一．圓的認(rèn)識(shí)
（1）圓的定義
定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合．
（2）與圓有關(guān)的概念
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．
連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?br>（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對(duì)稱性．②中心對(duì)稱性．
二．圓心角、弧、弦的關(guān)系
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．
說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?br>（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系
三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．
三．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點(diǎn)P在圓外?d＞r
②點(diǎn)P在圓上?d＝r
①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r
（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
四．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．
（3）概念說(shuō)明：
①“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)．
考點(diǎn)精講
一．圓的認(rèn)識(shí)（共1小題）
1．（2020秋?浦東新區(qū)月考）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．半圓是弧
B．過(guò)圓心的線段是直徑
C．弦是直徑
D．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧
【分析】利用圓的有關(guān)定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：A、半圓是弧，正確，符合題意；
B、過(guò)圓心的弦是直徑，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；
C、弦不一定是直徑，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；
D、長(zhǎng)度相等的兩條弧不一定是等弧，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】考查了圓的認(rèn)識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)，難度不大．
二．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共6小題）
2．（2021?浦東新區(qū)模擬）下列四個(gè)命題：
①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等；
②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等；
③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；
④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．
真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】利用圓的有關(guān)性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的優(yōu)弧相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等，正確，是真命題，符合題意；
③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等，正確，是真命題，符合題意；
④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等，正確，是真命題，符合題意，
真命題有3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)性質(zhì)，難度不大．
3．（2020秋?浦東新區(qū)月考）下列關(guān)于圓的說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧
B．如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對(duì)的圓心角相等
C．圓的對(duì)稱軸是任意一條直徑所在的直線
D．拱形不一定是弓形
【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)過(guò)圓心的直線都為圓的對(duì)稱軸可對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)拱形與弓形的定義對(duì)D進(jìn)行判斷．
【解答】解：A．半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對(duì)的圓心角相等，所以B選項(xiàng)符合題意；
C．圓的對(duì)稱軸是任意一條直徑所在的直線，所以C選項(xiàng)不符合題意；
D．拱形加上跨度為弓形，所以D選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了軸對(duì)稱．
4．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知OA，OB，OM均是⊙O的半徑，OA⊥OB，＝．如果+＝k，那么k的值是 或﹣ ．
【分析】分別討論點(diǎn)M在劣弧AB上或點(diǎn)M在優(yōu)弧AB上兩種情況，再利用平面向量的定義即可得出答案．
【解答】解：當(dāng)點(diǎn)M在劣弧AB上時(shí)，
過(guò)點(diǎn)A作AC∥OB且AC＝OB，連接BC，如圖．
∵OA，OB，OM均是⊙O的半徑，
∴OA＝OB＝OM，
∵OA⊥OB，＝，
∴點(diǎn)O，M，C三點(diǎn)在同一條直線上，
+＝，
設(shè)圓O的半徑為x，
∴＝x，，
∴||＝，
∴k＝．
當(dāng)點(diǎn)M在優(yōu)弧AB上時(shí)，
過(guò)點(diǎn)A作AC∥OB且AC＝OB，連接BC，如圖．
同理可得，點(diǎn)O，M，C三點(diǎn)在同一條直線上，
設(shè)圓O的半徑為x，
則＝x，，
∴||＝，
∴，
∴k＝﹣．
故答案為：或﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的定義、平面向量的定義，熟練掌握?qǐng)A的定義和平面向量的定義是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）⊙O中，點(diǎn)C在直徑AB上，AC＝3BC，過(guò)點(diǎn)C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝ 120 度．
【分析】連接OE，OF，根據(jù)AC＝3BC，得BC＝OC＝OA，根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得∠OEF＝30°，進(jìn)而得出∠EOF的度數(shù)．
【解答】解：連接OE，
∵EF⊥AB，AC＝3BC，
∴BC＝OC＝OA，
∴∠OEF＝30°，
∴∠EOF＝180°﹣2∠OEF＝120°．
故答案為：120．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理，掌握定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
6．（2022?寶山區(qū)模擬）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝，tanC＝2，⊙O過(guò)點(diǎn)A、C，交BC邊于點(diǎn)D．且，求CD的長(zhǎng)．
【分析】如圖，連接AC，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)E．根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系推知△ACD是等腰三角形，由其“三合一”的性質(zhì)證得AE是CD的中垂線．在直角△AEC中根據(jù)勾股定理求得線段CE的長(zhǎng)度，進(jìn)而根據(jù)垂徑定理來(lái)求線段CD的長(zhǎng)度．
【解答】解：如圖，連接AD，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)E．
∵，
∴AD＝AC，
∵點(diǎn)O是等腰△ACD的外心，
∴AE⊥CD，且CD＝2CE．
∴在直角△ABE中，∠B＝45°，AB＝，則AE＝4．
∵tanC＝2，
∴＝2，即AE＝2CE，
∴CD＝AE＝4，即線段CD的長(zhǎng)度是4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形以及圓心角、弧、弦間的關(guān)系．注意解題過(guò)程中要證明一下AE是線段CD的中垂線．
7．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知⊙O經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A、B，交邊BC于點(diǎn)D，點(diǎn)A恰為的中點(diǎn)，且BD＝8，AC＝9，sinC＝，求⊙O的半徑．
【分析】如圖，連接OA．交BC于H．首先證明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△BOH中，根據(jù)BH2+OH2＝OB2，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；
【解答】解：如圖，連接OA．交BC于H．
∵點(diǎn)A為的中點(diǎn)，
∴OA⊥BD，BH＝DH＝4，
∴∠AHC＝∠BHO＝90°，
∵sinC＝＝，AC＝9，
∴AH＝3，
設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△BOH中，∵BH2+OH2＝OB2，
∴42+（r﹣3）2＝r2，
∴r＝，
∴⊙O的半徑為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系、垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．
三．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共8小題）
8．（2022?寶山區(qū)模擬）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果點(diǎn)B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，那么a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＞﹣1B．a(chǎn)＜3C．﹣1＜a＜3D．﹣1≤a≤3．
【分析】由點(diǎn)B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)知|a﹣1|＜2，據(jù)此可得答案．
【解答】解：∵點(diǎn)B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，
∴|a﹣1|＜2，
則﹣2＜a﹣1＜2，
解得﹣1＜a＜3，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有①點(diǎn)P在圓外?d＞r；②點(diǎn)P在圓上?d＝r；③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．
9．（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，點(diǎn)P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（ ）
A．點(diǎn)B，C均在圓P外
B．點(diǎn)B在圓P外，點(diǎn)C在圓P內(nèi)
C．點(diǎn)B在圓P內(nèi)，點(diǎn)C在圓P外
D．點(diǎn)B，C均在圓P內(nèi)
【分析】由AB＝8，BP＝3AP得到AP＝2，BP＝6，再根據(jù)勾股定理，在Rt△ADP中計(jì)算出PD＝7，在Rt△PBC中計(jì)算出PC＝9，則PC＞PD＞PB，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．
【解答】解：如圖，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD＝BC＝3，
∵AB＝8，BP＝3AP，
∴AP＝2，BP＝6，
在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝3，
∴PD＝＝7，
在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝3，
∴PC＝＝9，
∴PC＞PD＞PB，
∴點(diǎn)B在圓P內(nèi)，點(diǎn)C在圓P外．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．
10．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝6，BC＝8，現(xiàn)以點(diǎn)A為圓心作圓，如果 B、C、D至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，那么⊙A半徑r的取值范圍是 6＜r＜10 ．
【分析】根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出答案．
【解答】解：如圖，連結(jié)AC，BD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∵以點(diǎn)A為圓心作圓，如果 B、C、D至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，
∴r＞6，
∵至少有一點(diǎn)在圓外，
∴r＜10，
∴⊙A半徑r的取值范圍是：6＜r＜10．
故答案為：6＜r＜10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種，設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r； ②點(diǎn)P在圓上?d＝r；③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r是解題的關(guān)鍵．
11．（2022?黃浦區(qū)二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，ctB＝，如果頂點(diǎn)C在⊙B內(nèi)，頂點(diǎn)A在⊙B外，那么⊙B的半徑r的取值范圍是 10＜r＜13 ．
【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BD＝CD＝BC＝5，根據(jù)ctB＝求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出答案．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
∵AB＝AC，BC＝10，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∵ctB＝＝＝，
∴AD＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵頂點(diǎn)C在⊙B內(nèi)，頂點(diǎn)A在⊙B外，
∴10＜r＜13．
故答案為：10＜r＜13．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種，設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r； ②點(diǎn)P在圓上?d＝r；③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r是解題的關(guān)鍵．
12．（2022?寶山區(qū)模擬）已知圓O的半徑為5，點(diǎn)A在圓O外，如果線段OA的長(zhǎng)為d，那么d的取值范圍是 d＞5 ．
【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外，d＞r，可得結(jié)論．
【解答】解：∵點(diǎn)A在圓外，
∴d＞5，
故答案為：d＞5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記?。狐c(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r．③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．
13．（2021?浦東新區(qū)三模）已知點(diǎn)C在線段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，那么點(diǎn)B與⊙C的位置關(guān)系是 點(diǎn)B在⊙C外 ．
【分析】直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，
∵點(diǎn)C在線段AB上，且0＜AC＜AB，
∴BC＞AC，
∴點(diǎn)B在⊙C外，
故答案為：點(diǎn)B在⊙C外．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，當(dāng)d＞r時(shí)點(diǎn)P在圓外；當(dāng)d＜r時(shí)點(diǎn)P在圓內(nèi)是解答此題的關(guān)鍵．
14．（2021?上海模擬）已知點(diǎn)P在半徑為5的⊙O外，如果設(shè)OP＝x，那么x的取值范圍是 x＞5 ．
【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外的判斷方法得到x的取值范圍．
【解答】解：∵點(diǎn)P在半徑為5的⊙O外，
∴OP＞5，即x＞5．
故答案為x＞5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
15．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，E是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠BEC＝90°，DF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，且DF＝CE，聯(lián)結(jié)AE．
（1）求證：菱形ABCD是正方形；
（2）當(dāng)F是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F在以AB為半徑的⊙A上．
【分析】（1）先利用HL證明Rt△BCE≌Rt△CDF，可證得∠BCD＝90°，進(jìn)而可證明結(jié)論；
（2）連接AF，ED，利用SAS證明△ABE≌△AFE可得AF＝AB，進(jìn)而可證明結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF+∠FCD＝90°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠CFD，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC＝CD，
在Rt△BCE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△CDF（HL），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠BCE+∠FCD＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴菱形ABCD為正方形；
（2）連接AF，ED，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，
∵F為CE的中點(diǎn)，DF⊥CE，
∴DF是CE的垂直平分線，
∴DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∠DEC+∠DCE+∠CDE＝180°，
∴∠AED＝，∠DEC＝，
∴∠AEF＝∠AED+∠DE＝180°﹣（∠ADE+∠CDE）＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AEB＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠AEF＝∠AEB，
∵△BCE≌△CDF，
∴BE＝CF＝FE，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴AB＝AF，
∴點(diǎn)F在以AB為半徑的⊙A上．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，菱形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．
四．三角形的外接圓與外心（共6小題）
16．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）三角形的外心是（ ）
A．三條中線的交點(diǎn)
B．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)
C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
D．三條高的交點(diǎn)
【分析】根據(jù)三角形的外心的定義（三角形的外心是指三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)）即可得出答案．
【解答】解：∵三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)，
∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)三角形的外接圓與外心的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和記憶能力，題目比較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目，學(xué)生容易把三角形的外心和三角形的內(nèi)心相混淆．
17．（2022?長(zhǎng)寧區(qū)模擬）如圖，⊙O的半徑為10cm，△ABC內(nèi)接于⊙O，圓心O在△ABC內(nèi)部．如果AB＝AC，BC＝12cm，那么△ABC的面積為 108 cm2．
【分析】連接AO并延長(zhǎng)交BC于D，連接OB，根據(jù)勾股定理的推論得到AD⊥BC，根據(jù)垂徑定理求出BD，根據(jù)勾股定理求出OD，進(jìn)而求出AD，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：連接AO并延長(zhǎng)交BC于D，連接OB，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝6cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝8（cm），
∴AD＝18cm，
∴S△ABC＝×12×18＝108（cm2），
故答案為：108．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理的推論、勾股定理是解題的關(guān)鍵．
18．（2022春?虹口區(qū)期中）半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為 4 ．
【分析】欲求△ABC的邊長(zhǎng)，把△ABC中BC邊當(dāng)弦，作BC的垂線，在Rt△BOD中，求BD的長(zhǎng)；根據(jù)垂徑定理知：BC＝2BD，從而求正三角形的邊長(zhǎng)．
【解答】解：如圖所示：
∵半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形，
∴∠ADB＝90°，OB＝4，∠OBD＝30°，
∴BD＝cs30°×OB＝×4＝2，
∵BD＝CD，
∴BC＝2BD＝4，
即它的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形和圓，根據(jù)正三角形的性質(zhì)得出∠OBD＝30°是解題關(guān)鍵，此題難度一般，是一道比較不錯(cuò)的試題．
19．（2022?松江區(qū)二模）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC＝8，OA＝5．
（1）求∠BAO的正弦值；
（2）求弦BC的長(zhǎng)．
【分析】（1）延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，連接OB，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB，利用垂徑定理可求解AE的長(zhǎng)，由勾股定理可求解OE的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦的定義可求解；
（2）由圓的基本概念可得AD⊥BC，BC＝2BD，利用（1）的結(jié)論可求解BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．
【解答】解：（1）延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，連接OB，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB，
∵AB＝AC＝8，
∴AE＝AB＝4，
∵AO＝5，
∴OE＝，
∴sin∠BAO＝；
（2）∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，BC＝2BD，
∴sin∠BAO＝，
解得BD＝，
∴BC＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，作合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．
20．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，已知△ABC外接圓的圓心O在高AD上，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，EC＝AB．
（1）求證：∠B＝2∠AEC；
（2）當(dāng)OA＝2，cs∠BAO＝時(shí)，求DE的長(zhǎng)．
【分析】（1）由三角形的外接圓的性質(zhì)可判定AD⊥BC，BD＝CD，即可得AB＝AC，利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB，∠CAE＝∠AEC，再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可證明結(jié)論；
（2）連接OB，由特殊角的三角函數(shù)值可得∠BAO＝30°，由直角三角形的性質(zhì)可求解∠OBC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的而性質(zhì)可求解AD，CD，進(jìn)而可求解．
【解答】（1）證明：∵△ABC外接圓的圓心O在高AD上，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵EC＝AB，
∴AC＝EC，
∴∠CAE＝∠AEC，
∵∠ACB＝∠AEC+∠CAE＝2∠AEC，
∴∠ABC＝2∠AEC；
（2）解：連接OB，
∵cs∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ABC＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝30°，
∴∠OBC＝30°，
∵OA＝OB＝2，
∴OD＝1，CD＝BD＝，
∴CE＝AB＝2BD＝，
∴DE＝CD+CE＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的概念及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握?qǐng)A的概念及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，＝，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，AE＝BD．
（1）求證：AD＝CE；
（2）如果點(diǎn)G在線段DC上（不與點(diǎn)D重合），且AG＝AD，求證：四邊形AGCE是平行四邊形．
【分析】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得出∠B＝∠ACB，再根據(jù)全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD＝CE；
（2）連接AO并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)H，由等腰三角形的性質(zhì)和外心的性質(zhì)得出AH⊥BC，再由垂徑定理得BH＝CH，得出CG與AE平行且相等．
【解答】證明：（1）在⊙O中，
∵＝，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）連接AO并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)H，
∵＝，OA為半徑，
∴AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵AD＝AG，
∴DH＝HG，
∴BH﹣DH＝CH﹣GH，即BD＝CG，
∵BD＝AE，
∴CG＝AE，
∵CG∥AE，
∴四邊形AGCE是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心以及全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，把這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
1．（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)命題：
①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等；
②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等；
③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；
④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．
真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】利用圓的有關(guān)性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【詳解】解：①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧不一定相等，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等，正確，是真命題，符合題意；
③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等，正確，是真命題，符合題意；
④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等，正確，是真命題，符合題意，
真命題有3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】考查了真假命題的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)，難度不大．
2．（2019·上海嘉定·九年級(jí)期末）已知點(diǎn)在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．圓可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部
C．點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部D．點(diǎn)可以在圓內(nèi)部
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出符合題意的示意圖，然后求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，∴點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部，故A錯(cuò)誤，B正確；∵過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，∴點(diǎn)可以在圓的外部，故C錯(cuò)誤；∵過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，∴點(diǎn)可以在圓的外部，故D錯(cuò)誤．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，畫(huà)出適當(dāng)?shù)妮o助圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方法，更有助于解題.
3．（2018·上海寶山·九年級(jí)期末）若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，2），那么點(diǎn)P的位置為（ ）
A．在⊙A內(nèi)B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能確定
【答案】A
【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出PA的長(zhǎng)，然后比較PA與半徑的大小，再根據(jù)點(diǎn)與圓的關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．
【詳解】∵圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，2），
∴AP==4＜5，
∴點(diǎn)P在⊙A內(nèi)，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
4．（2019·上海上?！ぞ拍昙?jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanB＝2，以AB的中點(diǎn)D為圓心，r為半徑作⊙D，如果點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，點(diǎn)C在⊙D外，那么r可以?。? ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】已知等腰三角形ABC中tanB＝2，根據(jù)題意可求得△ABC中過(guò)頂點(diǎn)A的高AF的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得AB的長(zhǎng)度，以及得到BD=，；因?yàn)锳F和CD均為中線，故交點(diǎn)為重心，通過(guò)重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，可求出CD的長(zhǎng)度為，所以要滿足B點(diǎn)在⊙D內(nèi)，即滿足r大于BD長(zhǎng)度；要滿足點(diǎn)C在⊙D外即r小于CD長(zhǎng)度.
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，連接CD交AF于點(diǎn) G，
∵AB＝AC，BC＝4，
∴BF＝CF＝2，
∵tanB＝2，
∴，即AF＝4，
∴AB＝，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴BD＝，G是△ABC的重心，
∴GF＝AF＝，
∴CG＝ ，
∴CD＝CG＝，
∵點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，點(diǎn)C在⊙D外，
∴＜r＜，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)求線段長(zhǎng)度，三角形重心，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)BC邊上的高和CD的交點(diǎn)是三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，即可求出CD的長(zhǎng)度.
二、填空題
5．（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)C在線段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，那么點(diǎn)B與⊙C的位置關(guān)系是_____．
【答案】點(diǎn)B在⊙C外
【分析】直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C在線段AB上，且0＜AC＜AB，
∴BC＞AC，
∴點(diǎn)B在⊙C外，
故答案為：點(diǎn)B在⊙C外．
【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，當(dāng)d＞r時(shí)點(diǎn)P在圓外；當(dāng)d＜r時(shí)點(diǎn)P在圓內(nèi)是解答此題的關(guān)鍵．
6．（2018·上海金山·九年級(jí)期末）如圖， AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于點(diǎn)C，若OC=6，則AB的長(zhǎng)等于__．
【答案】18
【詳解】連接OB，
∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，
∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，
∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO-∠B=30°，
∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，
∴AB=AC+BC=18，
故答案為18.
7．（2020·上海松江·二模）如圖，已知AB、AC是⊙O的兩條弦，且AO平分∠BAC．點(diǎn)M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM＝CN．
（1）求證：AB＝AC；
（2）聯(lián)結(jié)OM、ON、MN，求證：．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，利用角平分線的性質(zhì)和垂徑定理即可得出答案；
（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，首先證明，然后再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】證明：（1）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：
∵AO平分∠BAC．
∴OD＝OE．
，
．
，
，
∴AB＝AC；
（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，如圖所示，
∵AM＝CN，AB＝AC
∴BM＝AN．
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO．
∵∠BAO＝∠OAN，
∴∠B＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，
∴∠AOB＝∠MON，
∴△NOM∽△BOA，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·上海嘉定·二模）已知四邊形ABCD是菱形（如圖），以點(diǎn)B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的圓分別與邊AD、CD、BC、AB，相交于點(diǎn)E、F、G、H，聯(lián)結(jié)BE．
（1）求證：；
（2）聯(lián)結(jié)EG，如果，求證：．
【分析】（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，又在圓B中，BE=BD，則∠ADB=∠ABD=∠BED，即△BDE∽△ADB；
（2）聯(lián)結(jié)EG，EG∥AB，又AD∥BC，四邊形ABGE是平行四邊形，則AE=BG=BD，由（1）得△BDE∽△ADB，得到，即BD2=AD?DE，則可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，
又在圓B中，BE=BD，
∴∠BDE=∠BED，
∴∠ADB=∠ABD=∠BED，
∴△BDE∽△ADB；
（2）如圖，
∵EG∥AB，又AD∥BC，
∴四邊形ABGE是平行四邊形，
∴AE=BG，
∵BG=BD，
∴AE=BD，
又由（1）得△BDE∽△ADB，
∴，
∴BD2=AD?DE，
又在菱形ABCD中，AD=BC，
∴AE2=DE?CB．
【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定等內(nèi)容，熟知各種判定定理是解題基礎(chǔ)．
9．（2018·上海普陀·一模）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直徑．
求證：BD=CD．
【分析】根據(jù)AB=AC，得到，于是得到∠ADB=∠ADC，根據(jù)AD是⊙O的直徑，得到∠B=∠C=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠BAD=∠DAC，于是得到結(jié)論．
【詳解】證明：∵AB=AC，
∴，
∴∠ADB=∠ADC，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∴，
∴BD=CD．
10．（2019·上海長(zhǎng)寧·一模）如圖，AB是圓O的一條弦，點(diǎn)O在線段AC上，AC=AB，OC=3，sinA=．求：(1)圓O的半徑長(zhǎng)；(2)BC的長(zhǎng)．
【答案】（1）5（2）
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，設(shè)OH＝3k，AO＝5k，則AH＝，得到AB＝2AH＝8k，求得AC＝AB＝8k，列方程即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，在 Rt△ACG中，∠AGC＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，
在 Rt△OAH中中，∠OHA＝90°，
∴sinA＝，
設(shè)OH＝3k，AO＝5k，
則AH＝，
∵OH⊥AB，
∴AB＝2AH＝8k，
∴AC＝AB＝8k，
∴8k＝5k+3，
∴k＝1，
∴AO＝5，
即⊙O的半徑長(zhǎng)為5；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，在 Rt△ACG中，∠AGC＝90°，
∴sinA＝，
∵AC＝8，
∴CG＝，AG＝，BG＝，
在Rt△CGB中，∠CGB＝90°，
∴BC＝．
11．（2019·上海市南塘中學(xué)中考模擬） 如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交⊙于點(diǎn)，連接，是⊙上一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)位于兩側(cè)，且，連接．
（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)及的值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）CE=，
【分析】（1）利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出∽得出比例式求出，，利用勾股定理求出，再判斷出∽，可求出FM；進(jìn)而判斷出四邊形是矩形，求出，即可求出，再用勾股定理求出，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
∵是⊙的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴∽，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，，
過(guò)點(diǎn)作于，
∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，，
∴，
過(guò)點(diǎn)作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，．
故答案為（1）證明見(jiàn)解析；（2）CE=，
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)，等角的余角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
12．（2021·上海楊浦·二模）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)A作ADOC交半圓于點(diǎn)D，E是直徑AB上一點(diǎn)，且AE＝AD，聯(lián)結(jié)CE、CD．
（1）求證：CE＝CD；
（2）如果，延長(zhǎng)EC與弦AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)OD，求證：四邊形OCFD是菱形．
【分析】（1）由“SAS”可證△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；
（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可證OD∥CE，由菱形的判定可得結(jié)論．
【詳解】證明：（1）如圖１，連接AC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
在△DAC和△EAC中，
，
∴△DAC≌△EAC（SAS），
∴CE＝CD；
（2）如圖2，連接CA，
∵，
∴∠AOD＝3∠COD，
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°，
∴5∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝36°，
∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝72°，
∴∠ADC＝108°，
∵△DAC≌△EAC，
∴∠ADC＝∠AEC＝108°，
∴∠AOD＝∠AEC，
∴OD∥CE，
又∵OC∥AD，
∴四邊形OCFD是平行四邊形，
又∵OD＝OC，
∴平行四邊形OCFD是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角與弧的關(guān)系，平行線的性質(zhì)，三角形的全等，菱形的判定，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，菱形的判定是解題的關(guān)鍵．

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