高考培優(yōu)2 構(gòu)造函數(shù)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用
[跟進(jìn)訓(xùn)練]1.已知偶函數(shù)f (x)(x≠0)的導(dǎo)函數(shù)為f ′(x),且滿足f (-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),2f (x)>xf ′(x),則使得f (x)>0成立的x的取值范圍是__________________.
(-1,0)∪(0,1)
考向2 利用f (x)與ex(或enx)構(gòu)造[典例2] 若定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f ′(x)-2f (x)>0,f (0)=1,則不等式f (x)>e2x的解集為____________.
[跟進(jìn)訓(xùn)練]2.(2024·重慶八中期末)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽,f ′(x)是其導(dǎo)函數(shù),若f (x)+f ′(x)>0,f (1)=1,則不等式f (x)>e1-x的解集是(  )A.(0,+∞)     B.(1,+∞)C.(-∞,0)  D.(0,1)B [構(gòu)造函數(shù)g(x)=f (x)·ex,則g′(x)=[f ′(x)+f (x)]·ex>0,故g(x)在R上單調(diào)遞增,g(1)=e, f (x)>e1-x可化為g(x)>e=g(1),故原不等式的解集為(1,+∞),故選B.]
名師點(diǎn)評(píng) 當(dāng)要比較的各數(shù)為某些函數(shù)的函數(shù)值時(shí),要仔細(xì)觀察這些數(shù)值的共同之處,構(gòu)造一個(gè)或兩個(gè)函數(shù),使要比較的數(shù)成為該函數(shù)的函數(shù)值,然后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?br/>名師點(diǎn)評(píng) 具有同等地位的兩個(gè)變量x,y(或a,b)的等式或不等式,如果進(jìn)行變形后,等式或不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性,往往暗示應(yīng)構(gòu)造函數(shù),應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性解決.

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