人教版數(shù)學(xué)九上期末復(fù)習(xí)講練專項(xiàng)23 三角形的內(nèi)心與外心（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)1 三角形的內(nèi)心
（1）三角形的內(nèi)切圓：在三角形內(nèi)部且與三角形三邊都相切的圓；
（2）三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，實(shí)質(zhì)是三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)；

【解題技巧】
（3）見到三角形的內(nèi)心就想以下兩點(diǎn)：
①角平分線：內(nèi)心與頂點(diǎn)的連線必然平分三角形的內(nèi)角.
如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，連接AO、BO、CO，
必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
②等距：內(nèi)心到三角形三邊的距離必定相等.
如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，過點(diǎn)O作三邊的垂線，
必有OD=OE=OF.
注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。
（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r= 。
B
O
A D
（3）S△ABC=，其中a，b，c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。
（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。
如圖，BC切⊙O于點(diǎn)B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 C
考點(diǎn)2 三角形的外心
（1）三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，
這個(gè)圓叫作三角形的外接圓；
（2）三角形的外心：三角形外接圓的圓心，實(shí)質(zhì)是三角形的三條邊的垂直平分線交點(diǎn)；
【解題技巧】
（3）見到三角形的外心就想以下兩點(diǎn)：
①垂直平分線：外心到三角形三邊的垂線必然平分三條邊.
如圖，點(diǎn)P為△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC，
必有AD=CD，BE=CE.
②等距：外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離必然相等.
如圖，點(diǎn)P為△ABC的外心，連接PA、PB、PC，
必有PA=PB=PC.
（4）與三角形外心有關(guān)的角度問題：
①外心在三角形的內(nèi)部三角形為銳角三角形三個(gè)角都小于90°
②外心在三角形的邊上三角形為直角三角形有一個(gè)角為90°；

③外心在三角形的外部三角形為鈍角三角形有一個(gè)角大于90°.

【考點(diǎn)1 三角形的內(nèi)心】
【典例1】（2022?河池模擬）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AB＝14，BC＝13，CA＝9，則AD的長是（）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【答案】D
【解答】解：設(shè)AD＝x，
∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，
∴AF＝AD，CE＝CF，BD＝BE，
∵AB＝14，BC＝13，CA＝9，
∴BD＝BE＝14﹣x，CF＝CE＝9﹣x，
∵CE+BE＝BC＝13，
∴9﹣x+14﹣x＝13，
∴x＝5，
∴AD＝5．
故選：D．
【變式1-1】（2022?五華區(qū)校級三模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．已知△ABC的周長為36，AB＝9，BC＝14，則AF的長為（）
A．4B．5C．9D．13
【答案】A
【解答】解：設(shè)AF＝a，
∵△ABC的周長為36，AB＝9，BC＝14，
∴AC＝13，
∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，
∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，
∵AB＝9，BC＝14，CA＝13，
∴BD＝BF＝9﹣a，CD＝CE＝13﹣a，
∵BD+CD＝BC＝14，
∴（9﹣a）+（13﹣a）＝14，
解得：a＝4，
即AF＝4．
故選：A．
【典例2】（2019秋?江岸區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F．若AD＝10，BC＝5，則OB的長為（）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解答】解：連接OE、OF，如圖所示：
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，
∴AD＝AF＝10，BD＝BE，CE＝CF，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠ACB＝90°，
∴四邊形OECF是正方形，
∴OE＝CE＝CF，
設(shè)BD＝BE＝x，則OE＝CF＝CE＝5﹣x．AC＝AF+CF＝10+5﹣x＝15﹣x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：52+（15﹣x）2＝（10+x）2，
解得：x＝3，
∴BE＝3，OE＝2，
∴OB＝＝＝；
故選：C．
【變式2-1】（2021秋?南丹縣期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，AC，BC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則⊙O的半徑等于．
【答案】2
【解答】解：如圖，連結(jié)OD，OE，OF，設(shè)⊙O半徑為r，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC分別相切于點(diǎn)D，F(xiàn)，E，
∴AC⊥OE，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
∴四邊形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OF＝r，
∴AE＝AE＝AC﹣CE＝6﹣r，BF＝BD＝BC﹣CF＝8﹣r，
∵AD+BD＝AB＝10，
∴6﹣r+8﹣r＝10，
∴r＝2．
∴⊙O的半徑等于2．
故答案為：2．
【變式2-2】（2021秋?南開區(qū)期末）圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，三個(gè)切點(diǎn)分別為D、E、F，若BF＝2，AF＝3，則△ABC的面積是．
【答案】6
【解答】解：連接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3，
又∵∠C＝90°，
∴四邊形OECD是矩形，
又∵EO＝DO，
∴矩形OECD是正方形，
設(shè)EO＝x，
則EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2＝AB2，
故（x+2）2+（x+3）2＝52，
解得：x＝1，
∴BC＝3，AC＝4，
∴S△ABC＝×3×4＝6，
故答案為：6．
【典例3】（2019秋?岳麓區(qū)校級月考）如圖為△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙I的切線分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，若△ABC的周長與△ADE的周長的差等于12，則BC的長為（）
A．12B．10C．8D．6
【答案】D
【解答】解：如圖，設(shè)⊙I與DE的切點(diǎn)為點(diǎn)M，⊙I與△ABC三邊的切點(diǎn)分別為N、G、H，
∵⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，
∴DM＝DN，EM＝EH，BN＝BG，CH＝CG，
∵△ABC的周長與△ADE的周長的差等于12，
∴AB+AC+BC﹣（AD+DE+AE）＝12，
即AD+DN+BN+AE+EH+CH+BC﹣（AD+DM+EM+AE）＝12，
∴2BC＝12，
∴BC＝6；
故選：D．
【變式3-1】（2021秋?陵城區(qū)期末）如圖，△ABC周長為20cm，BC＝6cm，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，圓O的切線MN與AB、CA相交于點(diǎn)M、N，則△AMN的周長為（）
A．14cmB．8cmC．7cmD．9cm
【答案】B
【解答】解：∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓，圓O的切線MN與AB、CA相交于點(diǎn)M、N，
∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，
∵△ABC周長為20cm，BC＝6cm，
∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），
∴△AMN的周長為AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），
故選：B．
【變式3-2】（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為．
【答案】7cm
【解答】解：設(shè)E、F分別是⊙O的切點(diǎn)，
∵△ABC是一張三角形的紙片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn)，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，則AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故答案為：7cm．
【典例4】（2022?黃石模擬）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是步．
【答案】6
【解答】解：
設(shè)三角形為△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴AB＝＝＝17，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則S△ABC＝（AB+BC+CA）?r，
∴AC?BC＝（AB+BC+CA）?r，即×8×15＝×（8+15+17）?r，
解得r＝3，
∴內(nèi)切圓的直徑是6步，
故答案為：6．
【變式6】（2022?石家莊模擬）如圖，已知△ABC的周長是20，點(diǎn)O為三角形內(nèi)心，連接OB、OC，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝3，則△ABC的面積是（）
A．20B．25C．30D．35
【答案】C
【解答】解：如圖，連接OA，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)O為三角形內(nèi)心，OD⊥BC，
∴OD＝OE＝OF＝3，
∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝AB?OE+AC?OF+BC?OD
＝×OD（AB+AC+BC）
＝3×20
＝30．
故選：C．
【典例7】（2022?海曙區(qū)校級開學(xué)）如圖所示，已知⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是內(nèi)心，若∠A＝28°，則∠BIC等于（）
A．100°B．104°C．105°D．114°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝28°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝152°，
∵⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是內(nèi)心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝∠ABC+∠ACB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝76°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣76°
＝104°，
故選：B．
【變式7-1】（2021秋?大余縣期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若∠A＝70°，則∠BOC＝（）
A．125°B．115°C．100°D．130°
【答案】A
【解答】解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°．
故選：A．
【變式7-2】（2020秋?曲靖期末）如圖，△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC、AC、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，則∠EDF的度數(shù)是（）
A．65°B．140°C．55°D．70°
【答案】D
【解答】解：連接IE、IF，如圖，
∵內(nèi)切圓I和邊AC、AB分別相切于點(diǎn)E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，
∵∠EDF＝∠EIF，
∴∠EDF＝90°﹣∠A，
∵∠B＝65°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
∴∠EDF＝90°﹣×40°＝70°．
故選：D．
【考點(diǎn)2 三角形的外心】
【典例8】（2022?沈陽模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝45°，AB＝6，則⊙O的半徑長為（）
A．B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：如圖，連接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，
∴2OA2＝36，
∴OA＝3，
即⊙O的半徑是3，
故選：C．
【變式8-1】（2022?東營模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠A＝α，AB為∠OBC的角平分線，則∠BCA等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：連接OC，
∵∠A＝α，
∴∠O＝2∠A＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝×（180°﹣∠O）＝90°﹣α，
∵AB為∠OBC的角平分線，
∴∠ABC＝OBC＝45°﹣，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣α﹣（45°﹣）＝135°﹣α，
故選：C．
【變式8-2】（2022?瓜州縣校級模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直徑．則∠DAB的度數(shù)是（）
A．35°B．55°C．65°D．70°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝110°，
∴∠C＝35°，
∴∠D＝∠C＝35°，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠D＝90°﹣35°＝55°．
故選：B．
【典例9】（2022?邵陽）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB＝3，則⊙O的半徑是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：連接OB，過點(diǎn)O作OE⊥BC，
∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBE＝30°，
又∵OE⊥BC，
∴BE＝BC＝AB＝，
在Rt△OBE中，cs30°＝，
∴，
解得：OB＝，
故選：C．
【變式9-1】（2022?懷寧縣模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B＝60°，OP⊥AC于點(diǎn)P，，則⊙O的直徑為（）
A．B．C．6D．12
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，
∴∠APO＝90°，
在Rt△AOP中，OP＝2，∠OAC＝30°，
∴OA＝2OP＝4，
∴圓O的直徑為8．
故選：B．
【變式9-2】（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：連接OB，OC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，
∴BC＝2BD，
∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，
∴∠BOC＝×360°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝＝30°，
∵⊙O的半徑為2，
∴OB＝2，
∴BD＝OB?cs∠OBD＝2×cs30°＝2×＝，OD＝OB＝1，
∴BC＝2．
∴等邊△ABC的面積為3S△BCO＝3×BC?OD＝3××1＝3．
故選：D．
【典例10】（2021秋?無錫期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標(biāo)為（）
A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【答案】D
【解答】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)O′即為所求．
∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，
∴EF與MN的交點(diǎn)O′即為所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐標(biāo)是（﹣2，1）．
故選：D．
【變式10】（2021秋?鹽都區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，4）、（5，4）、（1、﹣2），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）
A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）
【答案】D
【解答】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為（1，4），（5，4），
∴線段AB的垂直平分線方程為x＝3，
同理，線段AC的垂直平分線方程為y＝1，
∴△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（3，1），
故選：D．
1．（2021秋?鄞州區(qū)期末）直角三角形的外接圓半徑為3，內(nèi)切圓半徑為1，則該直角三角形的周長是（）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【解答】解：如圖，設(shè)⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，連接IE，IF，ID，
則∠CDI＝∠C＝∠CFI＝90°，ID＝IF＝1，
∴四邊形CDIF是正方形，
∴CD＝CF＝1，
由切線長定理得：AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，
∵直角三角形的外接圓半徑為3，內(nèi)切圓半徑為1，
∴AB＝6＝AE+BE＝BF+AD，
即△ABC的周長是AC+BC+AB＝AD+CD+CF+BF+AB＝6+1+1+6＝14，
故選：B．
2．（2021秋?蘭山區(qū)期末）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為（）
A．3：2：1B．1：2：3C．2：3：1D．3：1：2
【答案】B
【解答】解：如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)⊙O的半徑為r，作AH⊥BC于H，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，
∴點(diǎn)O在AH上，
∴OH＝r，
連接OB，
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OA＝OB，
在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，
∴AH＝2r+r＝3r，
∴OH：OA：AH＝1：2：3，
即等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為1：2：3．
故選：B．
3．（2022?新洲區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，則△OBC的面積是（）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥BO的延長線于點(diǎn)H，
∵點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，
∴∠COH＝60°，
∵OB＝2，OC＝4，
∴OH＝2
∴CH＝2，
∴△OBC的面積＝OB?CH＝2×2＝2．
故選：B．
4．（2022?梧州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取點(diǎn)D（不與點(diǎn)A，B重合），連接BD，AD，則∠BAD+∠ABD的度數(shù)是（）
A．60°B．62°C．72°D．73°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，
∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，
故選：C．
5．（2022?衢州一模）如圖，BD是△ABC外接圓的直徑，BE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD．若∠ABE＝40°，則∠CBD的度數(shù)為（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵BD是△ABC外接圓的直徑，BE⊥AC，
∴＝，AE＝CE，
∴AB＝CB，
∴∠CBD＝∠ABE＝40°，
故選B．
6．（2022?寧津縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，⊙D經(jīng)過A，B，O，C四點(diǎn)，∠ACO＝120°，AB＝4，則圓心點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵四邊形ABOC為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB為⊙D的直徑，
∴D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝2，
∴OA＝OB＝
∴A（，0），B（0，2），
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）．
故選：B．
7．（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，△BCD內(nèi)接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交?O于點(diǎn)A，連接AC，則∠OAC的度數(shù)為（）
A．40°B．55°C．70°D．110°
【答案】B
【解答】解：連接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA＝，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣70°）＝55°，
故選：B．
8．（2022?朝陽區(qū)校級一模）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，且AB為⊙O的直徑，若OC＝AC＝5，則BC長為（）
A．10B．9C．8D．5
【答案】D
【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°．
∵OC＝AC＝5，
∴AB＝2OC＝10，
∴BC＝＝＝5．
故選：D．
9．（2022?云南模擬）如圖，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，AD是⊙O的直徑．若OA＝3，則劣弧BD的長是（）
A．B．πC．D．2π
【答案】B
【解答】解：連接OB、BD，如圖：
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠D＝∠C＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等邊三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵半徑OA＝3，
∴劣弧BD的長為＝π，
故選：B．
10．（2021秋?長樂區(qū)期末）在《九章算術(shù)》卷九中記載了一個(gè)問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“如圖，今有直角三角形勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓（內(nèi)切圓）的直徑是多少步？”根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的直徑為步．
【答案】6
【解答】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊AB＝＝17，
∴內(nèi)切圓直徑＝8+15﹣17＝6（步），
故答案為：6．
11．（2022?溫州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若∠ACB＝40°，則∠DOE＝．
【答案】130°
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，
∵⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，
∴AB、BC是⊙O的切線，
∴∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣∠BDO﹣∠BEO﹣∠ABC＝130°，
故答案為：130°．
12．（2022?常州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，則⊙O的半徑是．
【答案】1
【解答】解：連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，
∴AD＝＝＝2，
∴⊙O的半徑是1，
故答案為：1．
13．（2022?玉林）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來．
【答案】△ABD，△ACD，△BCD
【解答】解：由圖可知：
OA＝，
OB＝，
OC＝，
OD＝，
OE＝，
∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是點(diǎn)O，
故答案為：△ABD，△ACD，△BCD．
14．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為3cm．C為⊙O上一點(diǎn)，∠ACB＝60°，則AB的長為 cm．
【答案】3
【解答】解：連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，
∴AB＝AD?sin60°＝6×＝3（cm），
故答案為：3．
15．（2022?玉林模擬）如圖，AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝60°，則∠ACB＝．
【答案】30°
【解答】解：連接BD，如圖，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝∠D＝30°．
故答案為：30°．
16．（2021秋?烏蘭察布期末）如圖，⊙O分別切△ABC的三條邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F、若AB＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的長．
【解答】解：假設(shè)AD＝x，
∵⊙O分別切△ABC的三條邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F；
∴根據(jù)切線長定理得出AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，
∴AF＝x，
∵AB＝5，AC＝6，BC＝7，
∴BE＝BD＝AB﹣AD＝5﹣x，F(xiàn)C＝EC＝AC﹣AF＝6﹣x，
∴BC＝BE+EC＝5﹣x+6﹣x＝7，
解得：x＝2，
∴AD＝2，BE＝BD＝5﹣2＝3，CF＝AC﹣AF＝6﹣2＝4．
17．（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，經(jīng)過點(diǎn)A，C，D的圓與BC相交于點(diǎn)E，連接AE．
（1）求證：△ABE是等邊三角形．
（2）F是上一點(diǎn)，且FA＝FC，連接EF．求證：EF＝BC．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∵四邊形AECD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠D+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠D＝120°，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEC＝60°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝60°，
∴∠B＝∠BAE＝∠AEB，
∴△ABE是等邊三角形；
（2）∵△ABE是等邊三角形，
∴AB＝AE，
∵∠D＝∠AFC＝60°，AF＝FC，
∴△AFC是等邊三角形，
∴∠FCA＝60°，
∴∠AEF＝∠FCA＝60°，
∴∠AEF＝∠B＝60°，
∵∠AFE＝∠ACB，
∴△ABC≌△AEF（AAS），
∴BC＝EF．

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