“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等 一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。
“兩點定點一定長”
模型一：當(dāng)兩定點 A、B 在直線l異側(cè)時，在直線l上找一點 P，使 PA+PB 最小。

作法：連接AB交直線l 于點 P，點P即為所求 作的點。
結(jié)論：PA+PB值最小
模型二：
作法：作點B關(guān)于直線l的對稱點B’，連接AB’與直線l相交的點P即為所求
結(jié)論：AP+PB’值最小
模型三：
當(dāng)兩定點 A、B 在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點 P，使 最大。
作法：接 AB并延長交直線l于點 P，點P即為所求作的點。
結(jié)論： 的最大值為 AB。
當(dāng) l 兩B定點 A、B 在直線l 異側(cè)時，在直線l 上找一點 P，使 最 大。
作法：作點B關(guān)于直線l的對稱點 B′，連接 AB′并延長交直線于點 P，點P即為所求作的點。
結(jié)論： 的最 大值為 AB′
模型四：

當(dāng) l 兩定點 A、B 在直線l同側(cè)時，在 直線l上找一點 P，使 最小。
作法：連接 AB，作AB的垂直平分 線交直線l于點 P，點 P 即為 所求作的點。
結(jié)論： 的最小值為 0
【考點1 線段最值問題】
【典例1】（盤錦）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4交y軸于點C，交x軸于A、B兩點，A（﹣2，0），a+b＝，點M是拋物線上的動點，點M在頂點和B點之間運動（不包括頂點和B點），ME∥y軸，交直線BC于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求線段ME的最大值；
【解答】解：（1）將點A的坐標代入拋物線表達式得：0＝4a﹣2b+4，
則，解得：，
故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+4；
（2）y＝﹣x2+x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝4或﹣2，
故點A、B、C的坐標分別為：（﹣2，0）、（4，0）、（0，4），
設(shè)直線BC的表達式為：y＝kx+b，則，解得：，
故直線BC的表達式為：y＝﹣x+4，
設(shè)點M（x，﹣x2+x+4），則點E（x，﹣x+4），
則ME＝（﹣x2+x+4）﹣（x﹣4）＝﹣x2+2x，
∵，故ME有最大值，當(dāng)x＝2時，ME的最大值為2；
【變式1-1】（2021?柳南區(qū)校級模擬）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（1，0），直線y＝x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在軸y上．
（1）求m的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E點，設(shè)線段PE的長為h，點P的橫坐標為x．
①求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②線段PE的長h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時的x值；若不存在，請說明理由？
【解答】解：（1）∵點A（3，4）在直線y＝x+m上，
∴4＝3+m．
∴m＝1．
設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝a（x﹣1）2．
∵點A（3，4）在二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2的圖象上，
∴4＝a（3﹣1）2，
∴a＝1．
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝（x﹣1）2．
即y＝x2﹣2x+1．
（2）①設(shè)P、E兩點的縱坐標分別為yP和yE．
∴PE＝h＝y(tǒng)P﹣yE
＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）
＝﹣x2+3x．
即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．
②存在．∵h＝﹣（x﹣）2+，
又∵a＝﹣1＜0，
∴x＝時，h的值最大，最大值為．
【變式1-2】（2022春?豐城市校級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．求線段PM的最大值；
【解答】解：（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式得，
，
解得，
∴這個二次函數(shù)的表達式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3；
（2）設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，
將B，C的坐標代入函數(shù)解析式得，
，
解得，
∴BC的解析式為y＝x﹣3，
設(shè)M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
當(dāng)n＝時，PM最大＝，
∴線段PM的最大值；
【典例2】（2020秋?椒江區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點A（1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點T為對稱軸直線x＝2上一點，則TC﹣TB的最大值為多少？
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，
解得a＝1，
故拋物線的表達式為y＝x2﹣4x+3①；
（2）點B關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點為點A，連接CA交函數(shù)對稱軸于點T，則點T為所求點，
則TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC為最大，
故TC﹣TB的最大值為AC＝＝，
故答案為；
【變式2】（2020?連云港）在平面直角坐標系xOy中，把與x軸交點相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y＝x2﹣x﹣2的頂點為D，交x軸于點A、B（點A在點B左側(cè)），交y軸于點C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點為P．
（1）若拋物線L2經(jīng)過點（2，﹣12），求L2對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（2）當(dāng)BP﹣CP的值最大時，求點P的坐標；
【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
由題意設(shè)拋物線L2的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），
把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
﹣12＝﹣6a，
解得a＝2，
∴拋物線的解析式為y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．
（2）∵拋物線L2與L1是“共根拋物線”，A（﹣1，0），B（4，0），
∴拋物線L1，L2的對稱軸是直線x＝，
∴點P在直線x＝上，
∴BP＝AP，如圖1中，當(dāng)A，C，P共線時，BP﹣PC的值最大，
此時點P為直線AC與直線x＝的交點，
∵直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣2，
∴P（，﹣5）
【典例3】（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點C坐標為（0，3），對稱軸為x＝1．點M為線段OB上的一個動點（不與兩端點重合），過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．
（1）求拋物線及直線BC的表達式；
（2）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．求線段PN的最大值；
【解答】解：（1）∵拋物線對稱軸為x＝1，點B與A（﹣1，0）關(guān)于直線x＝1對稱，
∴B（3，0），
設(shè)y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，則，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
故拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，直線BC的解析式為y＝﹣x+3；
（2）設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵PQ⊥x軸，
∴PQ∥y軸，
∴∠PQN＝∠BCO＝45°，
∵PN⊥BC，
∴PN＝PQ?sin∠PQN＝（﹣t2+3t）?sin45°＝﹣（t﹣）2+，
∵＜0，
∴當(dāng)t＝時，PN的最大值為；
【變式3】（2022?廣元）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；
（2）當(dāng)a＝1時，若點Q是直線AB下方拋物線上的一個動點，過點Q作QD⊥AB于點D，當(dāng)QD的值最大時，求此時點Q的坐標及QD的最大值．
【解答】解：（1）直線y＝﹣x﹣2中，當(dāng)x＝0時，y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
當(dāng)y＝0時，﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
將A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，
，
∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；
（2）當(dāng)a＝1時，2×1﹣b＝1，
∴b＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），
∴OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
如圖2，過點Q作QF⊥x軸于F，交AB于E，則△EQD是等腰直角三角形，
設(shè)Q（m，m2+m﹣2），則E（m，﹣m﹣2），
∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，
∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，
當(dāng)m＝﹣1時，QD有最大值是，
當(dāng)m＝﹣1時，y＝1﹣1﹣2＝﹣2，
綜上，點Q的坐標為（﹣1，﹣2）時，QD有最大值是．
【考點2 線段和最小】
【典例4】（2019秋?東莞市校級期末）已知，拋物線y＝ax2+bx+c，過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），M為頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐標；
【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3，解得a＝1，
∴拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）拋物線的對稱軸為直線x＝1，點A與點B關(guān)于直線x＝1對稱，
連接BC交直線x＝1于P點，則PA＝PB，
∵PA+PC＝PB+PC＝BC，
∴此時PA+PC的值最小，
設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
當(dāng)x＝1時，y＝x﹣3＝﹣2，則滿足條件的P點坐標為（1，﹣2）；
【變式4-1】（2019?赤峰）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點B、C，與x軸另一交點為A，頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上找一點E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
【解答】解：（1）直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，則點B、C的坐標分別為（3，0）、（0，3），
將點B、C的坐標代入二次函數(shù)表達式得：，解得：，
故函數(shù)的表達式為：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，則x＝﹣1或3，故點A（﹣1，0）；
（2）如圖1中，作點C關(guān)于x軸的對稱點C′，連接CD′交x軸于點E，則此時EC+ED為最小，
函數(shù)頂點D坐標為（1，4），點C′（0，﹣3），
將C′、D的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：
直線C′D的表達式為：y＝7x﹣3，
當(dāng)y＝0時，x＝，
故點E（，0），
則EC+ED的最小值為DC′＝；
【變式4-2】（2016?黑龍江二模）如圖，拋物線y＝x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）點M（m，0）是x軸上的一個動點，當(dāng)CM+DM的值最小時，求m的值．
【解答】解：（1）∵點A（﹣1，0）在拋物線y＝x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，
解得：b＝﹣，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2．
∵y＝x2﹣x﹣2＝（ x2﹣3x﹣4 ）＝，
∴頂點D的坐標為 （，﹣）．
（2）設(shè)點C關(guān)于x軸的對稱點為C′，直線C′D的解析式為y＝kx+n，
則，
解得：．
∴y＝﹣x+2．
∴當(dāng)y＝0時，﹣x+2＝0，
解得：x＝．
∴m＝．
【典例5】（2022?恩施州模擬）如圖1，已知拋物線．點A（﹣1，2）在拋物線的對稱軸上，是拋物線與y軸的交點，D為拋物線上一動點，過點D作x軸的垂線，垂足為點C．
（1）直接寫出h，k的值；
（2）如圖1，若點D的坐標為（3，m），點Q為y軸上一動點，直線QK與拋物線對稱軸垂直，垂足為點K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出這個最小值及點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
【解答】解：（1）∵點A（﹣1，2）在拋物線的對稱軸上，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
∴h＝1，
∴y＝（x+1）2+k，
∵是拋物線與y軸的交點，
∴+k＝，
∴k＝1；
（2）存在最小值，理由如下：
由（1）可知y＝（x+1）2+1，
作C點關(guān)于直線x＝﹣的對稱點C'，連接C'D交拋物線對稱軸于點K，連接CQ，
由對稱性可知C'K＝CQ，
∴CQ+KQ+KD＝C'K+KD+KQ≥C'D+KQ，
當(dāng)C'、K、D三點共線時，CQ+KQ+KD的值最小，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
∴KQ＝1，
∵D（3，5），CD⊥x軸，
∵C（3，0），
∴C'（﹣4，0），
∴C'D＝，
∴CQ+KQ+KD的最小值為+1，
設(shè)直線C'D的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
∴K（﹣1，），
∴Q（0，）；
【變式5】（2022?桂林）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于C點，拋物線的對稱軸l與x軸交于點N，長為1的線段PQ（點P位于點Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運動．
（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）將C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，連接BC'交拋物線的對稱軸l于Q，如圖：
∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，
∴四邊形CC'QP是平行四邊形，
∴CP＝C'Q，
∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，
∵B，Q，C'共線，
∴此時CP+PQ+BQ最小，最小值為BC'+PQ的值，
∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，
∴C'（0，3），
∵B（4，0），
∴BC'＝＝5，
∴BC'+PQ＝5+1＝6，
∴CP+PQ+BQ最小值為6；
【考點3 周長最值問題】
【典例6】（2020春?五華區(qū)校級期末）如圖，拋物線y＝x2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）點M是對稱軸上的一個動點，當(dāng)△ACM的周長最小時，求點M的坐標．
【解答】解：（1）∵點A（﹣1，0）在拋物線y＝x2+bx﹣3上，
∴b＝﹣2，
∴拋物線解析式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3，
∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴頂點D的坐標（1，﹣4）；
（2）對于y＝x2﹣2x﹣3，
當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
當(dāng)y＝0時，0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝3或﹣1，
∴B（3，0），
由拋物線的性質(zhì)可知：點A和B是對稱點，
∴連接BC交函數(shù)的對稱軸于點M，此時AM+CM＝BC為最小值，而BC的長度是常數(shù)，故此時△ACM的周長最小，
設(shè)直線BC的表達式為y＝mx+n，則，解得，
故直線BC的表達式為y＝x﹣3，
當(dāng)x＝1時，y＝﹣2，故點M（1，﹣2）．
【變式6-1】（2021?富拉爾基區(qū)模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線解析式；
（2）若M是拋物線對稱軸上的一點，則△ACM周長的最小值為 多少？
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵△ACM周長的值最小，
∴MC+AM的值最小，
即點M即為直線BC與拋物線對稱軸的交點，
∴△ACM周長的最小值為BC+AC，
∵點B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC＝＝3，AC＝＝，
∴△ACM周長的最小值為，
故答案為：；
【變式6-2】（2022?齊河縣模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3過A（1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ACM的周長最小？若存在，求出△ACM周長的最小值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，連接BC，拋物線上是否存在一點P，使得∠BCP＝∠ACB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過A（1，0）、B（3，0）兩點，
∴方程ax2+bx+3＝0的兩根為x＝1或x＝3，
∴1+3＝﹣，1×3＝，
∴a＝1，b＝﹣4，
∴二次函數(shù)解析式是y＝x2﹣4x+3；
（2）∵二次函數(shù)解析式是y＝x2﹣4x+3，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，C（0，3）．
∵點A、B關(guān)于對稱軸對稱，
∴點M為BC與對稱軸的交點時，MA+MC＝BC的值最小．
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+t（k≠0），
則，
解得：．
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3．
∵拋物線的對稱軸為直線x＝2．
∴當(dāng)x＝2時，y＝1．
∴拋物線對稱軸上存在點M（2，1）符合題意，
∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．
∴AC＝＝，BC＝＝3，
∴AC+BC＝+3，
∴在拋物線的對稱軸上存在點M，使△ACM的周長最小，△ACM周長的最小值為+3；
【典例7】（2022春?衡陽期中）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A、B兩點．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點E在線段AB上方的拋物線上運動（不與A、B重合），過點E作ED⊥AB，交AB于點D，作EF⊥AC，交AC于點F，交AB于點M，求△DEM的周長的最大值；
【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（4，0），B（0，3）．
∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A、B兩點，
∴，
解得．
∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2+x+3．
（2）∵A（4，0），B（0，3）．
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5．
∵ED⊥AB，
∴∠EDM＝∠AOB＝90°，
∵∠DEM+∠EMD＝∠FMA+∠BAO＝90°，∠FMA＝∠EMD，
∴∠DEM＝∠BAO，
∴△AOB∽△EDM，
∴AO：OB：AB＝ED：DM：EM＝4：3：5，
設(shè)E的橫坐標為t，則E（t，﹣t2+t+3），
∴M（t，﹣t+3），
∴EM＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t．
∴△DEM的周長為：ED+DM+EM＝EM＝﹣（t﹣2）2+，
∴當(dāng)t＝2時，△DEM的周長的最大值為．
【變式7】（2022春?北碚區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+2交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，一次函數(shù)y＝﹣x﹣1交拋物線于A，D兩點，其中點D（3，﹣4）．
（1）求拋物線C1的解析式；
（2）點G為拋物線上一點，且在線段BC上方，過點G作GH∥y軸交BC于H，交x軸于點N，作GM⊥BC于點M，求△GHM周長的最大值；
【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝﹣x﹣1交拋物線于A點，且點A在x軸上，
∴A（﹣1，0）；
將A（﹣1，0）和D（3，﹣4）代入拋物線C1：y＝ax2+bx+2，
∴，解得，
∴拋物線C1：y＝﹣x2+x+2．
（2）由（1）知拋物線C1：y＝﹣x2+x+2．
令y＝0，解得x＝﹣1或x＝2，
∴B（2，0）；
令x＝0，則y＝2，
∴C（0，2）．
∴OB＝OC＝2，直線BC的解析式為：y＝﹣x+2；
∴△OBC是等腰直角三角形，且∠OBC＝∠OCB＝45°；
∵GH∥y軸，
∴∠GNB＝90°，
∴∠BHN＝45°，
∵GM⊥BC，
∴∠GMH＝90°，
∵∠MGH＝∠GHM＝45°，
∴GM＝MH＝GH；
設(shè)點G的橫坐標為t，則G（t，﹣t2+t+2），H（t，﹣t+2），
∴GH＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1．
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)t＝1時，GH有最大值1；
∵△GHM的周長為：GM+MH+GH＝（+1）GH，
∴△GHM周長的最大值為+1．
1．（2022春?豐城市校級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．求線段PM的最大值；
【解答】解：（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式得，
，
解得，
∴這個二次函數(shù)的表達式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3；
（2）①設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，
將B，C的坐標代入函數(shù)解析式得，
，
解得，
∴BC的解析式為y＝x﹣3，
設(shè)M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
當(dāng)n＝時，PM最大＝，
∴線段PM的最大值；
2．（2022?寧遠縣模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；
【解答】解：（1）∴二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），
∴，
解得：．
∴二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）∵拋物線y＝x2+2x﹣3的對稱軸x＝﹣＝﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），
∴C、D關(guān)于拋物線的對稱軸x＝﹣1對稱，
連接AC與對稱軸的交點就是點P，
此時PA+PD＝PA+PC＝AC＝＝＝3．
∴PA+PD的最小值為3；
3．（2022?昭平縣二模）如圖1，對稱軸為直線x＝1的拋物線經(jīng)過B（3，0）、C（0，4）兩點，拋物線與x軸的另一交點為A．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為拋物線對稱軸上的一點，使PA+PC取得最小值，求點P的坐標；
【解答】解：（1）由對稱性得：A（﹣1，0），
設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，4）代入：4＝﹣3a，
a＝﹣，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4；
（2）如圖，點A與點B關(guān)于對稱軸直線x＝1對稱，連接BC，交拋物線對稱軸于點P，連接PA，即點P為所求點，此時PA+PC＝PB+PC＝BC的值最小，
∵B（3，0）、C（0，4），
設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y＝kx+b，
∴，解得，
∴直線BC的函數(shù)解析式為y＝﹣x+4，
當(dāng)x＝1時，y＝，
∴P點的坐標為（1，）；
4．（2022春?石鼓區(qū)校級月考）已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求△PAD周長的最小值．
【解答】解：（1）將（﹣3，0），（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴拋物線解析式為y＝x2+2x﹣3．
（2）∵y＝x2+2x﹣3，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，
連接BD，交對稱軸于點P，
∵點A坐標為（﹣3，0），拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，
∴點B坐標為（1，0），
∴BD＝＝3，
又∵AD＝＝，
∴△PAD周長的最小值為3+．
5．（2022?江陰市校級一模）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸分別相交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，3）．
（1）求出這條拋物線的解析式及頂點M的坐標；
（2）PQ是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點P在點Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；
【解答】解：（1）∵拋物線過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
將C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴該拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，頂點坐標為M（1，4）．
（2）如圖1，將點C沿y軸向下平移1個單位得C′（0，2），連接BC′交拋物線對稱軸x＝1于點Q′，
過點C作CP′∥BC′，交對稱軸于點P′，連接AQ′，
∵A、B關(guān)于直線x＝1對稱，
∴AQ′＝BQ′，
∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，
∴四邊形CC′Q′P′是平行四邊形，
∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，
在Rt△BOC′中，BC′＝，
＝
＝．
∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，
此時，C′、Q′、B三點共線，BQ′+C′Q′的值最小，
∴AQ+QP+PC的最小值為 +1．
6．（2022?常德）如圖，已知拋物線過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2，點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△OAB的面積為15時，求B的坐標；
（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動點，當(dāng)PA﹣PB的值最大時，求P的坐標以及PA﹣PB的最大值．
【解答】解：（1）∵拋物線過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（4，0），
設(shè)拋物線解析式為y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；
（2）∵點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限，
∴設(shè)B（2，m）（m＞0），
設(shè)直線OA的解析式為y＝kx，
則5k＝5，
解得：k＝1，
∴直線OA的解析式為y＝x，
設(shè)直線OA與拋物線對稱軸交于點H，則H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴點B的坐標為（2，8）；
（3）設(shè)直線AB的解析式為y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+10，
當(dāng)PA﹣PB的值最大時，A、B、P在同一條直線上，
∵P是拋物線上的動點，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12），
此時，PA﹣PB＝AB＝＝3．
7．（2022?玉州區(qū)一模）如圖，拋物線y＝﹣x2x+4交x軸于A，B兩點（點B在A的右邊），與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q．
（1）求A、B兩點坐標；
（2）過點P作PN上BC，垂足為點N，請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時PN有最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）當(dāng)y＝0，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
（2）設(shè)點P（m，﹣m2+m+4），則點 Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
P～N＝PQ?sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴PN有最大值，
當(dāng)m＝2時，PN的最大值為．
8．（2022?懷化）如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．在線段CB上方的拋物線上有一動點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PF∥AB交BC于點F．
（1）求拋物線和直線BC的函數(shù)表達式．
（2）當(dāng)△PEF的周長為最大值時，求點P的坐標和△PEF的周長．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3；
（2）如圖一中，連接PC，OP，PB．設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大時，△PEF的周長最大，
∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC
＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝時，△PBC的面積最大，面積的最大值為，此時PE的值最大，
∵×3×PE＝，
∴PE＝，
∴△PEF的周長的最大值＝++＝+，此時P（，）；

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