一．比例的性質(zhì)
（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項．
（2）常用的性質(zhì)有：
①內(nèi)項之積等于外項之積．若＝，則ad＝bc．
②合比性質(zhì)．若＝，則＝．
③分比性質(zhì)．若＝，則＝．
④合分比性質(zhì)．若＝，則＝．
⑤等比性質(zhì)．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．
二．比例線段
（1）對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．
三．黃金分割
（1）黃金分割的定義：
如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．
（2）黃金三角形：黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值．
黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：；②等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：．
（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長之比確切值為．
四．平行線分線段成比例
（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．
推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．
（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．
（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．
五．相似圖形
（1）相似圖形
我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形．
（2）相似圖形在現(xiàn)實生活中應用非常廣泛，對于相似圖形，應注意：
①相似圖形的形狀必須完全相同；
②相似圖形的大小不一定相同；
③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．
（3）相似三角形
對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．
六．相似多邊形的性質(zhì)
（1）如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形．
（2）相似多邊形對應邊的比叫做相似比．
（3）全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形．
（4）相似多邊形的性質(zhì)為：
①對應角相等；
②對應邊的比相等．
七．相似三角形的性質(zhì)
相似三角形的定義：如果兩個三角形的對應邊的比相等，對應角相等，那么這兩個三角形相似．
（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．
（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；
相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．
由三角形的面積公式和相似三角形對應線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．
八．相似三角形的判定
（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形．
（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；
（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；
（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
九．相似三角形的判定與性質(zhì)
（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．
十．相似三角形的應用
（1）利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度．
（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點應在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬度．
（3）借助標桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．
十一．直角三角形相似
Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，則有：①AD2＝BD?DC；
②AB2＝BD?BC；AC2＝CD?BC．
考點精講
一．比例的性質(zhì)（共3小題）
1．已知＝，那么下列等式中成立的是（ ）
A．2a＝3bB．＝C．＝D．＝
【分析】利用比例的基本性質(zhì)進行計算即可解答．
【解答】解：A．因為＝，所以3a＝2b，故A不符合題意；
B．因為＝，所以≠，故B不符合題意；
C．因為＝，所以＝，故C符合題意；
D．因為＝，所以＝﹣故D不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．已知x：y＝2：3，那么（x+y）：y＝ 5：3 ．
【分析】利用設k法進行計算即可．
【解答】解：∵x：y＝2：3，
∴設x＝2k，y＝3k，
∴＝＝＝，
故答案為：5：3．
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設k法是解題的關(guān)鍵．
3．已知＝，那么＝ ．
【分析】利用設k法解答即可．
【解答】解：∵＝，
∴設x＝4k，y＝3k，
∴＝＝＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設k法是解題的關(guān)鍵．
二．比例線段（共5小題）
4．下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（ ）
A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2，D．a(chǎn)＝2，，，
【分析】根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對選項一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合題意，
B.1×4≠2×3，故不符合題意，
C.≠2×3，故不符合題意，
D.，故符合題意，
故選：D．
【點評】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統(tǒng)一．
5．在比例尺為1：50的圖紙上，長度為10cm的線段實際長為（ ）
A．50cmB．500cmC．D．
【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實際距離，列比例式，根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可求得結(jié)果．
【解答】解：設長度為10cm的線段實際長為xcm，則：
＝，
解得，x＝500．
故選：B．
【點評】本題考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺定義列出方程是解題的關(guān)鍵．
6．在比例尺為1：5000的地圖上，如果A、B兩地的距離是10厘米，那么這兩地的實際距離是（ ）
A．50000米B．5000米C．500米D．50米
【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實際距離，列比例式即可求得甲乙兩地的實際距離．要注意統(tǒng)一單位．
【解答】解：設甲乙兩地的實際距離為x厘米，
根據(jù)題意得，1：5000＝10：x，
解得x＝50000，
50000厘米＝500米．
即甲乙兩地的實際距離為500米．
故選：C．
【點評】本題考查了比例線段，熟練運用比例尺進行計算，注意單位的轉(zhuǎn)換．
7．如果，且b是a和c的比例中項，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)比例中項的概念可得a：b＝b：c，則可求得b：c值．
【解答】解：∵，b是a和c的比例中項，
即a：b＝b：c，
∴＝．
故選：D．
【點評】本題考查了比例線段，熟練掌握在線段a，b，c中，若b2＝ac，則b是a，c的比例中項是解題的關(guān)鍵．
8．已知點B在線段AC上，AB＝2BC，那么AC：AB的比值是 ．
【分析】設BC＝k，則AB＝2BC＝2k，根據(jù)線段和的定義得出AC＝AB+BC＝3k，即可求出AC：AB的比值．
【解答】解：如圖，設BC＝k，則AB＝2BC＝2k，
∵點B在線段AC上，
∴AC＝AB+BC＝2k+k＝3k，
∴AC：AB＝3k：2k＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了比例線段，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
三．黃金分割（共5小題）
9．已知線段AB的長為2厘米，點P是線段AB的黃金分割點，那么較長線段AP的長是 （﹣1） 厘米．
【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知AP是較長線段；則AP＝AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長度．
【解答】解：由于P為線段AB的黃金分割點，
且AP是較長線段，
則AP＝2×＝（﹣1）厘米．
故答案為：（﹣1）．
【點評】本題主要考查了理解黃金分割點的概念，熟記黃金比的值進行計算，難度適中．
10．如果點P是線段AB的黃金分割點，且AP＜BP，那么的值等于（ ）
A．+1B．﹣1C．D．
【分析】由黃金分割的定義得＝，即可得出答案．
【解答】解：∵點P是線段AB的黃金分割點（AP＜BP），
∴＝＝＝，
故選：D．
【點評】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．
11．我們知道，兩條鄰邊之比等于黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形．如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，點E在邊BC上，將這個矩形沿直線AE折疊，使點B落在邊AD上的點F處，那么EF與CE的比值等于 ．
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)可證四邊形ABEF是正方形，可得EF＝BE，進一步即可求出EF與CE的比值．
【解答】解：根據(jù)折疊，可知AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠FAE，
在矩形ABCD中，∠BAF＝∠B＝90°，
∴∠BAE＝∠FAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴BA＝BE，
∴AB＝BE＝EF＝FA，
又∵∠B＝90°，
∴四邊形ABEF是正方形，
∴EF＝BE＝AB，
∵矩形ABCD是黃金矩形，
∴＝，
∴＝＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了黃金分割，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握黃金分割是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，某人跳芭蕾舞，踮起腳尖時顯得下半身比上半身更修長．若以裙子腰節(jié)為分界點，身材比例正好符合黃金分割，已知從腳尖到頭頂高度為176cm，那么裙子的腰節(jié)到腳尖的距離為 （88﹣88） cm．（結(jié)果保留根號）
【分析】設裙子的腰節(jié)到腳尖的距離為xcm，根據(jù)黃金分割的定義得＝，再計算即可．
【解答】解：設裙子的腰節(jié)到腳尖的距離為xcm，
∵以裙子腰節(jié)為分界點，身材比例正好符合黃金分割，已知從腳尖到頭頂高度為176cm，
∴＝，
∴x＝88﹣88，
即裙子的腰節(jié)到腳尖的距離為（88﹣88）cm，
故答案為：（88﹣88）．
【點評】本題考查了黃金分割的定義，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．
13．已知點P是線段AB上的一點，線段AP是PB和AB的比例中項，下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)黃金分割的定義判斷即可．
【解答】解：∵點P是線段AB上的一點，線段AP是PB和AB的比例中項，
∴AP2＝PB?AB，
∴點P是AB的黃金分割點，
∴＝，
故選：C．
【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義，找出黃金分割中成比例的對應線段是解題的關(guān)鍵．
四．平行線分線段成比例（共7小題）
14．如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點A、C、E和點B、D、F．如果AC：CE＝2：3，BD＝4，那么BF等于（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵AC：CE＝2：3，
∴AC：AE＝2：5，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴BF＝＝×4＝10，
故選：C．
【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是找出對應的比例線段，寫出比例式，用到的知識點是平行線分線段成比例定理．
15．如圖，AD∥EF∥BC，AE＝2BE，AD＝2，EF＝4，那么BC＝ 5 ．
【分析】作AM∥CD交BC于M，交EF于N．得出AD＝NF＝CM＝2，再證明△AEN∽△ABM，利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，代入BC＝BM+CM即可解決問題．
【解答】解：如圖，作AM∥CD交BC于M，交EF于N．
∵AD∥EF∥BC，
∴四邊形ADCM是平行四邊形，四邊形ADFN是平行四邊形，
∴AD＝NF＝CM＝2，
∵EF＝4，
∴EN＝EF﹣FN＝4﹣2＝2，
∵EN∥BM，
∴△AEN∽△ABM，
∴＝＝，
∴＝，
∴BM＝3，
∴BC＝BM+CM＝3+2＝5．
故答案為：5．
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．
16．如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點，BE的延長線交AC于點F，那么＝ ．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AF＝FH＝HC，得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵DH∥BF，AD是△ABC的中線，
∴CH＝HF，
∵DH∥BF，E是AD中點，
∴AF＝FH，
∴AF＝FH＝HC，
∴AF：CF＝1：2，
故答案為：．
【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點A，D，F(xiàn)和點B，C，E．如果，BE＝20，那么線段BC的長是 8 ．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴，
∴BC＝8，
故答案為：8．
【點評】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應成比例是解題的關(guān)鍵．
18．已知：如圖，點D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．
（1）如果AB＝2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；
（2）如果AB＝AC，且BC＝1，聯(lián)結(jié)DE，求DE的長．
【分析】（1）根據(jù)菱形的判定方法解答即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【解答】（1）證明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，
∴＝，
∵DF∥AC，
∴＝，
∴＝，
∴EF∥AB，
又∵DF∥AC，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∵AB＝2AC，AE＝AC，
∴AE＝AB，
∴AD＝AE，
∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴四邊形ADFE是菱形；
（2）如圖，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，
＝＝＝，＝＝＝，
∴△ADE∽△ACB，
∵BC＝1，
∴DE＝．
【點評】本題主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．
19．如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、BC上，下列條件中一定能判定DE∥AC的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷即可．
【解答】解：A．因為＝，所以DE∥AC，故A不符合題意；
B．因為＝，所以DE∥AC，故B符合題意；
C．因為＝，所以DE∥AC，故C不符合題意；
D．因為＝，所以DE∥AC，故D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例，根據(jù)題目的已知并結(jié)合圖形去分析是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，已知點F在AB上，且AF：BF＝1：2，點D是BC延長線上一點，BC：CD＝2：1，連接FD與AC交于點N，求FN：ND的值．
【分析】過點F作FE∥BD，交AC于點E，求出＝，得出FE＝BC，根據(jù)已知推出CD＝BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理推出＝，代入化簡即可．
【解答】解：過點F作FE∥BD，交AC于點E，
∴＝，
∵AF：BF＝1：2，
∴＝，
∴＝，
即FE＝BC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CD＝BC，
∵FE∥BD，
∴＝＝＝．
即FN：ND＝2：3．
證法二、連接CF、AD，
∵AF：BF＝1：2，BC：CD＝2：1，
∴＝＝，
∵∠B＝∠B，
∴△BCF∽△BDA，
∴＝＝，∠BCF＝∠BDA，
∴FC∥AD，
∴△CNF∽△AND，
∴＝＝．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，注意：平行線分的線段對應成比例，此題具有一定的代表性，但是一定比較容易出錯的題目．
五．相似圖形（共2小題）
21．下列圖形，一定相似的是（ ）
A．兩個直角三角形B．兩個等腰三角形
C．兩個等邊三角形D．兩個菱形
【分析】根據(jù)相似圖形的定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個圖形一定相似，結(jié)合選項，用排除法求解．
【解答】解：A．兩個直角三角形，對應角不一定相等，對應邊不一定成比例，不符合相似的定義，故A選項不符合題意；
B．兩個等腰三角形的對應角不一定相等，對應邊不一定成比例，不符合相似的定義，故B選項不符合題意；
C．兩個等邊三角形的對應角一定相等，對應邊一定成比例，符合相似的定義，故C選項符合題意；
D．兩個菱形，對應邊成比例，對應角不一定相等，不符合相似的定義，故D選項不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了相似圖形，熟悉各種圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．下列各組圖形中，不一定相似的是（ ）
A．兩個矩形
B．兩個等腰直角三角形
C．各有一個角是50°的兩個直角三角形
D．各有一個角是100°的兩個等腰三角形
【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對應角相等，對應邊成比例對各選項分析判斷利用排除法求解．
【解答】解：A、兩個矩形四個角都是直角，但對應邊不一定成比例，不一定相似，故本選項符合題意；
B、兩個等腰直角三角形，兩腰成比例，夾角都是直角相等，一定相似，故本選項不符合題意；
C、各有一個角是50°的兩個直角三角形，還有一個直角相等，一定相似，故本選項不符合題意；
D、兩腰成比例，夾角100°相等，一定相似，故本選項不符合題意．
故選：A．
【點評】本題考查了相似圖形，要注意從對應角和對應邊兩個方面考慮求解．
六．相似多邊形的性質(zhì)（共4小題）
23．下列說法正確的是（ ）
A．所有的矩形都相似
B．所有的菱形都相似
C．所有的正方形都相似
D．對應角分別相等的兩個四邊形相似
【分析】相似形就是形狀相同的兩個圖形，即對應邊的比相等，對應角相等的兩個圖形，依據(jù)定義即可進行判斷．
【解答】解：A．所有的矩形對應邊比值不一定相等，所以不一定相似，此選項錯誤；
B．所有的菱形對應邊的比相等，但對應角不一定相等，故錯誤；
C．所有的正方形都相似，故此選項正確；
D．對應角相等的兩個多邊形，對應邊比值不一定相等，所以不一定相似，故此選項錯誤；
故選：C．
【點評】此題考查了相似多邊形的識別．判定兩個圖形相似的依據(jù)是：對應邊的比相等，對應角相等．兩個條件必須同時具備．
24．我們知道：四個角對應相等，四條邊對應成比例的兩個四邊形是相似四邊形．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝2，E、F分別是邊AB、CD上的點，且EF∥BC，如果四邊AEFD與四邊形EBCF相似，那么的值是 ．
【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出＝，把AD＝1和BC＝2代入求出EF，再根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出＝，再求出答案即可．
【解答】解：∵四邊AEFD與四邊形EBCF相似，
∴＝，
∵AD＝1，BC＝2，
∴＝，
解得：EF＝，
∵四邊AEFD與四邊形EBCF相似，
∴＝＝＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了梯形和相似多邊形的性質(zhì)，能根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出比例式是解此題的關(guān)鍵．
25．如圖，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點．若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD＝ ．
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB＝AF＝1，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．
【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，AB＝AF＝1，
∵矩形EFDC與矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
整理得，AD2﹣AD﹣1＝0，
AD＝，
由題意得，AD＝，
故答案為：．
【點評】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應角相等、對應邊的比相等是解題的關(guān)鍵．
26．已知四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似，并且點A與點A1、點B與點B1、點C與點C1、點D與點D1對應．
（1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度數(shù)；
（2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四邊形ABCD的周長．
【分析】（1）根據(jù)相似多邊形的對應角相等解決問題即可．
（2）根據(jù)相似多邊形的對應邊成比例，解決問題即可．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，
∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝12，AD＝6，
∴四邊形ABCD的周長＝AB+BC+CD+AD＝9+12+15+6＝42．
【點評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例．
七．相似三角形的性質(zhì)（共6小題）
27．如果兩個相似三角形的周長比為2：3，那么它們的對應高的比為 2：3 ．
【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比可求得其相似比，再根據(jù)對應高線的比等于相似比可得到答案．
【解答】解：∵兩個相似三角形的周長比為2：3，
∴這兩個相似三角形的相似比為2：3，
∴它們的對應高的比為：2：3，
故答案為：2：3．
【點評】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比、對應高線比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
28．如果兩個相似三角形的周長比為1：4，那么這兩個三角形的對應中線的比為（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：因為兩個相似三角形的周長比等于相似比，兩個相似三角形的對應中線的比也等于相似比，
所以：如果兩個相似三角形的周長比為1：4，那么這兩個三角形的對應中線的比為1：4，
故選：B．
【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
29．如果兩個相似三角形的周長比為1：4，那么它們的對應角平分線的比為（ ）
A．1：4B．1：2C．1：16D．
【分析】利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應周長的比等于相似比，對應角平分線的比等于相似比，據(jù)此作答即可．
【解答】解：∵兩個相似三角形的周長比為1：4，
∴兩個相似三角形的相似比為1：4，
∴它們的對應角平分線的比為1：4．
故選：A．
【點評】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記相似三角形的性質(zhì)并靈活運用．
30．如圖，點A（1，7），B（1，1），C（4，1），D（6，1），若△CDE與△ABC相似，那么在下列選項中，點E的坐標不可能是（ ）
A．（6，2）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）
【分析】根據(jù)相似三角形的判定：兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似即可判斷．
【解答】解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．
A．當點E的坐標為（6，2）時，∠ECD＝90°，CD＝2，DE＝1，則AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本選項不符合題意；
B．當點E的坐標為（6，3）時，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，則AB：BC≠CD：DE，△CDE與△ABC不相似，故本選項符合題意；
C．當點E的坐標為（6，5）時，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，則AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本選項不符合題意；
D．當點E的坐標為（4，2）時，∠CDE＝90°，CD＝2，CE＝1，則AB：BC≠CD：CE，△DCE∽△ABC，故本選項不符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查了相似三角形的判定，難度中等．牢記判定定理是解題的關(guān)鍵
31．如果兩個相似三角形的面積比為1：4，其中較大三角形的周長為18，那么較小三角形的周長是 9 ．
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，據(jù)此即可求解．
【解答】解：設較小三角形的周長是x，則
x：18＝，
解得：x＝9．
故較小三角形的周長是9，
故答案為：9．
【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
32．如果兩個相似三角形對應邊之比是4：9，那么它們的周長之比等于 4：9 ．
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可．
【解答】解：∵兩個相似三角形對應邊之比是4：9，
∴它們的周長之比等于4：9，
故答案為：4：9．
【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能熟記相似三角形的周長之比等于相似比是解此題的關(guān)鍵．
八．相似三角形的判定（共4小題）
33．如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點D在邊AC上（不與點A、C重合），DE與AB相交于點F，那么與△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFEB．△BDAC．△BDCD．△AFD
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴與△BFD相似的三角形是△BDA，
故選：B．
【點評】本題考查了相似三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
34．下列格點三角形中，與已知格點△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】設小正方形的邊長是1，先求出△ABC的三邊長，再分別求出每個選項中三角形的三邊的長度，求出對應的邊的比值，看看是否相等，再根據(jù)相似三角形的判定定理判定即可．
【解答】解：設小正方形的邊長是1，
由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，
A．三角形的三邊的長度分別為：＝2，2，4，
∵＝，＝，＝，
∴＝＝，所以與格點△ABC相似，故本選項符合題意；
B．三角形的三邊的長度分別為：2，＝，＝3，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以與格點△ABC不相似，故本選項不符合題意；
C．三角形的三邊的長度分別為：＝，＝，3，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以與格點△ABC不相似，故本選項不符合題意；
D．三角形的三邊的長度分別為：＝，＝3，＝2，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以與格點△ABC不相似，故本選項不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查了相似三角形的判定，能熟記相似三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．
35．如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點D在邊AC上（不與點A、C重合），DE與AB相交于點F，那么與△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFEB．△BDCC．△BDAD．△AFD
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴與△BFD相似的三角形是△BDA，
故選：C．
【點評】本題考查了相似三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
36．如圖，M是平行四邊形ABCD的對角線BD上一點，AM的延長線交BC于點E，交DC的延長線于點F，圖中相似三角形有（ ）
A．6對B．5對C．4對D．3對
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得AD∥BC，AB∥CD，從而得到△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，則△AME∽△FDA，可得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠DBC，
∴△ABD∽△CDB，
∵AD∥BC，
∴△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，
∴△AME∽△FDA，
∴相似三角形共有6對，
故選：A．
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定，注意相似的傳遞性是解題的關(guān)鍵．
九．相似三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）
37．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AO＝2，AD＝4，OC＝6，BC＝8，如果∠DAO＝∠CBO，那么AB：CD的值是 2：3 ．
【分析】由∠DAO＝∠CBO，∠AOD＝∠BOC，得出△AOD∽△BOC，得出，根據(jù)已知得出OB＝4，OD＝3，進而得出，再證明△AOB∽△DOC，得出，即可得出答案．
【解答】解：∵∠DAO＝∠CBO，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴，
∵AO＝2，AD＝4，OC＝6，BC＝8，
∴，
∴OB＝4，OD＝3，
∴，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
故答案為：2：3．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．
38．如圖，已知：△ABC和△ADE都是等邊三角形，其中點D在邊BC上，點F是AB邊上一點，且BF＝CD．
（1）求證：DE∥CF；
（2）聯(lián)結(jié)DF，設AD、CF的交點為M，如果DF2＝FM?FC，求證：DF∥AC．
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)得出∠BDE＝∠CAD，進而得出∠BDE＝∠BCF，即可證明DE∥CF；
（2）先證明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM＝∠CAD，即可證明DF∥AC．
【解答】證明：（1）如圖1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠CAD＝∠BCF，
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠ADE＝∠ACB＝60°，
∵∠ADE+∠BDE＝∠ACB+∠CAD，
∴∠BDE＝∠CAD，
∴∠BDE＝∠BCF，
∴DE∥CF；
（2）如圖2，
∵DF2＝FM?FC，
∴，
∵∠DFM＝∠CFD，
∴△DFM∽△CFD，
∴∠FDM＝∠FCD，
∵∠CAD＝∠BCF，
∴∠FDM＝∠CAD，
∴DF∥AC．
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判斷，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
39．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E、F分別在邊AB、AD上，DE與CF相交于點G．CD2＝CG?CF，∠AED＝∠CFD．
（1）求證：AB＝CD；
（2）延長AD至點M，聯(lián)結(jié)CM，當CF＝CM時，求證：EA?AB＝AD?MD．
【分析】（1）根據(jù)已知可得＝，從而可得△CDG∽△CFD，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得∠CDG＝∠CFD，從而可得∠CDG＝∠AED，進而可得AB∥CD，最后證明四邊形ABCD是平行四邊形，從而利用平行四邊形的性質(zhì)即可解答；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CFD＝∠M，從而可得∠AED＝∠M，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠CDM，從而可證△AED∽△DMC，進而利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】證明：（1）∵CD2＝CG?CF，
∴＝，
∵∠DCG＝∠DCF，
∴△CDG∽△CFD，
∴∠CDG＝∠CFD，
∵∠AED＝∠CFD，
∴∠CDG＝∠AED，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD；
（2）如圖：
∵CF＝CM，
∴∠CFD＝∠M，
∵∠AED＝∠CFD，
∴∠AED＝∠M，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∴△AED∽△DMC，
∴＝，
∴AE?DC＝AD?DM，
∵AB＝DC，
∴EA?AB＝AD?MD．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
40．如圖，已知點D、E、F、G、H、I分別在△ABC的三邊上，如果六邊形DEFGHI是正六邊形，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．∠A＝60°
B．
C．＝
D．＝
【分析】根據(jù)六邊形DEFGHI是正六邊形，得出△ABC是正三角形，然后判斷各個選項即可．
【解答】解：∵六邊形DEFGHI是正六邊形，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
即△ADE是等邊三角形，
∴∠A＝60°，
故A選項結(jié)論正確，不符合題意；
同理得出∠B＝∠C＝60°，
即△ABC是等邊三角形，
∴AD＝DI＝BI，
即，
∵DE∥BC，
∴＝，
故B選項結(jié)論正確，不符合題意；
＝＝，
故C選項結(jié)論不正確，符合題意；
＝＝，
故D選項結(jié)論正確，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題主要考查正多邊形和圓的知識，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
一十．相似三角形的應用（共6小題）
41．在某一時刻，直立地面的一根竹竿的影長為3米，一根旗桿的影長為25米，已知這根竹竿的長度為1.8米，那么這根旗桿的高度為 15 米．
【分析】根據(jù)同一時刻，物高與影長成正比即可列出等式．
【解答】解：根據(jù)同一時刻，物高與影長成正比得，旗桿的高度：1.8＝25：3，
∴旗桿的高度為15米，
故答案為：15．
【點評】本題主要考查了相似三角形的應用，熟練掌握平行投影的基本特征：物高與影長成正比是解題的關(guān)鍵．
42．冬日暖陽，下午4點時分，小明在學恔操場曬太陽，身高1.5米的他，在地面上的影長為2米，則此時高度為9米的旗桿在地面的影長為 12 米．
【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個問題物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．
【解答】解：設旗桿的高度為x米，根據(jù)題意得：
＝，
解得：x＝12．
故答案為：12．
【點評】本題考查了相似三角形的應用，只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通解方程求出樹的高度，體現(xiàn)了方程的思想．
43．如圖所示，用手電來測量古城墻高度，將水平的平面鏡放置在點P處，光線從點A出發(fā)，經(jīng)過平面鏡反射后，光線剛好照到古城墻CD的頂端C處．如果AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是 10 米．
【分析】根據(jù)題意，可以得到△ABP∽△CDP，從而可以得到，再根據(jù)AB＝1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，即可求得CD的長．
【解答】解：由題意可得，
∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴，
∵AB＝1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，
∴，
解得CD＝10，
即該古城墻的高度是10米，
故答案為：10．
【點評】本題考查相似三角形的應用，解答本題的關(guān)鍵是求出△ABP∽△CDP．
44．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著，書中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門一百步立一表，出西門二百二十五步適可見之，問邑方幾何？”它的意思是：如圖，M、N分別是正方形ABCD的邊AD，AB的中點，ME⊥AD，NF⊥AB，EF過點A，且ME＝100步，NF＝225步，那么該正方形城邑邊長AD約為 300 步．
【分析】根據(jù)題意，可知Rt△AEM∽Rt△FAN，從而可以得到對應邊的比相等，從而可以求得正方形的邊長．
【解答】解：∵點M、點N分別是正方形ABCD的邊AD、AB的中點，
∴AM＝AD，AN＝AB，
∴AM＝AN，
由題意可得，Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴，
即AM2＝100×225＝22500，
解得：AM＝150（步），
∴AD＝2AM＝300（步）；
故答案為：300．
【點評】本題考查相似三角形的應用、數(shù)學常識、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意．利用相似三角形的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
45．如圖，某時刻陽光通過窗口AB照射到室內(nèi)，在地面上留下4米寬的“亮區(qū)”DE，光線與地面所成的角（如∠BEC）的正切值是，那么窗口的高AB等于 2 米．
【分析】由題意知CE＝2BC，CD＝2AC，進而得到CD＝DE+CE＝4+2BC，由BE∥AD得到△BCE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝＝，化簡即可求出AB．
【解答】解：由題意知tan∠BEC＝＝＝，DE＝4，
∴CE＝2BC，CD＝2AC，
∴CD＝DE+CE＝4+2BC，
∵AD∥BE，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，
∴＝＝，
∴BC+AB＝2+BC，
∴AB＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查的是相似三角形的應用，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．
46．學習了相似三角形相關(guān)知識后，小明和同學們想利用“標桿”測量大樓的高度．如圖，小明站立在地面點F處，他的同學在點B處豎立“標桿”AB，使得小明的頭頂點E、桿頂點A、樓頂點C在一條直線上（點F、B、D也在一條直線上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“標桿”AB＝2.5米，又BD＝23米，F(xiàn)B＝2米．
（1）求大樓的高度CD為多少米（CD垂直地面BD）？
（2）小明站在原來的位置，同學們通過移動標桿，可以用同樣的方法測得樓CD上點G的高度GD＝11.5米，那么相對于第一次測量，標桿AB應該向大樓方向移動多少米？
【分析】（1）如圖1中，過點E作EH⊥CD于點H，交AB于點J．則四邊形EFBJ，四邊形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性質(zhì)求出CH，可得結(jié)論．
（2）如圖2中，過點E作ET⊥CD于點T交AB于點R．設BF＝x米，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）如圖1中，過點E作EH⊥CD于點H，交AB于點J．則四邊形EFBJ，四邊形EFDH都是矩形．
∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，
∵AB＝2.5米．
∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），
∵AJ∥CH，
∴△EAJ∽△ECH，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝12.5（米），
∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．
（2）如圖2中，過點E作ET⊥CD于點T交AB于點R．設BF＝x米，
∵AR∥GT，
∴＝，
∴＝，
∴x＝2.5，
∵2.5﹣2＝0.5（米），
∴標桿AB應該向大樓方向移動0.5米．
【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
一十一．射影定理（共2小題）
47．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝4，BD＝9，則CD＝ 6 ．
【分析】根據(jù)兩角相等證明△ACD∽△CBD，列比例式代入可得結(jié)論．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD＝4，BD＝9，
∴CD2＝4×9＝36，
∴CD＝6，
故答案為：6．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，明確同角的余角相等，為證明三角形相似打基礎，這在三角形相似證明角相等時經(jīng)常運用，要熟練掌握．
48．如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的長為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根據(jù)射影定理計算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上的高，
則AC2＝AD?AB，
∵AD＝2，BD＝6，
∴AC2＝2×（2+6）＝16，
∴AC＝4，
故選：A．
【點評】本題考查的是射影定理的應用，在直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．
十二、重心
49.如圖，在中，，是的重心，過作邊的平行線交于點，求的長．
【難度】★★
【答案】2．
【解析】連結(jié)并延長交于點，根據(jù)重心的定義，可知為中點，則，
根據(jù)重心的性質(zhì)，又，可得：，求得．
【總結(jié)】考查三角形重心的性質(zhì)．
一．選擇題（共12小題）
1．下列圖形中不一定是相似圖形的是（ ）
A．兩個等邊三角形
B．兩個頂角相等的等腰三角形
C．兩個等腰直角三角形
D．兩個矩形
【分析】根據(jù)相似圖形的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、兩個等邊三角形對應邊成比例，對應角相等，一定相似，故此選項不合題意；
B、兩個頂角相等的等腰三角形，對應角相等，一定相似，故此選項不合題意；
C、兩個等腰直角三角形，頂角都是直角相等，夾邊成比例，一定相似，故此選項不合題意；
D、兩個長方形，四個角都是直角相等，但對應邊不一定成比例，不一定相似，故此選項符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了相似圖形的概念，注意從對應邊成比例，對應角相等兩個方面考慮．
2．在比例尺是1：200000的地圖上，兩地的距離是6cm，那么這兩地的實際距離為（ ）
A．1.2kmB．12kmC．120kmD．1200km
【分析】設這兩地的實際距離為xcm，根據(jù)比例尺的定義列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：設這兩地的實際距離為xcm．
由題意得：＝，
解得x＝1200000，
經(jīng)檢驗，x＝1200000是分式方程的解，
1200000cm＝12km，
故選：B．
【點評】本題考查比例線段，比例尺的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例尺性質(zhì)，屬于中考常考題型．
3．如果＝，那么下列四個選項中，不正確的是（ ）
A．＝B．a(chǎn)d＝bcC．a(chǎn)：b＝c：dD．a(chǎn)：d＝c：b
【分析】直接利用比例的性質(zhì)分析得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝，ad＝bc，a：b＝c：d，則選項A，B，C都正確，
無法得出：a：d＝c：b，故選項D錯誤，符合題意．
故選：D．
【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將比例式變形是解題關(guān)鍵．
4．已知數(shù)字4是數(shù)字2和另外一個數(shù)的比例中項，這個數(shù)是（ ）
A．8B．1C．2D．
【分析】設這個數(shù)是x，根據(jù)比例中項的概念，可得x：4＝4：2，則可求得x的值．
【解答】解：設這個數(shù)是x，
根據(jù)題意得，x：4＝4：2，
解得x＝8．
故選：A．
【點評】本題考查了比例中項的概念，根據(jù)兩條數(shù)的比例中項的平方是這兩個數(shù)的乘積，可得出方程求解．
5．如果兩個相似三角形對應邊之比1：9，那么它們的對應中線之比是（ ）
A．1：2B．1：3C．1：9D．1：81
【分析】根據(jù)相似三角形的對應中線的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵兩個相似三角形對應邊之比1：9，
∴兩個相似三角形的相似比為1：9，
∴它們的對應中線之比是1：9，
故選：C．
【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應中線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
6．已知△ABC與△A′B′C′相似，點A與A′，點B與B′對應，若＝，且△ABC的中線AD的長為5，則AD的對應中線A′D′的長為（ ）
A．10B．20C．80D．
【分析】根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比、對應中線的比等于相似比解答．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴＝＝，
∵AD的長為5，
∴A′D′＝20，
故選：B．
【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形周長的比等于相似比、相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，已知在△ABC中，點D在邊AB上，那么下列條件中不能判定△ABC～△ACD的是（ ）
A．B．AC2＝AD?ABC．∠B＝∠ACDD．∠ADC＝∠ACB
【分析】△ABC和△ACD有公共角，然后根據(jù)相似三角形的判定方法對各選項進行判斷．
【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，
∴當∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，可根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似可判斷△ACD∽△ABC；
當，即AC2＝AD?AB時，可根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可判斷△ACD∽△ABC．
故選：A．
【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
8．如圖所示，某校數(shù)學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高1.2m，測得AB＝1.5m，BC＝12.5m，則建筑物CD的高是（ ）
A．10mB．11.2mC．12mD．12.2m
【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似，可以計算出CD的長，從而可以解答本題．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.5m，
∴AC＝AB+BC＝14m，
∴＝，
解得DC＝11.2，
即建筑物CD的高是11.2m，
故選：B．
【點評】本題考查相似三角形的應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
9．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn)；AC與DF相交于點H，且AB＝2，BC＝3，EF＝4．則DF的值為（ ）
A．10B．C．D．6
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵直線l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝4，
∴，
解得：DF＝，
故選：B．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．
10．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，CE與AD交于點M，∠ACE＝∠B，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．△ACM∽△ABDB．△ACE∽△ABCC．△AEM∽△CDMD．△AEM∽△ACD
【分析】利用相似三角形的判定依次判斷可得結(jié)論．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD＝∠CAD，且∠ACE＝∠B，
∴△ACM∽△ABD，故A不符合題意；
∵∠ACE＝∠B，∠CAE＝∠CAB，
∴△ACE∽△ABC，故B不符合題意；
∵△ACE∽△ABC，
∴∠ACD＝∠AEC，且∠DAC＝∠BAD，
∴△AEM∽△ACD，故D不符合題意；
由條件無法證明△AEM與△CDM相似，
故選：C．
【點評】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
11．將兩個完全相同的等腰直角三角形△ABC與△AFG擺成如圖的樣子，兩個三角形的重疊部分為△ADE，那么圖中一定相似的三角形是（ ）
A．△ABC與△ADEB．△ABD與△AECC．△ABE與△ACDD．△AEC與△ADC
【分析】△ABE∽△DCA，根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似證明即可．
【解答】解：△ABE∽△DCA
理由：∵△ABC與△AFG都為等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠B＝∠C＝45°，
∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝45°+∠CAE＝∠CAD
∴△ABE∽△DCA，
故選：C．
【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)∠AEB＝∠CAD，∠ADC＝∠BAE．
12．如圖，已知每個小正方形的邊長均為1，△ABC與△DEF的頂點都在小正方形的頂點上，那么△DEF與△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先由勾股定理求得各三角形的三邊長，然后根據(jù)三組對應邊的比相等的兩個三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解選擇題中的應用．
【解答】解：AB＝，BC＝，AC＝3，
A、∵ED＝，EF＝2，DF＝3，
∴＝＝，
∴△DEF與△ABC相似；
B、∵DE＝，EF＝1，DF＝2，
∴≠≠，
∴△DEF與△ABC不相似；
C、∵DE＝，EF＝1，DF＝，
∴≠≠，
∴△DEF與△ABC不相似；
D、∵DE＝，EF＝2，DF＝，
∴≠≠，
∴△DEF與△ABC不相似．
故選：A．
【點評】此題考查了相似三角形的判定與勾股定理．此題難度適中，注意掌握三組對應邊的比相等的兩個三角形相似定理的應用．
二．填空題（共11小題）
13．如果x：y＝5：2，那么（x+y）：y的值為 ．
【分析】利用設k法解答即可．
【解答】解：∵x：y＝5：2，
∴設x＝5k，y＝2k，
∴（x+y）：y＝（5k+2k）：（2k）＝（7k）：（2k）＝7：2，
∴（x+y）：y的值為，
故答案為：．
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設k法是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，∠DAB＝∠CAE，請你再添加一個條件 ∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD?AC＝AB?AE（任意一個即可） ，使得△ADE∽△ABC．
【分析】由∠DAB＝∠CAE，可證得∠BAC＝∠DAE，然后由相似三角形的判定定理，可添加∠B＝∠D或∠C＝∠DEA或AB：AD＝AC：AE或AD?AC＝AB?AE等．
【解答】解：根據(jù)相似三角形的判定：兩角對應相等，兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．
已知∠DAB＝∠CAE，則∠DAE＝∠BAC，要使△ADE∽△ABC，則補充的一個條件可以是∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD?AC＝AB?AE．
故答案為：∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD?AC＝AB?AE（任意一個即可）．
【點評】此題考查了相似三角形的判定．熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
15．已知在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，如果△ADE和四邊形BCED的面積分別為4和5，DE＝4，那么BC＝ 6 ．
【分析】由DE∥BC，△AED∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合△ADE和四邊形BCED的面積分別為4和5，可得出＝，結(jié)合DE＝4，即可求出BC的值，經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．
【解答】解：依照題意畫出圖形，如圖所示.
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC．
又∵＝，
∴＝＝，
∴＝，即＝，
∴BC＝6，
經(jīng)檢驗，BC＝6是原方程的解，且符合題意．
故答案為：6．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
16．兩個相似三角形的面積之比是9：25，其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，那么另一個三角形對應邊上的高為 3 厘米．
【分析】設另一個三角形對應邊上的高為x厘米，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出＝，再求出x即可．
【解答】解：設另一個三角形對應邊上的高為x厘米，
∵兩個相似三角形的面積之比是9：25，其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，
∴＝，
解得：x＝3，
∴另一個三角形對應邊上的高為3厘米，
故答案為：3．
【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能熟記相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：①相似三角形的面積之比等于相似比的平方，②相似三角形的對應高之比等于相似比．
17．如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱作為這個平面圖形的一條面積等分線．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，點D在邊BC上，且BD＝4，過點D的面積等分線交△ABC的邊于點E，那么線段AE的長等于 ．
【分析】過點A作AG⊥BC于G，過點E作EF⊥BC于F，根據(jù)三角形的面積列出方程可得BC?AG＝2×DC?EF，就可以求出EF的值，證明△CEF∽△CAG，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出CE的值從而得出結(jié)論．
【解答】解：過點A作AG⊥BC于G，過點E作EF⊥BC于F，
∴∠AGB＝∠AGC＝∠EFC＝90°，
∴EF∥AG．
∵AB＝AC＝10，
∴BG＝CG＝BC＝6．
在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG＝＝8．
∵DC＝BC﹣BD，
∴DC＝12﹣4＝8．
∵S△ABC＝2S△EDC，
∴BC?AG＝2×DC?EF，
∴×12×8＝2××8?EF，
即EF＝6．
∵EF∥AG，
∴△CEF∽△CAG，
∴，
∴，
即EC＝，
∴AE＝10﹣＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵，證明△CEF∽△CAG是解題的關(guān)鍵．
18．我們把兩個三角形的重心之間的距離叫做重心距．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，
∠B＝30°，CD是△ABC中邊AB上的高，如果BC＝6，那么△ADC和△BCD的重心距是 1+ ．
【分析】設△ADC和△BCD的重心分別為M、N，連接CM、CN交AB于E、F點，首先解直角三角形，可得AB的長，再根據(jù)重心的性質(zhì)說明△MCN∽△ECF，得MN＝EF＝1+．
【解答】解：如圖，設△ADC和△BCD的重心分別為M、N，
連接CM、CN交AB于E、F點，
在Rt△CBD中，∵∠B＝30°，
∴CD＝BC＝3，BD＝CD＝3，
在Rt△ACD中，∵A＝45°，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+3，
∴EF＝AB＝，
∵△ADC和△BCD的重心分別為M、N，
∴，
∵∠MCN＝∠ECF，
∴△MCN∽△ECF，
∴MN＝EF＝1+，
故答案為：1+．
【點評】本題主要考查了重心的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練掌握重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．已知△ABC的兩條中線BD、CE相交于點P，PE＝2，那么CP的長為 4 ．
【分析】根據(jù)三角形中線的交點可知點P為ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1即答．
【解答】解：如下圖所示，
∵BD、CE是ABC的兩條中線，且相交于點P，
∴點P為△ABC的重心，
∴．
又∵PE＝2，
∴CP＝4．
故答案為：4．
【點評】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，明確重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵．
20．已知點P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，如果BP＝﹣1，那么AP＝ 2 ．
【分析】設AB＝m，根據(jù)黃金分割點的定義，知AP是較長線段；則AP＝AB，構(gòu)建方程求出m即可．
【解答】解：設AB＝m．
由于P為線段AB的黃金分割點，
且AP是較長線段；
則AP＝AB＝m，
∴m﹣m＝﹣1，
解得m＝+1，
∴AP＝×（+1）＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查了黃金分割的概念．應該識記黃金分割的公式：較短的線段＝原線段的，較長的線段＝原線段的．
21．如圖，直線a∥b∥c，它們依次交直線m、n于點A、C、E和B、D、F，已知AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF等于 7.5 ．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式＝，再代入求出DF，再求出BF即可．
【解答】解：∵直線a∥b∥c，
∴＝，
∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴＝，
解得：DF＝4.5，
∵BD＝3，
∴BF＝BD+DF＝3+4.5＝7.5，
故答案為：7.5．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，能正確根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．
22．如圖，小杰同學跳起來把一個排球打在離他2米（即CO＝2米）遠的地上，排球反彈碰到墻上，如果他跳起擊球時的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地點離墻的距離是6米（即OD＝6米），假設排球一直沿直線運動，那么排球能碰到墻面離地的高度BD的長是 5.4 米．
【分析】依據(jù)題意可得∠AOC＝∠BOD，通過說明△ACO∽△BDO，得出比例式可求得結(jié)論．
【解答】解：由題意得：∠AOC＝∠BOD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°．
∴△ACO∽△BDO．
∴．
即．
∴BD＝5.4（米）．
故答案為：5.4．
【點評】本題主要考查了相似三角形的應用，根據(jù)已知條件得出相似三角形是解題的關(guān)鍵．
23．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的最美分割線．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割線．若△ACD為等腰三角形，則∠ACB的度數(shù)為 100°或115° ．
【分析】根據(jù)△ACD為等腰三角形，需要分三種情況討論：①當AD＝CD時，②如當AD＝AC，③當AC＝CD，然后結(jié)合最美分割線的定義，可得△BDC∽△BCA，可以分別求出∠ACB的度數(shù)．
【解答】解：①當AD＝AC時，如圖1，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝65°+50°＝115°．
②當AD＝CD時，如圖2，∠ACD＝∠A＝50°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝50°+50°＝100°．
③當AC＝CD時，如圖3，∠ADC＝∠A＝50°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ADC＝∠BCD（不合題意）．
綜上所述，∠ACB＝100°或115°．
【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，理解最美分割線的定義是解決本題的關(guān)鍵．
三．解答題（共10小題）
24．已知：如圖，在△ABC中，D是邊BC上一點，G是線段AD上一點，且AG＝2GD，聯(lián)結(jié)BG并延長，交邊AC于點E．
（1）求證：＝；
（2）如果D是邊BC的中點，P是邊BC延長線上一點，且CP＝BC，延長線段BE，交線段AP于點F，聯(lián)結(jié)CF、CG，求證：四邊形AGCF是平行四邊形．
【分析】（1）通過證明△DHG∽△AEG，由相似三角形的性質(zhì)可得DH＝AE，通過證明△BDH∽△BCE，可得結(jié)論；
（2）通過證明△DGC∽△DAP，可得∠DGC＝∠DAP，可證GC∥AP，可證GE＝EF，可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖，過點D作DH∥AC，交BE于H，
∵DH∥AC，
∴△DHG∽△AEG，
∴，
∵AG＝2GD，
∴DH＝AE，
∵DH∥AC，
∴△BDH∽△BCE，
∴＝，
∴；
（2）證明：如圖，
∵D是邊BC的中點，
∴BC＝2BD＝2CD，
∴＝1，
∴AE＝CE，
∵CP＝BC＝2CD，
∴＝，
∵AG＝2GD，
∴＝，
∴，
又∵∠ADP＝∠GDC，
∴△DGC∽△DAP，
∴∠DGC＝∠DAP，
∴GC∥AP，
∴△GEC∽△FEA，
∴，
∴GE＝EF，
∴四邊形AGCF是平行四邊形．
【點評】本題考查了相似三角形判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，將矩形ABCD繞點B旋轉(zhuǎn)，點A落到對角線AC上的點E處，點C、D分別落在點F、G處．
（1）聯(lián)結(jié)BG、CG，求證：四邊形ABGC是平行四邊形；
（2）聯(lián)結(jié)GE并延長交邊AD于點H，求證：AB2＝AD?AH．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)證明△ABC≌△BEG，得出∠ACB＝∠BGE，AC＝BG，再證明AC∥BG，即可證明四邊形ABGC是平行四邊形；
（2）先證明Rt△BAH≌Rt△BEH，得出∠ABH＝∠EBH，利用等腰三角形的性質(zhì)得出BH⊥AE，進而證明∠ABH＝∠DAC，證明△BAH∽△ADC，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得出AB2＝AD?AH．
【解答】證明：（1）如圖1，
∵矩形BFGE是由矩形BCDA旋轉(zhuǎn)得到，
∴AB＝BE，∠ABC＝∠BEG＝90°，BC＝EC，
∴△ABC≌△BEG（SAS），
∴∠ACB＝∠BGE，AC＝BG，
∵AB＝BE，∠ABC＝∠BEG＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA，∠BAE+∠ACB＝90°，∠BEG+∠CEG＝90°，
∴∠CEG＝∠ACB，
∴∠BGE＝∠CEG，
∴AC∥BG，
∴四邊形ABGC是平行四邊形；
（2）如圖2，連接BH，
在Rt△BAH和Rt△BEH中，
，
∴Rt△BAH≌Rt△BEH（HL），
∴∠ABH＝∠EBH，
∵BA＝BE，
∴BH⊥AE，
∴∠ABH+∠BAC＝90°，
∵∠BAC+∠CAD＝90°，
∴∠ABH＝∠DAC，
∵∠BAH＝∠ADC＝90°，
∴△BAH∽△ADC，
∴，
∵AB＝CD，
∴，
∴AB2＝AD?AH．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
26．已知：如圖，正方形ABCD中，E、F分別是邊CD、AD上的點，AE⊥BF．
（1）求證：AE＝BF；
（2）聯(lián)結(jié)BE、EF，如果∠DEF＝∠ABE，求證：DF2＝AF?AD．
【分析】（1）設BF與AE交于O點，根據(jù)同角的余角相等得∠ABF＝∠DAE，再利用ASA證明△ABF≌△DAE，得AE＝BF；
（2）根據(jù)兩個角相等證明△DEF∽△CEB，得，由（1）得，△ABF≌△DAE，則AF＝DE，等量代換即可．
【解答】證明：（1）設BF與AE交于O點，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠D＝90°，
∵AE⊥BF．
∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠DAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AE＝BF；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC，
∵∠DEF＝∠ABE，
∴∠DEF＝∠BEC，
∵∠D＝∠C，
∴△DEF∽△CEB，
∴，
由（1）得，△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴CE＝DF，
∴DF2＝AF?AD．
【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△DEF∽△CEB是解題的關(guān)鍵．
27．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點D，過點D作CA的平行線，交邊AB于點E．
（1）求線段DE的長；
（2）取線段AD的中點M，聯(lián)結(jié)BM，交線段DE于點F，延長線段BM交邊AC于點G，求的值．
【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝2，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵DE∥CA，
∴，
∴DE＝4；
（2）如圖，
∵點M是線段AD的中點，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴，
∴DF＝AG，
∵DE∥CA，
∴，
∴，
∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，
∴．
【點評】考查了平行線分線段成比例定理，注意線段之間的對應關(guān)系．
28．如圖，已知：正方形ABCD中，一個以點A為頂點的∠EAF＝45°繞著點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，聯(lián)結(jié)EF．
（1）如圖（1），若∠EAF被對角線AC平分時，求證：CE＝CF．
（2）如圖（2），求證：CE?CF＝2AB2．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BCA＝∠DCA＝45°，再利用對頂角相等可得∠ACF＝∠ACE，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠EAC＝∠FAC，從而證明△ACE≌△ACF，利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC＝AB，再利用三角形的外角和已知∠EAF＝45°，可得∠E＝∠FAC，然后再利用（1）的結(jié)論可證明△ECA∽△ACF，利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°，
∵∠BCF＝∠DCE，
∴∠BCF+∠ACB＝∠DCE+∠DCA，
∴∠ACF＝∠ACE，
∴AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（ASA），
∴CE＝CF；
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC＝AB，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAC+∠EAC＝45°，
∵∠ACB是△ACE的一個外角，
∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝45°，
∴∠E＝∠FAC，
由（1）得：∠ACF＝∠ACE，
∴△ECA∽△ACF，
∴＝，
∴AC2＝CE?CF，
∴（AB）2＝CE?CF，
∴CE?CF＝2AB2．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
29．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點O，點E在線段OB上，AE的延長線與BC相交于點F，OD2＝OB?OE．
（1）求證：四邊形AFCD是平行四邊形；
（2）如果BC＝BD，AE?AF＝AD?BF，求證：AE?DC＝AD?BE．
【分析】（1）由已知得出，由平行線得出△AOD∽△COB，得出，證出，得出AF∥CD，即可得出結(jié)論；
（2）由平行線得出∠AED＝∠BDC，△BEF∽△BDC，得出，證出BE＝BF，由平行四邊形的性質(zhì)得出AF＝CD，由已知AE?AF＝AD?BF，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵OD2＝OE?OB，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∴，
∴AF∥CD，
∴四邊形AFCD是平行四邊形；
（2）∵AF∥CD，
∴∠AED＝∠BDC，△BEF∽△BDC，
∴，
∵BC＝BD，
∴BE＝BF，
∵四邊形AFCD是平行四邊形，
∴AF＝CD，
∵AE?AF＝AD?BF，
∴AE?DC＝AD?BE．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
30．一把梯子如圖所示，其中四邊形AKLB是梯形．已知AC＝CE＝EG＝GK，BD＝DF＝FH＝HL，AB＝0.5m，GH＝0.74m，求CD、EF的長．
【分析】先證明△ACD'∽△AGH'，找到CD'，再利用梯形CGHD的中位線等于兩底和的一半，找到EF的值．
【解答】解：延長KA、LB交于點P，過A作AL'∥BL交CD、EF、GH、KL于點D'、F'、H'、L'，
∵AB∥KL，
∴＝．
又∵AC＝CE＝EG＝GK，BD＝DF＝FH＝HL，
∴＝，
∴＝．
∴AB∥CD．
同理得AB∥CD∥EF∥GH∥KL．
∴四邊形AD'DB，D'F'FD，F(xiàn)'H'HF都為平行四邊形邊；
即AB＝D'D＝F'F＝H'H＝0.5m；GH＝0.74m，
∴GH'＝0.24m，
∵CD∥AH，
∴△ACD'∽△AGH'，
∴＝，AG＝3AC，
∴CD'＝GH'＝0.24×＝0.08m，
CD＝0.08+0.5＝0.58．
∵EF為梯形CGHD的中位線，
∴EF＝（CDtGH）＝0.66m．
【點評】本題考查了梯形CGHD的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半，解題的關(guān)鍵是掌握相似的判定．
31．如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD上任意一點（點E與點C、D不重合），過點A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點F，聯(lián)結(jié)EF交邊AB于點G，連接AC．
（1）求證：△AEF∽△DAC；
（2）如果FE平分∠AFB，聯(lián)結(jié)CG，求證：四邊形AGCE為菱形．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，根據(jù)垂直定義可得∠FAE＝90°，從而可得∠BAF＝∠DAE，進而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得＝，再利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似證明，即可解答；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠AFE＝∠CFE，從而證明△AFE≌△CFE，進而可得AF＝CF，AE＝EC，然后再證△AFG≌△CFG，從而可得∠FAG＝∠FCG，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，從而可得AE∥CG，進而利用菱形的判定方法即可解答．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，
∴∠BAF＝∠DAE，
∵∠D＝∠ABF＝90°，
∴△ABF∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∵∠D＝∠FAE＝90°，
∴△AEF∽△DAC；
（2）如圖：
∵FE平分∠AFB，
∴∠AFE＝∠CFE，
∵∠FAE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，
∴△AFE≌△CFE（AAS），
∴AF＝CF，AE＝EC，
∵FG＝FG，
∴△AFG≌△CFG（SAS），
∴∠FAG＝∠FCG，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠FCG，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠BCG+∠DCG＝90°，
∴∠DCG＝∠AED，
∴AE∥CG，
∵AB∥CD，
∴四邊形AGCE是平行四邊形，
∵AE＝EC，
∴四邊形AGCE為菱形．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
32．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E為對角線BD的中點，點F在邊AD上，CF交BD于點G，CF∥AE，CF＝BD．
（1）求證：四邊形AECF為菱形；
（2）如果∠DCG＝∠DEC，求證：AE2＝AD?DC．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得AE＝DE＝BD，CE＝BD，再結(jié)合已知CF＝BD，從而可得AE＝CF，進而可得四邊形AECF是平行四邊形，然后再根據(jù)AE＝CE，即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論可得AE＝CF＝DE，AD∥CE，從而可得∠ADE＝∠DEC，進而可得∠ADE＝∠DCG，再利用平行線的性質(zhì)可得∠EAD＝∠CFD，然后證明△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】證明：（1）∵∠BAD＝90°，E為BD的中點，
∴AE＝DE＝BD，
∵CF＝BD，
∴AE＝CF＝DE，
∵CF∥AE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠BCD＝90°，E為BD的中點，
∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∴四邊形AECF為菱形；
（2）∵四邊形AECF為菱形，
∴AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠DCG＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∵AE∥CF，
∴∠EAD＝∠CFD，
∴△ADE∽△FCD，
∴＝，
∴CF?DE＝AD?CD，
∵AE＝CF＝DE，
∴AE2＝AD?DC．
【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
33．一塊三角形的余料，底邊BC長1.8米，高AD＝1米，如圖．要利用它裁剪一個長寬比是3：2的長方形，使長方形的長在BC上，另兩個頂點在AB、AC上，求長方形的長EH和寬EF的長．
【分析】根據(jù)比例設EH、EF分別為3k、2k，然后根據(jù)△AEH和△ABC相似，利用相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式比例式求出k值，即可得解．
【解答】解：∵長方形的長寬比是3：2，
∴設EH、EF分別為3k、2k，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得k＝，
∴EH＝米，EF＝米．
【點評】本題考查了相似三角形的應用，主要利用了相似三角形對應高的比等于對應邊的比，利用“設k法”表示出邊更簡便．

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