蘇科版數(shù)學(xué)八上同步講練專題2.1 軸對稱圖形與垂直平分線的性質(zhì)（2份，原卷版+解析版）

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專題2.1 軸對稱圖形與垂直平分線的性質(zhì) 【教學(xué)目標(biāo)】 認(rèn)識軸對稱與軸對稱圖形； 2、軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系； 3、垂直平分線的性質(zhì)與判定； 4、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖 【教學(xué)重難點(diǎn)】 1.軸對稱及軸對稱圖形的概念。 2.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系 3.垂直平分線的性質(zhì)與判定 4.線段垂直平分線的尺規(guī)作圖 【知識亮解】 知識點(diǎn)一：軸對稱與軸對稱圖形 軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。 這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱。 軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)。 軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系： 區(qū)別：①軸對稱圖形說的是一個具有特殊形狀的圖形；軸對稱說的是兩個圖形的一種特殊位置關(guān)系。 ②軸對稱是對兩個圖形說的，而軸對稱圖形是對一個圖形說的。 聯(lián)系：①都沿某條直線對折，圖形重合。 ②如把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；反過來，把軸對稱圖形的兩部分分別看作兩個圖形，那么這兩個圖形成軸對稱。 軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì) 軸對稱的性質(zhì)： 垂直平分線：垂直并且評分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。 由一個平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線L成軸對稱的圖形，這個圖形與原圖形全等（即形狀、大小完全相同） 新圖形上的每一點(diǎn)，都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)。 連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分。 軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線. 亮題一、判斷軸對稱圖形 1．（2022·云南·紅河縣教育科學(xué)研究室八年級期末）下列汽車標(biāo)志中，不是軸對稱圖形的是（???????）． A． 雪鐵龍 B． 本田 C． 長城 D． 傳祺 2．（2022·福建·福州立志中學(xué)八年級期末）中國文字博大精深，而且有許多是軸對稱圖形，在這四個文字中，是軸對稱圖形的是（???????） A． B． C． D． 3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）將如圖的七巧板的其中幾塊，拼成一個多邊形，為軸對稱圖形的是（???????） A． B． C． D． 4．（2022·上?！とA東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)九年級期中）在①平行四邊形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圓四個圖形中，一定是軸對稱圖形的有_________(填序號)． 5．（福建莆田·八年級期中）如圖，由水中倒影看到的車牌號的實際號碼是_____． 6．（2021·全國·七年級課時練習(xí)）請將以下的圖形補(bǔ)成以為對稱軸的軸對稱圖形． 亮題二、軸對稱的性質(zhì) 1★（江蘇省大豐區(qū)期末）如圖，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，則∠B度數(shù)為（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 2★如圖，將正方形紙片按照圖上所示進(jìn)行操作，打開得到的圖形是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 3★如圖，△ABC中，D點(diǎn)在BC上，將D點(diǎn)分別以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點(diǎn)E、F，并連接AE、AF，根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，∠EAF的度數(shù)為（　?。?A．126° B．128° C．130° D．132° 4★★如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，則∠ACB的度數(shù)為（ ） A．40° B．35° C．60° D．70° 知識點(diǎn)二：設(shè)計軸對稱圖形 問題一：已知對稱軸l和一個點(diǎn)A，如何畫出點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′? 作法: 過點(diǎn)A作直線l的垂線，在垂線上截取OA′=OA， 垂足為點(diǎn)O，點(diǎn)A′就是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)。 問題二：如何畫線段AB關(guān)于直線l 的對稱線段A′B′? 作法： 過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)O，在垂線上截OA′=OA， 點(diǎn)A′就是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)； 類似地，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′； 連結(jié)A′B′. 問題三：如圖已知△ABC和直線l，怎樣作出與△ABC關(guān)于直線l對稱的圖形呢？ 作法： △ABC可以由三個頂點(diǎn)的位置確定，只要能分別作出這三個頂點(diǎn) 關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，連結(jié)這些對稱點(diǎn)，就能得到要作的圖形. ∴△A′B′C′即為△ABC關(guān)于直線l對稱的圖形. 歸 納 一．作已知圖形關(guān)于已知直線對稱的圖形的一般步驟: 1.找點(diǎn)（確定圖形中的一些特殊點(diǎn)）； 2.畫點(diǎn)（畫出特殊點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn)）； 3.連線（連結(jié)對稱點(diǎn)）. 二．設(shè)計軸對稱圖案的步驟： （1）畫出對稱軸； （2）畫出圖形的基本形狀的部分線條； （3）按照其中一條對稱軸畫出基本形狀的對稱圖形； （4）按照另一條對稱軸繼續(xù)畫對稱圖形； （5）完成對稱圖案設(shè)計. 亮題三、設(shè)計軸對稱圖形 1．（2022·河南商丘·三模）圖中陰影部分是由4個完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使它與陰影部分組成的新圖形是軸對稱圖形，則這個正方形應(yīng)該添加在（???????） A．區(qū)域①處 B．區(qū)域②處 C．區(qū)域③處 D．區(qū)域④處 2．（2022·浙江湖州·八年級期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，從空白的小正方形中再選擇一個涂黑，使得3個涂黑的正方形成軸對稱圖形，則選擇的方法有（　?。? A．3種 B．4種 C．5種 D．6種 3．（2022·貴州遵義·八年級期末）如圖，在的正方形格紙中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，為格點(diǎn)三角形，請問圖中還存在（???????）個格點(diǎn)三角形與成軸對稱圖形． A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2022·北京海淀·二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)．若AB=1，則四邊形ABCD的面積為_____． 5．（2021·江蘇鹽城·八年級階段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中與ABC成軸對稱的格點(diǎn)三角形一共有 ___個． 6．（2020·湖北·武漢市六中位育中學(xué)八年級）如圖，在的正方形格紙中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．圖中是一個格點(diǎn)三角形，在圖中畫一個與成軸對稱的格點(diǎn)三角形，這樣的格點(diǎn)三角形可以畫_____個． 7．（2022·河北·高陽縣教育局教研室八年級期末）如圖1，網(wǎng)格中的每一個正方形的邊長為1，△ABC為格點(diǎn)三角形（點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上），直線m為格點(diǎn)直線（直線m經(jīng)過小正方形的格點(diǎn)）． (1)如圖1，作出△ABC關(guān)于直線m的軸對稱圖形△A′B′C′； (2)如圖2，在直線m上找到一點(diǎn)P，使PA+PB的值最??； (3)如圖3，僅用直尺將網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形ABC的面積三等分，并將其中的一份用鉛筆涂成陰影． (4)如圖4，僅用直尺作出三角形ABC的邊AB上的高，簡單說明你的理由． 知識點(diǎn)三：垂直平分線的性質(zhì)與判定 線段垂直平分線的作法 ①折疊法：折疊找出線段AB的垂直平分線， ②度量法：用刻度尺量出線段的中點(diǎn)，用三角尺過中點(diǎn)畫垂線； ③尺規(guī)法： 分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑畫弧交于點(diǎn)E 、F； 過點(diǎn)E 、F作直線，則直線EF就是線段AB的垂直平分線。 亮題四、垂直平分線的性質(zhì) 1．（2022·湖南衡陽·八年級期末）如圖，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，則△BCE的周長為（?????） A．13 B．14 C．18 D．21 2．（2022·陜西·交大附中分校八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE與邊AB，AC分別交于點(diǎn)D，E．已知△ABC與△BCE的周長分別為16cm和10cm，則BD的長為（ A． B． C． D． 3．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年級學(xué)業(yè)考試）某數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)了角平分線的作法后，又探究出如圖所示的甲、乙兩種方案，則正確的方案（???????） A．只有甲才是 B．只有乙才是 C．甲、乙都是 D．甲、乙都不是 4．（2022·廣東·平洲二中八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于18cm．則AC的長等于（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 5．（2022·山西晉中·八年級期中）如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)D，DE交AC于點(diǎn)E，且，△BEC的周長為11，則BC的長為________． 6．（2022·廣西·藤縣教學(xué)研究室一模）如圖，在Rt△ABC中，AC的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D， 交BC于點(diǎn)E，∠BAE＝20°，則∠DCE的度數(shù)是為_____． 7．（2022·遼寧大連·一模）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3，△ABD的周長為13，則△ABC的周長為___________. 8．（2021·廣西·靖西市教學(xué)研究室八年級期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠BAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E，將△CED沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處． (1)求證：∠BAE＝∠C． (2)若∠BAE＝32°，求∠B的度數(shù)． 9．（2022·貴州黔南·八年級期末）在△ABC中，點(diǎn)M，N分別在AB，AC邊上． (1)如圖①，利用尺規(guī)作圖，在BC邊上找一點(diǎn)P，使得PM＝PN．（保留作圖痕跡，不寫作法） (2)如圖②，請用畫圖的方式在BC邊上找一點(diǎn)Q，使得的值最?。? 【亮點(diǎn)訓(xùn)練】 一、判斷軸對稱圖形 【訓(xùn)練1】★下列奧運(yùn)會會徽是軸對稱圖形的是（　?。?A． B． C． D． 【訓(xùn)練2】★下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 【訓(xùn)練3】★下列所給的四個小篆字中為軸對稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 二、軸對稱的性質(zhì) 【訓(xùn)練1】★如圖，△ABC與△DEF關(guān)于直線l對稱，若∠A＝65°，∠B＝80°，則∠F＝（ ） A．80° B．65° C．45° D．35° 【訓(xùn)練2】★如圖，把Rt△ABC（∠C＝90°）折疊，使A、B兩點(diǎn)重合，得到折痕ED，若CE＝DE，則∠A等于 ． 【訓(xùn)練3】★如圖，點(diǎn)A、B、C都在方格紙的“格點(diǎn)”上，請找出“格點(diǎn)”D，使點(diǎn)A、B、C、D組成一個軸對稱圖形，這樣的點(diǎn)D共有（　?。﹤€． A．1 B．2 C．3 D．4 三、設(shè)計軸對稱圖形 【訓(xùn)練1】★如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，將圖中的2個小正方形涂上陰影，若再從其余小正方形中任選一個也涂上陰影，使得整個陰影部分組成的圖形是軸對稱圖形，那么符合條件的小正方形共有（ ） A．7個 B．8個 C．9個 D．10個 【訓(xùn)練2】★在4×4的方格中有五個同樣大小的正方形如圖擺放，請你添加一個正方形到空白方格中，使它與其余五個正方形組成的新圖形是一個軸對稱圖形，這樣的添法共有 種． 【訓(xùn)練3】★如圖的2×5的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形，在網(wǎng)格中與△ABC成軸對稱的格點(diǎn)三角形一共有 個． 四、垂直平分線的性質(zhì)與判定 【訓(xùn)練1】★如圖，中，邊的垂直平分線交于，交于，厘米，的周長是18厘米，則 【訓(xùn)練2】★如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于 (　　) A．80° B．70° C．60° D．50° 【訓(xùn)練3】★如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有(　　) A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 【訓(xùn)練4】★如圖，將△ABC沿直線折疊，折痕為EF．使點(diǎn)C落在AB邊中點(diǎn)M上，若AB＝8，AC＝10，則△AEM的周長為 ． 【培優(yōu)檢測】 1．（2021·全國·八年級期中）對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運(yùn)用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)識等作品的設(shè)計上．在下列簡圖中，是軸對稱圖形的是（???????） A． B． C． D． 2．（2022·江蘇淮安·七年級期末）如圖，在△ABC中，，點(diǎn)D在AB上，將△ABC沿CD折疊，點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)E處，若，則∠A的度數(shù)為（???????） A．25° B．30° C．35° D．40° 3．（2022·河北石家莊·一模）如圖，在的正方形格紙中，有一個以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，請你找出格紙中所有與△ABC成軸對稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，這樣的三角形共有（???????） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 4．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于點(diǎn)E．關(guān)于下面兩個結(jié)論，說法正確的是（???????） 結(jié)論①；結(jié)論②． A．結(jié)論①②都正確 B．結(jié)論①②都錯誤 C．只有結(jié)論①正確 D．只有結(jié)論②正確 5．（2022·廣東·化州市第一中學(xué)八年級期中）如圖，中，，邊AB的垂直平分線和邊AC的垂直平分線相交于點(diǎn)M，且與邊BC分別相交于點(diǎn)D、E，連接AE、AD，則的周長（???????）． A．14 B．10 C．18 D．不能確定 6．（2021·山東·巨野縣金山中學(xué)八年級階段練習(xí)）下列圖形中，一定是軸對稱圖形的有______________（填序號）． （1）線段；（2）三角形；（3）圓；（4）正方形；（5）梯形 7．（2022·福建·漳州實驗中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點(diǎn)，且DE//BC，△ABC沿線段DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處．若∠B=50°，則∠BDF=_____． 8．（2022·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，在的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．圖中的為格點(diǎn)三角形，在圖中最多能畫出______個不同的格點(diǎn)三角形與成軸對稱． 9．（2021·江蘇無錫·八年級期中）如圖，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，△BCE的周長為18，則AC的長為___________． 10．（2021·山東濱州·八年級期末）如圖，在中，，，，P為BC邊的垂直平分線DE上一個動點(diǎn)，則周長的最小值為________． 11．（2022·湖北十堰·八年級期末）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在小正方形的頂點(diǎn)上，利用網(wǎng)格線按下列要求畫圖． (1)畫△A1B1C1，使它與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱； (2)在直線l上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離之和最短； (3)在直線l上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到邊AC、BC所在直線的距離相等． 12．（2021·河南·金明中小學(xué)八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，，AB＝8cm，AC＝5cm，將△ABC折疊，使A、B兩點(diǎn)重合，得到折痕DE，再沿BE折疊，點(diǎn)C恰好落到點(diǎn)D上， (1)求∠A的度數(shù)； (2)求△ADE的周長． 13．（2022·湖南邵陽·七年級期末）如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了黑色．請你用三種不同的方法分別在每個網(wǎng)格中再選一個白色小方格涂成黑色，使涂成黑色部分的圖形成為軸對稱圖形． 14．（2021·廣西·柳城縣教育局教研室一模）如圖，在Rt△ABC中，AC＜BC，∠C＝90°． (1)在BC上求作點(diǎn)D，使點(diǎn)D到A，B兩點(diǎn)的距離相等（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）； (2)連接AD，過點(diǎn)B作AD的垂線BE，垂足為E，求證：BE＝AC． 15．（2021·全國·八年級期末）閱讀材料： 課本中研究圖形的性質(zhì)，就是探究圖形的構(gòu)成元素（邊、角、有關(guān)線段）具有怎樣的特征．例如在學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)時，我們就探究得出了等腰三角形有如下性質(zhì)： 邊的性質(zhì)：等腰三角形兩腰相等； 角的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等； 有關(guān)線段的性質(zhì)：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊的中線是同一條線段． 如果兩組鄰邊分別相等的四邊形叫箏形．如圖，在四邊形，若， ，則四邊形是箏形． 請?zhí)骄抗~形的性質(zhì)，寫出兩條并進(jìn)行證明（邊的性質(zhì)除外）．  甲：（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）； （2）分別作線段CE，DF的垂直平分線，交點(diǎn)為P； （3）作射線OP．OP即為∠AOB的平分線． 乙：（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）； （2）連接DE，CF，交點(diǎn)為P； （3）作射線OP．OP即為∠AOB的平分線．