2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí)講與練模型38 圓——垂徑定理模型-原卷版+解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
◎結(jié)論：如圖，CD是直徑，CD⊥AB，則①M(fèi)A＝MB，②＝

垂徑定理中的五元素：
①過圓心;②垂直弦;③平分弦（不是直徑）;④平分優(yōu)弧;⑤平分劣弧.
知二推三：這五個(gè)元素中，知道任意兩個(gè)，可得其它三個(gè).
【注意】平分弦（不是直徑）的原因：任意兩條直徑互相平分，但無(wú)法推出垂直,
如圖：

找殘缺圓的圓心方法：知二推三組合
作法：在圓弧上找兩條不平行的線段，圓心在弦的垂直平分線上，交點(diǎn)為O

1． (2023·江蘇·灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P，且P為半徑OB的中點(diǎn)，若CD＝6，則直徑AB的長(zhǎng)為（）
A．2B．6C．4D．6
2． (2023·廣東·綠翠現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，的半徑OD垂直弦AB于點(diǎn)C，若，，則的半徑為（）
A．B．3C．4D．5
3． (2023·湖南·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是⊙的直徑，弦于點(diǎn)，，⊙的半徑為，則弦的長(zhǎng)為（）
A．3B．C．D．9
1． (2023·江蘇·灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在中，，，已知是的外接圓，且的半徑為5，則 AB 的長(zhǎng)為（）
A．B．C．或D．或
2． (2023·北京市三帆中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝1，則OD長(zhǎng)為（）
A．3B．C．D．2
3． (2023·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，，∠CDB＝30°，AC＝2，則OE＝（）
A．B．C．1D．2
1．（2016·陜西·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，過B作BC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，過C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，取AD的中點(diǎn)E，過E作EF∥BC交DC 的延長(zhǎng)線與點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．．
求證：（1）FC=FG （2）AB2=BC?CG．
2． (2023·安徽·中考真題）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，∠OAB=41.3°，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C，O的連線垂直于AB），求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
圓
模型（三十八）——垂徑定理模型
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
◎結(jié)論：如圖，CD是直徑，CD⊥AB，則①M(fèi)A＝MB，②＝

垂徑定理中的五元素：
①過圓心;②垂直弦;③平分弦（不是直徑）;④平分優(yōu)弧;⑤平分劣弧.
知二推三：這五個(gè)元素中，知道任意兩個(gè)，可得其它三個(gè).
【注意】平分弦（不是直徑）的原因：任意兩條直徑互相平分，但無(wú)法推出垂直,
如圖：

找殘缺圓的圓心方法：知二推三組合
作法：在圓弧上找兩條不平行的線段，圓心在弦的垂直平分線上，交點(diǎn)為O

1． (2023·江蘇·灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P，且P為半徑OB的中點(diǎn)，若CD＝6，則直徑AB的長(zhǎng)為（）
A．2B．6C．4D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)垂徑定理可知AB垂直平分CD，連接OC，根據(jù)勾股定理即可求出半徑OC，最后求出直徑即可．
【詳解】解：如圖，連接OC，
∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵點(diǎn)P為OB中點(diǎn)，
∴，
在種，由勾股定理可得：，
即：，解得：r=或：r=（舍），
∴直徑為．
故選∶C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握“垂直于弦的直徑平分弦”并構(gòu)建直角三角形求解是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·廣東·綠翠現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，的半徑OD垂直弦AB于點(diǎn)C，若，，則的半徑為（）
A．B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)垂徑定理可得,再利用勾股定理直接求得的長(zhǎng)，即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)半徑為，

，，
根據(jù)垂徑定理得：
，
，
在中，
，

，
，
解得，
即的半徑為5．
故答案為：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用垂徑定理得出結(jié)論，列式計(jì)算．
3． (2023·湖南·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是⊙的直徑，弦于點(diǎn)，，⊙的半徑為，則弦的長(zhǎng)為（）
A．3B．C．D．9
【答案】C
【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠COB=60°，再根據(jù)垂徑定理得到CE=DE，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出CE，從而得到CD的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵，
∴∠BOC=60°，
∵，
∴CD=2CE，∠CEO=90°，
∴∠OCE=30°，
∴OC=2OE，
∵⊙的半徑為，即OC=2，
∴OE=1，
∴，
∴．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，也考查了圓周角定理，勾股定理．
1． (2023·江蘇·灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在中，，，已知是的外接圓，且的半徑為5，則 AB 的長(zhǎng)為（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，連接OB，根據(jù)垂徑定理，構(gòu)建直角三角形進(jìn)行求解．
【詳解】
解：如圖1：當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接OB，
∵AD⊥BC，BC=6，
∴BD==3，
∵半徑為5，
∴OB=OA=5，
∴，
∴AD=OA+OD=4+5=9，
∴，
如圖2：當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接OB，
∵AD⊥BC，BC=6，
∴BD==3，
∵半徑為5，
∴OB=OA=5，
∴，
∴AD=OA-OD=5-4=1，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓，垂徑定理以及勾股定理，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·北京市三帆中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝1，則OD長(zhǎng)為（）
A．3B．C．D．2
【答案】D
【分析】先利用垂徑定理得到，再根據(jù)圓周角定理得到∠AOD＝60°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OD的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵CD⊥AB，AB是直徑，
∴，
∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，
在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×1＝2．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．
3． (2023·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，，∠CDB＝30°，AC＝2，則OE＝（）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】連接BC，根據(jù)垂徑定理的推論可得AB⊥CD，再由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠A＝∠CDB＝30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，，
∴，
∵，，
∴，
∵AB為⊙O的直徑，
∴，
∴，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故選：C．
【點(diǎn)晴】本題主要考查了垂徑定理，同弧所對(duì)的圓周角相等，解直角三角形，熟練掌握垂徑定理，同弧所對(duì)的圓周角相等，特殊角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
1．（2016·陜西·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，過B作BC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，過C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，取AD的中點(diǎn)E，過E作EF∥BC交DC 的延長(zhǎng)線與點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．．
求證：（1）FC=FG （2）AB2=BC?CG．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出EF⊥AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出FA=FD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FAD=∠D，證出∠DCB=∠G，由對(duì)頂角相等得出∠GCF=∠G，即可得出結(jié)論；
（2）連接AC，由圓周角定理證出AC是⊙O的直徑，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，證出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，證明△ABC∽△GBA，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，
∴EF⊥AD，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠D，
∵GB⊥AB，
∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠G，
∵∠DCB=∠GCF，
∴∠GCF=∠G，
∴FC=FG；
（2）連接AC，如圖所示：
∵AB⊥BG，
∴AC是⊙O的直徑，
∵FD是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，
∴∠DCB=∠CAB，
∵∠DCB=∠G，
∴∠CAB=∠G，
∵∠CBA=∠GBA=90°，
∴△ABC∽△GBA，
∴，
∴=BC?BG．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造相似三角形.
2． (2023·安徽·中考真題）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，∠OAB=41.3°，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C，O的連線垂直于AB），求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【答案】6.64米
【分析】通過垂徑定理求出AD，再通過三角函數(shù)解直角三角形，求出AO和OD的值，從而得到點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.
【詳解】解：如圖：連接CO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)D，
∵OD⊥AB，AB=6，
∴AD=AB=3，
在Rt△OAD中, ∠OAB=41.3°，cs∠OAD=，
∴AO=，
∵sin∠OAD=,
∴OD=AO·sin∠OAD=2.64，
∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，
答：點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是6.64米.
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和三角函數(shù)的應(yīng)用，通過垂徑定理求出AD的值是解題關(guān)鍵.

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