考點(diǎn)1 垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧.
符號(hào)語言：∵CD為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足為E，
∴ AE＝BE,
推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
∵CD為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦（不是直徑），且AE＝BE.
弦心距：圓心到弦的距離（垂線段OE）
常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長(zhǎng)度；
有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分
考點(diǎn)2 垂徑定理的應(yīng)用
經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答
【典例1】（2021九上·溫州期末）如圖，在⊙O中，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D.已知OC=5，OD=4，則弦AB的長(zhǎng)為( )
A．3B．4C．5D．6
【變式1-1】（2021九上·平谷期末）如圖，AB 為⊙O 的直徑，弦 CDAB，垂足為點(diǎn) E，若 ⊙O的半徑為5，CD=8，則AE的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．2C．1D．
【變式1-2】（2022九上·東陽期末）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（ ）cm
A．1B．3C．3或4D．1或7
【變式1-3】（2021九上·東營(yíng)月考）如圖，將一個(gè)半徑為2cm的圓形卡片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長(zhǎng)為（ ）
A．2cmB． cmC． cmD． cm
【典例2】（2021九上·上高月考）《九章算術(shù)》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深1寸，鋸道尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為 寸.
【變式2-1】（2021九上·五常期末）如圖，某小區(qū)的一個(gè)圓形管道破裂，修理工人準(zhǔn)備更換一段新管道，現(xiàn)在量得污水水面寬度為80cm，水面到管道頂部的距離為20cm，則修理工人應(yīng)準(zhǔn)備的新管道的內(nèi)直徑是 cm．
【變式2-2】（2021九上·杭錦后旗月考）如圖，M是CD的中點(diǎn)，EM⊥CD，CD=4，EM=6，則所在圓的半徑是 ．
【變式2-3】（2021九上·溫州月考）如圖是鄭州圓形“戒指橋”，其數(shù)學(xué)模型為如圖所示.已知橋面跨徑AB＝20米，D為圓上一點(diǎn)，DC⊥AB于點(diǎn)C，且CD＝BC＝14米，則該圓的半徑長(zhǎng)為 米.
【典例3】（2021九上·黔西南期末）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度為，拱高為，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有，即時(shí)，試通過計(jì)算說明是否需要采取緊急措施.
【變式3-1】（2020九上·廣東開學(xué)考）有一輛載有集裝箱的卡車，高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)如圖所示的上邊是半圓，下邊是長(zhǎng)方形的橋洞，已知半圓的直徑為2米，長(zhǎng)方形的另一條邊長(zhǎng)是2.3米，這輛卡車能否通過此橋洞？通過計(jì)算說明理由.
1.（2021九上·寧波月考）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為10cm，AB＝16cm，則CD的長(zhǎng)是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
2．（2021九上·余杭月考）如圖，已知⊙O的半徑為4，直徑AB垂直于弦CD，垂足為點(diǎn)E.若∠B＝22.5°，則CD長(zhǎng)度為（ ）
A．B．4C．D．8
3．（2021九上·豐臺(tái)期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小東想測(cè)算一個(gè)圓形齒輪內(nèi)圈圓的半徑．如圖所示，小東首先在內(nèi)圈圓上取點(diǎn)A，B，再作弦AB的垂直平分線，垂足為C，交于點(diǎn)D，連接CD，經(jīng)測(cè)量cm，cm，那么這個(gè)齒輪內(nèi)圈圓的半徑為 cm．
4.（2021九上·鄂爾多斯期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦 ，垂足為E，如果AB=10，CD=8，那么AE的長(zhǎng)為 ；
5．（2020九上·臺(tái)山期末）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓的半徑分別等于3和6，大圓的弦AB是小圓的切線，則 ．
6．（2021九上·長(zhǎng)沙月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，AE＝1，CD＝4，則OC長(zhǎng)為 .
7.（2021九上·南寧月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)M，若CD＝8cm，MB＝2cm，則直徑AB的長(zhǎng)為 cm.
8．（2021九上·香洲期末）如圖，M是CD的中點(diǎn)，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，求所在圓的半徑．
9.（2020九上·金昌期中）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點(diǎn)P為切點(diǎn).求證：AP=BP.
10.（2020九上·金華期中）2020年8月4日，臺(tái)風(fēng)“黑格比”來襲，東陽南馬鎮(zhèn)被雨水“圍攻”．如圖，當(dāng)?shù)赜幸蛔鶊A弧形拱橋，跨度AB=60m，拱高PM=18m，當(dāng)洪水泛濫，水面跨度縮小到30m時(shí)要采取緊急措施，當(dāng)時(shí)測(cè)量人員測(cè)得水面A1B1到拱頂距離只有4m時(shí)，問是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說明理由．

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