1.(人A選必二5.3節(jié)習題改編)證明下列不等式:(1)ex>1+x,x≠0;(2)ln x0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)=ex-1-x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;當x0,f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增;當x>1時,f'(x)0時,f(x)=ln x-x≤f(1)=-10時,ln x0時,ex>x+1>x.綜上,ln x0.
證明 當m≤2,x∈(-m,+∞)時,ln(x+m)≤ln(x+2),則有f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2).故只需證明當m=2時,f(x)>0.
又f'(-1)0,從而當x=x0時,f(x)取得最小值.
綜上,當m≤2時,f(x)>0.
3.(人B選必三第六章習題)已知函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1時,h'(x)0時,f(x)>2ln a+ .
(1)解 f'(x)=aex-1,x∈R.①當a≤0時,f'(x)≤0對任意x∈R恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.②當a>0時,令f'(x)=0,得x=ln =-ln a.隨x的變化,f'(x),f(x)的變化如下表:
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-ln a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-ln a).綜上,當a≤0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,+∞),無單調(diào)遞增區(qū)間;當a>0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-ln a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-ln a).
考點一 利用導數(shù)證明不等式
例1(2024·全國甲,文20)已知函數(shù)f(x)=a(x-1)-ln x+1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a≤2時,證明:當x>1時,f(x)1時,ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+ln x-1≥ex-1-2x+ln x+1,x>0.h'(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則h'(x)>h'(1)=0,即h(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,故g'(x)>g'(1)=0,即g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴g(x)>g(1)=0,即當x>1時,f(x)0.令h(x)=x+(1-x)ln(1-x),x0恒成立,此時f(x)單調(diào)遞增,f(x)無極值;當m>0時,令f'(x)=0,得x=m.故當x∈(0,m)時,f'(x)0且a≠1.①若f(x)是偶函數(shù),求a的值;②當x>0時,f(x)>0,求a的取值范圍.
因為函數(shù)y=axln a,y=2xln 2在(0,+∞)上都是增函數(shù),所以函數(shù)f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f'(0)=ln(2a)0,使得當x∈(0,x0)時,f'(x)

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