滬教版暑假新九年級(jí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第12講二次函數(shù)的應(yīng)用(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

二次函數(shù)的應(yīng)用
（1）利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題
在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問(wèn)題．解此類題的關(guān)鍵是通過(guò)題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問(wèn)題中自變量x的取值要使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問(wèn)題
幾何圖形中的二次函數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．
（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題
利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門(mén)等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過(guò)解析式可解決一些測(cè)量問(wèn)題或其他問(wèn)題．
【考點(diǎn)剖析】
利潤(rùn)問(wèn)題
1．(2023秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）某品牌裙子，平均每天可以售出20條，每條盈利40元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果該品牌每條裙子每降價(jià)1元，那么平均每天可以多售出2條，那么當(dāng)裙子降價(jià) 元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn) 元．
2．(2023春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）某超市從廠家購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的水杯，兩次購(gòu)進(jìn)水杯的情況如表：
（1）求A、B兩種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)各是多少元？
（2）在銷售過(guò)程中，A型水杯因?yàn)槲锩纼r(jià)廉而更受消費(fèi)者喜歡．為了增大B型水杯的銷售量，超市決定對(duì)B型水杯進(jìn)行降價(jià)銷售，當(dāng)銷售價(jià)為44元時(shí)，每天可以售出20個(gè)，每降價(jià)1元，每天將多售出5個(gè)，請(qǐng)問(wèn)超市應(yīng)將B型水杯降價(jià)多少元時(shí)，每天售出B型水杯的利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？
3．(2023春?徐匯區(qū)校級(jí)月考）某工廠設(shè)計(jì)了一款產(chǎn)品，成本為每件20元．投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種產(chǎn)品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)的關(guān)系，其中20≤x≤40．
（1）根據(jù)表格求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)銷售這種產(chǎn)品每天的利潤(rùn)為W（元），求W關(guān)于銷售單價(jià)x之間的函數(shù)解析式并求當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
4．(2023秋?奉賢區(qū)期中）某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16元，工廠將該產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價(jià)y（元）與一次性批發(fā)量x（件）（x為正整數(shù)）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．
（1）直接寫(xiě)出y與x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）若一次性批發(fā)量不低于20且不超過(guò)60件時(shí)，求獲得的利潤(rùn)w與x的函數(shù)關(guān)系式，同時(shí)當(dāng)批發(fā)量為多少件時(shí)，工廠獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？
5．(2023秋?普陀區(qū)期中）某商店如果將進(jìn)貨為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，通過(guò)一段時(shí)間的摸索，該店主發(fā)現(xiàn)這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷售量就減少10件，每降價(jià)0.5元，其銷售量就增加10件．
（1）如果每天的利潤(rùn)要達(dá)到700元，售價(jià)應(yīng)定為每件多少元？
（2）將售價(jià)定為每件多少元時(shí)，能使這天所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
最值問(wèn)題
1．(2023秋?松江區(qū)期末）一位運(yùn)動(dòng)員投擲鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度為y（米）關(guān)于水平距離x（米）的函數(shù)解析式為y=?112x2+23x+53，那么鉛球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最高點(diǎn)離地面的距離為米．
2．(2023秋?靜安區(qū)校級(jí)月考）如圖，一小孩將一只皮球從A處拋出去，它所經(jīng)過(guò)的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖象的一部分，如果他的出手處A距地面的距離OA為1m，當(dāng)球飛越的水平距離為8米時(shí)，球到達(dá)最高點(diǎn)B處，離地面高度為9米，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，小孩將球拋出了約米（精確到0.1m）．
3．(2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）某建筑工程隊(duì)在工地一邊的靠墻處，用120米長(zhǎng)的鐵柵欄圍成一個(gè)所占面積為長(zhǎng)方形的臨時(shí)倉(cāng)庫(kù)，其中墻僅80米長(zhǎng)，鐵柵欄只圍三邊，則所圍倉(cāng)庫(kù)的最大面積為平方米．
構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題
1．(2023秋?虹口區(qū)期末）如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時(shí)，水面AB寬為20米，拱橋的最高點(diǎn)O到水面AB的距離為4米．如果此時(shí)水位上升3米就達(dá)到警戒水位CD，那么CD寬為（）
A．45米B．10米C．46米D．12米
2．(2023?寶山區(qū)二模）有一座拋物線拱型橋，在正常水位時(shí)，水面BC的寬為10米，拱橋的最高點(diǎn)D到水面BC的距離DO為4米，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線BC為x，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）如果水面BC上升3米（即OA＝3）至水面EF，點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)，求水面寬度EF的長(zhǎng)．
四、二次函數(shù)與幾何圖形
1．(2023?寶山區(qū)模擬）在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮．如圖，已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC，它的底邊AB長(zhǎng)20厘米．要截得的矩形EFGD的邊FG在AB上，頂點(diǎn)E、D分別在邊CA、CB上．設(shè)EF的長(zhǎng)為x厘米，矩形EFGD的面積為y平方厘米，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域，并求當(dāng)EF的長(zhǎng)為4厘米時(shí)所截得的矩形的面積．
2．(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）將一條長(zhǎng)20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形．
（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為多少？
（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）兩個(gè)正方形的面積之和最小為 cm2．
3．(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在直角三角形ABC中，直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，設(shè)P，Q分別為AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P自點(diǎn)A沿AB方向向點(diǎn)B作勻速移動(dòng)且速度為每秒2cm，同時(shí)點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)且速度為每秒1cm．當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)就停止移動(dòng)，設(shè)P，Q移動(dòng)的時(shí)間t秒．
（1）寫(xiě)出△PBQ的面積S（cm2）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出t的取值范圍．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形？
4．(2023春?金山區(qū)期末）如圖，正方形ABCD，AB＝4，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作EG⊥AM交AM于點(diǎn)G，EG的延長(zhǎng)線交線段CD于點(diǎn)F．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，求證：BM＝CF；
（2）設(shè)BE＝x，梯形AEFD的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域．
5．(2023春?長(zhǎng)寧區(qū)期末）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝6厘米，∠B＝60°，點(diǎn)P在邊AD上以每秒2厘米的速度從D出發(fā)，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q在邊AB上以每秒1厘米的速度從點(diǎn)B出發(fā)，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．已知P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另外一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，聯(lián)結(jié)PC、QD．
（1）如圖1，若四邊形BQDC的面積為S平方厘米，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式并寫(xiě)出函數(shù)定義域；
（2）若PC與QD相交于點(diǎn)E，且∠PEQ＝60°，求t的值．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC中，BC＝10，BC邊上的高AH＝8，四邊形DEFG為內(nèi)接矩形．
（1）當(dāng)矩形DEFG是正方形時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．
（2）設(shè)EF＝x，矩形DEFG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)S有最大值，并求出最大值．
2．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種新商品在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件利潤(rùn)為10元時(shí)，每天可銷售70件；當(dāng)每件商品每漲價(jià)1元，日銷售量就減少1件，但每天的銷售量不得低于35件．據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答下列問(wèn)題．
（1）設(shè)每件漲了x元時(shí)，每件盈利_________元，商品每天可銷售______件；
（2）在商品銷售正常的情況下，每件商品漲價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每天盈利為1500元？
（3）若商場(chǎng)的每天盈利能達(dá)到最大，請(qǐng)直接寫(xiě)出每天的最大盈利為_(kāi)_____________．
3．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）某電動(dòng)機(jī)加工廠以400元/個(gè)的價(jià)格新接了一批電動(dòng)機(jī)加工業(yè)務(wù)．根據(jù)工廠以往的制造能力，該工廠每天制造電動(dòng)機(jī)的數(shù)量為x（個(gè)）(200≤x≤500)，且每個(gè)電動(dòng)機(jī)的制造成本y(元)與每天制造電動(dòng)機(jī)的數(shù)量x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示．
（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知該工廠每天各項(xiàng)消耗的費(fèi)用是2萬(wàn)元，每天的利潤(rùn)為w元，請(qǐng)求出w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出當(dāng)x為多少時(shí)，w最大，最大日利潤(rùn)是多少．
4．(2023秋?浦東新區(qū)月考）閱讀材料：
配方法可以用來(lái)解一元二次方程，還可以用它來(lái)解決一些最值問(wèn)題，比如：因?yàn)?a2≥0，所以3a2+1就有個(gè)最小值1，即3a2+1≥1，只有當(dāng)a＝0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最小值1．同樣，因?yàn)椹?a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a＝0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最大值1．
請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)x＝時(shí)，代數(shù)式3（x﹣2）2﹣1有最（填“大”或“小”）值為；
（2）當(dāng)x＝時(shí)，代數(shù)式﹣2x2﹣4x+3有最（填“大”或“小”）值為；
（3）矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長(zhǎng)度16m，求：當(dāng)花園與墻相鄰（即垂直于墻）的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？
進(jìn)貨批次
A型水杯（個(gè)）
B型水杯（個(gè)）
總費(fèi)用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
銷售量y（件）
…
30
20
10
…
銷售單價(jià)x（元）
…
25
30
35
…
第12講二次函數(shù)的應(yīng)用（核心考點(diǎn)講與練）
【基礎(chǔ)知識(shí)】
二次函數(shù)的應(yīng)用
（1）利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題
在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問(wèn)題．解此類題的關(guān)鍵是通過(guò)題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問(wèn)題中自變量x的取值要使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問(wèn)題
幾何圖形中的二次函數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．
（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題
利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門(mén)等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過(guò)解析式可解決一些測(cè)量問(wèn)題或其他問(wèn)題．
【考點(diǎn)剖析】
利潤(rùn)問(wèn)題
1．(2023秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）某品牌裙子，平均每天可以售出20條，每條盈利40元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果該品牌每條裙子每降價(jià)1元，那么平均每天可以多售出2條，那么當(dāng)裙子降價(jià) 15 元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn) 1250 元．
分析：設(shè)每件裙子應(yīng)降價(jià)x元，則每件盈利（40﹣x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，根據(jù)總利潤(rùn)＝每件盈利×平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【解答】解：設(shè)每件裙子應(yīng)降價(jià)x元，則每件盈利（40﹣x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，
依題意得利潤(rùn)w＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250．
所以當(dāng)裙子降價(jià)15元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)為1250元，
故答案為：15，1250．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
2．(2023春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）某超市從廠家購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的水杯，兩次購(gòu)進(jìn)水杯的情況如表：
（1）求A、B兩種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)各是多少元？
（2）在銷售過(guò)程中，A型水杯因?yàn)槲锩纼r(jià)廉而更受消費(fèi)者喜歡．為了增大B型水杯的銷售量，超市決定對(duì)B型水杯進(jìn)行降價(jià)銷售，當(dāng)銷售價(jià)為44元時(shí)，每天可以售出20個(gè)，每降價(jià)1元，每天將多售出5個(gè)，請(qǐng)問(wèn)超市應(yīng)將B型水杯降價(jià)多少元時(shí)，每天售出B型水杯的利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？
分析：（1）設(shè)A種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)為x元，B種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)兩次進(jìn)貨情況表，可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)：利潤(rùn)＝（每臺(tái)實(shí)際售價(jià)﹣每臺(tái)進(jìn)價(jià)）×銷售量，列函數(shù)關(guān)系式，配方成二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可得函數(shù)的最大值；
【解答】解：（1）設(shè)A種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)為x元，B種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)為y元，
根據(jù)題意得：100x+200y=8000200x+300y=13000，
解得：x=20y=30．
答：A種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)為20元，B種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)為30元；
（2）設(shè)超市應(yīng)將B型水杯降價(jià)m元時(shí)，每天售出B型水杯的利潤(rùn)為W元，根據(jù)題意，
得：W＝（44﹣m﹣30）（20+5m）
＝﹣5m2+50m+280
＝﹣5（m﹣5）2+405，
∴當(dāng)m＝5時(shí)，W取得最大值，最大值為405元，
答：超市應(yīng)將B型水杯降價(jià)5元時(shí)，每天售出B型水杯的利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為405元．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二元一次方程組及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解題意準(zhǔn)確抓住相等關(guān)系，據(jù)此列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
3．(2023春?徐匯區(qū)校級(jí)月考）某工廠設(shè)計(jì)了一款產(chǎn)品，成本為每件20元．投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種產(chǎn)品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)的關(guān)系，其中20≤x≤40．
（1）根據(jù)表格求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)銷售這種產(chǎn)品每天的利潤(rùn)為W（元），求W關(guān)于銷售單價(jià)x之間的函數(shù)解析式并求當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
分析：（1）用待定系數(shù)法即可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)＝每件利潤(rùn)×銷售量可列出W關(guān)于銷售單價(jià)x的函數(shù)解析式，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b（k≠0），
把x＝25、y＝30；x＝30、y＝2代入y＝kx+b得：
25k+b=3030k+b=20，解得k=?2b=80，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+80；
（2）根據(jù)題意得：
W＝y(tǒng)（x﹣20）
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)x＝30時(shí)，W取最大值200，
答：W關(guān)于銷售單價(jià)x的函數(shù)解析式為W＝＝﹣2x2+120x﹣1600，當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，工廠每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是200元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握總利潤(rùn)＝每件利潤(rùn)×銷售量列出W關(guān)于銷售單價(jià)x的函數(shù)解析式．
4．(2023秋?奉賢區(qū)期中）某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16元，工廠將該產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價(jià)y（元）與一次性批發(fā)量x（件）（x為正整數(shù)）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．
（1）直接寫(xiě)出y與x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）若一次性批發(fā)量不低于20且不超過(guò)60件時(shí)，求獲得的利潤(rùn)w與x的函數(shù)關(guān)系式，同時(shí)當(dāng)批發(fā)量為多少件時(shí)，工廠獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？
分析：（1）認(rèn)真觀察圖象，分別寫(xiě)出該定義域下的函數(shù)關(guān)系式，定義域取值全部是整數(shù)；
（2）根據(jù)利潤(rùn)＝（售價(jià)﹣成本）×件數(shù)，列出利潤(rùn)的表達(dá)式，求出最值．
【解答】解：（1）當(dāng)0＜x≤20且x為整數(shù)時(shí)，y＝40；
當(dāng)20＜x≤60且x為整數(shù)時(shí)，y=?12x+50；
當(dāng)x＞60且x為整數(shù)時(shí)，y＝20；
（2）設(shè)所獲利潤(rùn)w（元），
∴當(dāng)20＜x≤60且x為整數(shù)時(shí)，y=?12x+50，
∴w＝（y﹣16）x＝（?12x+50﹣16）x，
∴w=?12x2+34x，
∴w=?12（x﹣34）2+578，
∵?12＜0，
∴當(dāng)x＝34時(shí)，w最大，最大值為578元．
答：一次批發(fā)34件時(shí)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是578元．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式并熟練運(yùn)用性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5．(2023秋?普陀區(qū)期中）某商店如果將進(jìn)貨為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，通過(guò)一段時(shí)間的摸索，該店主發(fā)現(xiàn)這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷售量就減少10件，每降價(jià)0.5元，其銷售量就增加10件．
（1）如果每天的利潤(rùn)要達(dá)到700元，售價(jià)應(yīng)定為每件多少元？
（2）將售價(jià)定為每件多少元時(shí)，能使這天所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
分析：（1）如果設(shè)每件商品提高x元，可先用x表示出單件的利潤(rùn)以及每天的銷售量，然后根據(jù)總利潤(rùn)＝單價(jià)利潤(rùn)×銷售量列出關(guān)于x的方程，進(jìn)而求出未知數(shù)的值．
（2）首先設(shè)應(yīng)將售價(jià)提為x元時(shí)，才能使得所賺的利潤(rùn)最大為y元，根據(jù)題意可得：y＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]，然后化簡(jiǎn)配方，即可得y＝﹣20（x﹣14）2+720，即可求得答案．
【解答】解：（1）設(shè)每件商品提高x元，
則每件利潤(rùn)為（10+x﹣8）＝（x+2）元，
每天銷售量為（200﹣20x）件，
依題意，得：（x+2）（200﹣20x）＝700．
整理得：x2﹣8x+15＝0．
解得：x1＝3，x2＝5．
∴把售價(jià)定為每件13元或15元能使每天利潤(rùn)達(dá)到700元；
若設(shè)每件商品降價(jià)x元，
則（2﹣x）（200+20x）＝700．
整理得：x2+8x+15＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣5，
∴把售價(jià)定為每件13元或15元能使每天利潤(rùn)達(dá)到700元．
（2）設(shè)利潤(rùn)為y：
則y＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]
＝﹣20x2+560x﹣3200
＝﹣20（x﹣14）2+720，
則當(dāng)售價(jià)定為14元時(shí)，獲得最大利潤(rùn)；最大利潤(rùn)為720元．
答：把售價(jià)定為每件13元或15元能使每天利潤(rùn)達(dá)到700元，將售價(jià)定位每件14元時(shí)，能使每天可獲的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是720元．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系，求得二次函數(shù)解析式．
最值問(wèn)題
1．(2023秋?松江區(qū)期末）一位運(yùn)動(dòng)員投擲鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度為y（米）關(guān)于水平距離x（米）的函數(shù)解析式為y=?112x2+23x+53，那么鉛球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最高點(diǎn)離地面的距離為 3 米．
分析：直接利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．
【解答】解：由題意可得：
y=?112x2+23x+53
=?112（x2﹣8x）+53
=?112（x﹣4）2+3，
故鉛球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最高點(diǎn)離地面的距離為：3m．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確利用配方法求出最值是解題關(guān)鍵．
2．(2023秋?靜安區(qū)校級(jí)月考）如圖，一小孩將一只皮球從A處拋出去，它所經(jīng)過(guò)的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖象的一部分，如果他的出手處A距地面的距離OA為1m，當(dāng)球飛越的水平距離為8米時(shí)，球到達(dá)最高點(diǎn)B處，離地面高度為9米，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=?18（x﹣8）2+9 ，小孩將球拋出了約 16.5 米（精確到0.1m）．
分析：設(shè)出函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式，把點(diǎn)A代入求得解析式，進(jìn)一步求出與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可解答．
【解答】解：根據(jù)題意知，拋物線的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，9），圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣8）2+9，
把點(diǎn)A代入解析式得a=?18，
因此這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=?18（x﹣8）2+9．
當(dāng)y＝0時(shí)，?18x2+2x+1＝0，
解得x1≈16.5，x2＝﹣0.5（不合題意，舍去）；
因此小孩將球拋出了約16.5米．
故答案為：y=?18（x﹣8）2+9 、16.5．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用頂點(diǎn)式求函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．
3．(2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）某建筑工程隊(duì)在工地一邊的靠墻處，用120米長(zhǎng)的鐵柵欄圍成一個(gè)所占面積為長(zhǎng)方形的臨時(shí)倉(cāng)庫(kù)，其中墻僅80米長(zhǎng)，鐵柵欄只圍三邊，則所圍倉(cāng)庫(kù)的最大面積為 1800 平方米．
分析：由題意得y＝x（120﹣2x）＝﹣2x（x﹣60），而120﹣2x≤80，即x≥20，根據(jù)函數(shù)的增減性即可求解．
【解答】解：設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x米，則平行于墻的一邊為（120﹣2x）米，設(shè)圍成倉(cāng)庫(kù)的面積為y平方米，
根據(jù)題意得y＝x（120﹣2x）＝﹣2x（x﹣60），
而120﹣2x≤80，即x≥20，
函數(shù)y的對(duì)稱軸為x＝30，
∵a＝﹣2＜0，故拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)x＜30時(shí)，y隨x的增大而增大，
故當(dāng)x＝30（米）時(shí)，y有最大值，最大值為1800（平方米）；
故所圍倉(cāng)庫(kù)的最大面積為1800平方米，
故答案為1800．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用的運(yùn)用，要注意靠墻的那面不需要柵欄，不要把平行于墻的一邊算成是12（120﹣2x）．
構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題
1．(2023秋?虹口區(qū)期末）如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時(shí)，水面AB寬為20米，拱橋的最高點(diǎn)O到水面AB的距離為4米．如果此時(shí)水位上升3米就達(dá)到警戒水位CD，那么CD寬為（）
A．45米B．10米C．46米D．12米
分析：以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂直平分線為y軸，過(guò)O點(diǎn)作y軸的垂線，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函數(shù)解析式為y=?125x2，再將y＝﹣1代入解析式，求出C、D點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求CD的長(zhǎng)．
【解答】解：以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂直平分線為y軸，過(guò)O點(diǎn)作y軸的垂線，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，
∵O點(diǎn)到水面AB的距離為4米，
∴A、B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4，
∵水面AB寬為20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
將A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，
∴a=?125，
∴y=?125x2，
∵水位上升3米就達(dá)到警戒水位CD，
∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1，
∴﹣1=?125x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立合適的直角坐標(biāo)系，在該坐標(biāo)系下求二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
2．(2023?寶山區(qū)二模）有一座拋物線拱型橋，在正常水位時(shí)，水面BC的寬為10米，拱橋的最高點(diǎn)D到水面BC的距離DO為4米，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線BC為x，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）如果水面BC上升3米（即OA＝3）至水面EF，點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)，求水面寬度EF的長(zhǎng)．
分析：（1）直接假設(shè)出二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)題意得出y＝3進(jìn)而求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2+c，
由題意可得圖象經(jīng)過(guò)（5，0），（0，4），
則c=425a+4=0，
解得：a=?425，
故拋物線解析為：y=?425x2+4；
（2）由題意可得：y＝3時(shí)，
3=?425x2+4
解得：x＝±52，
故EF＝5，
答：水面寬度EF的長(zhǎng)為5m．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
四、二次函數(shù)與幾何圖形
1．(2023?寶山區(qū)模擬）在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮．如圖，已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC，它的底邊AB長(zhǎng)20厘米．要截得的矩形EFGD的邊FG在AB上，頂點(diǎn)E、D分別在邊CA、CB上．設(shè)EF的長(zhǎng)為x厘米，矩形EFGD的面積為y平方厘米，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域，并求當(dāng)EF的長(zhǎng)為4厘米時(shí)所截得的矩形的面積．
分析：由題意得，矩形的面積等于相鄰兩邊之積，根據(jù)圖中幾何關(guān)系把ED邊用x表示出來(lái)，再由矩形EFGD在等腰直角三角形內(nèi)，求出定義域，最后把EF的長(zhǎng)為4厘米，代入函數(shù)關(guān)系式，求得矩形面積．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形EFGD是矩形，
∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，
∴AF＝EF＝x，GB＝DG＝x，
FG＝AB﹣AF﹣GB＝20﹣2x，
矩形EFGD的面積y＝x（20﹣2x）
＝﹣2x2+20x，
由0＜20﹣2x＜20，
解得0＜x＜10，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣2x2+20x，
定義域是0＜x＜10，
當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣2×42+20×4＝48，
即當(dāng)EF的長(zhǎng)為4厘米時(shí)，所截得的矩形的面積為48平方厘米．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)，在等腰直角三角形和矩形中解題，要注意幾何關(guān)系．
2．(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）將一條長(zhǎng)20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形．
（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為多少？
（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）兩個(gè)正方形的面積之和最小為 12.5 cm2．
分析：（1）這段鐵絲被分成兩段后，圍成正方形．其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（5﹣x），根據(jù)“兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2”作為相等關(guān)系列方程，解方程即可求解；
（2）設(shè)兩個(gè)正方形的面積和為y，可得二次函數(shù)y＝x2+（5﹣x）2＝2（x?52）2+252，利用二次函數(shù)的最值的求法可求得y的最小值是12.5，所以可判斷兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于12cm2；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．
【解答】解：（1）設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（5﹣x）cm，
依題意列方程得x2+（5﹣x）2＝17，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解方程得x1＝1，x2＝4，
1×4＝4，20﹣4＝16；
因此這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是4cm、16cm；
（2）兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于12cm2．理由：
設(shè)兩個(gè)正方形的面積和為y，則
y＝x2+（5﹣x）2＝2（x?52）2+252，
∵a＝2＞0，
∴當(dāng)x=52時(shí)，y的最小值＝12.5＞12，
∴兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于12cm2；
（3）設(shè)兩個(gè)正方形的面積和為y，則
y＝x2+（5﹣x）2＝2（x?52）2+252，
∵a＝2＞0，
∴當(dāng)x=52時(shí)，y的最小值＝12.5cm2．
∴兩個(gè)正方形的面積之和最小為12.5cm2．
故答案為：12.5．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，等量關(guān)系是：兩個(gè)正方形的面積之和＝17或12．讀懂題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解題的關(guān)鍵．
3．(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在直角三角形ABC中，直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，設(shè)P，Q分別為AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P自點(diǎn)A沿AB方向向點(diǎn)B作勻速移動(dòng)且速度為每秒2cm，同時(shí)點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)且速度為每秒1cm．當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)就停止移動(dòng)，設(shè)P，Q移動(dòng)的時(shí)間t秒．
（1）寫(xiě)出△PBQ的面積S（cm2）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出t的取值范圍．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形？
分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC，垂足為H，從而得到△BPH∽△ABC，根據(jù)相似比例求出PH的長(zhǎng)，可以得到用t表示面積的函數(shù)解析式；
（2）分三種情況討論三角形PBQ為等腰三角形，即BP＝BQ，BQ＝PQ和BP＝PQ，再分別求t的值．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中直角邊AC＝6，BC＝8，
∴AB=62+82=10，
∴BP＝10﹣2t，BQ＝t．
如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC，垂足為H，
∵AC⊥BC，
∴△BPH∽△ABC，
∴ACPH=ABBP，即6PH=1010?2t，解得PH＝6?65t，
∴S=12BQ?PH=12t?（6?65t）=?35t2+3t（0＜t≤5）；
（2）
①當(dāng)BP＝BQ時(shí)，10﹣2t＝t，解得t=103秒；
②如圖2，當(dāng)BQ＝PQ時(shí)，作QE⊥BD，垂足為E，
∵BQ＝PQ，QE⊥BD，
∴BE=12BP=12（10﹣2t）＝5﹣t，
∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠QEB＝90°，
∴△BQE∽△BAC，
∴BQAB=BEBC，即t10=5?t8，
解得t=259秒；
③如圖3，當(dāng)BP＝PQ時(shí)，作PF⊥BC，垂足為F，
∵BP＝PQ，PF⊥BC，
∴BF=12BQ=12t．
∵∠B＝∠B，∠PFB＝∠C＝90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴BPAB=BFBC，即10?2t10=t28，
解得t=8021秒．
∴當(dāng)t=103秒，t=259秒，t=8021秒時(shí)，均使△PBQ為等腰三角形．
【點(diǎn)評(píng)】此題的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，此類問(wèn)題是近幾年中考中較常見(jiàn)的題目，在解答時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．
4．(2023春?金山區(qū)期末）如圖，正方形ABCD，AB＝4，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作EG⊥AM交AM于點(diǎn)G，EG的延長(zhǎng)線交線段CD于點(diǎn)F．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，求證：BM＝CF；
（2）設(shè)BE＝x，梯形AEFD的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域．
分析：（1）證明△BAM≌△CBF（ASA）即可；
（2）按照（1）的思路，作EH⊥CD于H得：△BAM≌△即可求解．
【解答】（1）證明：∵GE⊥AM，∴∠BAM+∠ABG＝90°，又∠CBF+∠ABG＝90°，
在△BAM和△CBF中，∠BAM＝∠CBF，AB＝BC，∠ABM＝∠BCF，
∴△BAM≌△CBF（ASA），∴BM＝CF；
（2）作EH⊥CD于H，由（1）得：△BAM≌△HEF，
∴HF＝BM＝2，∴DF＝4﹣2＝x＝2﹣x，
∴y=12×(4?x+2?x)×4=12?4x(0≤x＜2)，
答：y與x的函數(shù)解析式為∴y=12×(4?x+2?x)×4=12?4x(0≤x＜2)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及到三角形全等的知識(shí)，此類題目通常（1）為（2）提供思路．
5．(2023春?長(zhǎng)寧區(qū)期末）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝6厘米，∠B＝60°，點(diǎn)P在邊AD上以每秒2厘米的速度從D出發(fā)，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q在邊AB上以每秒1厘米的速度從點(diǎn)B出發(fā)，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．已知P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另外一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，聯(lián)結(jié)PC、QD．
（1）如圖1，若四邊形BQDC的面積為S平方厘米，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式并寫(xiě)出函數(shù)定義域；
（2）若PC與QD相交于點(diǎn)E，且∠PEQ＝60°，求t的值．
分析：（1）由S四邊形BQDC＝S梯形ABCD﹣SADQ即可求出表達(dá)式；（2）當(dāng)且∠PEQ＝60°時(shí)，可證△CDP≌△ADQ，則PD＝AQ，即可求解．
【解答】
（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，
在Rt△ABH中，∠B＝60°，AB＝6，可得：AH＝33、DF＝33，
S四邊形BQDC＝S梯形ABCD﹣SADQ＝273?（93?323t）＝183+323t（0＜t≤3）；
答：求S關(guān)于t的函數(shù)解析式為S＝183+323t（0＜t≤3）；
（2）當(dāng)且∠PEQ＝60°時(shí)，可證△CDP≌△ADQ（AAS），
∴PD＝AQ，即：6﹣t＝2t，t＝2．
答：t的值為2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，（1）中S四邊形BQDC＝S梯形ABCD﹣SADQ這種面積拆分的辦法是此類題目常用的方法．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
1．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC中，BC＝10，BC邊上的高AH＝8，四邊形DEFG為內(nèi)接矩形．
（1）當(dāng)矩形DEFG是正方形時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．
（2）設(shè)EF＝x，矩形DEFG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)S有最大值，并求出最大值．
答案:（1）；（2），當(dāng)x＝4時(shí)，S有最大值20
分析：（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，列方程求解；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出GF＝10?x，求出矩形的面積，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題．
【詳解】
（1）設(shè)HK＝y(tǒng)，則AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，
∵四邊形DEFG為矩形，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴AK：AH＝GF：BC，
∵當(dāng)矩形DEFG是正方形時(shí)，GF＝KH＝y(tǒng)，
∴(8﹣y)：8＝y(tǒng)：10，
解得：y＝；
（2）設(shè)EF＝x，則KH＝x．
∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，
由（1）可知：，
解得：GF＝10﹣x，
∴s＝GF?EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，
∴當(dāng)x＝4時(shí)S有最大值，并求出最大值20．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)邊相等且平行，相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，題目是一道中等題，難度適中．
2．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種新商品在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件利潤(rùn)為10元時(shí)，每天可銷售70件；當(dāng)每件商品每漲價(jià)1元，日銷售量就減少1件，但每天的銷售量不得低于35件．據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答下列問(wèn)題．
（1）設(shè)每件漲了x元時(shí)，每件盈利_________元，商品每天可銷售______件；
（2）在商品銷售正常的情況下，每件商品漲價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每天盈利為1500元？
（3）若商場(chǎng)的每天盈利能達(dá)到最大，請(qǐng)直接寫(xiě)出每天的最大盈利為_(kāi)_____________．
答案:（1），；（2）20；（3）1600
分析：（1）用售價(jià)減去進(jìn)價(jià)即可求得每件利潤(rùn)；銷售量等于原來(lái)銷售量減去減少的銷售量即可；
（2）利用總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷量列出方程求解即可；
（3）配方后即可確定最大利潤(rùn)；
【詳解】解：（1）設(shè)每件漲了x元時(shí)，每件盈利（10+x）元，商品每天可銷售（70-x）件；
（2）根據(jù)題意得：（10+x）（70-x）=1500，
解得：x=20或x=40（不合題意，舍去），
答：每件商品漲20元時(shí)商場(chǎng)每天盈利可達(dá)1500元．
（3）設(shè)總利潤(rùn)為w元，則w=（10+x）（70-x）=-（x-30）2+1600，
∴總利潤(rùn)的最大值為1600元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意列出方程或二次函數(shù)，滲透了數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想．
3．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）某電動(dòng)機(jī)加工廠以400元/個(gè)的價(jià)格新接了一批電動(dòng)機(jī)加工業(yè)務(wù)．根據(jù)工廠以往的制造能力，該工廠每天制造電動(dòng)機(jī)的數(shù)量為x（個(gè)）(200≤x≤500)，且每個(gè)電動(dòng)機(jī)的制造成本y(元)與每天制造電動(dòng)機(jī)的數(shù)量x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示．
（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知該工廠每天各項(xiàng)消耗的費(fèi)用是2萬(wàn)元，每天的利潤(rùn)為w元，請(qǐng)求出w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出當(dāng)x為多少時(shí)，w最大，最大日利潤(rùn)是多少．
答案:（1）y=-x+500；（2）w=(x-100)2-25000；當(dāng)x=500時(shí)，w最大，最大日利潤(rùn)為55000元．
分析：（1）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，把(200，400)，(500，250)分別代入即可求解；
（2）根據(jù)題意可求得w與x的函數(shù)關(guān)系式：w=(400-y)x-20000=[400-(-x+500)]x-20000=(x-100)2-25 000，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x>100時(shí)，w隨x的增大而增大，再結(jié)合200≤x≤500，可知當(dāng)x=500時(shí)，w取得最大值，代入計(jì)算即可．
【詳解】解：(1)根據(jù)題意，設(shè)y=kx+b，
將(200，400)，(500，250)分別代入，
得，
解得，
故y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+500；
(2)根據(jù)題意，得w=(400-y)x-20000=[400-(-x+500)]x-20 000=(x-100)2-25 000，
∵>0，
∴當(dāng)x>100時(shí)，w隨x的增大而增大，
又∵200≤x≤500，
∴當(dāng)x=500時(shí)，w取得最大值，最大值為×(500-100)2-25000=55000，
答：當(dāng)x=500時(shí)，w最大，最大日利潤(rùn)為55000元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．(2023秋?浦東新區(qū)月考）閱讀材料：
配方法可以用來(lái)解一元二次方程，還可以用它來(lái)解決一些最值問(wèn)題，比如：因?yàn)?a2≥0，所以3a2+1就有個(gè)最小值1，即3a2+1≥1，只有當(dāng)a＝0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最小值1．同樣，因?yàn)椹?a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a＝0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最大值1．
請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)x＝ 2 時(shí)，代數(shù)式3（x﹣2）2﹣1有最小（填“大”或“小”）值為 ﹣1 ；
（2）當(dāng)x＝ ﹣1 時(shí)，代數(shù)式﹣2x2﹣4x+3有最大（填“大”或“小”）值為 5 ；
（3）矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長(zhǎng)度16m，求：當(dāng)花園與墻相鄰（即垂直于墻）的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？
分析：（1）根據(jù)閱讀材料即可求解；
（2）根據(jù)閱讀材料即可求解；
（3）根據(jù)矩形面積公式列出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝2時(shí)，代數(shù)式3（x﹣2）2﹣1有最小值為﹣1；
故答案為2、小、﹣1．
（2）代數(shù)式﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，代數(shù)式﹣2x2﹣4x+3有最大值為5．
故答案為﹣1、大、5．
（3）設(shè)花園與墻相鄰（即垂直于墻）的邊長(zhǎng)為xm，花園的面積為ym2．根據(jù)題意，得
y＝x（16﹣2x）
＝﹣2x2+16x
＝﹣2（x﹣4）2+32
∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝4時(shí)，y有最大值為32，
答：花園與墻相鄰（即垂直于墻）的邊長(zhǎng)為4m時(shí)，花園的面積最大，最大面積是32m2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是理解最值．
進(jìn)貨批次
A型水杯（個(gè)）
B型水杯（個(gè)）
總費(fèi)用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
銷售量y（件）
…
30
20
10
…
銷售單價(jià)x（元）
…
25
30
35
…

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