51 第6章第5課時　數(shù)列的綜合應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

第5課時　數(shù)列的綜合應(yīng)用
考點一　數(shù)列模型的應(yīng)用[典例1]　容器A內(nèi)裝有6 L質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水溶液，容器B內(nèi)裝有4 L質(zhì)量分?jǐn)?shù)為5%的鹽水溶液，先將A內(nèi)的鹽水倒1 L進(jìn)入B內(nèi)，再將B內(nèi)的鹽水倒1 L進(jìn)入A內(nèi)，稱為一次操作．這樣反復(fù)操作n次，A，B容器內(nèi)的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為an，bn.(1)求a1，b1，并證明{an－bn}是等比數(shù)列；(2)至少操作多少次，A，B兩容器內(nèi)的鹽水濃度之差小于1%(取lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)；(3)求an，bn的表達(dá)式．
名師點評　數(shù)列實際應(yīng)用中的常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差；(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定且不為零的數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比；(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，則應(yīng)考慮是第n項an與第n＋1項an＋1的遞推關(guān)系還是前n項和Sn與前n＋1項和Sn＋1之間的遞推關(guān)系．一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增加或依次減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列．
(1)B　(2)BCD　[(1)由題可知cn＝(1＋10%)cn－1－100＝1.1cn－1－100，設(shè)cn＋k＝1.1(cn－1＋k)，解得k＝－1 000.即cn－1 000＝1.1(cn－1－1 000)，故數(shù)列{cn－1 000}是首項為c1－1 000＝200，公比為1.1的等比數(shù)列．所以cn－1 000＝200×1.1n-1，則cn＝200×1.1n-1＋1 000，所以c10＝200×1.19＋1 000≈200×2.358＋1 000≈1 472.故選B.
[解]　(1)∵4Sn＝anan＋1，n∈N*，①∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，∴a2＝4.當(dāng)n≥2時，4Sn－1＝an－1an，②①－②得4an＝anan＋1－an－1an.由題意知an≠0，∴an＋1－an－1＝4.當(dāng)n＝2k＋1，k∈N*時，a2k＋2－a2k＝4，即a2，a4，…，a2k是首項為4，公差為4的等差數(shù)列，∴a2k＝4＋(k－1)×4＝4k＝2×2k；當(dāng)n＝2k，k∈N*時，a2k＋1－a2k－1＝4，即a1，a3，…，a2k－1是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，∴a2k－1＝2＋(k－1)×4＝4k－2＝2(2k－1)．綜上可知，an＝2n，n∈N*.
名師點評　數(shù)列與不等式的恒成立的問題可借助數(shù)列的單調(diào)性或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解答．
鞏固課堂所學(xué) · 激發(fā)學(xué)習(xí)思維夯實基礎(chǔ)知識 · 熟悉命題方式自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節(jié)課掌握了哪些考點？本節(jié)課還有什么疑問點？