滬教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)考點(diǎn)講練第09講直線與圓的位置關(guān)系（4大考點(diǎn)）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：
①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn)．
②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．
③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．
（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．
①直線l和⊙O相交?d＜r
②直線l和⊙O相切?d＝r
③直線l和⊙O相離?d＞r．
二．切線的性質(zhì)
（1）切線的性質(zhì)
①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．
③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．
（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：
如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用
運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問題．
三．切線的判定
（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：
①切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．
②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來的．
③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡(jiǎn)單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．
四．切線的判定與性質(zhì)
（1）切線的性質(zhì)
①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．
③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．
（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
（3）常見的輔助線的：
①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；
②有切線時(shí)，常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑”．
考點(diǎn)精講
一．直線與圓的位置關(guān)系（共12小題）
1．（2022?虹口區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE，點(diǎn)O是線段AE
上一點(diǎn)，⊙O的半徑為1，如果⊙O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點(diǎn)，那么線段AO長的取值范圍是＜AO＜．
【分析】根據(jù)題意，需要分⊙O分別與邊AB、BE相切兩種情況下，計(jì)算出AO長度即可解答．
【解答】解：設(shè)⊙O與AB相切于點(diǎn)F，連接OF，OF＝1，
∵BE＝BC＝6＝3，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝5，
△ABE中，∵AB＞BE，
∴∠BAE＜∠BEá
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＜∠DAE，
∵∠AFO＝∠ABE＝90°，∠FAO＝∠BAE，
∴△AFO∽△ABE，
∴＝，即AO＝＝＝，
∵∠DAE＞∠BAE，
∴若⊙O與AD相切時(shí)，和AB一定相交；
若⊙O與AB相切時(shí)，和AD一定相離．
同理當(dāng)⊙O與BC相切于點(diǎn)M時(shí)，連接OM，OM＝1，計(jì)算得EO＝，
∴此時(shí)AO＝5﹣EO＝5﹣＝，
∴當(dāng)＜AO＜時(shí)，⊙O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點(diǎn)，
故答案為：＜AO＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是分兩種情況計(jì)算．
2．（2022?金山區(qū)二模）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，），圓P的半徑為2，下列說法正確的是（）
A．圓P與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)公共點(diǎn)
B．圓P與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)
C．圓P與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn)
D．圓P與x軸、y軸都沒有公共點(diǎn)
【分析】點(diǎn)P到x軸的距離是，到y(tǒng)軸的距離為2，圓P的半徑是2，所以可判斷圓P與x軸相交，與y軸相切，從而確定答案即可．
【解答】解：∵P（2，），圓P的半徑為2，
∴以P為圓心，以2為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是相交，與y軸的位置關(guān)系是相切，
∴該圓與x軸的交點(diǎn)有2個(gè)，與y軸的交點(diǎn)有1個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線和圓的位置關(guān)系，一般是利用圓心到直線的距離與半徑比較來判斷．若圓心到直線的距離是d，半徑是r，則①d＞r，直線和圓相離，沒有交點(diǎn)；②d＝r，直線和圓相切，有一個(gè)交點(diǎn)；③d＜r，直線和圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．
3．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，那么以點(diǎn)C為圓心、DC長為半徑的圓C和以點(diǎn)E為圓心、EB長為半徑的圓E的位置關(guān)系是（）
A．外離B．外切C．相交D．不能確定
【分析】連接CE，可知CD＝2，易證△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可知DE和BE的值，根據(jù)勾股定理可求CE的值，然后比較CD+BE與CE即可判斷．
【解答】解：連接CE，如圖所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝3，
根據(jù)勾股定理，得AB＝，
∵AD＝2CD，且AC＝6，
∴CD＝2，AD＝4，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴DE＝2，AE＝，
∴BE＝，
∵DE∥BC，且∠ACB＝90°，
∴∠EDC＝90°，
根據(jù)勾股定理，得CE＝，
∵CD+BE＝2+＞，
∴以點(diǎn)C為圓心、DC長為半徑的圓C和以點(diǎn)E為圓心、EB長為半徑的圓E的位置關(guān)系是相交，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等，熟練掌握判斷兩圓位置關(guān)系的方法是解題的關(guān)鍵．
4．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)，那么⊙C的半徑r的取值范圍是（）
A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出相切時(shí)有一交點(diǎn)，再結(jié)合圖形得出另一種有一個(gè)交點(diǎn)的情況，即可得出答案．
【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴AB＝5，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，d＝r，圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝，
當(dāng)直線與圓如圖所示也可以有交點(diǎn)，
∴≤r≤4．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，從而得出答案，此題比較容易漏解．
5．（2022春?普陀區(qū)期中）已知在等邊△ABC中，AB＝2，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與邊AB有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么⊙C的半徑是．
【分析】設(shè)⊙C與AB的交點(diǎn)為D，連接CD，根據(jù)切線的定義得到AB與⊙C相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CD⊥AB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝BC＝AB＝2，∠ACD＝ACB30°，于是得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)⊙C與AB的交點(diǎn)為D，連接CD，
∵以點(diǎn)C為圓心的圓與邊AB有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴AB與⊙C相切，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC＝AB＝2，∠ACD＝ACB＝30°，
∴CD＝AC＝，
即⊙C的半徑是
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2022?寶山區(qū)二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝4，AD＝2，ctC＝，圓O是以AB為直徑的圓．如果以點(diǎn)C為圓心作圓C與直線AD相交，與圓O沒有公共點(diǎn)，那么圓C的半徑長可以是（）
A．9B．C．5D．
【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出FC，進(jìn)而求出BC，再根據(jù)勾股定理求出兩個(gè)圓心之間的距離OC，由⊙C與直線AD相交，⊙C與⊙O沒有公共點(diǎn)，確定⊙C半徑的取值范圍，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：如圖，連接OC交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則DF＝AB＝4，BF＝AD＝2，
在Rt△DCF中，DF＝4，ctC＝，
∴FC＝ctC?DF＝，
∴BC＝BF+FC＝3，
在Rt△BOC中，OC＝＝＝7，
由于⊙C與直線AD相交，因此⊙C的半徑要大于4，
又⊙C與⊙O沒有公共點(diǎn)，因此⊙C與⊙O外離或內(nèi)含，
當(dāng)⊙C與⊙O外離時(shí)，⊙C的半徑要小于CE＝7﹣2＝5，此時(shí)⊙C的半徑4＜r＜5；
當(dāng)⊙C與⊙O內(nèi)含時(shí)，⊙C的半徑要大于7+2＝9，此時(shí)⊙C的半徑r＞9；
所以⊙C的半徑為4＜r＜5或r＞9，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系，掌握勾股定理，圓與圓的位置關(guān)系的判定方法是正確解答的前提．
7．（2022春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A與點(diǎn)B，如果⊙O的半徑為6cm，線段OA＝10cm，線段OB＝6cm，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）
A．相離B．相交C．相切D．相交或相切
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵⊙O的半徑為6cm，線段OA＝10cm，線段OB＝6cm，
即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，
∴點(diǎn)A在⊙O外．點(diǎn)B在⊙O上，
∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
8．（2022?青浦區(qū)模擬）在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝4，AD＝1（如圖）．點(diǎn)O是邊CD上一點(diǎn)，如果以O(shè)為圓心，OD為半徑的圓與邊BC有交點(diǎn)，那么OD的取值范圍是（）
A．2≤OD≤5B．≤OD≤
C．≤OD≤D．≤OD≤
【分析】分別畫出半徑最小和最大時(shí)的圖形，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系以及切線的性質(zhì)列方程求解即可．
【解答】解：如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，則AD＝BH＝1，AB＝DH＝4，HC＝4﹣1＝3，
在Rt△DHC中，CD＝＝5，
當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，此時(shí)⊙O與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)半徑最小，
設(shè)OD＝OE＝x，則OC＝5﹣x，
在Rt△COE中，sinC＝＝＝，
∴OE＝（5﹣x），
由OD＝OE得，x＝（5﹣x），
解得x＝；
如圖2，當(dāng)以O(shè)D為半徑的⊙O過點(diǎn)B時(shí)，半徑最大，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，
設(shè)OD＝OB＝y(tǒng)，則OC＝5﹣y，
在Rt△COF中，sinC＝＝＝，
∴OF＝（5﹣y）＝4﹣y，F(xiàn)C＝（5﹣y）＝3﹣y，
∴BF＝4﹣FC＝1+y，
在Rt△BOF中，由勾股定理得，
BF2+OF2＝OB2，
即（1+y）2+（4﹣y）2＝y(tǒng)2，
解得y＝，即⊙O的最大半徑為，
所以當(dāng)以O(shè)為圓心，OD為半徑的圓與邊BC有交點(diǎn)，那么OD的取值范圍為≤OD≤，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直角梯形以及直角三角形的邊角關(guān)系，畫出半徑最小和最大時(shí)的圖形是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．
9．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如果x的取值范圍是a＜x＜b，我們就將b與a的差叫做x的變化區(qū)間長度．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O，且AC＝16，BD＝12．如果以O(shè)為圓心，r為半徑的⊙O與菱形ABCD的各邊有8個(gè)公共點(diǎn)，那么r的變化區(qū)間長度是（）
A．B．C．D．
【分析】利用題意求出r變化的臨界值，根據(jù)變化區(qū)間長度的定義即可求解．
【解答】解：四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝8，OB＝BD＝6，
∴AB＝＝10．
過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，
∵OA?OB＝AB?OH，
∴OA?OB＝AB?OH，
∴OH＝．
∵菱形的中心O到各邊的距離都相等，
∴以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫圓，則該圓與各邊都相切，
此時(shí)，以O(shè)為圓心，為半徑的⊙O與菱形ABCD的各邊有4個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)以點(diǎn)O為圓心，6為半徑畫圓，該圓與菱形ABCD的各邊有6個(gè)公共點(diǎn)，
綜上如果以O(shè)為圓心，r為半徑的⊙O與菱形ABCD的各邊有8個(gè)公共點(diǎn)，
則＜r＜6，
∴r的變化區(qū)間長度是6﹣＝，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定與性質(zhì)，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，勾股定理，菱形的性質(zhì)，求得r變化的臨界值是解題的關(guān)鍵．
10．（2022春?青浦區(qū)期中）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E是AD上一定點(diǎn)，AB＝3，BC＝6，AD＝8，AE＝2．點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點(diǎn)，且⊙P與線段AD只有一個(gè)交點(diǎn)，則PC長度的取值范圍是＜PC≤4或PC＝3 ．
【分析】根據(jù)題意可得PC的最小值為圓P與AD相切，切點(diǎn)為M；PC最大值為圓P′與圓E內(nèi)切，切點(diǎn)為Q，由直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系即可解決問題．
【解答】解：根據(jù)題意可知：PC的最小值為圓P與AD相切，切點(diǎn)為M，如圖所示：
∴PM⊥AD，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
∴四邊形ABPM是矩形，
∴PM＝AB＝PC＝3，
PC最大值為圓P′與圓E內(nèi)切，切點(diǎn)為Q，
∴P′C＝P′Q＝P′E+EQ＝3+1＝4，
當(dāng)PC＝PA時(shí)，此時(shí)圓P與線段AD開始有2個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，
設(shè)PC＝PA＝x，則BP＝BC﹣PC＝6﹣x，AB＝3，
∴（6﹣x）2+9＝x2，
∴x＝，
則PC長度的取值范圍是＜PC≤4或PC＝3．
故答案為：＜PC≤4或PC＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直角梯形，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系．
11．（2020?上海）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，圓O的半徑為2，如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點(diǎn)，那么線段AO長的取值范圍是＜AO＜．
【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝10，如圖1，設(shè)⊙O與AD邊相切于E，連接OE，如圖2，設(shè)⊙O與BC邊相切于F，連接OF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
如圖1，設(shè)⊙O與AD邊相切于E，連接OE，
則OE⊥AD，
∴OE∥CD，
∴△AOE∽△ACD，
∴，
∴＝，
∴AO＝，
如圖2，設(shè)⊙O與BC邊相切于F，連接OF，
則OF⊥BC，
∴OF∥AB，
∴△COF∽△CAB，
∴＝，
∴＝，
∴OC＝，
∴AO＝，
∴如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點(diǎn)，那么線段AO長的取值范圍是＜AO＜，
故答案為：＜AO＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
12．（2019?楊浦區(qū)二模）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，DC⊥BC，且AD＝1，DC＝3，點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，BP為半徑的圓交邊BC于點(diǎn)Q．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)BQ的長為時(shí)，請(qǐng)通過計(jì)算說明圓P與直線DC的位置關(guān)系．
【分析】（1）過A作AE⊥BC于E，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CE＝AD＝1，AE＝CD＝3，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）過P作PF⊥BQ于F，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PB＝，得到PA＝AB﹣PB＝，過P作PG⊥CD于G交AE于M，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PM＝，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）過A作AE⊥BC于E，
則四邊形AECD是矩形，
∴CE＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∵AB＝BC，
∴BE＝AB﹣1，
在Rt△ABE中，∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB2＝32+（AB﹣1）2，
解得：AB＝5；
（2）過P作PF⊥BQ于F，
∴BF＝BQ＝，
∴△PBF∽△ABE，
∴＝，
∴，
∴PB＝，
∴PA＝AB﹣PB＝，
過P作PG⊥CD于G交AE于M，
∴GM＝AD＝1，PG∥BC，
∴△APM∽△ABE，
∴＝，
∴＝，
∴PM＝，
∴PG＝PM+MG＝＝PB，
∴圓P與直線DC相切．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
二．切線的性質(zhì)（共5小題）
13．（2022春?長寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AB是半圓O的直徑，AC是弦，將圖形ABC沿直線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，過點(diǎn)D作DE∥AB．如果DE與圓O相切，那么∠BAC的度數(shù)等于 15° ．
【分析】過O點(diǎn)作OH⊥DE于H點(diǎn)，過D點(diǎn)作DF⊥AB于F點(diǎn)，如圖，利用切線的性質(zhì)得到OH為⊙O的半徑，再證明四邊形OHDF為矩形，所以DF＝OH，接著利用折疊的性質(zhì)得到AD＝AB，∠BAC＝∠DAC，然后根據(jù)正弦的定義求出∠DAF＝30°，從而得到∠BAC的度數(shù)．
【解答】解：過O點(diǎn)作OH⊥DE于H點(diǎn)，過D點(diǎn)作DF⊥AB于F點(diǎn)，如圖，
∵DE與圓O相切，
∴OH為⊙O的半徑，
∵DE∥AB，
∴OH⊥AB，
∴四邊形OHDF為矩形，
∴DF＝OH，
∵圖形ABC沿直線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，
∴AD＝AB，∠BAC＝∠DAC，
在Rt△DAF中，∵sin∠DAF＝＝＝，
∴∠DAF＝30°，
∴∠BAC＝∠DAF＝15°．
故答案為：15°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理、折疊的性質(zhì)和解直角三角形．
14．（2022?黃浦區(qū)校級(jí)二模）已知點(diǎn)P是直線y＝2上一點(diǎn)，⊙P與y軸相切，且與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，如果AB＝2，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣，2）．
【分析】根據(jù)題意作出圖形，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，然后由垂徑定理及勾股定理可得圓的半徑，由此可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，畫出圖形如下：
∴ON＝2，AB＝2，
過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，
∴PM＝2，AM＝BM＝1，
在Rt△PBM中，PB＝＝＝，
∵⊙P與y軸相切，
∴PN⊥y軸，PN＝PB＝，
∵⊙P與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣，2）．
故答案為：（﹣，2）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是切線的性質(zhì)、垂徑定理及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確作出圖形是解決此題的關(guān)鍵．
15．（2022?上海）定義：有一個(gè)圓分別和一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這個(gè)圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個(gè)斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為 2﹣ ．
【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，利用圓周角定理、直角三角形的邊角關(guān)系以及三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，∵圓與三角形的三條邊都有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，
∴圓心O就是三角形的內(nèi)心，
∴當(dāng)⊙O過點(diǎn)C時(shí)，且在等腰直角三角形ABC的三邊上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此時(shí)⊙O最大，
過點(diǎn)O分別作弦CG、CF、DE的垂線，垂足分別為P、N、M，連接OC、OA、OB，
∵CG＝CF＝DE，
∴OP＝OM＝ON，
∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝BC，
∴AC＝BC＝×2＝，
由S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，
∴AC?OP+BC?ON+AB?OM＝S△ABC＝AC?BC，
設(shè)OM＝x，則OP＝ON＝x，
∴x+x+2x＝×，
解得x＝﹣1，
即OP＝ON＝﹣1，
在Rt△CON中，OC＝ON＝2﹣，
故答案為：2﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系以及三角形面積的計(jì)算，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及三角形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提，畫出符合題意的圖形是正確解答的關(guān)鍵．
16．（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，在等邊△ABC中，AB＝2，如果以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相切，那么⊙A的半徑r的值是 3﹣或3+ ．
【分析】分兩圓外切和兩圓內(nèi)切兩種情形討論解答：利用相切時(shí)圓心距與利用半徑的關(guān)系列出方程即可求解．
【解答】解：連接AD，如圖，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AB＝AC＝2，∠B＝60°．
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD＝，AD⊥BC，
∴⊙D的半徑為，
AD＝AB?sin60°＝3．
①以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相外切時(shí)，
∴r+＝AD＝3，
∴r＝3﹣．
②以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相內(nèi)切時(shí)，
∴r﹣＝AD＝3，
∴r＝3+．
綜上，如果以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相切，那么⊙A的半徑r的值是3﹣或3+．
故答案為：3﹣或3+．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，兩圓相切的性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．
17．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，⊙O是以BC為直徑的圓，如果⊙O與⊙A相切，那么⊙A的半徑長為 ±2 ．
【分析】分兩種情況：①如圖，⊙A與⊙O內(nèi)切，連接AO并延長交⊙A于E，根據(jù)AE＝AO+OE可得結(jié)論；②如圖，⊙A與⊙O外切時(shí)，連接AO交⊙A于E，同理根據(jù)AE＝OA﹣OE可得結(jié)論．
【解答】解：有兩種情況：
①如圖1，⊙A與⊙O內(nèi)切時(shí)，連接AO并延長交⊙O于E，
∵⊙O與⊙A相內(nèi)切，
∴E為切點(diǎn)，
∴OE＝BC＝2，
∵∠ACB＝90°，
根據(jù)勾股定理得：OA＝＝＝，
∴AE＝OA+OE＝+2；
即⊙A的半徑為+2；
②如圖2，⊙A與⊙O外切時(shí)，連接AO交⊙O于E，
同理得AE＝AO﹣OE＝﹣2，
即⊙A的半徑為﹣2，
綜上，⊙A的半徑為+2或﹣2．
故答案為：±2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相切兩圓的性質(zhì)、勾股定理；通過作輔助線得出AE是⊙A的半徑是解決問題的關(guān)鍵．
三．切線的判定（共3小題）
18．（2019秋?金山區(qū)期末）已知在矩形ABCD中，AB＝5，對(duì)角線AC＝13．⊙C的半徑長為12，下列說法正確的是（）
A．⊙C與直線AB相交B．⊙C與直線AD相切
C．點(diǎn)A在⊙C上D．點(diǎn)D在⊙C內(nèi)
【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及直線和圓的位置關(guān)系判斷即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，
∴BC＝＝＝12，
∵⊙C的半徑長為12，
∴⊙C與直線AB相切，
故A選項(xiàng)不正確，
∵CD＝AB＝5＜12，
∴⊙C與直線AD相交，
故B選項(xiàng)不正確，
∵AC＝13＞12，
∴點(diǎn)A在⊙C外，
故C選項(xiàng)不正確，
∵CD＝5＜12，
∴點(diǎn)D在⊙C內(nèi)，
故D選項(xiàng)正確，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握切線的判定及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
19．（2019秋?嘉定區(qū)期末）下列四個(gè)選項(xiàng)中的表述，正確的是（）
A．經(jīng)過半徑上一點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
B．經(jīng)過半徑的端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
C．經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
D．經(jīng)過一條弦的外端且垂直于這條弦的直線是圓的切線
【分析】根據(jù)切線的判定對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案．
【解答】解：由切線的判定定理可知：經(jīng)過半徑外端點(diǎn)且與這條半徑垂直的直線是圓的切線，
故A，B，D選項(xiàng)不正確，C選項(xiàng)正確，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓中切線的判定，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
20．（2018秋?湖里區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D．
（1）求證：BC是⊙O切線；
（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的長．
【分析】（1）要證BC是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥BC即可．
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知CD＝DE＝3，由勾股定理得到BE的長，再通過證明△BDE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AC的長．
【解答】（1）證明：連接OD；
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1＝∠3．
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠2．
∴∠2＝∠3．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠ACB＝90°．
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O切線．
（2）解：過點(diǎn)D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴CD＝DE＝3．
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，
由勾股定理得：BE＝＝4，
∵∠BED＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC．
∴．
∴．
∴AC＝6．
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合性較強(qiáng)，既考查了切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理得到BE的長，及相似三角形的性質(zhì)．
四．切線的判定與性質(zhì)（共3小題）
21．（2017?閔行區(qū)二模）下列關(guān)于圓的切線的說法正確的是（）
A．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線
B．與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的射線是圓的切線
C．經(jīng)過半徑的一端且垂直于半徑的直線是圓的切線
D．如果圓心到一條直線的距離等于半徑長，那么這條直線是圓的切線
【分析】根據(jù)切線的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線，故原命題錯(cuò)誤；
B、與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線，故原命題錯(cuò)誤；
C、經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線，故原命題錯(cuò)誤；
D、如果圓心到一條直線的距離等于半徑長，那么這條直線是圓的切線，正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)定理熟練掌握切線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
22．（2012?上海模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)（不與A，B重合），連接AC，BC，過點(diǎn)O作OD∥AC交BC于點(diǎn)D，在OD的延長線上取一點(diǎn)E，連接EB，使∠OEB＝∠ABC．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若OA＝10，BC＝16，求BE的長．
【分析】（1）首先由AB是半圓O的直徑可以得到∠ACB＝90°，由OD∥AC利用平行線的性質(zhì)可以得到∠EDB＝90°，而∠OEB＝∠ABC，由此可以證明∠ABC+∠DBE＝90°，最后利用切線的判定即可證明題目的結(jié)論；
（2）首先利用勾股定理可以求出線段BC的長度，同時(shí)可以利用已知條件證明△ACB∽△OBE，然后利用相似三角形的性質(zhì)和已知條件即可求解．
【解答】（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠OEB+∠DBE＝90°，
而∠OEB＝∠ABC，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠ABE＝90°，∵OB為半徑，
∴BE是⊙O的切線；
（2）解：由（1）知道△ABC是直角三角形，
∴AC＝＝12，
∵∠OEB＝∠ABC，∠OBE＝∠C＝90°，
∴△ACB∽△OBE，
∴OB：AC＝BE：BC，
而OA＝10，BC＝16，
∴10：12＝BE：16，
∴BE＝．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓的切線的性質(zhì)與判定，也利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決問題，解題時(shí)首先利用已知條件證明切線，然后利用相似三角形的性質(zhì)解決問題．
23．（2012?靜安區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC為直徑作圓O，與BC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作ED⊥AB，垂足為點(diǎn)D，
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）過O點(diǎn)作EC的垂線，垂足為H，求證：EH?BE＝BD?CO．
【分析】（1）連接OE，根據(jù)等邊對(duì)等角，由AB＝AC得到∠B＝∠C，再由半徑OC與OE相等得到∠C＝∠CEO，利用等量代換得到∠B＝∠CEO，由同位角相等兩直線平行，得到AB與EO平行，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，由角BDE為直角得到角DEO為直角，又OE為圓O的半徑，根據(jù)切線的判斷方法得到DE為⊙O的切線；
（2）根據(jù)垂徑定理，由OH與BC垂直，得到H為EC中點(diǎn)即CH與EH相等，然后由兩對(duì)角相等的兩三角形相似得到△BDE∽△CHO，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，把CH換為EH即可得證．
【解答】（1）證明：連接OE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（1分）
∵OC＝OE，∴∠C＝∠CEO，（1分）
∴∠B＝∠CEO，∴AB∥EO，（1分）
∵DE⊥AB，∴EO⊥DE，（1分）
∵EO是圓O的半徑，
∴D為⊙O的切線．（1分）
（2）解：∵OH⊥BC，∴EH＝HC，∠OHC＝90°（1分）
∵∠B＝∠C，∠BDE＝∠CHO＝90°
∴△BDE∽△CHO（2分），
∴（1分）
∵EH＝HC，
∴EH?BE＝BD?CO．（1分）
【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)和判定、垂徑定理及相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用．證明切線的方法有兩種：有連接圓心與這點(diǎn)，證明夾角為直角；無點(diǎn)作垂線，證明垂線段長等于半徑．
1．（2021·上海金山·一模）如圖，已知中，，，，如果以點(diǎn)為圓心的圓與斜邊有公共點(diǎn)，那么⊙的半徑的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=13，再利用面積法計(jì)算出然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，以C為圓心、r為半徑作的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)．
【詳解】解：作CD⊥AB于D，如圖，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴
∴
∴以C為圓心、r為半徑作的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)時(shí)，r的取值范圍為
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d：直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．
2．（2021·上海楊浦·二模）下列命題中，真命題是（）
A．平分弦的直徑垂直于弦
B．垂直平分弦的直線平分這條弦所對(duì)的弧
C．在同圓中，相等的弦所對(duì)的弧也相等
D．經(jīng)過半徑一端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
【答案】B
【分析】根據(jù)圓的有關(guān)概念和性質(zhì)、垂徑定理進(jìn)行判斷解答．
【詳解】解：A、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，原命題是假命題；
B、垂直平分弦的直線平分這條弦所對(duì)的弧，是真命題；
C、在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧也相等，原命題是假命題；
D、經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，原命題是假命題；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)概念和性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)．
3．（2021·上海崇明·二模）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A與點(diǎn)B，如果O的半徑為3cm，線段OA＝5cm，線段OB＝3cm，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）
A．相離B．相交C．相切D．相交或相切
【答案】D
【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑大小的關(guān)系進(jìn)行判斷，即當(dāng)圓心到直線的距離小于半徑時(shí)，直線與圓相交；圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線與圓相切；圓心到直線的距離大于半徑時(shí)，直線與圓相離．
【詳解】∵⊙O的半徑為3cm，線段OA＝5cm，線段OB＝3cm
∴點(diǎn)A在以O(shè)為圓心5cm長為半徑的圓上，點(diǎn)B在以O(shè)圓心3cm長為半徑的⊙O上
當(dāng)AB⊥OB時(shí)，如左圖所示，由OB=3cm知，直線AB與⊙O相切；
當(dāng)AB與OB不垂直時(shí)，如右圖所示，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則OD2，
所以圓P與軸的位置關(guān)系是相離，
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能熟記直線與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
5．（2021·上?！ざ＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，點(diǎn)O在邊AB上，且BO＝2OA．以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，那么下列各值中，半徑r不可以取的是（）
A．6B．10C．15D．16
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股定理得到，求得OA＝10，OB＝20，過O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，
∴，
∵BO＝2OA，
∴OA＝10，OB＝20，
過O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，
∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，
∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，
∴，，
∴，，
∴OE＝16，OD＝6，
當(dāng)⊙O過點(diǎn)C時(shí)，連接OC，根據(jù)勾股定理得，
如圖，∵以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，
∴r＝6或10或16或，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
6．（2014·上海金山·九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-（x-2）2+1的頂點(diǎn)是點(diǎn)P，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)Q，以點(diǎn)P為圓心，PQ長為半徑畫⊙P，那么下列判斷正確的是（）
A．x軸與⊙P相離；B．x軸與⊙P相切；C．y軸與⊙P與相切；D．y軸與⊙P相交．
【答案】B
試題分析：根據(jù)拋物線解析式寫出頂點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后求出PQ的長，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解答．
由題意得，頂點(diǎn)P（2，1），Q（2，0），
所以PQ=1，
即⊙P的半徑為1，
∵點(diǎn)P到x軸的距離為1，到y(tǒng)軸的距離為2，
∴x軸與⊙P相切，y軸與⊙P相離．
故選B．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．
二、填空題
7．（2021·上海寶山·三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作⊙A，將⊙A繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜90°），若⊙A與直線BC相切，則∠α的余弦值為_______．
【答案】
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠A′DC＝90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到CA′＝CA＝3，根據(jù)余弦的定義計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：設(shè)將⊙A繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A至點(diǎn)A′時(shí)，⊙A′與直線BC相切相切于點(diǎn)D，
連接A′D，則∠A′DC＝90°，A′D＝1，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CA′＝CA＝3，
∴cs∠CA′D＝，
∵AC∥A′D，
∴α＝∠CA′D，
∴∠α的余弦值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)，直線與圓位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，平行線性質(zhì)，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)，直線與圓位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8．（2020·上海閔行·九年級(jí)期末）已知在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=3，BC=4，⊙C與斜邊AB相切，那么⊙C的半徑為______.
【答案】
【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AB，然后根據(jù)圓相切的性質(zhì)得出CD⊥AB，CD即為⊙C的半徑，然后根據(jù)三角形面積列出等式，即可解得CD.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為D，連接CD，如圖所示
∵∠C=90o，AC=3，BC=4，
∴
又∵⊙C與斜邊AB相切，
∴CD⊥AB，CD即為⊙C的半徑
∴
∴
故答案為.
【點(diǎn)睛】此題主要考查圓相切的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握，即可解題.
9．（2019·上海嘉定·九年級(jí)期末）如圖，在圓中，是弦，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，平分，聯(lián)結(jié)、，那么__________度．
【答案】120
【分析】連接AC，證明△AOC是等邊三角形，得出的度數(shù)．
【詳解】連接AC
∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)
∴
∵ ，
∴AB平分OC
∴AB是線段OC的垂直平分線
∴
∵
∴
∴△AOC是等邊三角形
∴
∴
∴
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定定理，從而得出目標(biāo)角的度數(shù)．
10．（2019·上海·九年級(jí)期末）已知Rt△ABC中，，，，如果以點(diǎn)為圓心的圓與斜邊有唯一的公共點(diǎn)，那么的半徑的取值范圍為____.
【答案】或
【分析】因?yàn)橐箞A與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以該圓和斜邊相切或和斜邊相交，但只有一個(gè)交點(diǎn)在斜邊上．若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．
【詳解】根據(jù)勾股定理求得BC==6，
當(dāng)圓和斜邊相切時(shí)，則半徑即是斜邊上的高，等于；
當(dāng)圓和斜邊相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)在斜邊上時(shí)，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長直角邊，則6＜r≤8，
故半徑r的取值范圍是r=4.8或6＜r≤8，
故答案為r=4.8或6＜r≤8．
【點(diǎn)睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，此題注意考慮兩種情況，只需保證圓和斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)即可．
11．（2018·上海上?！ぞ拍昙?jí)期中）已知在中，，，如果以點(diǎn)為圓心的圓與斜邊有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么的半徑是________
【答案】
【分析】由直線與圓的位置關(guān)系可知，圓心C到AB的距離等于的半徑即可解答．
【詳解】解：在中，，，
∴AB=，
以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
，
S△ABC=BCAC=ABCD
，
即的半徑是
故答案為．
【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系解答．
12．（2018·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)A作AP的垂線交射線PB于點(diǎn)C，當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，線段BC的長為______．
【答案】8,,
【分析】分3種情況分析：（1）當(dāng)AB=AP時(shí)，如圖（1），作OH⊥AB于點(diǎn)H，延長AO交PB于點(diǎn)G；sin∠OAH=sin∠PAG，，PG=，∠AOH=∠P，cs∠AOH=cs∠P，，BC=PC－2PG；（2）當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖（2），延長PO交AB于點(diǎn)K，類似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，cs∠APC=cs∠AOK，，，BC=PC－PB=；（3）當(dāng)BA=BP時(shí)，如圖（3），∠C=∠CAB，BC=AB．
【詳解】解：（1）當(dāng)AB=AP時(shí)，如圖（1），作OH⊥AB于點(diǎn)H，延長AO交PB于點(diǎn)G；
∵AB=AP，
∴，
∵AO過圓心，
∴AG⊥PB，
∴PG=BG，∠OAH=∠PAG，
∵OH⊥AB，
∴∠AOH=∠BOH，AH=BH=4，
∵∠AOB=2∠P，
∴∠AOH=∠P，
∵OA=5，AH=4，
∴OH=3，
∵∠OAH=∠PAG，
∴sin∠OAH=sin∠PAG，
∴，
∴PG=，
∵∠AOH=∠P，
∴cs∠AOH=cs∠P，，
∴，
∴BC=PC－2PG=；
（2）當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖（2），延長PO交AB于點(diǎn)K，類似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，
∴PB=PA==，
∵∠APC=∠AOK，∴cs∠APC=cs∠AOK，
∴，
∴，
∴BC=PC－PB=；
（3）當(dāng)BA=BP時(shí)，如圖（3），
∵BA=BP，
∴∠P=∠BAP，
∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°，
∴∠C=∠CAB，
∴BC=AB=8．
故答案為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形．
三、解答題
13．（2018·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，⊙O的直徑為，點(diǎn)在圓周上（異于），是的平分線，.
（1）求證：直線是⊙O的切線；
（2）若=3，，求的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
試題分析：（1）連接OC，證OC⊥CD即可；利用角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，可證得∠OCA＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得證．
（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出∠ACB＝90°，根據(jù)勾股定理求出AC＝4，然后證出△ABC∽△ACD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式解答即可．
試題解析：
（1）證明：連接OC，
∵AC是∠DAB的角平分線，
∴∠DAC＝∠BAC，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切線；
（2）解：∵AB是⊙O直徑，C在⊙O上，
∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得AC＝4．
∵∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠D＝ 90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
解得：AD＝．
14．（2019·上海嘉定·九年級(jí)期末）如圖，在圓中，弦，點(diǎn)在圓上（與，不重合），聯(lián)結(jié)、，過點(diǎn)分別作，，垂足分別是點(diǎn)、．
（1）求線段的長；
（2）點(diǎn)到的距離為3，求圓的半徑．
【答案】（1）；（2）圓的半徑為5．
【分析】（1）利用中位線定理得出，從而得出DE的長．
（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)，求解出AH的值，再利用勾股定理，求出圓的半徑．
【詳解】解（1）∵經(jīng)過圓心，
∴
同理：
∴是的中位線
∴
∵
∴
（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)
∵經(jīng)過圓心
∴
∵
∴
在中，
∴
即圓的半徑為5．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理以及勾股定理的運(yùn)用，是較為典型的圓和三角形的例題．
15．（2020·上海青浦·二模）如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB＝6，點(diǎn)C在半圓O上．過點(diǎn)A作AD⊥OC，垂足為點(diǎn)D，AD的延長線與弦BC交于點(diǎn)E，與半圓O交于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合）．
（1）當(dāng)點(diǎn)F為的中點(diǎn)時(shí)，求弦BC的長；
（2）設(shè)OD＝x，＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)△AOD與△CDE相似時(shí)，求線段OD的長．
【答案】（1）3；（2）y＝；（3）
【分析】（1）連結(jié)OF，交BC于點(diǎn)H．得出∠BOF＝∠COF．則∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，可求出BH，BC的長；
（2）連結(jié)BF．證得OD∥BF，則，即，得出，則得出結(jié)論；
（3）分兩種情況：①當(dāng)∠DCE＝∠DOA時(shí)，AB∥CB，不符合題意，舍去，②當(dāng)∠DCE＝∠DAO時(shí)，連結(jié)OF，證得∠OAF＝30°，得出OD＝，則答案得出．
【詳解】
解：（1）如圖1，連結(jié)OF，交BC于點(diǎn)H．
∵F是中點(diǎn)，
∴OF⊥BC，BC＝2BH．
∴∠BOF＝∠COF．
∵OA＝OF，OC⊥AF，
∴∠AOC＝∠COF，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，
在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，
∵AB＝6，
∴OB＝3，
∴BH＝，
∴BC＝2BH＝3；
（2）如圖2，連結(jié)BF．
∵AF⊥OC，垂足為點(diǎn)D，
∴AD＝DF．
又∵OA＝OB，
∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．
∴，
∴，
即，
∴，
∴y＝．
（3）△AOD和△CDE相似，分兩種情況：①當(dāng)∠DCE＝∠DOA時(shí)，AB∥CB，不符合題意，舍去．
②當(dāng)∠DCE＝∠DAO時(shí)，連結(jié)OF．
∵OA＝OF，OB＝OC，
∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．
∵∠DCE＝∠DAO，
∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．
∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，
∴∠OAF＝30°，
∴OD＝．
即線段OD的長為．
【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造基本圖形解決問題．
16．（2019·上海長寧·二模）如圖1，在中，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），以點(diǎn)為圓心，為半徑作⊙交邊于另一點(diǎn)，，交邊于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；
（3）延長交的延長線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，若與相似，求線段的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或．
【分析】（1）首先得出∠BDE+∠PDA=90°，進(jìn)而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PA得出∠PDA=∠A進(jìn)而得出答案；
（2）由AD=y得到：BD=BA-AD=5-y．過點(diǎn)E作EH⊥BD垂足為點(diǎn)H，構(gòu)造Rt△EHB，所以，通過解Rt△ABC知：，易得答案；
（3）需要分類討論：①當(dāng)∠DBP=∠ADF時(shí)即；②當(dāng)∠DBP=∠F時(shí)，即，借助于方程求得AD的長度即可．
【詳解】解：（1）證明：∵ED⊥DP，
∴∠EDP=90°，
∴∠BDE+∠PDA=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠PAD=90°，
∵PD=PA，
∴∠PDA=∠PAD，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=DE；
（2）過點(diǎn)E作EH⊥BD垂足為點(diǎn)H，
由（1）知BE=DE，
∵AD=y，BD=BA-AD=5-y，
∴，
在Rt△EHB中，∠EHB=90°，
∴，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴，
，
∴．
（3）如圖，
設(shè)PD=a，則，，
在等腰△PDA中，，
易得：，
則在Rt△PDF中，∠PDF=90°，，
∴，，
①當(dāng)∠DBP=∠ADF時(shí)，即；
解得a=3，此時(shí)，
②當(dāng)∠DBP=∠F時(shí)，即，
解得，此時(shí)，
綜上所述，若△BDP與△DAF相似，線段AD的長為或．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)與判定以及勾股定理等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵．
17．（2020·上海嘉定·二模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，csB．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿著射線AC的方向以每秒1cm的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿著射線BA的方向以每秒2cm的速度移動(dòng)．已知點(diǎn)D和點(diǎn)E同時(shí)出發(fā)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．聯(lián)結(jié)BD．
當(dāng)AD=AB時(shí)，求tan∠ABD的值；
【分析】先根據(jù)三角函數(shù)定義可得BC＝4，由勾股定理計(jì)算AC＝3，最后證明∠ABD＝∠D，計(jì)算∠D的正切即可；
【詳解】（1）在△ABC中，
∵∠ACB=90°，AB=5，，
∴，
∴BC=AB?cs∠ABC=54，
∴，
當(dāng)AD=AB=5時(shí)，∠ABD=∠D，
∴CD=AD﹣AC=5﹣3=2，
在Rt△BCD中，，
∴tan∠ABD=tan∠D=2；
18．（2020·上海楊浦·二模）如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，點(diǎn)P是射線AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過P作PM⊥AB，垂足為點(diǎn)M，以M為圓心，MA長為半徑的⊙M與邊AB相交的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)N，點(diǎn)Q是邊BC上一點(diǎn)，且CQ＝2CP，聯(lián)結(jié)NQ．
（1）如果⊙M與直線BC相切，求⊙M的半徑長；
（2）如果點(diǎn)P在線段AC上，設(shè)線段AP＝x，線段NQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；
【答案】（1）；（2）（0＜x＜4）；（3）或．
【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求得，設(shè)⊙M的半徑長為R，則，過M作MH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到，最后根據(jù)⊙M與直線BC相切，即MA＝MH，即可求解；
（2）設(shè)AP＝x，得到CP＝4﹣x，CQ＝8﹣2x，BQ＝2x，過Q作QG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，根據(jù)三角函數(shù)可得，根據(jù)PM⊥AB，，得到，最后在Rt△QNG中，根據(jù)勾股定理即可求解；
【詳解】（1）解：如圖1，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，
∴
設(shè)⊙M的半徑長為R，則
過M作MH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，
∴MH∥AC，
∵M(jìn)H∥AC，
∴△BHM∽△BCA，
∴
∵⊙M與直線BC相切，
∴MA＝MH，
∴
∴，
即的半徑長為；
（2）如圖2，
∵AP＝x，
∴CP＝4﹣x，
∵CQ＝2CP，
∴CQ＝8﹣2x，
∴BQ＝BC﹣CQ＝8﹣（8﹣2x）＝2x，
過Q作QG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，
∵，
∴，
∴
同理：
∵PM⊥AB，
∴∠AMP＝90°，
∴
∵AP＝x，
∴
∴
在Rt△QNG中，根據(jù)勾股定理得，QN2＝NG2+QG2，
∴
∴（0＜x＜4）；

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