課程標(biāo)準(zhǔn)　1.理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義．　2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系．　3.體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系．
1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從_______起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于________常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的______，通常用字母d表示，符號(hào)表示為an－an－1＝d，n∈N*且n≥2，d為常數(shù)．
3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，公差為_(kāi)_____．
1.判斷下列結(jié)論是否正確（正確的在括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的在括號(hào)內(nèi)打“×”）.(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(　　)(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　)(3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．(　　)(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
3.在數(shù)列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2，則a5＝(　　)A．－6 B．6C．－10 D．10解析：∵an＋1－an＝2，∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列．又a1＝－2，∴a5＝a1＋4d＝－2＋2×4＝6.
4.已知等差數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)的和為Sn，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝20，則S9＝(　　)A．24 B．36C．48 D．64
例1　 (2018·全國(guó)Ⅰ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　)A．－12　　　　　　　B．－10C．10 D．12
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè)（簡(jiǎn)稱“知三求二”）.2.確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.
(2022·全國(guó)乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若2S3＝3S2＋6，則公差d＝　　　?。馕觯骸?S3＝3S2＋6，∴2(3a1＋3d)＝3(2a1＋d)＋6，即6d＝3d＋6，解得d＝2.
(2)[解]　由(1)知，a1＝3，d＝1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2.
等差數(shù)列的四個(gè)判定方法(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n，都有an＋1－an等于同一個(gè)常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n，都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)通項(xiàng)公式法：得出an＝pn＋q后，再根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用
在等差數(shù)列{an}中，若a5＋a6＝4，則lg2（2a1·2a2·…·2a10）＝　　　?。馕觯河傻炔顢?shù)列的性質(zhì)知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，則2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以lg2（2a1·2a2·…·2a10）＝lg225×4＝20.
(2)已知等差數(shù)列{an}共有(2n＋1)項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則an＋1的值為(　　)A．30 B．29C．28 D．27
等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用的性質(zhì)在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S10＝10，S20＝60，則S40＝(　　)A．110 B．150C．210 D．280解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列，故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因?yàn)?S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.
角度3　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例5?。ǘ噙x）設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則(　　)A．d＜0B．a(chǎn)7＝0C．S9＞S5D．S6與S7均為Sn的最大值
[解析]　S6＝S5＋a6＞S5，則a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，則a7＝0，∴d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，則a8＜0，a9＜0.又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＞S9.由a7＝0，a6＞0知S6，S7是Sn中的最大值．
1.項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列．
3.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)鄰項(xiàng)變號(hào)法，利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(2)函數(shù)法，利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A≠0)為二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．

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