導數(shù)與不等式的交匯命題是高考的熱點和難點,在利用導數(shù)證明不等式的問題中,常用的方法有構(gòu)造函數(shù)、適當換元、合理放縮、利用最值、有界性、不等式及其性質(zhì)等.
考點一　構(gòu)造差函數(shù)法證明不等式
例1(2023新高考Ⅰ,19)已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當a>0時,f(x)>2ln a+ .
(1)解 f'(x)=aex-1,x∈R.①當a≤0時,f'(x)≤0對任意x∈R恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.②當a>0時,令f'(x)=0,得x=ln =-ln a.隨x的變化,f'(x),f(x)的變化如下表:
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-ln a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-ln a).綜上,當a≤0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,+∞),無單調(diào)遞增區(qū)間;當a>0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-ln a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-ln a).
[對點訓練1](2024四川廣安二模)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1.(1)若f(x)存在極值,求a的取值范圍;(2)若a≤1,x∈(0,+∞),證明:f(x)>x-sin x.(1)解 由f(x)=ex-ax-1,x∈R,得f'(x)=ex-a,當a≤0時,f'(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增,f(x)不存在極值;當a>0時,令f'(x)=0,則x=ln a,當x0,即f(x)在(ln a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以x=ln a是f(x)的極小值點,所以當a>0時,f(x)存在極值.綜上所述,f(x)存在極值時,a的取值范圍是(0,+∞).
(2)證明 欲證不等式f(x)>x-sin x在x∈(0,+∞)時恒成立,只需證明ex+sin x-(a+1)x-1>0在x∈(0,+∞)時恒成立.設(shè)g(x)=ex+sin x-(a+1)x-1,x∈(0,+∞),則g'(x)=ex+cs x-(a+1),令m(x)=g'(x)=ex+cs x-(a+1),x∈(0,+∞),則m'(x)=ex-sin x.當x∈(0,+∞)時,ex>1,-1≤-sin x≤1,所以m'(x)>0,所以m(x)即g'(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g'(x)>g'(0)=1-a,因為a≤1,所以g'(0)=1-a≥0,故當x∈(0,+∞)時,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g(x)>g(0)=0,即當a≤1,x∈(0,+∞)時,不等式f(x)>x-sin x恒成立.
考點二　分離函數(shù)法證明不等式
例2(2024安徽合肥模擬)已知函數(shù)f(x)=ax-ln x,a∈R.(1)若函數(shù)F(x)=f(x)-x2有兩個極值點,求a的取值范圍;
F(x)有兩個極值點,所以方程-2x2+ax-1=0有兩個不相等的正實根,當0x2時,F'(x)0,∴g'(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴g'(x)≥g'(0)=0,∴g(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,由g(x)為偶函數(shù)知,g(x)在(-∞,0]內(nèi)單調(diào)遞減,∴g(x)≥g(0)=-1.
考點三　放縮法證明不等式
當a≥0時,因為x>0,所以f'(x)>0恒成立,則y=f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且f(1)=0,所以f(x)恒大于或等于零不成立;當a0,當0f(0)=0.

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