1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式. 2.掌握非等差數(shù)列，非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.
ZHISHIZHENDUANZICE
2.數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.(2)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解.(4)倒序相加法如果一個數(shù)列{an}中，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法求解.
解析　(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1討論求解.
3.已知an＝2n＋n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝__________________.
4.數(shù)列{(n＋3)·2n－1}前20項的和為____________.
解析　S20＝4×1＋5×21＋6×22＋…＋23×219，2S20＝4×2＋5×22＋6×23＋…＋23×220，
＝－22×220＋2.故S20＝22×220－2.
KAODIANJUJIAOTUPO
考點一　分組求和與并項求和
(2)若a1＝1，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1，求數(shù)列{anbn}的前15項和S15.
解　由(1)知an＋3＝an，a1＝1，所以a1＝a4＝a7＝…＝a13＝1，
訓(xùn)練1 已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋4，數(shù)列{bn}的首項為b1＝2.(1)若{bn}是公差為3的等差數(shù)列，求證：{abn}也是等差數(shù)列.
證明　因為數(shù)列{bn}是首項為b1＝2，公差為3的等差數(shù)列，所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，所以abn＝2bn＋4＝2(3n－1)＋4＝6n＋2，所以abn＋1－abn＝6(n＋1)＋2－(6n＋2)＝6，所以數(shù)列{abn}是以6為公差的等差數(shù)列.
(2)若{abn}是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項和.
解　因為{abn}是公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的首項為b1＝2，an＝2n＋4，所以ab1＝a2＝2×2＋4＝8，所以abn＝8×2n－1＝2n＋2.又因為an＝2n＋4，所以abn＝2bn＋4，所以2bn＋4＝2n＋2，解得bn＝2n＋1－2，所以b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(21＋1－2)＋(22＋1－2)＋(23＋1－2)＋…＋(2n＋1－2)
考點二　裂項相消法求和
訓(xùn)練2 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)·an＝2n.求：(1){an}的通項公式；
解　因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故當(dāng)n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②
考點三　錯位相減法求和
[規(guī)范解答]　解　(1)當(dāng)n＝1時，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.當(dāng)n≥2時，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1，
[滿分規(guī)則]?得步驟分①處利用an＝Sn－Sn－1消去Sn即可得2分，④處有錯位相減求和的意識，即使后續(xù)計算錯誤，也可得2分，③處若忘驗證，則會失掉1分.?得關(guān)鍵分②處的變形最關(guān)鍵，是求通項公式的根本，此處出錯，最多得2分.?得計算分⑤⑥處都需要準(zhǔn)確的計算，否則此步不得分，這也正是錯位相減法的難點所在.
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝a2n，求數(shù)列{bn}的前n項和.
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項之和為(　　)A.－200B.－100C.200D.100
解析　S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
2.數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋2，數(shù)列{lg2an}的前n項和為Tn，則T20＝(　　)A.190B.192C.180D.182
解析　Sn＝2n＋2，有Sn－1＝2n－1＋2(n≥2)，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－(2n－1＋2)＝2n－1，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝21＋2＝4，不滿足上式，
3.(2024·長沙質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝3n－1(n∈N*)，則{an}的前60項和為(　　)A.1 240B.1 830C.2 520D.2 760
解析　由an＋1＋(－1)nan＝3n－1，得a2－a1＝2，a3＋a2＝5，a4－a3＝8，a5＋a4＝11，….故a1＋a3＝3，a5＋a7＝3，a9＋a11＝3，…，即從第1項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于3；a2＋a4＝13，a6＋a8＝37，a10＋a12＝61，…，即從第2項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構(gòu)成以13為首項、24為公差的等差數(shù)列.
解析　根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由a1·a2 024＝1可得an·a2 025－n＝1，
令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 024)，則T＝f(a2 024)＋f(a2 023)＋…＋f(a1)，∴2T＝f(a1)＋f(a2 024)＋f(a2)＋f(a2 023)＋…＋f(a2 024)＋f(a1)＝4×2 024，∴T＝4 048.
解析　因為Sn＋1(Sn＋1－3n)＝Sn(Sn＋3n)，
解析　依題意，因為an＋1＝2an－anan＋1，
9.(2024·廣州調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1＋an＝n－1 009(n∈N*)，則其前2 025項之和S2 025＝________.
解析　S2 025＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 024＋a2 025)，又an＋1＋an＝n－1 009(n∈N*), 且a1＝1，∴S2 025＝1＋(2－1 009)＋(4－1 009)＋…＋(2 024－1 009)＝1＋(2＋4＋6＋…＋2 024)－1 009×1 012
10.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋1·an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，則a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝________.
解析　因為an·an＋1·an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，①所以當(dāng)n≥2時，有an－1·an·an＋1＝an－1＋an＋an＋1，②①－②得(an＋2－an－1)(an＋1an－1)＝0，因為a1＝1，a2＝2，所以2a3＝3＋a3，解得a3＝3，顯然a2a3≠1，于是有an＋2－an－1＝0，于是當(dāng)n∈N*時，an＋3＝an，所以數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列.因為a1＋a2＋a3＝6，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝675×6＝4 050.
12.已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
解　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，
14.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，滿足b1＝2a1＝2，b2＝2a2，a3＋b3＝11.求：(1)數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
解　設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q(q≠0).由題意，得a1＝1，b1＝2.
解　由(1)，知anbn＝n×2n，則Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，①2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1

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