【類型一： 有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直】
【典例1】（2021秋?吉林期末）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，PD⊥AC于點(diǎn)D．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OP＝OB，
∴∠B＝∠OPB，
∴∠OPB＝∠C，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切線；
（2）解：連接AP，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠APB＝90°，
∴BP＝CP，
∵∠CAB＝120°，
∴∠BAP＝60°，
在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，
∴AP＝AB＝3，
∴BP＝AP＝3，
∴BC＝2BP＝6．
【變式1-1】（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接OD，如圖，
∵BD為∠ABC平分線，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：過O作OG⊥BC，連接OE，
則四邊形ODCG為矩形，
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，
∵OG⊥BE，OB＝OE，
∴BE＝2BG＝12．
解得：BE＝12，
∵AC是⊙O的切線，
∴CD2＝CE?CB，
即82＝CE（CE+12），
解得：CE＝4或CE＝﹣16（舍去），
即CE的長(zhǎng)為4．
【變式1-2】（2021秋?溫嶺市期末）如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AC＝8，CD＝12，求半徑的長(zhǎng)度．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，
∴122+r2＝（8+r）2，
∴r＝5，
∴半徑的長(zhǎng)度為5．
【典例2】（2020?中寧縣一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP＝AC．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若PD＝1，求⊙O的直徑．
【解答】（1）證明：連接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切線．
（2）設(shè)該圓的半徑為x．
在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，
∴1+x＝2x，
解得：x＝1
∴OA＝PD＝1，
所以⊙O的直徑為2
【變式2-1】（2021秋?甘井子區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與AC，BC分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半徑．
【解答】（1）證明：連接OE，
∵EF⊥AC，
∴∠EFD＝∠EFC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，
∴∠OEF＝∠EFC＝90°，
∵OE是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：過點(diǎn)O作OG⊥AD，垂足為G，
∴∠OGF＝90°，
∵∠OEF＝∠EFG＝90°，
∴四邊形OEFG是矩形，
∴OG＝EF＝3，
設(shè)⊙O的半徑為x，
∴AB＝AC＝2x，
∵CD＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝2x﹣4，
∵OG⊥AD，
∴AG＝AD＝x﹣2，
在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，
∴（x﹣2）2+9＝x2，
∴x＝，
∴⊙O的半徑為．
【變式2-2】（2021秋?天津期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC
于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED＝90°，
∵AD平分∠BAE，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥DO，
∴∠EDO＝180°﹣∠E＝90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵∠E＝∠EDO＝90°，
∴四邊形ECFD是矩形，
∴DE＝CF，∠CFD＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵OD⊥BC，
∴CF＝BC＝4，
∴DE＝CF＝4，
∴ED的長(zhǎng)為4
【典例3】（2022?東明縣一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，在AC上取一點(diǎn)D，使得DE＝AD，
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）當(dāng)BC＝10，AD＝4時(shí)，求⊙O的半徑．
【解答】（1）證明：連接OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，又AO＝BO，
∴OD＝BC＝5，
由勾股定理得，AO＝＝3，
則⊙O的半徑為3．
【變式3-1】（2021秋?金湖縣期末）如圖，四邊形OAEC是平行四邊形，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓交CE于D，延長(zhǎng)CO交⊙O于B，連接AD、AB，AB是⊙O的切線．
（1）求證：AD是⊙O的切線．
（2）若⊙O的半徑為4，AB＝8，求平行四邊形OAEC的面積．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴∠OBA＝90°，
∵四邊形OAEC是平行四邊形，
∴AO∥EC，
∴∠AOD＝∠ODC，∠AOB＝∠OCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠AOB＝∠AOD，
又∵OA＝OA，OD＝OB，
∴△AOB≌△AOD（SAS），
∴∠OBA＝∠ODA，
∴∠ODA＝90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴AD為⊙O的切線；
（2）解：∵OB＝4，AB＝8，
∴S△ABO＝AB?OB＝×4×8＝16，
∵△AOB≌△AOD，
∴S△AOD＝16，
∴平行四邊形OAEC的面積＝2S△AOD＝32．
【類型一： 沒有公共點(diǎn)：作垂直，證半徑】
【典例4】（2020?八步區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB的長(zhǎng)為半徑作⊙D，AB＝5，BE＝3．
（1）求證：AC是⊙D的切線；
（2）求線段AC的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：過點(diǎn)D作DF⊥AC于F；
∵AB為⊙D的切線，
∴∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD＝DF，
∴AC與⊙D相切；
（2）解：在△BDE和△DCF中；
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB＝FC．
∵AB＝AF，
∴AB+EB＝AF+FC，
即AB+EB＝AC，
∴AC＝5+3＝8．
【變式4-1】（2021秋?莆田期末）如圖，半圓O的直徑是AB，AD、BC是兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，CO平分∠BCD．
（1）求證：CD是半圓O的切線．
（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：過點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，
∵BC是半圓O的切線，B為切點(diǎn)，
∴OB⊥BC，
∵CO平分∠BCD，
∴OE＝OB，
∵OB是半圓O的半徑，
∴CD是半圓O的切線；
（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，
∴∠DFB＝90°，
∵AD是半圓O的切線，切點(diǎn)為A，
∴∠DAO＝90°，
∵OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴四邊形ADFB是矩形，
∴AD＝BF＝20，DF＝AB，
∵AD，CD，BC是半圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、E、B，
∴DE＝AD＝20，EC＝BC，
∵CD＝50，
∴EC＝CD﹣DE＝50﹣20＝30，
∴BC＝30，
∴CF＝BC﹣BF＝10，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
DF＝＝＝20，
∴AB＝DF＝20，
∴BC的長(zhǎng)為30，AB的長(zhǎng)為20．
1.（2021秋?龍沙區(qū)期末）如圖，以點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為直徑作圓，在⊙O上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，連接DC，∠DCB＝∠DAC，過點(diǎn)A作AE⊥AD交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接OC，OE，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°，
又∵∠DCB＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠DCB，
∴∠DCB+∠BCO＝90°，
即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，
∴OC2+CD2＝OD2，
∴OB2+42＝（OB+2）2，
∴OB＝3，
∴AB＝6，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直徑，
∴AE是⊙O的切線，
∵CD是⊙O的切線；
∴AE＝CE，
∵AD2+AE2＝DE2，
∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2，
解得AE＝6．
2．（2021秋?聊城期末）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于點(diǎn)D．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半徑．
【解答】（1）證明：如圖中，連接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E，
得矩形OEDC，
∴OE＝CD＝2，DE＝OC，
∴AE＝AD﹣DE＝4﹣OC＝4﹣OA，
在Rt△AEO中，根據(jù)勾股定理，得
OA2＝AE2+OE2，
∴OA2＝（4﹣OA）2+22，
解得OA＝．
∴⊙O的半徑為．
3．（2022春?長(zhǎng)興縣月考）如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是AB邊上的一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O與邊AC，AB分別交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）連結(jié)EF，當(dāng)EF是⊙O的切線時(shí)，求⊙O的半徑．
【解答】（1）證明：連結(jié)OD，如圖所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝∠C＝∠B＝60°，
∵∠DAO＝60°，OD＝OA，
∴△DOA是等邊三角形，
∴∠ODA＝∠C＝60°，
∴OD∥BC，
又∵∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DF是⊙O的切線；
（2）解：設(shè)半徑為r，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，
由（1）可知：AD＝r，則CD＝6﹣r，BE＝6﹣2r
在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝6﹣r，
∴CF＝（6﹣r），
∴BF＝a﹣（6﹣r），
又∵EF是⊙O的切線，
∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，
∴BF＝2BE，
∴6﹣（6﹣r）＝2（6﹣2r），
解得：r＝2，
∴⊙O的半徑為2．
4．（2022?西湖區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點(diǎn)D，且DE⊥AC．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若∠C＝30°，CD＝10cm，求⊙O的半徑．
【解答】（1）證明：連接OD．
∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，
∴OD∥AC，
∴∠CED＝∠ODE，
∵DE⊥AC，
∴∠CED＝∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是圓的半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴AB＝AC，
∵∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AD，
∵CD＝10cm，
∴BD＝10cm，
設(shè)AD＝xcm，則AB＝2xcm，
∴x2+102＝4x2，
∴x＝或x＝﹣（舍去），
∴AD＝（cm），AB＝（cm），
∴⊙O的半徑為cm．
5．（2021秋?曲靖期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，DQ⊥AB，DQ＝DC，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E、交AB于點(diǎn)F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，CD＝4，求CE的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：如圖，連接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠C＝90°，DQ⊥AB，DQ＝DC，
∴BD是△ABC的角平分線，
∴∠OBD＝∠DBC，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BC，
∴∠ODA＝∠C＝90°，
∵AC經(jīng)過⊙為的半徑OD的端點(diǎn)D，且AC⊥OD，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：如圖，
作OG⊥BE于點(diǎn)G，則BG＝EG，∠OGB＝90°，
∵∠ODC＝∠C＝∠OGC＝90°，
∴四邊形ODCG是矩形，
∵CD＝4，OB＝OD＝5，
∴OG＝CD＝4，GC＝OD＝5，
在Rt△BOG中，
OB2＝OG2+BG2，
∴BG＝＝＝3，
∴EG＝3，
∴CE＝GC﹣EG＝5﹣3＝2．
6．（2021秋?海淀區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接AC，過A作AF⊥AC，交⊙O于點(diǎn)F，連接DF，過B作BG⊥DF，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：BG是⊙O的切線；
（2）若∠DFA＝30°，DF＝4，求FG的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵C，A，D，F(xiàn)在⊙O上，∠CAF＝90°，
∴∠D＝∠CAF＝90°．
∵AB⊥CE，BG⊥DF，
∴∠BED＝∠G＝90°．
∴四邊形BEDG中，∠ABG＝90°．
∴半徑OB⊥BG．
∴BG是⊙O的切線．
（2）解：連接CF，
∵∠CAF＝90°，
∴CF是⊙O的直徑．
∴OC＝OF．
∵直徑AB⊥CD于E，
∴CE＝DE．
∴OE是△CDF的中位線．
∴OE＝＝2．
∵＝，∠AFD＝30°，
∴∠ACD＝∠AFD＝30°．
∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝60°．
∵OA＝OC，
∴△AOC是等邊三角形．
∵CE⊥AB，
∴E為AO的中點(diǎn)，
∴OA＝2OE＝4，OB＝4．
∴BE＝OB+OE＝6．
∵∠BED＝∠D＝∠G＝90°，
∴四邊形BEDG是矩形．
∴DG＝BE＝6．
∴FG＝DG﹣DF＝2．
7．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC，交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的直徑為5，BC＝8，求DE的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：如圖1，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥半徑OD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：如圖2，
連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝＝4，
∴AD＝＝3，
∵DE⊥AC，
∴S△ACD＝，
∴5?DE＝3×4，
∴DE＝，
∴DE的長(zhǎng)是．
8．（2021秋?平羅縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，∠CAB的平分線AD交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE＝2，CE＝1，求BD的長(zhǎng)度．
【解答】（1）證明：如圖，連接OD，CD，
則∠OAD＝∠ODA．
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD．
∴∠ODA＝∠EAD．
∴OD∥AE，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°．
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴＝，
∴CD＝BD，
在Rt△CDE中，DE＝2，CE＝1，根據(jù)勾股定理，得
CD＝＝＝，
∴BD＝．
9．（2021秋?博白縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，ED、AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AC＝10，CD＝6，求DE的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴EF⊥OD，
又∵OD是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：連接AD，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝6．
在Rt△ACD中，AC＝10，CD＝6，
∴AD＝＝＝8，
又∵DE⊥AB，AB＝AC＝10，
∴S△ABD＝AB?DE＝AD?BD，
即 ×10×DE＝×8×6，
∴DE＝4.8．
10．（2022?任城區(qū)三模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，OF∥BC交AC于點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)F，連接AF；
（1）判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由．
（2）若⊙O的半徑為4，AF＝3，求AC的長(zhǎng)．
【解答】（1）解：AF是⊙O的切線，理由如下：
連接OC，如圖所示：
∵AB是⊙O直徑，
∴∠BCA＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO＝90°，∠1＝∠2，∠B＝∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠1，
∴∠3＝∠2，
在△OAF和△OCF中，
，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切線；
（2）∵⊙O的半徑為4，AF＝3，∠OAF＝90°，
∴OF＝＝＝5
∵FA⊥OA，OF⊥AC，
∴AC＝2AE，△OAF的面積＝AF?OA＝OF?AE，
∴3×4＝5×AE，
解得：AE＝，
∴AC＝2AE＝．

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