A．65°B．70°C．75°D．82.5°
2．（2024秋?永嘉縣期中）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，已知∠B＝30°，則∠AOC的度數(shù)是（ ）
A．30°B．50°C．40°D．60°
3．（2024?廣西模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝125°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．25°B．30°C．50°D．55°
4．（2024?柯橋區(qū)二模）某項(xiàng)目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來(lái)測(cè)量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學(xué)想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、B、C、D四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm，AB＝4cm，CD＝3cm．請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯杯底的直徑為（ ）
A．4.8cmB．5cmC．5.2cmD．6cm
5．（2024?赤峰）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，連接CD，交OB于點(diǎn)E，∠BOC＝42°，則∠OED的度數(shù)是（ ）
A．61°B．63°C．65°D．67°
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?番禺區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠BCE＝110°，則∠BOD的度數(shù)為 ．
7．（2024秋?安寧市校級(jí)期中）如圖，AB為圓O的直徑，AB圓O的弦，AB⊥CD于M，若AB＝10cm，CD＝8cm，則AM＝ cm．
8．（2024秋?樂清市期中）如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝26，點(diǎn)C為⊙O上半圓的一點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，∠OCE的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，弦AC＝10，那么△ACD的面積是 ．
9．（2024?牡丹江）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，CD＝6，BE＝1，則弦AC的長(zhǎng)為 ．
10．（2024秋?常州期中）把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF＝CD＝8cm，則截面⊙O的半徑長(zhǎng)是 cm．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在⊙O上，邊BC為⊙O直徑，延長(zhǎng)BA、CD交于E且DE＝DA，求證：CD＝DE．
12．（2024秋?和平區(qū)期中）已知AB是⊙O的直徑，∠CAB＝50°，E是AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CE交⊙O于點(diǎn)D．
（Ⅰ）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E是弦CD的中點(diǎn)時(shí)，求∠CDO的大?。?br>（Ⅱ）如圖②，當(dāng)AC＝AE時(shí)，求∠CDO的大?。?br>13．（2024秋?香洲區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上．
（1）若∠BED＝28°，則∠AOD的度數(shù)為 ；
（2）若點(diǎn)B是DE的中點(diǎn)，求證：DE＝AB；
（3）若CD＝3，AB＝12，求⊙O的半徑長(zhǎng)．
14．（2024秋?浦東新區(qū)期中）如圖，AB，AC是⊙O的兩條弦，且AB=AC．
（1）求證：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝45，BC＝8，求半徑OA的長(zhǎng)．
15．（2023秋?百色期末）“筒車”是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，據(jù)史料記載，它發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的一項(xiàng)偉大創(chuàng)造．
如圖，“筒車”盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面上方，且當(dāng)圓被水面截得的弦AB為6米時(shí)，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方圓上部分一點(diǎn)距離水面的最大距離）．
（1）求該圓的半徑；
（2）若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來(lái)的6米變?yōu)?米時(shí)，則水面上漲的高度為多少米？
2024-2025學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)期末必刷?？碱}之圓的有關(guān)性質(zhì)
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，CA＝CE，若∠ACE＝50°，則∠CBD的大小為（ ）
A．65°B．70°C．75°D．82.5°
【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A＝∠AEC＝65°，根據(jù)圓周角定理得出∠ACB＝90°，∠ACE＝∠ABD＝50°，再直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)，由BE＝BC得出∠BCE的度數(shù)，再根據(jù)角的和差求解即可．
【解答】解：∵CA＝CE，∠ACE＝50°，
∴∠A＝∠AEC=12×（180°﹣∠ACE）＝65°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝25°，
∵∠ACE＝∠ABD＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝75°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是圓周角定理等知識(shí)，熟知半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．
2．（2024秋?永嘉縣期中）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，已知∠B＝30°，則∠AOC的度數(shù)是（ ）
A．30°B．50°C．40°D．60°
【考點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【答案】D
【分析】直接根據(jù)圓周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠B與∠AOC是同弧所對(duì)的圓周角與圓心角，∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×30°＝60°．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．
3．（2024?廣西模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝125°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．25°B．30°C．50°D．55°
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．
【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)計(jì)算即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝125°，
∴∠A＝55°，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
4．（2024?柯橋區(qū)二模）某項(xiàng)目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來(lái)測(cè)量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學(xué)想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、B、C、D四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm，AB＝4cm，CD＝3cm．請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯杯底的直徑為（ ）
A．4.8cmB．5cmC．5.2cmD．6cm
【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．
【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．
【答案】B
【分析】由垂徑定理求出BN，DM的長(zhǎng)，設(shè)OM＝x，由勾股定理得到x2+22＝（3.5﹣x）2+1.52，求出x的值，得到OM的長(zhǎng)，由勾股定理求出OD長(zhǎng)，即可求出紙杯的直徑長(zhǎng)．
【解答】解：如圖，MN⊥AB，MN過(guò)圓心O，連接OD，OB，
∴MN＝3.5cm，
∵CD∥AB，紙條的寬為3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm，
∴MN⊥CD，
∴DM=12CD=12×4＝2（cm），BN=12AB=12×3＝1.5（cm），
設(shè)OM＝x cm，
∴ON＝MN﹣OM＝（3.5﹣x）cm，
∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MD2＝ON2+BN2，
∴x2+22＝（3.5﹣x）2+1.52，
∴x＝1.5，
∴OM＝1.5（cm），
∴OD=OM2+MD2=1.52+22=2.5（cm），
∴紙杯的直徑為2.5×2＝5（cm）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理及勾股定理，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，由垂徑定理，勾股定理求出OM的長(zhǎng)．
5．（2024?赤峰）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，連接CD，交OB于點(diǎn)E，∠BOC＝42°，則∠OED的度數(shù)是（ ）
A．61°B．63°C．65°D．67°
【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【答案】B
【分析】根據(jù)垂徑定理得AC=BC，所以∠AOC＝∠BOC＝42°，根據(jù)圓周角定理得∠D=12∠AOC＝21°，再根據(jù)OC＝OD，∠C＝∠D＝21°，最后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】解：∵半徑OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴∠AOC＝∠BOC＝42°，
∴∠D=12∠AOC＝21°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D＝21°，
∴∠OED＝∠C+∠BOC＝21°+42°＝63°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?番禺區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠BCE＝110°，則∠BOD的度數(shù)為 140° ．
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．
【答案】140°．
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠BCD，再根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可．
【解答】解：∵∠BCE＝110°，
∴∠BCD＝180°﹣110°＝70°，
由圓周角定理得：∠BOD＝2∠BCD＝140°，
故答案為：140°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
7．（2024秋?安寧市校級(jí)期中）如圖，AB為圓O的直徑，AB圓O的弦，AB⊥CD于M，若AB＝10cm，CD＝8cm，則AM＝ 2 cm．
【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【答案】2．
【分析】連接OD，首先利用垂徑定理求得DM的長(zhǎng)，然后在直角△DOM中，利用勾股定理求得OM的長(zhǎng)，則AM的長(zhǎng)度即可得到．
【解答】解：連接OD，如圖，
∵半徑AO⊥CD于M，
∴DM=12CD= 12×8＝4（cm），
∵AB＝10cm，
∴OA=OD=12AB= 12×10＝5（cm），
在Rt△DOM中，OM=OD2?DM2=52?42=3（cm），
則AM＝OA﹣OM＝5﹣3＝2（cm）．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
8．（2024秋?樂清市期中）如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝26，點(diǎn)C為⊙O上半圓的一點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，∠OCE的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，弦AC＝10，那么△ACD的面積是 85 ．
【考點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【答案】85．
【分析】連接OD，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，從而可得∠ACE+∠ECB＝90°，再根據(jù)垂直定義可得∠CEB＝90°，從而可得∠CBE+∠ECB＝90°，進(jìn)而可得∠ACE＝∠CBE，再利用等腰三角形的性質(zhì)以及等量代換可得∠ACE＝∠OCB，然后利用角平分線的定義可得∠OCD＝∠ECD，從而利用等式的性質(zhì)可得∠ACD＝45°，進(jìn)而可得∠AOD＝2∠ACD＝90°，最后在Rt△ACF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF，CF的長(zhǎng)，再在Rt△AOD中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD的長(zhǎng)，從而在Rt△ADF中，利用勾股定理求出DF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：連接OD，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ECB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠CBE，
∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠OCB，
∴∠ACE＝∠OCB，
∵CD平分∠OCE，
∴∠OCD＝∠ECD，
∴∠ACE+∠DCE＝∠OCB+∠OCD=12∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，
在Rt△ACF中，AC＝10，
∴AF＝AC?sin45°＝10×22=52，
CF＝AC?cs45°＝10×22=52，
在Rt△AOD中，AO＝OD=12AB＝13，
∴AD=2AO＝132，
∴DF=AD2?AF2=(132)2?(52)2=122，
∴CD＝CF+DF＝172，
∴△ACD的面積=12CD?AF=12×172×52=85．
故答案為：85．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理、勾股定理、三角形面積公式等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理、勾股定理、三角形面積公式并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．
9．（2024?牡丹江）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，CD＝6，BE＝1，則弦AC的長(zhǎng)為 310 ．
【考點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．
【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】310．
【分析】由垂徑定理得CE=ED=12CD=3，設(shè)⊙O的半徑為r，則O E＝O B﹣E B＝r﹣1，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程，求出r＝5，即可得出AE＝9，在Rt△AEC中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：∵A B⊥C D，C D＝6，
∴CE=ED=12CD=3，
設(shè)⊙O的半徑為r，則O E＝O B﹣E B＝r﹣1，
在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，即（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OA＝5，OE＝4，
∴AE＝OA+OE＝9，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC=CE2+AE2=32+92=310，
故答案為：310．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．
10．（2024秋?常州期中）把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF＝CD＝8cm，則截面⊙O的半徑長(zhǎng)是 5 cm．
【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用．
【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．
【答案】5．
【分析】過(guò)點(diǎn)O作OG⊥EF交EF于點(diǎn)G，連接OE．設(shè)OE＝r cm，根據(jù)垂徑定理求出EG，用含r的代數(shù)式表示出OG，在Rt△OGE中利用勾股定理列關(guān)于r的方程并求解即可．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OG⊥EF交EF于點(diǎn)G，連接OE．
設(shè)OE＝r cm，
∵OG⊥EF，EF＝CD＝8cm，
∴EG=12EF＝4cm，OG＝（8﹣r）cm，
在Rt△OGE中利用勾股定理，得OG2+EG2＝OE2，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴截面⊙O的半徑長(zhǎng)是5cm．
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在⊙O上，邊BC為⊙O直徑，延長(zhǎng)BA、CD交于E且DE＝DA，求證：CD＝DE．
【考點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．
【答案】見解析．
【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等可得出∠C＝∠E，根據(jù)等角對(duì)等邊得出BC＝BE，根據(jù)圓周角定理可得出BD⊥CE，最后根據(jù)等腰三角形三線合一即可得證．
【解答】證明：∵DE＝DA，
∴∠E＝∠EAD，
∵四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在⊙O上，∠EAD+∠BAD＝180°，
∴∠C+∠BAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
∴∠C＝∠E，
∴BC＝BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∵BC為⊙O直徑，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥CE，
∴CD＝DE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
12．（2024秋?和平區(qū)期中）已知AB是⊙O的直徑，∠CAB＝50°，E是AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CE交⊙O于點(diǎn)D．
（Ⅰ）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E是弦CD的中點(diǎn)時(shí)，求∠CDO的大小；
（Ⅱ）如圖②，當(dāng)AC＝AE時(shí)，求∠CDO的大?。?br>【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【答案】（Ⅰ）10°；
（Ⅱ）15°．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)垂徑定理的推論得CD⊥AB，可得∠C＝90°﹣50°＝40°，根據(jù)圓周角定理得∠DOE＝2∠C＝80°，即可得出答案；
（Ⅱ）如圖②，連接BD，根據(jù)等邊對(duì)等角得∠C＝∠AEC＝65°，根據(jù)圓周角定理的推論得∠B＝∠C＝65°，∠CDB＝∠CAB＝50°，利用同圓的半徑相等知OB＝OD，得∠ODB＝∠B＝65°，由此可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是直徑，點(diǎn)E是弦CD的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∴∠AEC＝∠DEO＝90°，
∵∠CAB＝50°，
∴∠C＝40°，
∴∠DOE＝2∠C＝80°，
∴∠CDO＝10°；
（Ⅱ）如圖②，連接BD，
∵AC＝AE，∠A＝50°，
∴∠C＝∠AEC＝65°，
∴∠B＝∠C＝65°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝65°，
∵∠CDB＝∠CAB＝50°，
∴∠CDO＝∠ODB﹣∠CDB＝65°﹣50°＝15°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理及其推論是關(guān)鍵，注意運(yùn)用同弧所對(duì)的圓周角相等．
13．（2024秋?香洲區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上．
（1）若∠BED＝28°，則∠AOD的度數(shù)為 56° ；
（2）若點(diǎn)B是DE的中點(diǎn)，求證：DE＝AB；
（3）若CD＝3，AB＝12，求⊙O的半徑長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．
【答案】（1）56°；
（2）見解析；
（3）⊙O的半徑長(zhǎng)為152．
【分析】（1）利用垂徑定理可以得到弧AD和弧BD相等，然后利用圓周角定理求得∠AOD的度數(shù)即可；
（2）由點(diǎn)B是DE的中點(diǎn)得BD=BE，根據(jù)垂徑定理得AD=BD，則AB=DE，由圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（3）利用垂徑定理在直角三角形OAC中求得AO的長(zhǎng)即可．
【解答】（1）解：∵OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，
∴弧AD＝弧BD，
∵∠DEB＝28°，
∴∠AOD＝2∠DEB＝56°，
故答案為：56°；
（2）證明：∵點(diǎn)B是DE的中點(diǎn)，
∴BD=BE，
∵OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，
∴AD=BD，
∴BD+AD=BD+BE，
即AB=DE，
∴DE＝AB；
（3）解：∵OD⊥AB，
∴AC＝BC=12AB=12×12＝6，
∵CD＝3，
∴OC＝OD﹣CD＝OA﹣CD，
在直角三角形AOC中，AO2＝OC2+AC2，
∴AO2＝（OA﹣3）2+62，
解得AO=152，
∴⊙O的半徑長(zhǎng)為152．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理及垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形．
14．（2024秋?浦東新區(qū)期中）如圖，AB，AC是⊙O的兩條弦，且AB=AC．
（1）求證：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝45，BC＝8，求半徑OA的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；幾何直觀．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）已知AB=AC得到AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，則△AOB≌△AOC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)知，∠1＝∠2，進(jìn)而解答即可；
（2）根據(jù)勾股定理解答即可．
【解答】證明：（1）連接OB、OC，
∵AB=AC．
∴AB＝AC，
∵OC＝OB，OA＝OA，
在△AOB與△AOC中，
AB=ACOC=OBOA=OA．
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，連接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
設(shè)OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：(45)2?42=(x+OE)2，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半徑OA的長(zhǎng)＝5．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用圓中半徑相等的隱含條件，獲得全等的條件，從而利用全等的性質(zhì)解決問(wèn)題．
15．（2023秋?百色期末）“筒車”是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，據(jù)史料記載，它發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的一項(xiàng)偉大創(chuàng)造．
如圖，“筒車”盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面上方，且當(dāng)圓被水面截得的弦AB為6米時(shí)，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方圓上部分一點(diǎn)距離水面的最大距離）．
（1）求該圓的半徑；
（2）若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來(lái)的6米變?yōu)?米時(shí)，則水面上漲的高度為多少米？
【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用．
【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】（1）5m；
（2）1m．
【分析】（1根據(jù)垂徑定理，勾股定理列方程求解即可；
（2）根據(jù)垂徑定理、勾股定理求出OG，進(jìn)而計(jì)算出CG即可．
【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙O以點(diǎn)D，由題意可知，CD＝1m，AB＝6m，
∴OC⊥AB，AB＝6m，
∴AC＝BC=12AB＝3m，
設(shè)圓的半徑為r m，即OA＝OD＝r m，OC＝（r﹣1）m，
在 Rt△AOC中，
OC2+AC2＝OA2，即 （r﹣1）2+32＝r2，
解得r＝5，
即該圓的半徑為5m；
（2）設(shè)水面升到如圖EF的位置，則EF∥AB，OD與EF相交于點(diǎn)G，
∵OD⊥EF，
∴EG＝FG=12EF=12×8=4m，
連接OE，在Rt△EOG中，OE＝5m，EG＝4m，
∴OG=OE2?EG2=3m，
∴CG＝OC﹣OG＝4﹣3＝1（m），
即水面上漲的高度為 1 米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)卡片
1．等腰三角形的判定與性質(zhì)
1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析．
3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決．
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a=c2?b2，b=c2?a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
3．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．
4．垂徑定理的應(yīng)用
垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：
（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．
這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．
5．圓心角、弧、弦的關(guān)系
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．
說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?br>（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系
三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．
6．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．
7．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：
①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．
②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．
（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來(lái)．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．

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