是中線，∴AE＝CE，點P為△ABC的重心，∴，在Rt△APE中，AE＝=，∴AC＝2AE＝．故答案為．
7.（嘉定區(qū)2019期中16）如圖，矩形ABCD中，點E在邊BC上，EF⊥AE交AD于點F，若AB＝2，BC＝7，BE＝5，則FD的長度為 .
【答案】；
【解析】解：在△ABE中：AE2＝AB2+BE2，∵AB＝2，BE＝5，∴AE＝，∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∠B＝90°，∴∠EAF＝∠BEA，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∵∠EAF＝∠BEA，∠B＝∠AEF，∴△ABE∽△FEA，∴，即，，在Rt△AEF中：AF2＝AE2+EF2，AF2＝，解得：AF＝，∵BC＝7，∴FD＝7﹣＝，故答案為：．
8.（浦東四署2019期中17）如圖，在四邊形ABDC中，聯(lián)結BC，，，，如果，那么______.
【答案】；
【解析】解：如圖，∵在Rt△ABC中，BC=，∠ABC=45°，∴∠ACB=45°，∴AB=AC=1，
∴S△ABC=；∵在Rt△BCD中，∠D=30°，BC=，∴BD=，∴CD=，∴S△BCD=，∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△BCD=， 故答案是.
9.（崇明2020一模18）如圖，在中，，，，點是的中點，點在邊上，將沿翻折，使得點落在點處，當時，那么的長為________________．
【答案】或；
【解析】解: 如圖，作DF⊥AB于F，連接AA′．在Rt△ACB中，BC＝＝6，∵∠DAF＝∠BAC，∠AFD＝∠C＝90°，∴△AFD∽△ACB，∴，∴，∴DF＝，AF＝，∵A′E⊥AB，∴∠AEA′＝90°，由翻折不變性可知：∠AED＝45°，∴EF＝DF＝，
∴AE＝A′E＝＋＝，∴AA′＝，如圖，作DF⊥AB于F，當 EA′⊥AB時，同法可得AE＝?＝，AA′＝AE＝．故答案為或．

10.（嘉定2020一模18）在中，，，，把繞著點C按照順時針的方向旋轉，將A、B的對應點分別記為點、，如果恰好經(jīng)過點A，那么點A
與點的距離為

【答案】；
【解析】解：如圖旋轉得，，AB=10，，，，由旋轉可得，，，過點C作于點M，，.
三、解答題（本大題共6題，每題10分，滿分60分）
11.（2019育才10月考21）已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長．
【答案】；
【解析】解：∵CD⊥AB，∴且，∴sin∠A=sin∠BCD，∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=BD?AD=4，∴CD=2，∴．
12.（浦東南片2019期中22）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是邊AB上一點，且tan∠BCD=
（1）試求的值；
（2）試求△BCD的面積.
【答案】（1）；（2）；
【解析】解：（1）作，垂足為H， ∵,∴,在中，,∴.(2)作,垂足為E,在中,，令， 則， 又在中，，則， 于是,即，解得， ∴.
13.（浦東四署2019期中22）如圖，在中，，點D是BC邊上的一點，，，．
（1）求AC和AB的長；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）；
【解析】解：（1）∵在Rt△ACD中，cs∠ADC==，CD=6，∴AD=10，∴在Rt△ACD中，AC==8.又∵在Rt△ABC中，==，∴BC=12， ∴AB==4. （2）過點D作DH⊥AB于點H，∴S△ABD=AB·DH=BD·AC，其中AB=4，BD=BC-CD=6,AC=8,∴DH==,∴在Rt△ADH中，sin∠BAD==.
14.（川中南2019期中23）如圖，在中，已知點是邊上的點，
(1)求的長;
(2)求的值.

【答案】（1）5；（2）；
【解析】（1）解：過點A作, 在中，,∴,由勾股定理得：,在中， ,∴,∴,,;
(2)解：設 ，則, 在中，由勾股定理得：,
得：,,在中, .
15.（黃浦2020一模21）某數(shù)學小組在郊外的水平空地上對無人機進行測高實驗．如圖10，兩臺測角儀分別放在A、B位置，且離地面高均為1米（即米），兩臺測角儀相距50米（即AB=50米）．在某一時刻無人機位于點C (點C與點A、B在同一平面內），A處測得其仰角為，B處測得其仰角為．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
（1）求該時刻無人機的離地高度；（單位：米，結果保留整數(shù)）
（2）無人機沿水平方向向左飛行2秒后到達點F（點F與點A、B、C在同一平面內），此時于A處測得無人機的仰角為，求無人機水平飛行的平均速度．（單位：米/秒，結果保留整數(shù)）
【答案】
【解析】解：（1）如圖，過點C作，垂足為點H．∵， ∴．設，則．∵在Rt△ACH中，， ∴．∴．解得：,∴ ; 答：計算得到的無人機的高約為19m．（2）過點F作，垂足為點G．在Rt△AGF中， ．∴．又．
∴ ，或答：計算得到的無人機的平均速度約為5米/秒或26米/秒．
16.（靜安2020一模22）如圖，在東西方向的海岸線l上有長為300米的碼頭AB，在碼頭的最西端A處測得輪船M在它的北偏東45°方向上；同一時刻，在A點正東方向距離100米的C處測得輪船M在北偏東22°方向上．
（1）求輪船M到海岸線l的距離；（結果精確到0.01米）
（2）如果輪船M沿著南偏東30°的方向航行，那么該輪船能否行至碼頭AB靠岸？請說明理由．
（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.375，cs22°≈0.927，tan22°≈0.404，≈1.732．）
【答案】（1）167.79；（2）能.理由見解析.
【解析】解：（1）過點M作MD⊥AC交AC的延長線于D，設DM=x．∵在Rt△CDM中，CD = DM·tan∠CMD= x·tan22°，又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，∴AD=DM=x，∵AD=AC+CD=100+ x·tan22°，∴100+ x·tan22°=x． ∴（米）．答：輪船M到海岸線l的距離約為167.79米． （2）作∠DMF=30°，交l于點F．在Rt△DMF中，有：DF= DM·tan∠FMD= DM·tan30°=DM≈≈96.87米．∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈16779+96.87=264.66

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