滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第14講二次函數(shù)中的平移問題(考點講與練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【基礎(chǔ)知識】
一．二次函數(shù)圖象與幾何變換
由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．
二．坐標與圖形變化-平移
（1）平移變換與坐標變化
①向右平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x+a，y）
①向左平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x﹣a，y）
①向上平移b個單位，坐標P（x，y）?P（x，y+b）
①向下平移b個單位，坐標P（x，y）?P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐標系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．（即：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．）
三、二次函數(shù)中的平移問題主要是點的平移和圖形的平移：
針對頂點式拋物線的平移規(guī)律是：“左加右減（括號內(nèi)），上加下減”，同時保持a不變。
【考點剖析】
1．(2023普陀二模）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線經(jīng)過、兩點．
（1）求拋物線的表達式及頂點P的坐標；
（2）將拋物線向左平移個單位，設(shè)平移后的拋物線頂點為點．
①求的度數(shù)；
②將線段繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150°，點落在點M處，點N是平移后的拋物線上的一點，當(dāng)△MNB的面積為1時，求點N的坐標．
2.(2023寶山二模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=13x2+bx﹣1與x軸交于點A和點B（點A在x軸的正半軸上），與y軸交于點C，已知tan∠CAB=13．
（1）求頂點P和點B的坐標；
（2）將拋物線向右平移2個單位，得到的新拋物線與y軸交于點M，求點M的坐標和△APM的面積；
（3）如果點N在原拋物線的對稱軸上，當(dāng)△PMN與△ABC相似時，求點N的坐標．
【過關(guān)檢測】
1．(2023普陀區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x+1交于點A（m，0），B（﹣3，n），與y軸交于點C，聯(lián)結(jié)AC．
（1）求m、n的值和拋物線的表達式；
（2）點D在拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸上，當(dāng)∠ACD＝90°時，求點D的坐標；
（3）將△AOC平移，平移后點A仍在拋物線上，記作點P，此時點C恰好落在直線AB上，求點P的坐標．
2(2023年金山一模24）已知：拋物線 y ? ?x2 ? bx ? c 經(jīng)過點 A（0，1）和 B（1，4），頂點為點 P，拋物線的對稱軸與 x 軸相交于點 Q.
求拋物線的解析式；
求∠PAQ 的度數(shù)；
把拋物線向上或者向下平移，點 B 平移到點 C 的位置，如果 BQ=CP，求平移后的拋物線解析式.

3(2023閔行一模24）. 如圖，在平面直角坐標系中，直線與牰交于點，與軸交于點．點C為拋物線的頂點．
（1）用含的代數(shù)式表示頂點的坐標：
（2）當(dāng)頂點在 △AOB 內(nèi)部，且 S△AOC=52 時，求拋物線的表達式：
（3）如果將拋物線向右平移一個單位，再向下平移個單位后，平移后的拋物線的頂點仍在 △AOB 內(nèi)，求的取值范圍．
4(2023奉賢一模24）（本題滿分 12 分, 第(1)小題滿分 4 分, 第(2)小題每小題滿分 4 分)
如圖 11, 在平面直角坐標系 xOy 中, 拋物線 y=ax2+bx+3 與 x 軸交于點 A(?1,0) 和點 B(3,0), 與 y 軸交于點 C, 頂點為 D.
(1) 求該拋物線的表達式的頂點 D 的坐標;
(2) 將拋物線沿 y 軸上下平移, 平移后所得新拋物線頂點為 M, 點 C 的對應(yīng)點為 E.
①如果點 M 落在線段 BC 上, 求 ∠DBE 的度數(shù);
②設(shè)直線 ME 與 x 軸正半軸交于點 P, 與線段 BC 交于點 Q, 當(dāng) PE=2PQ 時, 求平移后新拋物線的表達式.
圖11
5．(2023?松江區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，直線y＝3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y＝ax2+bx﹣5a經(jīng)過點A．將點B向右平移5個單位長度，得到點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求拋物線的對稱軸；
（3）若拋物線的頂點在△OBC的內(nèi)部，求a的取值范圍．
6.【2023年靜安區(qū)二模24】（本題滿分12分，其中第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（2）小題3分）
在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（5，0）（如圖），經(jīng)過點A的拋物線與y軸相交于點B，頂點為點C．
求此拋物線表達式與頂點C的坐標；
求∠ABC的正弦值；
將此拋物線向上平移，所得新拋物線
頂點為D，且△DCA與△ABC相似，求平移后的新拋物線的表達式．
（第24題圖）
A
O
x
y
7.【2023年長寧二模24】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經(jīng)過點A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個單位長度，聯(lián)結(jié)AC、BC，當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個公共點時，求m的值；
（3）如果點P是拋物線上一動點，且在點B的右側(cè)，聯(lián)結(jié)PC，直線PA交y軸于點E，當(dāng)∠PCE＝∠PEC時，求點P的坐標．
8.【2023年奉賢二模】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），點A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經(jīng)過點A、C．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）將拋物線先向右平移m個單位，再向上平移1個單位，此時點C恰好落在直線AB上的點C′處，求m的值；
（3）設(shè)點B關(guān)于原拋物線對稱軸的對稱點為B′，聯(lián)結(jié)AC，如果點F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，求點F的坐標．
9.【2023年浦東新區(qū)二模24】（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C．
（1）求這條拋物線的表達式和頂點的坐標；
（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點B，求平移后拋物線的表達式；
（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點D，交線段BC于點P、Q，（點P在點Q右側(cè)），平移后拋物線的頂點為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．
第14講二次函數(shù)中的平移問題（核心考點講與練）
【基礎(chǔ)知識】
一．二次函數(shù)圖象與幾何變換
由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．
二．坐標與圖形變化-平移
（1）平移變換與坐標變化
①向右平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x+a，y）
①向左平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x﹣a，y）
①向上平移b個單位，坐標P（x，y）?P（x，y+b）
①向下平移b個單位，坐標P（x，y）?P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐標系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．（即：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．）
三、二次函數(shù)中的平移問題主要是點的平移和圖形的平移：
針對頂點式拋物線的平移規(guī)律是：“左加右減（括號內(nèi)），上加下減”，同時保持a不變。
【考點剖析】
1．(2023普陀二模）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線經(jīng)過、兩點．
（1）求拋物線的表達式及頂點P的坐標；
（2）將拋物線向左平移個單位，設(shè)平移后的拋物線頂點為點．
①求的度數(shù)；
②將線段繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150°，點落在點M處，點N是平移后的拋物線上的一點，當(dāng)△MNB的面積為1時，求點N的坐標．
答案:（1），
（2）①；②或
分析：（1）根據(jù)題意待定系數(shù)法求解析式即可，然后化為頂點式即可求得頂點P的坐標；
（2）①連接，則軸，設(shè)交點為C，則，根據(jù)平移求得點的坐標，進而即可求得的度數(shù)，
②根據(jù)題意畫出圖形，過點M作軸于點D，過點N作軸于點E，根據(jù)△MNB的面積為1建立方程，即可求得點N的坐標．
【小問1詳解】
解：∵拋物線經(jīng)過、
解得
∴∴
【小問2詳解】
∵拋物線向左平移個單位，設(shè)平移后的拋物線頂點為點
∴連接，則軸，設(shè)交點為C，則
∵∴，在中，
∴
②過點M作軸于點D，過點N作軸于點E，
∵在中，，，
∴，，則
∵將線段繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150°，點落在點M處，
∴
∴在與△BMD中
∴∴，
∵∴∵將拋物線向左平移個單位，平移后的拋物線頂點
∴平移后的拋物線解析式為
設(shè)，則
∴，
∵∴
∴
∵∴解得或
∴N的坐標為或
【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，平移問題，勾股定理解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．
2.(2023寶山二模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=13x2+bx﹣1與x軸交于點A和點B（點A在x軸的正半軸上），與y軸交于點C，已知tan∠CAB=13．
（1）求頂點P和點B的坐標；
（2）將拋物線向右平移2個單位，得到的新拋物線與y軸交于點M，求點M的坐標和△APM的面積；
（3）如果點N在原拋物線的對稱軸上，當(dāng)△PMN與△ABC相似時，求點N的坐標．
分析：（1）根據(jù)題意可畫出函數(shù)圖象，由tan∠CAB=13可得OCOA=13，令x＝0可得y＝﹣1，進而可得C（0，﹣1），即OC＝1，由此可得A（3，0），將點A的坐標代入拋物線解析式可求出b的值，化作頂點式可求出點P的坐標；令y＝0，可求出x的值，進而可得出點B的坐標；
（2）根據(jù)拋物線的平移可求出新拋物線，令x＝0，可得出點M的坐標，利用三角形的面積公式可求出△APM的面積；
（3）過點M作MQ垂直于原拋物線的對稱軸，可得出MQ和PQ的長，進而可得出tan∠MPQ＝tan∠CAB=13，由△PMN與△ABC相似可得，PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，由此可得出點N的坐標．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可畫出函數(shù)圖象，
令x＝0可得y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），即OC＝1．
在Rt△AOC中，tan∠CAB=13，
∴OCOA=13，
∴OA＝3，
∴A（3，0）．
將點A的坐標代入拋物線解析式可得，13×32+3b﹣1＝0，解得b=?23．
∴拋物線的解析式為：y=13x2?23x﹣1=13（x﹣1）2?43．
∴頂點P（1，?43），
令y＝0，即13（x﹣1）2?43=0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴B（﹣1，0）．
（2）將（1）中拋物線向右平移2個單位，得到的新拋物線y=13（x﹣3）2?43．
令x＝0，則y=53．
∴M（0，53）．
連接AP并延長交y軸于點D，
∴直線AP的解析式為：y=23x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴S△APM=12（xA﹣xP）?MD=12×（3﹣1）×（53+2）=113．
（3）在△ABC中，A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1），tan∠CAB=13，
∴AB＝4，AC=10．
如圖，過點M作MQ垂直于原拋物線的對稱軸，
∴MQ＝1，PQ53+43=3，
∴tan∠MPQ=MQPQ=13，PM=10．
∴∠MPQ＝∠CAB，
若△PMN與△ABC相似，則PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，
設(shè)N（1，t），則PN＝t+43，
∴10：（t+43）＝4：10或10：（t+43）=10：4，
解得t=76或t=83．
∴N（1，76）或（1，83）．
【點評】本題屬于二次函數(shù)與幾何綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角函數(shù)值，相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論思想等知識．第（3）問得出∠MPQ＝∠CAB是解題關(guān)鍵．
【過關(guān)檢測】
1．(2023普陀區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x+1交于點A（m，0），B（﹣3，n），與y軸交于點C，聯(lián)結(jié)AC．
（1）求m、n的值和拋物線的表達式；
（2）點D在拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸上，當(dāng)∠ACD＝90°時，求點D的坐標；
（3）將△AOC平移，平移后點A仍在拋物線上，記作點P，此時點C恰好落在直線AB上，求點P的坐標．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求出A，B兩點坐標即可解決問題．
（2）過點D作DH⊥y軸于點H，由直角三角形的性質(zhì)得出tan∠ACO＝tan∠CDH，則，可列出方程求出CH的長，則可得出答案；
（3）設(shè)P（t，），得出N（t﹣3，），由點N在直線AB上可得出t的值，則可得出答案．
【解答】解：（1）將A（m，0）代入y＝﹣x+1，
解得m＝3，
∴A（3，0），
將B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，
解得n＝2，
∴B（﹣3，﹣2），
把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，
得，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．
（2）如圖1，過點D作DH⊥y軸于點H，
∵拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．
∴拋物線的對稱軸為x＝﹣＝，
∴DH＝，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACO+∠DCH＝90°，
又∵∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠ACO＝∠CDH，
∴tan∠ACO＝tan∠CDH，
∴，
由（1）可知OA＝3，OC＝2，
∴，
∴CH＝，
∴D（，﹣）；
（3）如圖2，若平移后的三角形為△PMN，
則MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，
設(shè)P（t，t﹣2），
∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），
∵點N在直線y＝﹣x+1上，
∴（t﹣3）+1，
∴t＝3或t＝﹣3，
∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．
【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，平移的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程確定點的坐標．
2(2023年金山一模24）已知：拋物線 y ? ?x2 ? bx ? c 經(jīng)過點 A（0，1）和 B（1，4），頂點為點 P，拋物線的對稱軸與 x 軸相交于點 Q.
求拋物線的解析式；
求∠PAQ 的度數(shù)；
把拋物線向上或者向下平移，點 B 平移到點 C 的位置，如果 BQ=CP，求平移后的拋物線解析式.

解：（1）根據(jù)題意………………………………………………………（2分）
解得：，。
∴拋物線的表達式是…………………………………………………（2分）
（2），∴頂點P的坐標是（2，5）.
對稱軸是直線x=2，點Q的坐標為（2，0）. …………………………………………（1分）
∴，，；……………………………………………………（1分）
∴，∴∠COM = 90°，…………………………………………………（2分）
（3）根據(jù)題意，BC∥PQ.
如果點C在點B的上方, PC∥BQ時，四邊形BCPQ是平行四邊形，
∴BQ=CP，BC=PQ=5，
即拋物線向上平移5個單位，平移后的拋物線解析式是.…………（2分）
如果點C在點B的下方，四邊形BCQP是等腰梯形時BQ=CP，
作BE⊥PQ，CF⊥PQ，垂足分別為E、F.
根據(jù)題意可得，PE=QF=1，PQ=5，BC=EF=3，
即拋物線向下平移3個單位，平移后的拋物線解析式是……………（2分）.
綜上所述，平移后的拋物線解析式是或.
3(2023閔行一模24）. 如圖，在平面直角坐標系中，直線與牰交于點，與軸交于點．點C為拋物線的頂點．
（1）用含的代數(shù)式表示頂點的坐標：
（2）當(dāng)頂點在 △AOB 內(nèi)部，且 S△AOC=52 時，求拋物線的表達式：
（3）如果將拋物線向右平移一個單位，再向下平移個單位后，平移后的拋物線的頂點仍在 △AOB 內(nèi)，求的取值范圍．
【小問1詳解】解：拋物線，
∴頂點C的坐標為；
【小問2詳解】解：對于，當(dāng)x=0時，y=5，當(dāng)y=0時，x=5，
∴A（5，0），B（0，5），
∵頂點 C 在 △AOB 內(nèi)部，且 S△AOC=52，
∴，
∴a=2，
∴拋物線的表達式為；
【小問3詳解】解：由題意，平移后的拋物線的頂點P的坐標為，
∵平移后的拋物線的頂點仍在 △AOB 內(nèi)，
∴，
解得：1＜a＜3，
即的取值范圍為1＜a＜3．
4(2023奉賢一模24）（本題滿分 12 分, 第(1)小題滿分 4 分, 第(2)小題每小題滿分 4 分)
如圖 11, 在平面直角坐標系 xOy 中, 拋物線 y=ax2+bx+3 與 x 軸交于點 A(?1,0) 和點 B(3,0), 與 y 軸交于點 C, 頂點為 D.
(1) 求該拋物線的表達式的頂點 D 的坐標;
(2) 將拋物線沿 y 軸上下平移, 平移后所得新拋物線頂點為 M, 點 C 的對應(yīng)點為 E.
①如果點 M 落在線段 BC 上, 求 ∠DBE 的度數(shù);
②設(shè)直線 ME 與 x 軸正半軸交于點 P, 與線段 BC 交于點 Q, 當(dāng) PE=2PQ 時, 求平移后新拋物線的表達式.
圖11
【解答】解：（1）將點A（﹣1，0）和點B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點D（1，4）；
（2）①設(shè)直線x＝1交x軸于G，
∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴GM＝GB＝2，∴DM＝DG﹣GM＝2，
∴將拋物線y＝﹣x2+2x+3沿y軸向下平移2個單位時，點M落在BC上，此時E（0，1），
∵D（1，4），E（0，1），B（3，0），
∴DE2＝10，BE2＝10，BD2＝20，∴DE2+BE2＝BD2，
∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°；
②當(dāng)點P在x軸正半軸時，則點M在x軸下方，如圖，作QH⊥x軸于H，
由C（0，3），D（1，4）可知，直線CD與x軸夾角為45°，
∴平移后∠QPB＝45°，∴PH＝BH，
∵OE∥QH，PE＝2PQ，∴OP＝2PH，
∴4BH＝3，∴BH＝
∴OP＝2BH＝，∴GM＝GP＝，∴M（1，﹣），
∴平移后拋物線為y＝﹣（x﹣1）2﹣．
5．(2023?松江區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，直線y＝3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y＝ax2+bx﹣5a經(jīng)過點A．將點B向右平移5個單位長度，得到點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求拋物線的對稱軸；
（3）若拋物線的頂點在△OBC的內(nèi)部，求a的取值范圍．
分析：（1）由y＝3x+3與x、y軸分別交于點A、B，可求出A、B坐標，B向右移動5個單位即得C坐標；
（2）將A坐標代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根據(jù)對稱軸公式可得答案；
（3）對稱軸x＝2與BC交于D，與OC交于E，拋物線的頂點在△OBC的內(nèi)部，則頂點在D和E之間，用a表示頂點縱坐標列不等式可得答案．
【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
∵點B向右平移5個單位長度，得到點C．
∴C（5，3）；
（2）∵A（﹣1，0），拋物線y＝ax2+bx﹣5a經(jīng)過點A，
∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，
∴拋物線y＝ax2+bx﹣5a對稱軸為x＝＝﹣＝2；
（3）對稱軸x＝2與BC交于D，與OC交于E，如圖：
設(shè)OC解析式為y＝kx，
∵（5，3），
∴3＝5k，
∴k＝，
∴OC解析式為y＝x，
令x＝2得y＝，即E（2，），
由（1）知b＝﹣4a，
∴拋物線為y＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴頂點坐標為（2，﹣9a），
拋物線的頂點在△OBC的內(nèi)部，則頂點在D和E之間，
而D（2，3），
∴＜﹣9a＜3，
∴﹣＜a＜﹣．
【點評】本題考查點的平移、二次函數(shù)圖象等知識，表示頂點坐標列不等式是解題的關(guān)鍵．
6.【2023年靜安區(qū)二模24】（本題滿分12分，其中第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（2）小題3分）
在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（5，0）（如圖），經(jīng)過點A的拋物線與y軸相交于點B，頂點為點C．
求此拋物線表達式與頂點C的坐標；
求∠ABC的正弦值；
將此拋物線向上平移，所得新拋物線
頂點為D，且△DCA與△ABC相似，求平移后的新拋物線的表達式．
（第24題圖）
A
O
x
y
解：（1）∵拋物線經(jīng)過點A（5，0），∴．（1分）
∴．（1分）
∴拋物線表達式為，頂點C的坐標為（）．（2分）
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸、AB分別相交于點E、F，點E（3，0）．
∵點B（0，5），∴OA=OB=5, AB＝，∠OAB=45°，
∴EF=AE=2，CF=6．（1分）
∴．（2分）
過點A作AH⊥BC，垂足為H，
∵BC=，∴．（1分）
∴．∴ ．（1分）
（3）∵，∴Rt△AEC∽Rt△AHB，∴∠ACE=∠A
∵△DCA與△ABC相似，∴或．（1分）
∴或．∴CD=或CD=6．（1分）
∵拋物線和y軸的交點向上平移的距離與頂點平移的距離相同，
∴平移后的拋物線的表達式為或．（1分）
7.【2023年長寧二模24】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經(jīng)過點A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個單位長度，聯(lián)結(jié)AC、BC，當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個公共點時，求m的值；
（3）如果點P是拋物線上一動點，且在點B的右側(cè)，聯(lián)結(jié)PC，直線PA交y軸于點E，當(dāng)∠PCE＝∠PEC時，求點P的坐標．
答案:（1）；（2）m＝4；（3）
分析：（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個公共點時，則拋物線過點C（0，4），即可求解；
（3）求出直線PA的表達式，得到點E的坐標為（0，?t＋4），由∠PCE＝∠PEC，則點P在CE的中垂線上，進而求解．
【詳解】解：（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得：，
解得
故拋物線的表達式為；
（2）令x=0，y=4
∴C（0，4）
當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個公共點時，則拋物線過點C（0，4）
由拋物線的表達式知，其對稱軸為x＝2，
則平移后拋物線再過點C時，m＝4；
（3）設(shè)點P的坐標為（t，) ，
設(shè)直線PA的表達式為y＝kx+b，
代入A、P坐標得，解得，
∴直線PA的表達式為y＝（）x，
令x=0，y=
故點E的坐標為（0，﹣t+4），
而點C（0，4），
∵∠PCE＝∠PEC，
則點P在CE的中垂線上，
由中點公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），
解得t＝1（舍去）或，
故點P的坐標為．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、圖形的平移等，有一定的綜合性，難度適中．
8.【2023年奉賢二?！咳鐖D，在平面直角坐標系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），點A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經(jīng)過點A、C．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）將拋物線先向右平移m個單位，再向上平移1個單位，此時點C恰好落在直線AB上的點C′處，求m的值；
（3）設(shè)點B關(guān)于原拋物線對稱軸的對稱點為B′，聯(lián)結(jié)AC，如果點F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，求點F的坐標．
答案:（1）y＝x2﹣2x；（2）4；（3）F坐標為（4，）或（4，﹣1.5）．
分析：（1）求出A坐標，將A、C坐標代入y＝ax2＋bx即可得答案；
（2）求出AB解析式，用m表示C′坐標代入即可得答案；
（3）分F在A上方和下方兩種情況畫出圖形，構(gòu)造相似三角形利用對應(yīng)邊成比例可得答案．
【詳解】解：（1）∵B（0，2），
∴OB＝2，
∵點A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，
∴A（4，0），
∴將A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2＋bx得：
，解得，
∴拋物線的表達式為y＝x2﹣2x；
（2）設(shè)直線AB的解析式是y＝mx＋n，
將A（4，0），B（0，2）代入得：
，解得，
∴直線AB的解析式是y＝﹣x＋2，
∵拋物線y＝x2﹣2x向右平移m個單位，再向上平移1個單位，則其上的點C也向右平移m個單位，再向上平移1個單位，而C（1，﹣），
∴C′（1＋m，﹣），
∵C′（1＋m，﹣）在直線AB上，
∴﹣＝﹣（1＋m）＋2，
∴m＝4；
（3）∵y＝x2﹣2x對稱軸為x＝2，B（0，2），點B關(guān)于原拋物線對稱軸的對稱點為B′，
∴B′（4，2），
∵A（4，0），
∴直線AB′為x＝4，
點F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，分兩種情況：
①F在A上方，如圖：
過A作AG⊥CF于G，過G作GH//x軸交直線x＝4于H，過C作CM⊥x軸交直線GH于M，
∵B（0，2），A（4，0），
∴tan∠BAO＝，
∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，
∴tan∠ACF＝，即，
而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，
∴△MCG∽△HGA，
∴，
∴MC＝GH，MG＝2AH，
設(shè)G（m，n），則MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，
∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，
解得m＝2.8，n＝0.9，
∴G（28，0.9），
又C，
∴直線GC解析式為：y＝x﹣，
令x＝4得y＝
∴F（4，），
②F在A下方，
延長AC交y軸于D，過C作CF//x軸交直線x＝4于F，
∵A（4，0），C（1，﹣1.5），
∴直線AC解析式為y＝x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∵B（0，2），
∴B，D關(guān)于x軸對稱，
∴∠BAO＝∠DAO，
若∠ACF＝∠BAO，
則∠ACF＝∠DAO，
∴CF//x軸，
∴F
綜上所述，∠ACF＝∠DAO，F(xiàn)坐標為或或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
9.【2023年浦東新區(qū)二模24】（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C．
（1）求這條拋物線的表達式和頂點的坐標；
（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點B，求平移后拋物線的表達式；
（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點D，交線段BC于點P、Q，（點P在點Q右側(cè)），平移后拋物線的頂點為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．
分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，化成頂點式即可求得頂點坐標；
（2）根據(jù)圖象上點的坐標特征求得B（4，0），然后分兩種情況討論求得即可；
（3）設(shè)向下平移后的拋物線表達式是：y＝x2﹣2x+n，得點D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式為y＝x2﹣2x﹣1．求得頂點坐標，然后解直角三角形即可求得結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點A（2，0），
得0＝4+2b，解得 b＝﹣2，
∴拋物線的表達式是y＝x2﹣2x．
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴它的頂點C的坐標是（1，﹣1）．
（2）∵直線與x軸交于點B，
∴點B的坐標是（4，0）．
①將拋物線y＝x2﹣2x向右平移2個單位，使得點A與點B重合，
此時平移后的拋物線表達式是y＝（x﹣3）2﹣1．
②將拋物線y＝x2﹣2x向右平移4個單位，使得點O與點B重合，
此時平移后的拋物線表達式是y＝（x﹣5）2﹣1．
（3）如圖，設(shè)向下平移后的拋物線表達式是：y＝x2﹣2x+n，得點D（0，n）．
∵DP∥x軸，
∴點D、P關(guān)于拋物線的對稱軸直線x＝1對稱，
∴P（2，n）．
∵點P在直線BC上，
∴．
∴平移后的拋物線表達式是：y＝x2﹣2x﹣1．
∴新拋物線的頂點M的坐標是（1，﹣2）．
∴MC∥OB，
∴∠MCP＝∠OBC．
在Rt△OBC中，，
由題意得：OC＝2，，
∴．
即∠MCP的正弦值是．

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