A．點P在⊙O外B．點P在⊙O上C．點P在⊙O內D．無法確定
2．（2024秋?西湖區(qū)校級期中）已知平面內有兩點P，O，⊙O的半徑為5，如果PO＝6，則點P與⊙O的位置關系是（ ）
A．點P在⊙O外B．點P在⊙O上C．點P在⊙O內D．無法判斷
3．（2024秋?思明區(qū)校級期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC＝2，∠BAC＝30°，則⊙O的直徑長等于（ ）
A．2B．3C．23D．4
4．（2024秋?宜興市期中）如圖，△ABC內接于⊙O，點O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，連接BD，若AB＝5，BD=5，則BC的長為（ ）
A．4B．23C．3D．25
5．（2024秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，AD是⊙O的切線，點C是⊙O上的一點，連接CD，AC，AC交⊙O于點B，若∠C＝20°，則∠A的度數(shù)是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?慈溪市期中）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AC是⊙O的直徑，∠C＝55°，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，則∠BAD的度數(shù)是 度．
7．（2024秋?永嘉縣期中）同一平面內，⊙O內一點P到圓上的最大距離為6cm，最小距離為2cm，則⊙O的半徑為 cm．
8．（2023秋?昌平區(qū)期末）小明同學測量一個圓形零件的半徑時，他將直尺、三角板和這個零件如圖放置于桌面上，零件與直尺，三角板均相切，測得點A與其中一個切點B的距離為3cm，則這個零件的半徑是 cm．
9．（2024秋?西城區(qū)校級期中）如圖，已知點A是直線l外一點，AD⊥l于點D，且AD=2，點B，C均在直線l上，∠BAC＝45°，則BC的最小值為 ．
10．（2024秋?溧陽市期中）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點，∠CDB＝24°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，則∠E＝ °．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?永嘉縣期中）如圖，AB為⊙O的直徑，△ADC內接于⊙O，∠ADC＝30°，CD交AB于點E．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）若E為OB的中點，CE＝7，求直徑AB的長．
12．（2024秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為邊AC上的點，以AD為直徑作⊙O，連接BD并延長交⊙O于點E，連接CE，CE＝BC．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）連接AE，若CD＝1，BC＝2，求AE的長．
13．（2024秋?青秀區(qū)校級期中）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為AC的中點，過C作⊙O的切線交OD的延長線于E，交AB的延長線于F，連接EA．
（1）求證：EA是⊙O的切線；
（2）若CE＝6，CF＝4，求⊙O的半徑．
14．（2024秋?鹽都區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點E，且 AB＝AC＝AD，經過A，C，D三點的⊙O交BD于點F，連接CF．
（1）求證：CF＝BF；
（2）若CD＝CB，求證：CB是⊙O的切線．
15．（2024秋?南京期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O交CD于點E．
（1）若AD∥BC，求證：AD是⊙O的切線；
（2）若E是AC的中點，且AE=25，AC＝8，求BC的長．
2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版九年級期末必刷?？碱}之點和圓、直線和圓的位置關系
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?東城區(qū)校級期中）已知⊙O的半徑為3，點P到圓心O的距離為2，則點P與⊙O的位置關系是（ ）
A．點P在⊙O外B．點P在⊙O上C．點P在⊙O內D．無法確定
【考點】點與圓的位置關系．
【專題】與圓有關的位置關系；運算能力．
【答案】C
【分析】根據(jù)點到圓心距離為d，半徑為r，當d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內，即可解答．
【解答】解：∵⊙O的半徑為3，點P到圓心O的距離為2，3＞2，
∴點P在⊙O內，
故選：C．
【點評】本題主要考查了點與圓的位置關系，點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．
2．（2024秋?西湖區(qū)校級期中）已知平面內有兩點P，O，⊙O的半徑為5，如果PO＝6，則點P與⊙O的位置關系是（ ）
A．點P在⊙O外B．點P在⊙O上C．點P在⊙O內D．無法判斷
【考點】點與圓的位置關系．
【專題】與圓有關的位置關系；推理能力．
【答案】A
【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關系解答即可．
【解答】解：∵⊙O的半徑為5，PO＝6，5＜6，
∴點P在⊙O外．
故選：A．
【點評】本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；①點P在圓內?d＜r是解題的關鍵．
3．（2024秋?思明區(qū)校級期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC＝2，∠BAC＝30°，則⊙O的直徑長等于（ ）
A．2B．3C．23D．4
【考點】三角形的外接圓與外心．
【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．
【答案】D
【分析】連接BO并延長交⊙O于D，連接CD，得到∠BCD＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，根據(jù)含30°角直角三角形的性質即可得到結論．
【解答】解：連接BO并延長交⊙O于D，連接CD，
則∠BCD＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠D＝∠BAC＝30°，
∵BC＝2，
∴BD＝2BC＝4，
故選：D．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，含30°角的直角三角形的性質，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
4．（2024秋?宜興市期中）如圖，△ABC內接于⊙O，點O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，連接BD，若AB＝5，BD=5，則BC的長為（ ）
A．4B．23C．3D．25
【考點】三角形的外接圓與外心；圓周角定理．
【專題】與圓有關的位置關系；圖形的相似；運算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】延長AC，BD交于E，根據(jù)圓周角定理得到BD⊥AD，求得∠ADB＝∠ADE＝90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD＝∠DAE，根據(jù)全等三角形的性質得到BD＝DE＝2，根據(jù)勾股定理得到AD，根據(jù)相似三角形的判定和性質即可得到結論．
【解答】解：延長AC，BD交于E，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵AD＝AD，
∴△BAD≌△EAD（ASA），
∴BD＝DE=5，
∴BE＝25，
∵AB＝5，BD=5，
∴AD=52?(5)2=25，
∵∠DAC＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠BCE＝90°，
∴△ABD∽△BEC，
∴BEAB=BCAD，
∴255=BC25，
∴BC＝4．
故選：A．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
5．（2024秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，AD是⊙O的切線，點C是⊙O上的一點，連接CD，AC，AC交⊙O于點B，若∠C＝20°，則∠A的度數(shù)是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【考點】切線的性質；圓周角定理．
【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．
【答案】C
【分析】連接OD，由題意易得∠ODA＝90°，∠ODC＝∠C＝20°，然后可得∠AOD＝40°，進而問題可求解．
【解答】解：連接OD，
∵AD是⊙O的切線，
∴∠ODA＝90°，
∵∠C＝20°，OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝20°，
∴∠AOD＝2∠C＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠AOD＝50°；
故選：C．
【點評】本題主要考查切線的性質及等腰三角形的性質，熟練掌握切線的性質及等腰三角形的性質是解題的關鍵．
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?慈溪市期中）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AC是⊙O的直徑，∠C＝55°，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，則∠BAD的度數(shù)是 80 度．
【考點】三角形的外接圓與外心；圓周角定理．
【專題】圓的有關概念及性質；幾何直觀；運算能力．
【答案】80．
【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及角平分線定義得∠ABC＝90°，∠CBD＝∠ABD＝45°，進而得∠BAC＝35°，∠DAC＝∠CBD＝45°，由此可得∠BAD的度數(shù)．
【解答】解：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝55°，BD平分∠ABC，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝35°，∠CBD＝∠ABD=12∠ABC＝45°，
∴∠DAC＝∠CBD＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CBD＝35°+45°＝80°，
故答案為：80．
【點評】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，理解三角形的外接圓，熟練掌握圓周角定理是解決問題的關鍵．
7．（2024秋?永嘉縣期中）同一平面內，⊙O內一點P到圓上的最大距離為6cm，最小距離為2cm，則⊙O的半徑為 4 cm．
【考點】點與圓的位置關系．
【專題】與圓有關的位置關系；推理能力．
【答案】4．
【分析】設⊙O的半徑為r cm，再由點P到圓上的最大距離為6cm，最小距離為2cm即可得出結論．
【解答】解：設⊙O的半徑為r cm，
∵⊙O內一點P到圓上的最大距離為6cm，最小距離為2cm，
∴r=6+22=4（cm），
故答案為：4．
【點評】本題考查的是點與圓位置關系，熟知點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內?d＜r是解題的關鍵．
8．（2023秋?昌平區(qū)期末）小明同學測量一個圓形零件的半徑時，他將直尺、三角板和這個零件如圖放置于桌面上，零件與直尺，三角板均相切，測得點A與其中一個切點B的距離為3cm，則這個零件的半徑是 33 cm．
【考點】切線的性質；切線長定理．
【專題】與圓有關的位置關系；解直角三角形及其應用；推理能力．
【答案】33．
【分析】設圓形零件的圓心是O，連接OA，OB，由切線的性質定理得到OB⊥AB，由切線長定理推出OA平分∠BAC，求出∠BAC＝180°﹣60°＝120°，得到∠OAB＝60°，由銳角的正切求出OB＝3tan60°＝33（cm），得到這個零件的半徑是33cm．
【解答】解：設圓形零件的圓心是O，連接OA，OB，
∵⊙O與直尺，三角板均相切，切點分別是B和C，
∴OB⊥AB，OA平分∠BAC，
∴∠OAB=12∠BAC，
∵∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠OAB＝60°，
∵tan∠OAB＝tan60°=OBAB，
∴OB＝3tan60°＝33（cm），
∴這個零件的半徑是33cm．
故答案為：33．
【點評】本題考查切線的性質，切線長定理，解直角三角形，關鍵是由切線長定理推出∠OAB=12∠BAC．
9．（2024秋?西城區(qū)校級期中）如圖，已知點A是直線l外一點，AD⊥l于點D，且AD=2，點B，C均在直線l上，∠BAC＝45°，則BC的最小值為 4﹣22 ．
【考點】三角形的外接圓與外心；直角三角形的性質．
【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關概念及性質；運算能力；推理能力．
【答案】4﹣22．
【分析】作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過點O作OE⊥BC于點E，先由圓周角定理和垂徑定理得∠BOC＝2∠BAC，BE＝CE=12BC，則∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，設 OA＝OB＝OC＝r，則OE=22r，BC＝2BE=2r，再由AO+OE≥AD，即可解決問題．
【解答】解：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過點O作OE⊥BC于點E，則∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE=12BC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°
設 OA＝OB＝OC＝r，
則OE=22r，BC＝2BE=2r，
∵AO+OE≥AD，AD=2，
∴r+22r≥2，
解得：r≥22?2，
∴BC=2r≥4﹣22，
∴BC最小值為4﹣22，
故答案為：4﹣22．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，直角三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
10．（2024秋?溧陽市期中）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點，∠CDB＝24°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，則∠E＝ 42 °．
【考點】切線的性質；圓周角定理．
【專題】與圓有關的位置關系；推理能力．
【答案】42．
【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質證明∠OCE＝90°，而∠COE＝2∠CDB＝48°，則∠E＝90°﹣∠COE＝42°，于是得到問題的答案．
【解答】解：連接OC，
∵CE與⊙O相切于點C，
∴CE⊥OC，
∴∠OCE＝90°，
∵∠CDB＝24°，
∴∠COE＝2∠CDB＝2×24°＝48°，
∴∠E＝90°﹣∠COE＝90°﹣48°＝42°，
故答案為：42．
【點評】此題重點考查切線的性質定理、圓周角定理等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?永嘉縣期中）如圖，AB為⊙O的直徑，△ADC內接于⊙O，∠ADC＝30°，CD交AB于點E．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）若E為OB的中點，CE＝7，求直徑AB的長．
【考點】三角形的外接圓與外心；圓周角定理．
【專題】圓的有關概念及性質；幾何直觀；運算能力；推理能力．
【答案】（1）60°；
（2）47．
【分析】（1）連接OC，過點C作CF⊥AB于F，根據(jù)圓周角定理得∠AOD＝2∠ADC＝60°，則△OAC是等邊三角形，由此可得∠BAC的度數(shù)；
（2）設OF＝a，則AF＝OF＝a，進而得AC＝OA＝OB＝OC＝2a，則CF=3a，再根據(jù)E為OB的中點得OE＝BE＝a，則EF＝2a，然后在Rt△CEF中由勾股定理求出a的值即可得出直徑AB的長．
【解答】解：（1）連接OC，過點C作CF⊥AB于F，如圖所示：
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOD＝2∠ADC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°；
（2）設OF＝a，
∵△OAC是等邊三角形，CF⊥AB，
∴AF＝OF＝a，
∴AC＝OA＝OC＝OB＝2a，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF=OC2?OF2=3a，
∵E為OB的中點，
∴OE＝BE＝a，
∴EF＝OE+OF＝2a，
在Rt△CEF中，CE＝7，
由勾股定理得：CF2+EF2＝CE2，
∴（(3a)2+(2a)2=72，
解得：a=7，或a=?7（不符合題意，舍去）
∴OA＝OB＝2a=27，
∴AB＝2OA=47．
【點評】此題主要考查了三角形的外接圓，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解決問題的關鍵．
12．（2024秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為邊AC上的點，以AD為直徑作⊙O，連接BD并延長交⊙O于點E，連接CE，CE＝BC．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）連接AE，若CD＝1，BC＝2，求AE的長．
【考點】切線的判定與性質；直角三角形的性質；圓周角定理．
【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．
【答案】（1）詳見解析；
（2）AE=655，詳見解析．
【分析】（1）連接OE，則∠OED＝∠ODE＝∠BDC，由CE＝BC，得∠CEB＝∠CBE，而∠ACB＝90°，則∠OEC＝∠OED+∠CEB＝∠BDC+∠CBE＝90°，即可證明CE是⊙O的切線；
（2）由勾股定理得OE2+CE2＝OC2，而CE＝BC＝2，OC＝OD+CD＝OD+1，所以OD2+22＝（OD+1）2，求得OD=OE=32，則OC=52，如圖，過點E作EF⊥AD交AD于點F，利用三角形的面積公式求得EF的長，然后利用勾股定理即可求得AE的長．
【解答】（1）證明：連接OE，則OE＝OD，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠BDC＝∠ODE，
∴∠BDC＝∠OED，
∵CE＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEC＝∠OED+∠CEB＝∠BDC+∠CBE＝90°，
∵CE⊥OE，OE是⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線．
（2）解：∵∠OEC＝90°，
∴OE2+CE2＝OC2，
∵CD＝1，OE＝OD，BC＝2，
∴OC＝OD+CD＝OD+1，CE＝BC＝2，
∴OD2+22＝（OD+1）2，
∴OD=OE=32，
∴OC=32+1=52；
如圖，過點E作EF⊥AD交AD于點F，
∴在Rt△OEC中，12OE×EC=12OC×EF，
∴32×2=52×EF，
∴EF=65，
在Rt△OEF中，OE2＝OF2+EF2，
∴(32)2=OF2+(65)2，
∴OF＝0.9（負值舍去），
∴AF＝OA+OF＝2.4，
在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，
∴AE2=(2.4)2+(65)2，
∴AE=655（負值舍去），
∴AE的長是655．
【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質、直角三角形的兩個銳角互余、切線的判定定理、勾股定理，三角形的面積等知識點，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
13．（2024秋?青秀區(qū)校級期中）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為AC的中點，過C作⊙O的切線交OD的延長線于E，交AB的延長線于F，連接EA．
（1）求證：EA是⊙O的切線；
（2）若CE＝6，CF＝4，求⊙O的半徑．
【考點】切線的判定與性質；勾股定理；垂徑定理．
【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．
【答案】（1）見解析；（2）3．
【分析】（1）連接OC，由垂徑定理得OE⊥AC，根據(jù)垂直平分線的性質可得CE＝AE，證明△OCE≌△OAE，利用全等三角形的性質可得∠OAE＝90°即可；
（2）先利用勾股定理求得AF＝8，設OA＝OC＝x，再根據(jù)等面積法列12×6×8=12×10x+12×6x，即可求解．
【解答】（1）證明：如圖，連接OC，
∵EF是⊙O的切線，
∴∠OCE＝90°，
∵D為AC的中點，OC＝OA，
∴OE⊥AC，則OE垂直平分AC，
∴CE＝AE，
∵OC＝OA，OE＝OE，
∴△OCE≌△OAE（SSS），
∴∠OAE＝∠OCE＝90°，
∴EA與⊙O相切，即EA是⊙O的切線；
（2）解：∵CE＝6，CF＝4，
∴EF＝10，
由（1）可知CE＝AE＝6，∠OAE＝90°，
∴AF=EF2?AE2=102?62=8，
設OA＝OC＝x，
∵S△EAF＝S△EOF+S△EAO，
∴12AE?AF=12EF?OC+12AE?OA，
∴12×6×8=12×10x+12×6x，
解得x＝3，
故⊙O的半徑為3．
【點評】本題主要考查垂徑定理、切線的判定和性質、全等三角形的判定和性質，掌握相關定理并能利用等面積法解決問題是關鍵．
14．（2024秋?鹽都區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點E，且 AB＝AC＝AD，經過A，C，D三點的⊙O交BD于點F，連接CF．
（1）求證：CF＝BF；
（2）若CD＝CB，求證：CB是⊙O的切線．
【考點】切線的判定；三角形的外接圓與外心．
【專題】數(shù)形結合；幾何直觀；推理能力．
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析．
【分析】（1）根據(jù) AB＝AC＝AD，可得∠ACB＝ABC，∠ADB＝∠ABD，兩式相減即得∠BCF＝∠CBF，結論得證；
（2）連接CO并延長交⊙O于G點，再連接GF，可得∠G+∠GCF＝90°，再根據(jù)已知證明∠BCF＝∠CDB，進而得∠BCF+∠GCF＝90°，從而得CG⊥BC即可．
【解答】證明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ACB＝ABC，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
又∵∠ADB＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠ABD，
∴∠ACB﹣∠ACF＝ABC﹣∠ABD，
即：∠BCF＝∠CBF，
∴CF＝BF；
（2）連接CO并延長交⊙O于G點，再連接GF，
∵CG為O直徑，
∴∠GFC＝90°，
∴∠G+∠GCF＝90?，
∵∠CDB＝∠G，
∴∠CDB+∠GCF＝90°，
∵CD＝CB
∴∠CDB＝∠CBD，
∵CF＝BF，
∴∠BCF＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CDB，
∴∠BCF+∠GCF＝90°，
∴∠BCG＝90°，
∴CG⊥BC，且CG為⊙G的半徑，
∴CB是⊙O的切線．
【點評】本題考查圓周角的性質、直角三角形的性質、切線的判定定理，讀懂題意是解決問題的關鍵．
15．（2024秋?南京期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O交CD于點E．
（1）若AD∥BC，求證：AD是⊙O的切線；
（2）若E是AC的中點，且AE=25，AC＝8，求BC的長．
【考點】切線的判定與性質；勾股定理；垂徑定理；三角形的外接圓與外心．
【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關概念及性質；與圓有關的位置關系；運算能力；推理能力．
【答案】（1）詳見解答；
（2）9.6．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質，線段垂直平分線的判定和性質，平行線的性質以及切線的判定方法進行解答即可；
（2）根據(jù)圓周角定理，勾股定理、垂徑定理以及四邊形的面積的計算方法進行解答即可．
【解答】（1）證明：如圖，連接OB，OC，過點O作直線OA，
∵OB＝OC，AB＝AC，
∴直線OA是BC的垂直平分線，
∴直線OA⊥BC，
∵AD∥BC，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O的半徑，
∴AD是⊙O的切線；
（2）解：連接OE，交AC于點F，連接GC＝GB，
∵E是AC的中點，
∴OE⊥AC，EA＝EC＝25，
∴AF＝CF=12AC＝4，
在Rt△AEF中，AE＝25，AF＝4，
∴EF=AE2?AF2=2，
在Rt△AOF中，設OA＝x，則OF＝x﹣2，由勾股定理得，
AF2+OF2＝OA2，
即42+（x﹣2）2＝x2，
解得x＝5，
即半徑為5，
∴AG＝2OA＝10，
在Rt△ACG中，AC＝8，AG＝10，
∴CG=AG2?AC2=6，
∵S四邊形ACGB=12BC?AG=12AC?CG×2，
∴10BC＝8×6×2，
解得BC＝9.6．
【點評】本題考查切線的判定和性質，勾股定理、圓周角定理，掌握切線的判定方法，勾股定理、圓周角定理以及四邊形面積的計算方法是正確解答的關鍵．
考點卡片
1．直角三角形的性質
（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質外，具有一些特殊的性質：
性質1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．
性質2：在直角三角形中，兩個銳角互余．
性質3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）
性質4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積． 性質5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；
在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a=c2?b2，b=c2?a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
3．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?br>推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?br>4．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．
5．點與圓的位置關系
（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外?d＞r
②點P在圓上?d＝r
①點P在圓內?d＜r
（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．
（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
6．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點．
②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數(shù)個．
7．切線的性質
（1）切線的性質
①圓的切線垂直于經過切點的半徑．
②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．
③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．
（2）切線的性質可總結如下：
如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質的運用
運用切線的性質進行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構造直角三角形或相似三角形解決問題．
8．切線的判定
（1）切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
（2）在應用判定定理時注意：
①切線必須滿足兩個條件：a、經過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．
②切線的判定定理實際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切“這個結論直接得出來的．
③在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”．
9．切線的判定與性質
（1）切線的性質
①圓的切線垂直于經過切點的半徑．
②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．
③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．
（2）切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
（3）常見的輔助線的：
①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；
②有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”．
10．切線長定理
（1）圓的切線長定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．
（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．
（3）注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．
（4）切線長定理包含著一些隱含結論：
①垂直關系三處；
②全等關系三對；
③弧相等關系兩對，在一些證明求解問題中經常用到．

相關試卷

2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版九年級期末必刷?？碱}之正多邊形和圓練習：

這是一份2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版九年級期末必刷?？碱}之正多邊形和圓練習，共20頁。

2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版九年級期末必刷?？碱}之圓的有關性質練習：

這是一份2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版九年級期末必刷?？碱}之圓的有關性質練習，共23頁。

2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版九年級期末必刷常考題之圖形的旋轉練習：

這是一份2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版九年級期末必刷?？碱}之圖形的旋轉練習，共21頁。試卷主要包含了后的行動結果為等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版九年級期末必刷?？碱}之隨機事件與概率練習

2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版九年級期末必刷?？碱}之隨機事件與概率練習
2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版九年級期末必刷常考題之弧長和扇形面積練習

2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版九年級期末必刷?？碱}之弧長和扇形面積練習
2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版八年級期末必刷?？碱}之軸對稱練習

2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版八年級期末必刷常考題之軸對稱練習
2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版八年級期末必刷?？碱}之乘法公式練習

2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版八年級期末必刷?？碱}之乘法公式練習
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部