1．（2024秋?無錫期中）“奇妙”手工課堂開課啦!一起動手試試吧：拿出一張正方形的紙片，在上面剪出一個扇形和一個圓，嘗試后發(fā)現(xiàn)圓恰好是該圓錐的底面．（圓心O2與圓錐頂點同在如圖虛線上）測量后得知，圓錐母線長16cm，則以下這張正方形紙片的邊長是（ ）cm．
A．162B．102+4C．20D．182
2．（2024秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，⊙O的半徑為12，點A、B是圓上的兩點，∠AOB＝120°，則AB的長為（ ）
A．6πB．8πC．10πD．12π
3．（2024秋?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，分別以B、C為圓心，12BC長為半徑畫弧，交BC于點P，交AB于點M，交AC于點N，則圖中陰影部分面積為（ ）
A．6?2516πB．6?258πC．12?2516πD．12?258π
4．（2024秋?莒縣期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠A＝30°，以點A為圓心、AC為半徑畫弧，交AB于點E，以點B為圓心、BC為半徑畫弧，交AB于點F，則陰影部分的面積為（ ）
A．5π3?23B．23?π3C．5π3?43D．23?3π4
5．（2024?廣水市模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜邊AB是半圓O的直徑，點D是半圓上的一個動點，連接CD與AB交于點E，若BE＝BC時，弧BD的長為（ ）
A．43πB．73πC．23πD．76π
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?青秀區(qū)校級期中）小李同學(xué)在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，用一塊扇形材料制作了一個圓錐模型（如圖所示），經(jīng)過小黃同學(xué)測量得圓錐底面直徑為12cm，圓錐的高為8cm，則根據(jù)測量數(shù)據(jù)推算，該圓錐模型的側(cè)面積為 cm2．
7．（2024?金湖縣一模）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為5，則圓錐的側(cè)面積是 ．
8．（2024秋?南京期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則扇形ODE的面積為 ．
9．（2024秋?建鄴區(qū)期中）用半徑為5cm，圓心角為72°的扇形紙片恰好能圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的高為 cm．
10．（2024春?沛縣校級期末）如圖所示，分別以n邊形的頂點為圓心，以2cm為半徑畫圓，當(dāng)n＝2024時，則圖中陰影部分的面積之和為 cm2．（注：結(jié)果用含π的式子表示）
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?溧陽市期中）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，點P是AB上一點，AP=15BP=2．
（1）求扇形AOB的面積；
（2）過點P作PQ⊥AB交弧AB于點Q，求PQ的長．
12．（2024?包河區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點E．
（1）求證：∠BCO＝∠D；
（2）若CD=43，AE＝2，求陰影部分面積．
13．（2024秋?南京期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過格點A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），該圓弧所在圓的圓心為P．
（1）點P的坐標(biāo)為 ，⊙P的半徑為 ．
（2）若扇形PAC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑為 ．
14．（2024秋?蓬江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以點C為圓心，CA長為半徑的圓交AB于點D．
（1）若∠B＝28°，求∠ACD的度數(shù)；
（2）若D是AB的中點，AB＝2，求陰影部分的面積．
15．（2023秋?濱湖區(qū)期末）如圖1，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，AD＝DB，AC與BD交于點E，且AE＝BC．
（1）求證：AB＝CB；
（2）如圖2，△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)35°得到△FGC，點A經(jīng)過的路徑為弧AF，若AC＝4，求圖中陰影部分的面積．
2024-2025學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版九年級期末必刷?？碱}之弧長和扇形面積
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?無錫期中）“奇妙”手工課堂開課啦!一起動手試試吧：拿出一張正方形的紙片，在上面剪出一個扇形和一個圓，嘗試后發(fā)現(xiàn)圓恰好是該圓錐的底面．（圓心O2與圓錐頂點同在如圖虛線上）測量后得知，圓錐母線長16cm，則以下這張正方形紙片的邊長是（ ）cm．
A．162B．102+4C．20D．182
【考點】圓錐的計算．
【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力．
【答案】B
【分析】根據(jù)扇形的弧長等于圓的底面周長，即可求出圓錐底面圓的半徑，再求出正方形的對角線的長可得結(jié)論．
【解答】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r cm，
由題意2πr=90π×16180，
∴r＝4，
∴正方形的對角線的長＝16+4+42=（20+42）cm，
∴正方形的邊長為（102+4）cm．
故選：B．
【點評】本題考查了圓錐的計算，圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
2．（2024秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，⊙O的半徑為12，點A、B是圓上的兩點，∠AOB＝120°，則AB的長為（ ）
A．6πB．8πC．10πD．12π
【考點】弧長的計算．
【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力．
【答案】B
【分析】直接根據(jù)弧長公式計算即可．
【解答】解：AB的長為120π×12180=8π．
故選：B．
【點評】本題考查弧長的計算，關(guān)鍵是掌握弧長公式．
3．（2024秋?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，分別以B、C為圓心，12BC長為半徑畫弧，交BC于點P，交AB于點M，交AC于點N，則圖中陰影部分面積為（ ）
A．6?2516πB．6?258πC．12?2516πD．12?258π
【考點】扇形面積的計算；勾股定理．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．
【答案】A
【分析】利用直角三角形的面積減去兩個扇形的面積進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴∠B+∠C＝90°，BC=AB2+AC2=5，
∵以B、C為圓心，12BC長為半徑畫弧，
∴扇形CPN和扇形BPM的半徑相同，均為52，
∴兩個扇形的面積之和為(∠B+∠C)π360°×(52)2=2516π，
∴陰影部分的面積為：S△ABC?2516π=12×3×4?2516π=6?2516π；
故選：A．
【點評】本題考查求陰影部分的面積，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的面積減去兩個扇形的面積解答．
4．（2024秋?莒縣期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠A＝30°，以點A為圓心、AC為半徑畫弧，交AB于點E，以點B為圓心、BC為半徑畫弧，交AB于點F，則陰影部分的面積為（ ）
A．5π3?23B．23?π3C．5π3?43D．23?3π4
【考點】扇形面積的計算；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的計算；運算能力．
【答案】A
【分析】求出∠B，根據(jù)三角函數(shù)求出AC；利用扇形的面積公式，根據(jù)“陰影部分的面積＝扇形ACE的面積+扇形BCF的面積﹣三角形ABC的面積”計算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，AC＝BC?ctan∠A＝2×ctan30°＝23，
∴S陰影＝S扇形ACE+S扇形BCF﹣SRt△ABC
=30360×（23）2π+60360×22×π?12×23×2
=5π3?23，
∴陰影部分的面積為5π3?23．
故答案為：A．
【點評】本題考查扇形面積的計算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函數(shù)、扇形和三角形面積計算公式是解題的關(guān)鍵．
5．（2024?廣水市模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜邊AB是半圓O的直徑，點D是半圓上的一個動點，連接CD與AB交于點E，若BE＝BC時，弧BD的長為（ ）
A．43πB．73πC．23πD．76π
【考點】弧長的計算；圓周角定理．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的計算；運算能力．
【答案】B
【分析】根據(jù)BE＝BC求出∠BOD，利用弧長公式求解即可．
【解答】解：如圖1，當(dāng)BE＝BC時，
∵BE＝BC，∠ABC＝40°，
∴∠BCE＝∠BEC=12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠BOD＝2∠BCE＝140°，
∴弧BD的長=140π×3180=73π．
故選：B．
【點評】本題考查弧長公式，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理求出∠BOD＝140°．
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?青秀區(qū)校級期中）小李同學(xué)在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，用一塊扇形材料制作了一個圓錐模型（如圖所示），經(jīng)過小黃同學(xué)測量得圓錐底面直徑為12cm，圓錐的高為8cm，則根據(jù)測量數(shù)據(jù)推算，該圓錐模型的側(cè)面積為 60π cm2．
【考點】圓錐的計算．
【專題】展開與折疊；運算能力．
【答案】60π．
【分析】先利用勾股定理計算出圓錐的母線長，再根據(jù)扇形的面積公式計算圓錐的側(cè)面積．
【解答】解：根據(jù)題意，圓錐的母線長=62+82=10（cm），
所以該圓錐的側(cè)面積=12×12π×10＝60π（cm2）．
故答案為：60π．
【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
7．（2024?金湖縣一模）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為5，則圓錐的側(cè)面積是 15π ．
【考點】圓錐的計算．
【專題】計算題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式求解．
【解答】解：圓錐的側(cè)面積=12?2π?3?5＝15π．
故答案為15π．
【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
8．（2024秋?南京期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則扇形ODE的面積為 54π ．
【考點】扇形面積的計算；等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力．
【答案】54π．
【分析】連接OE，OD，由等腰三角形的性質(zhì)推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠EOD＝∠BAC＝50°，由扇形的面積公式計算即可．
【解答】解：∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD=12AB＝3，
∴扇形ODE的面積為50π×32360=54π．
故答案為：54π．
【點評】本題考查扇形面積的計算，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)推出OD∥AC，從而求出∠EOD的度數(shù)．
9．（2024秋?建鄴區(qū)期中）用半徑為5cm，圓心角為72°的扇形紙片恰好能圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的高為 26 cm．
【考點】圓錐的計算；展開圖折疊成幾何體．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；應(yīng)用意識．
【答案】26．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r厘米，這個扇形的弧長等于圓錐的底面周長，根據(jù)公式表示出圓的周長和弧長，求出半徑，再利用勾股定理，求出圓錐的高，據(jù)此解答．
【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r厘米．
72180×π×5=2×π×r，
25×π×5=2πr，
r＝1，
圓錐的高為52?12=26（厘米）．
答：這個圓錐的高為26cm．
故答案為：26．
【點評】本題考查了圓錐的計算、展開圖折疊成幾何體，解決本題的關(guān)鍵是先求出圓錐的底面半徑．
10．（2024春?沛縣校級期末）如圖所示，分別以n邊形的頂點為圓心，以2cm為半徑畫圓，當(dāng)n＝2024時，則圖中陰影部分的面積之和為 4π cm2．（注：結(jié)果用含π的式子表示）
【考點】扇形面積的計算．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力．
【答案】4π．
【分析】由題意得到各頂點的扇形圓心角之和即為n邊形外角和，利用扇形面積公式計算即可求出陰影部分面積．
【解答】解：∵n邊形的外角和為360°，半徑為2cm，
∴S陰影=360π×22360=4πcm2，
故答案為：4π．
【點評】此題考查了扇形面積的計算，以及多邊形的內(nèi)角和與外角和，熟練掌握扇形面積公式是解本題的關(guān)鍵．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?溧陽市期中）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，點P是AB上一點，AP=15BP=2．
（1）求扇形AOB的面積；
（2）過點P作PQ⊥AB交弧AB于點Q，求PQ的長．
【考點】扇形面積的計算．
【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力．
【答案】（1）9π；
（2）27?32．
【分析】（1）依題意得AB=62，OA＝OB，∠AOB＝90°，則△OAB是等腰直角三角形，再由勾股定理求出OA＝6，進(jìn)而可得扇形AOB的面積；
（2）過O作OC⊥AB于C，OD⊥PQ交QP的延長線于D，QD交OA于E，證明四邊形OCPD為矩形，再根據(jù)△OAB是等腰直角三角形得AC＝BC＝OC=32，OQ＝OA＝6，則OD＝PC=22，PD＝OC=32，然后由勾股定理求出DQ=27，進(jìn)而可得PQ的長．
【解答】解：（1）∵AP=15BP=2，
∴AP=2，BP=52，
∴AB＝AP+BP=62，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB=OA2+OB2=2OA，
∴2OA=62，
∴OA＝6，
∴扇形AOB的面積為：90π×62360=9π；
（2）過點O作OC⊥AB于C，作OD⊥PQ交QP的延長線于D，QD交OA于點E，連接OQ，如圖所示：
∵PQ⊥AB，
∴四邊形OCPD為矩形，
∴OC＝DP，OD＝PC，
由（1）知：△OAB是等腰直角三角形，且OA＝OB＝6，AB=62，AP=2，
∴AC＝BC＝OC=12AB=32，OQ＝OA＝6，
∴OD＝PC＝AC﹣AP=32?2=22，PD＝OC=32，
在Rt△ODQ中，由勾股定理得：DQ=OQ2?OD2=62?(22)2=27，
∴PQ＝DQ﹣PD=27?32．
【點評】此題主要考查了扇形面積，熟練掌握扇形的面積公式是解決問題的關(guān)鍵．
12．（2024?包河區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點E．
（1）求證：∠BCO＝∠D；
（2）若CD=43，AE＝2，求陰影部分面積．
【考點】扇形面積的計算；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠BCO＝∠B，根據(jù)圓周角定理得出∠B＝∠D，再求出答案即可；
（2）根據(jù)垂徑定理求出CE＝23，再根據(jù)勾股定理求出OC，進(jìn)一步即可求得OE，利用直角三角函數(shù)求得∠AOC＝60°，然后根據(jù)S陰影＝S扇形AOC﹣S△COE求解即可．
【解答】（1）證明：∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）解：∵AB 是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，
∴CE=12CD，
∵CD=43，
∴CE=23，
在Rt△OCE 中，OC2＝CE2+OE2，
∴r2=(23)2+(r?2)2，
解得：r＝4（負(fù)數(shù)舍去），
∴OC＝OA＝4，
∴OE＝4﹣2＝2，
∴tan∠COE=CEOE=232=3，
∴∠AOC＝60°，
∴S陰影＝S扇形AOC﹣S△COE=60π×42360?12×2×23=83π﹣23．
【點評】本題考查了扇形的面積，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識點，熟練掌握性質(zhì)定理，明確S陰影＝S扇形AOC﹣S△COE是解此題的關(guān)鍵．
13．（2024秋?南京期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過格點A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），該圓弧所在圓的圓心為P．
（1）點P的坐標(biāo)為 （﹣2，0） ，⊙P的半徑為 25 ．
（2）若扇形PAC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑為 52 ．
【考點】圓錐的計算；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；垂徑定理．
【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力．
【答案】（1）（﹣2，0），25；
（2）52．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理以及勾股定理進(jìn)行計算即可；
（2）求出扇形PAC的圓心角度數(shù)，進(jìn)而求出弧AC的長，再根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的特征進(jìn)行計算即可．
【解答】解：（1）如圖，依據(jù)網(wǎng)格，作AB，BC的中垂線相交于點P，點P的坐標(biāo)為（﹣2，0），
PA=OA2+OP2=25，
即⊙P的半徑為25，
故答案為：（﹣2，0），25；
（2）如圖，易證△AOP≌△PDC（SAS），
∴∠OAP＝∠DPC，
∴∠OAP+∠OPA＝90°，
∴∠DPC+∠OPA＝90°，
∴∠APC＝180°﹣90°＝90°，
∴AC的長為90π×25180=5π，
設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr=5π，
解得r=52，
故答案為：52．
【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理，圓錐的計算，掌握垂徑定理、勾股定理以及弧長、圓周長的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．
14．（2024秋?蓬江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以點C為圓心，CA長為半徑的圓交AB于點D．
（1）若∠B＝28°，求∠ACD的度數(shù)；
（2）若D是AB的中點，AB＝2，求陰影部分的面積．
【考點】扇形面積的計算；直角三角形斜邊上的中線；圓周角定理．
【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的計算；推理能力．
【答案】（1）56°；
（2）π6．
【分析】（1）利用直角三角形的兩銳角互余計算出∠BAC＝62°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理計算出∠ACD的度數(shù)；
（2）利用斜邊上的中線性質(zhì)得到CD＝AD＝BD=12AB＝1，再判斷△ACD為等邊三角形，則∠ACD＝60°，利用扇形的面積公式，根據(jù)陰影部分的面積＝S扇形ACD進(jìn)行計算．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣62°﹣62°＝56°；
（2）∵D是AB的中點，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝BD=12AB＝1，
∵CD＝CA，
∴△ACD為等邊三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴陰影部分的面積＝S扇形ACD=60×π×12360=π6．
【點評】本題考查了扇形面積的計算：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）．
15．（2023秋?濱湖區(qū)期末）如圖1，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，AD＝DB，AC與BD交于點E，且AE＝BC．
（1）求證：AB＝CB；
（2）如圖2，△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)35°得到△FGC，點A經(jīng)過的路徑為弧AF，若AC＝4，求圖中陰影部分的面積．
【考點】扇形面積的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】與圓有關(guān)的計算．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）證明△ADE≌△BDC（SAS），推出∠ADE＝∠BDC，推出AB=BC即可解決問題．
（2）證明S陰＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴∠ADE＝∠BDC，
∴AB=BC．
∴AB＝BC．
（2）解：S陰＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF=35?π?42360=14π9．
【點評】本題考查扇形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
考點卡片
1．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)
1、點到坐標(biāo)軸的距離與這個點的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆枺?br>2、有圖形中一些點的坐標(biāo)求面積時，過已知點向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．
3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問題．
2．展開圖折疊成幾何體
通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實物出發(fā)，然后再從給定的圖形中辨認(rèn)它們能否折疊成給定的立體圖形．
3．全等三角形的判定與性質(zhì)
（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．
4．等腰三角形的性質(zhì)
（1）等腰三角形的概念
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性質(zhì)
①等腰三角形的兩腰相等
②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】
③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】
（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．
5．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：
在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．
（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．
（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；
②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點明斜邊．
6．直角三角形斜邊上的中線
（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）
（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．
該定理可以用來判定直角三角形．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a=c2?b2，b=c2?a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
8．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．
推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?br>推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?br>9．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角．
10．弧長的計算
（1）圓周長公式：C＝2πR
（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）
①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．
②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．
③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．
④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．
11．扇形面積的計算
（1）圓面積公式：S＝πr2
（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．
（3）扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）
（4）求陰影面積常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割補(bǔ)法．
（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．
12．圓錐的計算
（1）連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線．連接頂點與底面圓心的線段叫圓錐的高．
（2）圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)=12?2πr?l＝πrl．
（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl
（5）圓錐的體積=13×底面積×高
注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等．
②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．
13．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：
①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等． ②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角． ③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等． （2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心； ②旋轉(zhuǎn)方向； ③旋轉(zhuǎn)角度． 注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣

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