理解正方形的概念；正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系
定義：有一組鄰邊相等，并且一個(gè)角是直角的平行四邊形叫作正方形
(1)矩形＋一組鄰邊相等＝正方形(2)菱形＋一個(gè)直角＝正方形
理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系
平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系
判定中點(diǎn)四邊形的形狀的原理是三角形的中位線定理.
【溫馨提示】1.特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形：(1)平行四邊形→平行四邊形；(2)矩形→菱形；(3)菱形→矩形；(4)正方形→正方形.2.中點(diǎn)四邊形的周長是原四邊形兩條對(duì)角線的長度之和，面積是原四邊形面積的一半.
1.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的一點(diǎn)，且EF∥AD，連接AF，DE.若∠FAC＝15°，則∠AED的度數(shù)為(　　)A.80°　　　B.90°　　　C.105°　　　D.115°
【解析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)及EF∥BC得∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，進(jìn)而得∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，然后證△AEF和△DFE全等，得∠CAF＝∠FDE＝15°，從而得∠ADE＝30°，最后利用三角形的內(nèi)角和定理可求出∠AED的度數(shù).
2.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.(1)若∠BAE＝α，則∠FEC＝____________；(用含α的代數(shù)式表示)?(2)若AB＝6，DF＝3，BE的長為____________；?
解：(1)2α　(2)2
(3)若正方形ABCD的邊長為1，求EF的最小值.
解：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG，則△ABG≌△ADF，可得△EAG≌△EAF.∴GE＝FE，∠GAE＝∠FAE＝45°.過A，G，E三點(diǎn)作圓，圓心為O，過點(diǎn)O作OH⊥GE，垂足為H，連接OG，OE.∵∠GAE＝45°，∴∠GOE＝90°.設(shè)OG＝OE＝OA＝r.
1.“半角”模型中，一般作輔助線的方法是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等.2.幾何題中的線段或角的計(jì)算注意方程思想的運(yùn)用.3.定角考慮隱圓，定高求最值.
如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，則下列判斷正確的有____________.?
①若AC＝BD，∠1＝∠2，則?ABCD是正方形；②若∠2＝∠3＝45°，則?ABCD是正方形；③若AC⊥BD，AC＝BD，則?ABCD是正方形；④若AB＝BC＝CD＝DA，則?ABCD是正方形；⑤若∠1＝∠2＝∠3＝∠4，則?ABCD是正方形.
(2)請(qǐng)說明當(dāng)?ABCD的對(duì)角線滿足什么條件時(shí)，四邊形BPCO是正方形?
　　正方形的判定方法較多，可從平行四邊形增加兩個(gè)條件，或從矩形、菱形各增加一個(gè)條件都可得到.各種四邊形的定義與相互間的關(guān)系應(yīng)靈活掌握，深度理解.
1.如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H依次是各邊中點(diǎn)，O是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，若S四邊形AEOH＝3，S四邊形BFOE＝4，S四邊形CGOF＝5，則S四邊形DHOG＝____________.?
【解析】連接OC，OB，OA，OD.∵E，F(xiàn)，G，H依次是各邊的中點(diǎn)，∴△AOE和△BOE等底等高.∴S△OAE＝S△OBE.同理，可得S△OBF＝S△OCF，S△ODG＝S△OCG，S△ODH＝S△OAH.∴S四邊形AEOH＋S四邊形CGOF＝S四邊形BFOE＋S四邊形DHOG.∵S四邊形AEOH＝3，S四邊形BFOE＝4，S四邊形CGOF＝5，∴3＋5＝4＋S四邊形DHOG.∴S四邊形DHOG＝4.
2.(2024·涼山州) 如圖，四邊形ABCD各邊中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，G，H，若對(duì)角線AC＝24，BD＝18，則四邊形EFGH的周長是____________.?
1.點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是平行四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).若要使四邊形EFGH是菱形，則添加的條件可以是____________.現(xiàn)有條件：①∠A＝90°；②AB⊥BC；③AC＝BD；④AC⊥BD.(請(qǐng)?zhí)顚懻_的序號(hào))?
2.如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別為BO，CO的中點(diǎn)，連接ED，EM，MN，ND.若△ADE的面積為6，則四邊形DEMN的面積為____________.?
　　中線分面積，遇“雙中點(diǎn)”聯(lián)想中位線，中位線可將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段間的數(shù)量與位置關(guān)系，各種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形對(duì)角線的關(guān)系密切相關(guān).
1.下列命題，其中是真命題的是(　　)A.對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形B.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形C.對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形
2.(2024·廣西) 如圖，邊長為5的正方形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn).連接AG，BH，CE，DF，交點(diǎn)分別為M，N，P，Q，那么四邊形MNPQ的面積為(　　)A.1B.2C.5D.10
3.(2024·福建) 如圖，正方形ABCD的面積為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積為__________.?
5.(2021·瀘州) 如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于點(diǎn)G，則△AGF的面積是______.?
6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，O為AC的中點(diǎn)，連接DO并延長到點(diǎn)E，使OE＝OD，連接AE，CE.(1)判斷四邊形ADCE的形狀，并說明理由；
解：四邊形ADCE是矩形.理由：∵O是AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO.又∵OE＝OD，∴四邊形ADCE是平行四邊形.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.∴四邊形ADCE是矩形.

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