【方法1直接法】
一般以坐標(biāo)軸上線段或以與軸平行的線段為底邊
【方法2 鉛錘法】
（1）求 A、B 兩點水平距離，即水平寬；
（2）過點 C 作 x 軸垂線與 AB 交于點 D，可得點 D 橫坐標(biāo)同點 C；
（3）求直線 AB 解析式并代入點 D 橫坐標(biāo)，得點 D 縱坐標(biāo)；
（4）根據(jù) C、D 坐標(biāo)求得鉛垂高
（5）
【方法3 其他面積方法】
如圖1，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．
如圖2，同底三角形的面積比等于高的比．
如圖3，同高三角形的面積比等于底的比．
如圖1 如圖2 如圖3
【方法4 利用相似性質(zhì)】
利用相似圖形，面積比等于相似比的平方。
【方法1 鉛錘法求面積】
【典例1】（聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0），點B（4，0），與y軸交于點C（0，8），連接BC．又已知位于y軸右側(cè)且垂直于x軸的動直線l，沿x軸正方向從O運動到B（不含O點和B點），且分別交拋物線、線段BC以及x軸于點P，D，E．
（1）求拋物線的表達式；
（2）作PF⊥BC，垂足為F，當(dāng)直線l運動時，求Rt△PFD面積的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8 （2）
【解答】解：（1）將點A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達式得：，解得：，
故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+8；
（2）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，
∵l∥y軸，∴∠PDF＝∠OCB，∴Rt△PFD∽Rt△BCO，
∴，
∴S△PDF＝?S△BOC，
而S△BOC＝OB?OC＝＝16，BC＝＝4，
∴S△PDF＝?S△BOC＝PD2，
即當(dāng)PD取得最大值時，S△PDF最大，
將B、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式并解得：
直線BC的表達式為：y＝﹣2x+8，
設(shè)點P（m，﹣m2+2m+8），則點D（m，﹣2m+8），
則PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，
當(dāng)m＝2時，PD的最大值為4，
故當(dāng)PD＝4時，
∴S△PDF＝PD2＝
【變式1-1】（婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，﹣3）．點P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．
【答案】（1）：y＝x2﹣2x﹣3 （2）① ﹣m2+m+3 ②
【解答】解：（1）函數(shù)的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點D坐標(biāo)代入上式并解得：a＝1，
故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），
①當(dāng)點P在第三象限時，
設(shè)直線PD與y軸交于點G，設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），
將點P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式：y＝sx+t并解得：
直線PD的表達式為：y＝mx﹣3﹣2m，則OG＝3+2m，
S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，
②當(dāng)點P在第四象限時，
設(shè)PD交y軸于點M，
同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，
綜上，S△POD＝﹣m2+m+3，
∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，當(dāng)m＝時，其最大值為；
【變式1-2】（2021秋?龍江縣校級期末）綜合與探究
如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C．
（1）求拋物線的解析式，連接BC，并求出直線BC的解析式；
（2）請在拋物線的對稱軸上找一點P，使AP+PC的值最小，此時點P的坐標(biāo)是 （，） ；
（3）點Q在第一象限的拋物線上，連接CQ，BQ，求出△BCQ面積的最大值．
（4）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使得以A、C、M、N四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，則y＝4，
∴C（0，4），
設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4；
（2）如圖1中，
由題意A，B關(guān)于拋物線的對稱軸直線x＝對稱，
連接BC交直線x＝于點P，連接PA，此時PA+PC的值最小，最小值為線段BC的長＝＝4，
∵直線BC的解析式為y＝﹣x+4，
∴x＝時，y＝﹣+4＝，
∴此時P（，）．
故答案為：（，）；
（3）設(shè)Q（m，﹣m2+3m+4）過Q作QD⊥x軸，交BC于點D，則D（m，﹣m+4），
∴QD＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
，
當(dāng)m＝2時，S△BCQ取最大值，最大值為8，
∴△BCQ面積的最大值為8；
【變式1-2】（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點C，且OC＝3．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P為直線BC下方拋物線上的一點，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的最大值，以及此時點P的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）∵OC＝3，
∴C（0，﹣3），
將點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC，
∴當(dāng)S△PBC面積最大時，S四邊形PCAB的面積最大，
設(shè)BC的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
過點P作PQ⊥x軸交BC于點Q，
設(shè)P（t，t2﹣2t﹣3），則Q（t，t﹣3），
∴當(dāng)PQ最大時，S△PBC面積最大，
∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，
當(dāng)t＝時，PQ取最大值，
∴P（，﹣），
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝4，
∴S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；
【方法2 其他方法】
【典例2】（深圳）如圖拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點C（0，3），且OB＝OC．
（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；
（2）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點P的坐標(biāo)．
【答案】（1） y＝﹣x2+2x+3 ；x＝1（2）P的坐標(biāo)為（4，﹣5）或（8，﹣45）
【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴點B（3，0），
則拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3…①，
函數(shù)的對稱軸為：x＝1；
（2）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點E，
直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
則BE：AE＝3：5或5：3，
則AE＝或，
即：點E的坐標(biāo)為（，0）或（，0），
將點E的坐標(biāo)代入直線CP的表達式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣6或﹣2，
故直線CP的表達式為：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②
聯(lián)立①②并解得：x＝4或8（不合題意值已舍去），
故點P的坐標(biāo)為（4，﹣5）或（8，﹣45）．
【變式2-1】（2021秋?合川區(qū)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（6，0），與y軸交于點C，點P為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線BC于點D，交x軸于點E，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△PBD與△BDE的面積之比為1：2時，求點P的坐標(biāo)；
【答案】（1） y＝﹣x2+5x+6 （2）P（，）
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（6，0），
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6；
（2）∵拋物線y＝﹣x2+5x+6過點C，
∴C（0，6），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+6，
設(shè)P（m，﹣m2+5m+6），則D（m，﹣m+6），
∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，
∵△PBD與△BDE的面積之比為1：2，
∴PD：DE＝1：2，
∴PE：DE＝3：2，
∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），
解得，m2＝6（舍去），
∴P（，）；
【典例3】（淮安）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，D為頂點，其中點B的坐標(biāo)為（5，0），點D的坐標(biāo)為（1，3）．
（1）求該二次函數(shù)的表達式；
（2）試問在該二次函數(shù)圖象上是否存在點G，使得△ADG的面積是△BDG的面積的？若存在，求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3
（2）G的坐標(biāo)為（0，）或（﹣15，﹣45）．
【解答】解：（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2+3
將點B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a＝﹣
∴二次函數(shù)的表達式為：y＝﹣（x﹣1）2+3
（2）存在點G，
當(dāng)點G在x軸的上方時，設(shè)直線DG交x軸于P，設(shè)P（t，0），作AE⊥DG于E，BF⊥DG于F．
由題意：AE：BF＝3：5，
∵BF∥AE，
∴AP：BP＝AE：BF＝3：5，
∴（﹣3﹣t）：（5﹣t）＝3：5，
解得t＝﹣15，
∴直線DG的解析式為y＝x+，
由，
解得或，
∴G（0，）．
當(dāng)點G在x軸下方時，如圖2所示，
∵AO：OB＝3：5
∴當(dāng)點G在DO的延長線上時，存在點G使得S△ADG：S△BDG＝3：5，
此時，DG的直線經(jīng)過原點，設(shè)直線DG的解析式為y＝kx，
將點D代入得k＝3，
故y＝3x，
則有
整理得，（x﹣1）（x+15）＝0，
得x1＝1（舍去），x2＝﹣15
當(dāng)x＝﹣15時，y＝﹣45，
故點G為（﹣15，﹣45）．
綜上所述，點G的坐標(biāo)為（0，）或（﹣15，﹣45）．
【變式3】（2021秋?南陽）如圖，對稱軸為x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．
（1）求點B的坐標(biāo)．
（2）已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點．
①求拋物線的解析式．
②若點P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點P的坐標(biāo)．
【答案】（1）點B的坐標(biāo)為（1，0）
（2）①y＝x2+2x﹣3②點P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）
【解答】解：（1）∵對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，
∴A、B兩點關(guān)于直線x＝﹣1對稱，
∵點A的坐標(biāo)為（﹣3，0），
∴點B的坐標(biāo)為（1，0）；
（2）①a＝1時，
∵拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，
∴＝﹣1，解得b＝2，
將B（1，0）代入y＝x2+2x+c，
得1+2+c＝0，解得c＝﹣3，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
②∵拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，
∴拋物線與y軸的交點C的坐標(biāo)為（0，﹣3），OC＝3，
設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），
∵S△POC＝4S△BOC，
∴×OC×|x|＝4××OC×OB，
即×3×|x|＝4××3×1，
∴|x|＝4，
解得x＝±4，
當(dāng)x＝4時，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21，
當(dāng)x＝﹣4時，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5，
∴點P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）；
1.（2021秋?日喀則市月考）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，M為拋物線的頂點．
（1）求M點的坐標(biāo)；
（2）求△MBC的面積；
【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴M（2，9）；
（2）令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，
解得 x＝﹣1或x＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
令x＝0，得y＝﹣x2+4x+5＝5，
∴C（0，5），
過點M作ME⊥y軸于點E，
∴S△MBC＝S四邊形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC＝＝15；
2．（2022?東方二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過B（3，0）、C（0，﹣3）兩點，與x軸的另一個交點為A，頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點E為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），當(dāng)點E在直線BC的下方運動時，求△CBE的面積的最大值；
【解答】解：（1）將B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）連接CE、BE，經(jīng)過點E作x軸的垂線FE，交直線BC于點F，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，
將B，C兩點的坐標(biāo)代入得：，
解得：，
∴直線BC的解解析式為y＝x﹣3，
設(shè)點F（x，x﹣3），點E（x，x2﹣2x﹣3），
∴EF＝（x﹣3﹣x2+2x+3）＝﹣x2+3x，
∴S△CBE＝S△CEF+S△BEF＝EF?OB＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，
∵a＝﹣＜0，且0＜x＜3，
∴當(dāng)x＝時，S△CBE有最大值，最大值是，此時E點坐標(biāo)為（，﹣）；
3．（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，點P為線段AB上的動點，過P作PQ∥BC交AC于點Q．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標(biāo)．
【解答】（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）過Q作QE⊥x軸于E，過C作CF⊥x軸于F，
設(shè)P（m，0），則PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
＝PA?CF﹣PA?QE
＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）
＝﹣（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴當(dāng)m＝﹣1時 S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面積的最大值為2，此時P點坐標(biāo)為（﹣1，0）．
4．（2022春?青秀區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點A，與x軸交于點E、B．且點A（0，5），B（5，0），拋物線的對稱軸與AB交于點M．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點P是直線AB上方拋物線上的一動點，連接PB，PM，求△PMB面積的最大值；
【解答】解：（1）∵點A（0，5），B（5，0）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5；
（2）如圖，
∵A（0，5），B（5，0），
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5，
∵點M是拋物線的對稱軸與直線AB的交點，
∴M（2，3），
由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5，
過點P作PH∥y軸交AB于H，
設(shè)P（m，﹣m2+4m+5）（0＜m＜5），
∴H（m，﹣m+5），
∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，
∴S△PMB＝PH（xB﹣xM）＝（﹣m2+5m）（5﹣2）＝﹣（x﹣）2+，
∴當(dāng)x＝時，S△PMB最大＝，
即△PMB面積的最大值為；
5．（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點C，且OC＝3．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P為直線BC下方拋物線上的一點，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的最大值，以及此時點P的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）∵OC＝3，
∴C（0，﹣3），
將點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC，
∴當(dāng)S△PBC面積最大時，S四邊形PCAB的面積最大，
設(shè)BC的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
過點P作PQ⊥x軸交BC于點Q，
設(shè)P（t，t2﹣2t﹣3），則Q（t，t﹣3），
∴當(dāng)PQ最大時，S△PBC面積最大，
∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，
當(dāng)t＝時，PQ取最大值，
∴P（，﹣），
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝4，
∴S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；
6．（2022?興寧區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A、B，拋物線的對稱軸交x軸于點D，直線y＝﹣x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，且．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M（t，0）是x軸上的一個動點，點N是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)DN＝2t，△MNB的面積為時，求出點M與點N的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）對于直線y＝﹣x+3，
令y＝0，即﹣x+3＝0，
解得：x＝3，
令x＝0，得y＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵A為x軸負(fù)半軸上一點，且OA＝OB，
∴A（﹣1，0）．
將點A、B的坐標(biāo)分別代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知：A（﹣1，0），B（3，0），D（1，0），
∴BM＝|3﹣t|，
∵S△MNB＝BM?DN＝，即?|3﹣t|?2t＝，
當(dāng)t＜3時，?（3﹣t）?2t＝，
化簡得：4t2﹣12t+15＝0，
∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×15＝﹣96＜0，
∴方程無解；
當(dāng)t＞3時，?（t﹣3）?2t＝，
解得t1＝，t2＝（舍），
∴DN＝2t＝3+2，
∴點M的坐標(biāo)為（，0），點N的坐標(biāo)為（1，3+2）；
7．（2022?煙臺）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x＝﹣1．
（1）求拋物線的表達式；
（2）D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝4，
∴C （0，4），
當(dāng)y＝0時，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵對稱軸為直線x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴設(shè)拋物線的表達式：y＝a（x﹣1）?（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣1）?（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）如圖1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝?（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴當(dāng)m＝﹣時，S最大＝，
當(dāng)m＝﹣時，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；

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