A．(?2，23)B．(?2，?23)C．(23，?2)D．(2，23)
2．（2024秋?長(zhǎng)沙期中）已知一正多邊形的一個(gè)外角等于72°，則該正多邊形的中心角等于（ ）
A．18°B．36°C．72°D．108°
3．（2024秋?鼓樓區(qū)期中）正多邊形的一部分如圖所示，若∠ACB＝20°，則該正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．8B．9C．10D．12
4．（2024秋?大豐區(qū)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正八邊形中，把其不相鄰的四條邊均向兩邊延長(zhǎng)相交成一個(gè)四邊形ABCD，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)是（ ）
A．24B．122C．16D．8+82
5．（2024?鳳城市二模）苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國(guó)化學(xué)家凱庫(kù)勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個(gè)碳原子與6個(gè)氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長(zhǎng)都相等（如圖1），組成了一個(gè)完美的六邊形（正六邊形），圖2是其平面示意圖，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．130°B．120°C．110°D．60°
二．填空題（共5小題）
6．（2024?鎮(zhèn)江）如圖，AB是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，點(diǎn)C在⊙O上，∠ACB＝18°，則n＝ ．
7．（2024?青島二模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE、CD分別相切于A、C兩點(diǎn)，則∠AOC的度數(shù)為 ．
8．（2024秋?四平期中）如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，分別切AB，CD于點(diǎn)M，N，P是優(yōu)弧MPN上的一點(diǎn)，則∠MPN的度數(shù)為 °．
9．（2024?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，要擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a＝18cm的正六邊形螺帽，扳手張開(kāi)的開(kāi)口b至少為 cm．
10．（2024?宿遷模擬）如圖，在半徑為2的⊙O中，兩個(gè)頂點(diǎn)重合的內(nèi)接正四邊形與正六邊形，則陰影部分的面積為 ．
三．解答題（共5小題）
11．（2024?武威校級(jí)三模）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，AD，CE，CE交AD于點(diǎn)F．
（1）求∠CAD的度數(shù)．
（2）已知AB＝2，求DF的長(zhǎng)．
12．（2023秋?同心縣期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度數(shù)．
13．（2023秋?林芝市期末）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為23．求邊心距OP的長(zhǎng)．
14．（2023秋?秀嶼區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，CE．
（1）求證：AE＝DE；
（2）求證：AE+CE=2DE．
15．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，已知正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，連接AC、BD，相交于點(diǎn)P，若⊙O的半徑為1．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）求∠APD的度數(shù)．
2024-2025學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)期末必刷常考題之正多邊形和圓
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?青秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，將六邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45°，則第1000次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ）
A．(?2，23)B．(?2，?23)C．(23，?2)D．(2，23)
【考點(diǎn)】正多邊形和圓；坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)．
【專題】規(guī)律型；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；正多邊形與圓；幾何直觀；運(yùn)算能力．
【答案】A
【分析】連接OA、OB，設(shè)AB交y軸于點(diǎn)P，由正多邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理求出A（﹣2，23），再根據(jù)旋轉(zhuǎn)8次為一個(gè)循環(huán)，由此即可得出答案．
【解答】解：如圖，連接OA、OB，設(shè)AB交y軸于點(diǎn)P，
，
∵邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，
∴AB＝4，AB⊥y軸，∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，OP⊥AB，
∴AP＝PB＝2，OB＝OA＝4，
∴OP=OB2?PB2=23，
∴A（﹣2，23），
∵將六邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45°，8次一個(gè)循環(huán)，
∵1000÷8＝125，
∴第1000次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，23），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
2．（2024秋?長(zhǎng)沙期中）已知一正多邊形的一個(gè)外角等于72°，則該正多邊形的中心角等于（ ）
A．18°B．36°C．72°D．108°
【考點(diǎn)】正多邊形和圓．
【專題】正多邊形與圓；運(yùn)算能力．
【答案】C
【分析】利用多邊形的外角得到正多邊形的邊數(shù)，然后根據(jù)正多邊形的中心角定義即可求解．
【解答】解：∵正多邊形的一個(gè)外角為72°，
∴正多邊形的邊數(shù)為360°÷72°＝5，
∴這個(gè)正多邊形的中心角的度數(shù)是360°÷5＝72°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形的外角和定理，正多邊形的中心角，掌握正多邊形的外角和定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2024秋?鼓樓區(qū)期中）正多邊形的一部分如圖所示，若∠ACB＝20°，則該正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．8B．9C．10D．12
【考點(diǎn)】正多邊形和圓．
【專題】正多邊形與圓；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：如圖，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝40°，
∴正多邊形的邊數(shù)=36040=9，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2024秋?大豐區(qū)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正八邊形中，把其不相鄰的四條邊均向兩邊延長(zhǎng)相交成一個(gè)四邊形ABCD，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)是（ ）
A．24B．122C．16D．8+82
【考點(diǎn)】正多邊形和圓．
【專題】正多邊形與圓；運(yùn)算能力．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知形成的四個(gè)小的直角三角形全等，并且四個(gè)都是等腰直角三角形，從而可以求得四邊形ABCD一邊的長(zhǎng)，從而可以求得四邊形ABCD的周長(zhǎng)．
【解答】解：由題意可得，
AD＝2+222×2＝2+22，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)是：4×（2+22）＝8+82，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，求出四邊形ABCD的邊長(zhǎng)．
5．（2024?鳳城市二模）苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國(guó)化學(xué)家凱庫(kù)勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個(gè)碳原子與6個(gè)氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長(zhǎng)都相等（如圖1），組成了一個(gè)完美的六邊形（正六邊形），圖2是其平面示意圖，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．130°B．120°C．110°D．60°
【考點(diǎn)】正多邊形和圓．
【專題】多邊形與平行四邊形；正多邊形與圓；運(yùn)算能力．
【答案】B
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：如圖2，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴AB＝AF＝EF，∠BAF=(6?2)×180°6=120°，
∴∠ABF＝∠AFB=180°?120°2=30°，
同理∠EAF＝30°，
∴∠1＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，等腰三角形以及三角形內(nèi)角和定理，掌握正六邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是正確解答的前提．
二．填空題（共5小題）
6．（2024?鎮(zhèn)江）如圖，AB是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，點(diǎn)C在⊙O上，∠ACB＝18°，則n＝ 10 ．
【考點(diǎn)】正多邊形和圓；圓周角定理．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；正多邊形與圓；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】10．
【分析】由圓周角定理得∠AOB＝36°，再根據(jù)正n邊形的邊數(shù)n＝360°÷中心角，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠ACB＝180°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×18°＝36°，
∴n＝360°÷36°＝10，
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識(shí)，求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
7．（2024?青島二模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE、CD分別相切于A、C兩點(diǎn)，則∠AOC的度數(shù)為 144° ．
【考點(diǎn)】正多邊形和圓；多邊形內(nèi)角與外角；切線的性質(zhì)．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和求∠E＝∠D＝108°，由切線的性質(zhì)得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五邊形的內(nèi)角和相減可得結(jié)論．
【解答】解：正五邊形的內(nèi)角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
連接OA、OC，
∵AE、CD分別與⊙O相切于A、C兩點(diǎn)，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故答案為：144°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正五邊形的內(nèi)角和、內(nèi)角的度數(shù)、切線的性質(zhì)，本題的五邊形內(nèi)角可通過(guò)外角來(lái)求：180°﹣360°÷5＝108°．
8．（2024秋?四平期中）如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，分別切AB，CD于點(diǎn)M，N，P是優(yōu)弧MPN上的一點(diǎn)，則∠MPN的度數(shù)為 72 °．
【考點(diǎn)】正多邊形和圓；圓周角定理；切線的性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；正多邊形與圓；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】72．
【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出∠B＝∠C＝108°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OMB＝∠ONC＝90°，由五邊形的內(nèi)角和求出∠MON＝144°，由圓周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵⊙O是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，分別切AB，CD于點(diǎn)M，N，
∴∠OMB＝∠ONC＝90°，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠B＝∠C=(5?2)×180°5=108°，
∴∠MON＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
∴∠MPN=12∠MON＝72°．
故答案為：72．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，切線的性質(zhì)，圓周角定理以及多邊形內(nèi)角和的計(jì)算，掌握正五邊形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角定理以及多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．
9．（2024?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，要擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a＝18cm的正六邊形螺帽，扳手張開(kāi)的開(kāi)口b至少為 183 cm．
【考點(diǎn)】正多邊形和圓．
【專題】正多邊形與圓；推理能力．
【答案】183．
【分析】設(shè)正六邊形的中心是O，其一邊是AB，連接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，則∠AOB＝∠BOC＝60°，得出OA＝OB＝AB＝OC＝BC，則四邊形ABCO是菱形，得出AC⊥OB，AM＝CM，由sin∠AOB=AMOA=AMAB，即可得出結(jié)果．
【解答】解：設(shè)正六邊形的中心是O，其一邊是AB，連接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，如圖所示：
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四邊形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，AM＝CM，
∵AB＝8mm，∠AOB＝60°，
∴sin∠AOB=AMOA=AMAB，
∴AM＝18×32=93（cm），
∴AC＝2AM＝183cm，
故答案為：183．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓、菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，運(yùn)用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解是解此題的關(guān)鍵．
10．（2024?宿遷模擬）如圖，在半徑為2的⊙O中，兩個(gè)頂點(diǎn)重合的內(nèi)接正四邊形與正六邊形，則陰影部分的面積為 6﹣23 ．
【考點(diǎn)】正多邊形和圓．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】如圖，連接OB，OF，根據(jù)題意得：△BFO是等邊三角形，△CDE是等腰直角三角形，求得△ABC的高和底即可求出陰影部分的面積．
【解答】解：如圖，連接OB，OF，
根據(jù)題意得：△BFO是等邊三角形，△CDE是等腰直角三角形，
∴BF＝OB＝2，
∴△BFO的高為：3，CD＝2（2?3）＝4﹣23，
∴BC=12（2﹣4+23）=3?1，
∴陰影部分的面積＝4S△ABC＝4×12（3?1）?3=6﹣23．
故答案為：6﹣23．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是知道陰影部分的面積等于4個(gè)三角形的面積．
三．解答題（共5小題）
11．（2024?武威校級(jí)三模）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，AD，CE，CE交AD于點(diǎn)F．
（1）求∠CAD的度數(shù)．
（2）已知AB＝2，求DF的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】正多邊形和圓．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【答案】（1）∠CAD＝36°；
（2）DF的長(zhǎng)是5?1．
【分析】（1）根據(jù)五邊形ABCDE是正五邊形，判斷出AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，∠BAE＝108°．即可得到∠BAC=∠CAD=∠DAE=13×108°=36°；
（2）證明△DCF∽△DAC，推出CD2＝DF×AD，設(shè)DF＝x，則AD＝x+2，列出方程，解方程即可求出DF的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，∠BAE=15(5?2)×180°=108°．
∴四邊形ABCF是菱形，
∴∠BAC＝∠CAD，
同理可求：∠CAD＝∠DAE，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=13×108°=36°；
（2）∵四邊形ABCF是菱形，
∴CF＝AF＝AB＝2．
∵∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝36°，
同理∠DCE＝36°，
∴△DCF∽△DAC，
∴CDDF=ADCD，即CD2＝DF×AD，
設(shè)DF＝x，則AD＝x+2，
∴22＝x（x+2），即x2+2x﹣4＝0，
解得x=5?1（舍去負(fù)值）．
∴DF的長(zhǎng)是5?1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2023秋?同心縣期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度數(shù)．
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠A=12∠BOD＝70°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠BCD的度數(shù)．
【解答】解：∵∠BOD＝140°，
∴∠A=12∠BOD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．
13．（2023秋?林芝市期末）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為23．求邊心距OP的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】正多邊形和圓．
【專題】正多邊形與圓；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】見(jiàn)解答詳解．
【分析】由正六邊形ABCDEF可求出∠AOB＝60°，進(jìn)而可求出∠AOP＝30°，根據(jù)勾股定理即可求出邊心距OP的長(zhǎng)．
【解答】解：∵正六邊形ABCDEF是圓的內(nèi)接多邊形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，OP⊥AB，
∴∠AOP＝30°，AP＝BP，
∵AB＝23，
∴OA＝23，AP=12AB=3，
∴OP=OA2?AP2=3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
14．（2023秋?秀嶼區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，CE．
（1）求證：AE＝DE；
（2）求證：AE+CE=2DE．
【考點(diǎn)】正多邊形和圓；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；圓周角定理．
【專題】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）見(jiàn)解析．
【分析】（1）證明AE=DE，即可得出AE＝DE．
（2）連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交EC的延長(zhǎng)線于F．證明，推出AE＝CF，即可解決問(wèn)題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴AB=CD．
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=EC，
∴AE=DE，
∴AE＝DE．
（2）證明：連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交EC的延長(zhǎng)線于F．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF．
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF．
在△ADE和△CDF中，
∠ADE=∠CDF∠AED=∠FDA=DC，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴EF=2DE=EC+CF=EC+AE，
即AE+CE=2DE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
15．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，已知正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，連接AC、BD，相交于點(diǎn)P，若⊙O的半徑為1．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）求∠APD的度數(shù)．
【考點(diǎn)】正多邊形和圓；勾股定理；圓周角定理．
【專題】正多邊形與圓；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】（1）2；（2）135°．
【分析】（1）連接OA，OB，OB與AC交于點(diǎn)Q，先根據(jù)正八邊形和圓的性質(zhì)求出∠AOB，再根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求出AC的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)圓周角定理和三角形的外角定理即可求出∠APD．
【解答】解：（1）如圖，連接OA，OB，設(shè)OB與AC交于點(diǎn)Q，
由題意可知，QA＝QC，OB⊥AC，
∵ABCDEFGH是正八邊形，
∴∠AOB=360°8=45°，
∴QA＝OQ＝OAsin∠AOB＝sin45°=22，
∴AC＝2QA=2；
（2）∵AFD所對(duì)的圓心角為5∠AOB＝225°，
∴AFD所對(duì)的圓周角為∠ABD=12×225°＝112.5°，
∵∠BAC=12×45°＝22.5°，
∴∠APD＝∠ABD+∠BAC＝135°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正八邊形與圓的綜合，熟練運(yùn)用正八邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)卡片
1．規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐標(biāo)系和點(diǎn)坐標(biāo)的意義（2）探索各個(gè)象限的點(diǎn)和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)其坐標(biāo)符號(hào)規(guī)律（3）探索關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中有關(guān)對(duì)稱，平移等變化的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律．
2．重點(diǎn)：探索各個(gè)象限的點(diǎn)和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)其坐標(biāo)符號(hào)規(guī)律
3．難點(diǎn)：探索關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中有關(guān)對(duì)稱，平移等變化的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律．
2．全等三角形的判定與性質(zhì)
（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．
3．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a=c2?b2，b=c2?a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
4．多邊形內(nèi)角與外角
（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180° （n≥3且n為整數(shù)）
此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條對(duì)角線，將n邊形分割為（n﹣2）個(gè)三角形，這（n﹣2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問(wèn)題常用的方法．
（2）多邊形的外角和等于360°．
①多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無(wú)論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°．
②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．
5．正方形的性質(zhì)
（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．
（2）正方形的性質(zhì)
①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；
②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．
④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．
6．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．
7．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：
①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．
②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．
（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來(lái)．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．
8．切線的性質(zhì)
（1）切線的性質(zhì)
①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．
②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．
③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．
（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：
如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過(guò)圓心；②直線過(guò)切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用
運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問(wèn)題．
9．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心
（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：
與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．
（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形．
（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：
三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．
10．正多邊形和圓
（1）正多邊形與圓的關(guān)系
把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓．
（2）正多邊形的有關(guān)概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
11．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)
（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)
P（x，y）?P（﹣x，﹣y）
（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)
圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見(jiàn)的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

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