考點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題[例1] (2024·廣西柳州模擬)已知函數(shù)f(x)=aln x+ +bx,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為2x-y+1=0.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為2x-y+1=0,所以有f′(1)=2,f(1)=3,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ;
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)-2≥ 恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解含參不等式恒成立問(wèn)題,可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái),得到一個(gè)一端是參數(shù),另一端是變量表達(dá)式的不等式,具體步驟如下:(1)分離參數(shù)(注意分離參數(shù)時(shí)自變量x的取值范圍是否影響不等號(hào)的方向).(2)轉(zhuǎn)化:若a>f(x)對(duì)x∈D恒成立,則只需a>f(x)max;若a-a,求a的取值范圍.
解:(2)由f(x)>-a,得a(x2-1)-ln xg(1)=0,
于是有g(shù)(x)在(1, )上單調(diào)遞減,
在( ,+∞)上單調(diào)遞增,
則當(dāng)00時(shí),令f′(x)=ex-a>0,解得x>ln a,令f′(x)0時(shí),g(x)>1.
(2)證明:當(dāng)a=1時(shí),
F′(x)=

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