A．6B．5C．2D．﹣6
2．（2024秋?碑林區(qū)校級期中）新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費(fèi)者喜愛．2022年某款新能源汽車銷售量為22萬輛．銷售量逐年增加，2024年預(yù)估銷售量為28.6萬輛．求這款新能源汽車的年平均增長率，可設(shè)這款新能源汽車的年平均增長率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的為（ ）
A．22（1+x2）＝28.6B．22（1﹣x）2＝28.6
C．28.6（1﹣x）2＝22D．22（1+x）2＝28.6
3．（2024?新邵縣三模）若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的兩個(gè)根，則x1?x2的值是（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
4．（2024?婁底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D．沒有實(shí)數(shù)根
5．（2024秋?安寧市校級期中）為了美化環(huán)境，2022年某市的綠化投資額為20萬元，2024年該市計(jì)劃綠化投資額達(dá)到45萬元，設(shè)這兩年該市綠化投資額的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（ ）
A．45（1﹣x）2＝20B．20（1﹣x2）＝45
C．45（1+x）2＝20D．20（1+x）2＝45
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?思明區(qū)校級期中）如圖，用48m長的籬笆靠墻（墻足夠長）圍成一個(gè)面積是300m2的長方形雞場，雞場有一個(gè)2m的門，設(shè)與墻垂直的邊長為x m，所列方程是 ．
7．（2024秋?江夏區(qū)期中）為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，提高學(xué)生足球運(yùn)動(dòng)競技水平．某區(qū)開展“健身杯”足球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩個(gè)隊(duì)之間賽一場），現(xiàn)計(jì)劃一共安排28場比賽，則應(yīng)邀請 個(gè)足球隊(duì)參賽．
8．（2024秋?江津區(qū)期中）把方程3x2﹣x＝2化成一般式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和為 ．
9．（2024秋?香洲區(qū)校級期中）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)根，則代數(shù)式mn+m2﹣2m的值為 ．
10．（2024秋?錫山區(qū)期中）某城區(qū)采取多項(xiàng)綜合措施降低降塵量提升空氣質(zhì)量，降塵量由2020年的5.2噸/（平方公里?月），下降至2022年的3.6噸/（平方公里?月）．若設(shè)降塵量的年平均下降率為x，則可列出關(guān)于x的方程為 ．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?金鳳區(qū)校級期中）用合適的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
12．（2024秋?安寧市校級期中）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）若方程的一個(gè)根為3，求方程的另一個(gè)根．
13．（2024秋?蘭州期中）配方法不僅能夠幫助我們解一元二次方程，我們還能用來解決最大值最小值問題，例如：求代數(shù)式的最小值．2x2﹣x+2+y2我們使用的方法如下：
原式=2(x2?12x)+2+y2=2(x2?12x+116?116)+2+y2=2(x2?12x+116)?18+2+y2=2(x?14)2+y2+158.∵2(x?14)2≥0，y2≥0，∴2(x?14)2+y2+158≥158，
2x2﹣x+2+y2的最小值是158．
根據(jù)材料方法，解答下列問題．
（1）﹣x2﹣4x﹣3的最大值為 ；
（2）求m2+n2+6m﹣4n+20的最小值．
14．（2024秋?思明區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果△ABC是等腰直角三角形，c為斜邊，解這個(gè)一元二次方程．
15．（2024秋?龍崗區(qū)期中）已知甲商品每件的進(jìn)價(jià)為20元，售價(jià)為每件40元．
（1）若商場計(jì)劃對甲商品降價(jià)促銷，預(yù)備從原來售價(jià)的每件40元進(jìn)行兩次調(diào)價(jià)后將售價(jià)降為每件32.4元．若甲商品兩次調(diào)價(jià)的降價(jià)率相同，求這個(gè)降價(jià)率；
（2）經(jīng)調(diào)查，甲商品每降價(jià)1元時(shí)，每月可多銷售10件．已知甲商品在原售價(jià)為每件40元時(shí)的月銷售量為100件．若商場希望甲商品該月的獲利為2250元，請問甲商品在原售價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)降價(jià)多少元？
2024-2025學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版九年級期末必刷?？碱}之一元二次方程
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?蘭州期中）若x＝4是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一個(gè)解，則m的值是（ ）
A．6B．5C．2D．﹣6
【考點(diǎn)】一元二次方程的解．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】A
【分析】先把x的值代入方程即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程，解一元一方程即可．
【解答】解：把x＝4代入方程得：16﹣4m+8＝0，
解得m＝6．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．
2．（2024秋?碑林區(qū)校級期中）新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費(fèi)者喜愛．2022年某款新能源汽車銷售量為22萬輛．銷售量逐年增加，2024年預(yù)估銷售量為28.6萬輛．求這款新能源汽車的年平均增長率，可設(shè)這款新能源汽車的年平均增長率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的為（ ）
A．22（1+x2）＝28.6B．22（1﹣x）2＝28.6
C．28.6（1﹣x）2＝22D．22（1+x）2＝28.6
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【答案】D
【分析】利用2024年某款新能源汽車的預(yù)估銷售量＝2022年某款新能源汽車的銷售量×（1+這款新能源汽車的年平均增長率）2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得：22（1+x）2＝28.6．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2024?新邵縣三模）若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的兩個(gè)根，則x1?x2的值是（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．
【專題】計(jì)算題．
【答案】D
【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．
【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1?x2=?41=?4．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x1，x2，則x1+x2=?ba，x1?x2=ca．
4．（2024?婁底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D．沒有實(shí)數(shù)根
【考點(diǎn)】根的判別式．
【專題】判別式法；推理能力．
【答案】C
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ＝8＞0，進(jìn)而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
5．（2024秋?安寧市校級期中）為了美化環(huán)境，2022年某市的綠化投資額為20萬元，2024年該市計(jì)劃綠化投資額達(dá)到45萬元，設(shè)這兩年該市綠化投資額的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（ ）
A．45（1﹣x）2＝20B．20（1﹣x2）＝45
C．45（1+x）2＝20D．20（1+x）2＝45
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意列出形如m（1+x）2＝n的方程即可．
【解答】解：∵2022年某市的綠化投資額為20萬元，2024年該市計(jì)劃綠化投資額達(dá)到45萬元，
∴20（1+x）2＝45．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查從實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找出等量關(guān)系是解答本題 的關(guān)鍵．
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?思明區(qū)校級期中）如圖，用48m長的籬笆靠墻（墻足夠長）圍成一個(gè)面積是300m2的長方形雞場，雞場有一個(gè)2m的門，設(shè)與墻垂直的邊長為x m，所列方程是 x（48+2﹣2x）＝300 ．
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【答案】x（48+2﹣2x）＝300．
【分析】根據(jù)籬笆的總長及與墻垂直的邊長，可得出與墻平行的邊長為（48+2﹣2x）m，根據(jù)長方形雞場的面積為300m2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵籬笆的總長為48m，且與墻垂直的邊長為x m，
∴與墻平行的邊長為（48+2﹣2x）m．
根據(jù)題意得：x（48+2﹣2x）＝300．
故答案為：x（48+2﹣2x）＝300．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
7．（2024秋?江夏區(qū)期中）為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，提高學(xué)生足球運(yùn)動(dòng)競技水平．某區(qū)開展“健身杯”足球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩個(gè)隊(duì)之間賽一場），現(xiàn)計(jì)劃一共安排28場比賽，則應(yīng)邀請 8 個(gè)足球隊(duì)參賽．
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識．
【答案】8．
【分析】設(shè)應(yīng)該邀請x個(gè)足球隊(duì)參賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），x個(gè)球隊(duì)比賽總場數(shù)為12x（x﹣1），列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：設(shè)應(yīng)該邀請x個(gè)足球隊(duì)參賽，
由題意得：12x（x﹣1）＝28，
解得：x＝8或x＝﹣7（舍去），
即應(yīng)邀請8個(gè)足球隊(duì)參賽．
故答案為：8．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
8．（2024秋?江津區(qū)期中）把方程3x2﹣x＝2化成一般式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和為 0 ．
【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】0．
【分析】先將原方程化為一般形式，從而得出二次項(xiàng)系數(shù)為3、一次項(xiàng)系數(shù)為﹣1、常數(shù)項(xiàng)為﹣2，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：將3x2﹣x＝2化為一般形式為：3x2﹣x﹣2＝0，
∴把方程3x2﹣x＝2化成一般式后，二次項(xiàng)系數(shù)為3、一次項(xiàng)系數(shù)為﹣1、常數(shù)項(xiàng)為﹣2，
∴化成一般式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和為3+（﹣1）+（﹣2）＝0，
故答案為：0．
【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c＝0（a≠0）是解此題的關(guān)鍵．
9．（2024秋?香洲區(qū)校級期中）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)根，則代數(shù)式mn+m2﹣2m的值為 0 ．
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】0．
【分析】利用整體代入的思想解決問題．
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，mn＝﹣3，
∴m2﹣2m＝3，
∴mn+m2﹣2m＝﹣3+3＝0．
故答案為：0．
【點(diǎn)評】本題考查根與系數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用整體代入的思想解決問題．
10．（2024秋?錫山區(qū)期中）某城區(qū)采取多項(xiàng)綜合措施降低降塵量提升空氣質(zhì)量，降塵量由2020年的5.2噸/（平方公里?月），下降至2022年的3.6噸/（平方公里?月）．若設(shè)降塵量的年平均下降率為x，則可列出關(guān)于x的方程為 5.2（1﹣x）2＝3.6 ．
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】5.2（1﹣x）2＝3.6．
【分析】根據(jù)“2020年的降塵量×（1﹣年平均下降率）2＝2022年的降塵量”求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意，得5.2（1﹣x）2＝3.6，
故答案為：5.2（1﹣x）2＝3.6．
【點(diǎn)評】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，涉及平均增長率問題的解法，讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?金鳳區(qū)校級期中）用合適的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接開平方法；解一元二次方程﹣配方法．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】（1）x1＝2+32，x2＝2﹣32；
（2）x1＝1+3，x2＝1?3；
（3）此方程無實(shí)數(shù)根；
（4）x1=13，x2＝1．
【分析】（1）利用直接開平方法解一元二次方程即可．
（2）利用配方法解一元一次方程即可．
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝18，
x﹣2＝±32，
x﹣2＝32或x﹣2＝﹣32，
x1＝2+32，x2＝2﹣32；
（2）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±3，
x﹣1=3或x﹣1=?3，
x1＝1+3，x2＝1?3；
（3）x2+4x+5＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝5，
Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴此方程無實(shí)數(shù)根；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1），
（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0，
（3x﹣1）（3x﹣1﹣2）＝0，
3x﹣1＝0或3x﹣1﹣2＝0，
x1=13，x2＝1．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程解法，解題關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解方程．
12．（2024秋?安寧市校級期中）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）若方程的一個(gè)根為3，求方程的另一個(gè)根．
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；推理能力．
【答案】（1）證明見解析；
（2）x＝2．
【分析】（1）求出Δ＝（m﹣4）2，根據(jù)（m﹣4）2≥0即可證明結(jié)論；
（2）把x＝3代入方程求出m＝5，把m＝5代入x2﹣mx+2m﹣4＝0得x2﹣5x+6＝0，解方程即可得到方程的另一個(gè)根．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2，
∵（m﹣4）2≥0，
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）解：把x＝3代入方程得：9﹣3m+2m﹣4＝0，
解得：m＝5，
把m＝5代入x2﹣mx+2m﹣4＝0得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
所以另一根為x＝2．
【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程根的判別式、解一元二次方程等知識，關(guān)鍵是求出Δ＝（m﹣4）2解答．
13．（2024秋?蘭州期中）配方法不僅能夠幫助我們解一元二次方程，我們還能用來解決最大值最小值問題，例如：求代數(shù)式的最小值．2x2﹣x+2+y2我們使用的方法如下：
原式=2(x2?12x)+2+y2=2(x2?12x+116?116)+2+y2=2(x2?12x+116)?18+2+y2=2(x?14)2+y2+158.∵2(x?14)2≥0，y2≥0，∴2(x?14)2+y2+158≥158，
2x2﹣x+2+y2的最小值是158．
根據(jù)材料方法，解答下列問題．
（1）﹣x2﹣4x﹣3的最大值為 1 ；
（2）求m2+n2+6m﹣4n+20的最小值．
【考點(diǎn)】配方法的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．
【專題】配方法；運(yùn)算能力．
【答案】（1）1；（2）7．
【分析】（1）仿照閱讀材料、利用配方法把原式化為完全平方式與一個(gè)數(shù)的和的形式，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答；
（2）利用配方法把原式進(jìn)行變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可．
【解答】解：（1）﹣x2﹣4x﹣3
＝﹣（x2+4x+3）
＝﹣（x+2）2+1，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2+1≤1，
故答案為：1；
（2）m2+n2+6m﹣4n+20
＝m2+6m+9+n2﹣4n+11
＝（m+3）2+（n﹣2）2+7，
∵（m+3）2≥0，（n﹣2）2≥0，
∴（m+3）2+（n﹣2）2+7≥7．
∴m2+n2+6m﹣4n+20的最小值為7．
【點(diǎn)評】此題考查配方法的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于理解題意掌握運(yùn)算法則．
14．（2024秋?思明區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果△ABC是等腰直角三角形，c為斜邊，解這個(gè)一元二次方程．
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的定義．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】（1）見詳解；（2）x1＝0，x2=?2．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程整理得b＝c，從而可判斷三角形的形狀；
（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得a＝b，c=2a=2b，方程化為x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）把x＝﹣1代入方程整理得：b＝c，
∴△ABC為等腰三角形；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，c為斜邊，
∴a＝b，c=2a=2b，
∴x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x1＝0，x2=?2．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解是能使式子成立的未知數(shù)的值．
15．（2024秋?龍崗區(qū)期中）已知甲商品每件的進(jìn)價(jià)為20元，售價(jià)為每件40元．
（1）若商場計(jì)劃對甲商品降價(jià)促銷，預(yù)備從原來售價(jià)的每件40元進(jìn)行兩次調(diào)價(jià)后將售價(jià)降為每件32.4元．若甲商品兩次調(diào)價(jià)的降價(jià)率相同，求這個(gè)降價(jià)率；
（2）經(jīng)調(diào)查，甲商品每降價(jià)1元時(shí)，每月可多銷售10件．已知甲商品在原售價(jià)為每件40元時(shí)的月銷售量為100件．若商場希望甲商品該月的獲利為2250元，請問甲商品在原售價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)降價(jià)多少元？
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識．
【答案】（1）這個(gè)降價(jià)率為10%；
（2）甲商品在原售價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)降價(jià)5元．
【分析】（1）設(shè)這個(gè)降價(jià)率為x，根據(jù)從原來售價(jià)的每件40元進(jìn)行兩次調(diào)價(jià)后將售價(jià)降為每件32.4元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；
（2）設(shè)甲商品在原售價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)降價(jià)y元，則每月銷售量為（100+10x）件，根據(jù)商場希望甲商品該月的獲利為2250元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）設(shè)這個(gè)降價(jià)率為x，
依題意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合題意，舍去），
答：這個(gè)降價(jià)率為10%；
（2）設(shè)甲商品在原售價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)降價(jià)y元，則每月銷售量為（100+10x）件，
依題意得：（40﹣20﹣y）（100+10y）＝2250，
整理得：y2﹣10y+25＝0，
解得：y1＝y(tǒng)2＝5，
答：甲商品在原售價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)降價(jià)5元．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)卡片
1．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方
偶次方具有非負(fù)性．
任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．
2．一元二次方程的定義
（1）一元二次方程的定義：
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：
①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；
②只含有一個(gè)未知數(shù)；
③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．
3．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，方程中就沒有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．
4．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意義：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
5．解一元二次方程-直接開平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
注意：①等號左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．
②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．
③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．
6．解一元二次方程-配方法
（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．
7．解一元二次方程-公式法
（1）把x=?b±b2?4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：
①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實(shí)數(shù)根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
8．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意義
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．
9．根的判別式
利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
上面的結(jié)論反過來也成立．
10．根與系數(shù)的關(guān)系
（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．
（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2=ca，反過來也成立，即ba=?（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：
①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．
11．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程
在解決實(shí)際問題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．
12．一元二次方程的應(yīng)用
1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．
2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：
（1）數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．
（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即 原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．
（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．
（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．
【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”
1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．
2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．
3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．
4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．
5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題．
6．答：寫出答案．
13．配方法的應(yīng)用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
2、利用配方法求二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式時(shí)所含字母系數(shù)的值．
關(guān)鍵是：二次三項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
3、配方法的綜合應(yīng)用．

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