證明一條直線是圓的切線的方法及輔助線的作法
（1）連半徑、證垂直：當(dāng)直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來(lái)，然后證明直線垂直于這條半徑，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”
（2）作垂直，證半徑：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒(méi)有明確時(shí)，可以過(guò)圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡(jiǎn)稱“作垂直，證半徑”
【考點(diǎn)1 有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直】
方法1：特殊角計(jì)算法證垂直
【典例1】（2022?思明區(qū)校級(jí)一模）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．
【變式1-1】（2021?廣東二模）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過(guò)圓心O，交⊙O于點(diǎn)C，連接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求證：直線BD是⊙O的切線．
【變式1-2】（2021秋?濰坊期末）如圖，A、B、C分別是⊙O上的點(diǎn)，∠B＝60°，CD是⊙O的直徑，CD＝2，E是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AE＝AC．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）求ED的長(zhǎng)．
方法2：等角代換法證垂直
【典例2】（2020秋?福州期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D，連接AC，當(dāng)AC平分∠DAB時(shí)，求證：直線l是⊙O的切線．
【變式2-1】（2017秋?荊州區(qū)期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求⊙O的半徑．
【變式2-2】（2021秋?灌南縣期末）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圓的半徑．
方法3：平行線性質(zhì)法證垂直
【典例3】（2021秋?吉林期末）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，PD⊥AC于點(diǎn)D．求證：PD是⊙O的切線；
【變式3-1】（2022?大興區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．求證：BC是⊙O切線；
【變式3-2】（2021?崆峒區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC．
求證：DE是⊙O的切線．
【變式3-3】（2022?百色一模）如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)D，連結(jié)DB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．求證：DE是⊙O的切線；
方法4： 全等三角形法證垂直
【典例4】（2022?東明縣一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，在AC上取一點(diǎn)D，使得DE＝AD，求證：DE是⊙O的切線．
【變式4-1】（2021秋?虎林市校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點(diǎn)D，若E是AC的中點(diǎn)，連接DE．求證：DE為⊙O的切線．
【考點(diǎn)2 無(wú)公共點(diǎn)：做垂直，證半徑】
方法5 ：角平分線的性質(zhì)法證半徑
【典例5】（2020?八步區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB的長(zhǎng)為半徑作⊙D，AB＝5，BE＝3．
求證：AC是⊙D的切線；
【變式5-1】（2018?天河區(qū)校級(jí)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分線，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC相交于點(diǎn)E
求證：BC是⊙D的切線；
方法6 ： 全等三角形法證半徑
【典例6】如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且∠AOD＝∠BAD．
求證：AB為⊙O的切線；
【變式6】（2020秋?開(kāi)福區(qū)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在圓上，且四邊形AOCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，分別交OA的延長(zhǎng)線與OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF．求證：BF是⊙O的切線；
1．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．求證：AC是⊙O的切線；
2．（2021秋?溫嶺市期末）如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且∠CDA＝∠CBD．求證：CD是⊙O的切線；
3．（2022春?興寧區(qū)校級(jí)期末）如圖，⊙O的半徑為1，A是⊙O的直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．求證：直線AC是⊙O的切線；
4．（2021秋?新興縣期末）如圖，已知，四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，DE＝EC，以AE為直徑的⊙O與邊CD相切于點(diǎn)D，點(diǎn)B在⊙O上，連接OB．
（1）求證：DE＝OE；
（2）若CD∥AB，求證：BC是⊙O的切線．
（2022?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O與線段BC交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．
求證：直線PE是⊙O的切線；
6．（2021秋?甘井子區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與AC，BC分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半徑．
7.（2020秋?蒼南縣校級(jí)期中）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．
求證：BE與⊙O相切．
8．（2022?環(huán)翠區(qū)一模）如圖，AC是⊙O直徑，D是的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上且FC＝FE．求證：CF是⊙O的切線；

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