第4課時　利用導數(shù)證明不等式
[解]　(1)f ′(x)＝aex－1，當a≤0時，f ′(x)＜0，所以函數(shù)f (x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；當a＞0時，令f ′(x)＞0，得x＞－ln a，令f ′(x)＜0，得x＜－ln a，所以函數(shù)f (x)在(－∞，－ln a)上單調(diào)遞減，在(－ln a，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上可得，當a≤0時，函數(shù)f (x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；當a＞0時，函數(shù)f (x)在(－∞，－ln a)上單調(diào)遞減，在(－ln a，＋∞)上單調(diào)遞增．
名師點評　一般地，待證不等式的兩邊含有同一個變量時，可以直接構(gòu)造“左減右”(或“右減左”)的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值進行證明．提醒：對復雜的式子可以先進行變形，再移項構(gòu)造函數(shù)進行證明．
[跟進訓練]1．證明：當x∈[0，2]時，x2e2x-2≥－2x2＋8x－5.[證明]　令g(x)＝x2e2x-2＋2x2－8x＋5，x∈[0，2]，則g′(x)＝2e2x-2(x2＋x)＋4x－8，x∈[0，2].令h(x)＝g′(x)，則h′(x)＝2e2x-2(2x2＋4x＋1)＋4>0，所以g′(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，且g′(1)＝0，所以g(x)在[0，1)上單調(diào)遞減，在(1，2]上單調(diào)遞增，所以g(x)的最小值為g(1)＝0，所以g(x)≥0，即x2e2x-2≥－2x2＋8x－5.
名師點評　在同時含ln x與ex的不等式證明中，常采用把對數(shù)單獨分離的方式，把待證不等式分離．如本例中直接構(gòu)造函數(shù)，求導運算比較復雜，此時把指數(shù)與對數(shù)分離兩邊，構(gòu)造兩個函數(shù)，分別計算它們的最值，借助最值進行證明．
考點三　放縮法證明不等式 [典例3]　(12分)設(shè)函數(shù)f (x)＝ex＋a sin x＋b(a，b為實數(shù))，且曲線y＝f (x)在x＝0處的切線方程為x－y－1＝0.(1)求a，b的值；(2)求證：當x∈(0，＋∞)時，f (x)＞ln x.[規(guī)范解答]　(1)f ′(x)＝ex＋a cs x，且f (0)＝1＋b.由題意得f ′(0)＝e0＋a＝1?a＝0.············· · ····2分又點(0，1＋b)在切線x－y－1＝0上，所以0－1－b－1＝0?b＝－2. ···················4分
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