一．比例的性質(zhì)
（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．
（2）常用的性質(zhì)有：
①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若＝，則ad＝bc．
②合比性質(zhì)．若＝，則＝．
③分比性質(zhì)．若＝，則＝．
④合分比性質(zhì)．若＝，則＝．
⑤等比性質(zhì)．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．
二．比例線段
（1）對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．
（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系．
三．黃金分割
（1）黃金分割的定義：
如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．
（2）黃金三角形：黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值．
黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個(gè)底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長(zhǎng)之比為黃金比：；②等腰三角形，兩個(gè)底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長(zhǎng)之比為黃金比：．
（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比確切值為．
四．平行線分線段成比例
（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．
（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．
五．相似圖形
（1）相似圖形
我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形．
（2）相似圖形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛，對(duì)于相似圖形，應(yīng)注意：
①相似圖形的形狀必須完全相同；
②相似圖形的大小不一定相同；
③兩個(gè)物體形狀相同、大小相同時(shí)它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．
（3）相似三角形
對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．
六．相似多邊形的性質(zhì)
（1）如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形．
（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．
（3）全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形．
（4）相似多邊形的性質(zhì)為：
①對(duì)應(yīng)角相等；
②對(duì)應(yīng)邊的比相等．
七．相似三角形的性質(zhì)
相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．
（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．
（2）相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；
相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．
由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．
八．相似三角形的判定
（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．
（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；
（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；
（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
九．相似三角形的判定與性質(zhì)
（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊的比相等和對(duì)應(yīng)角相等兩方面下定義；反過(guò)來(lái)，兩個(gè)三角形相似也有對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．
十．相似三角形的應(yīng)用
（1）利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度．①測(cè)量原理：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．②測(cè)量方法：在同一時(shí)刻測(cè)量出參照物和被測(cè)量物體的影長(zhǎng)來(lái)，再計(jì)算出被測(cè)量物的長(zhǎng)度．
（2）利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）．①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測(cè)量方法：通過(guò)測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．
（3）借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度．利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．
十一．作圖-相似變換
（1）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到．
（2）相似圖形的作圖在沒(méi)有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進(jìn)行簡(jiǎn)單的相似變換作圖．如圖所示：
（3）如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù)．比較簡(jiǎn)單的是把原三角形的三邊對(duì)應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對(duì)應(yīng)的相似圖形．
十二．位似變換
（1）位似圖形的定義：
如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．
注意：①兩個(gè)圖形必須是相似形；
②對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；
③對(duì)應(yīng)邊平行．
（2）位似圖形與坐標(biāo)
在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．
十三．作圖-位似變換
（1）畫位似圖形的一般步驟為：
①確定位似中心；②分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；④順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．
借助橡皮筋、方格紙、格點(diǎn)圖等簡(jiǎn)易工具可將圖形放大或縮小，借助計(jì)算機(jī)也很好地將一個(gè)圖形放大或縮?。?br>（2）注意：①畫一個(gè)圖形的位似圖形時(shí)，位似中心的選擇是任意的，這個(gè)點(diǎn)可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上，對(duì)于具體問(wèn)題要考慮畫圖方便且符合要求．②由于位似中心選擇的任意性，因此作已知圖形的位似圖形的結(jié)果是不唯一的．
【專題過(guò)關(guān)】
一．比例的性質(zhì)（共4小題）
1．（2021秋?碧江區(qū) 期末）若＝，則的值是（ ）
A．B．﹣C．﹣2D．2
2．（2022秋?大埔縣期中）已知＝＝＝且b+2d﹣f≠0，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022?夾江縣模擬）已知b2＝ac，若a：b＝4：3，則b：c的值等于（ ）
A．2：3B．3：2C．3：4D．4：3
4．（2022?大渡口區(qū)模擬）計(jì)算：
（1）已知x：y＝2：3，若x+y＝15，求x，y的值．
（2）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．
二．比例線段（共5小題）
5．（2021秋?梧州期末）如果線段a＝4cm，b＝16cm，那么a和b的比例中項(xiàng)是（ ）
A．cmB．4cmC．8cmD．64cm
6．（2022?宜昌模擬）已知線段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么：的值是（ ）
A．：B．：C．：D．：
7．（2022?安慶二模）安慶潛山素有古皖之源、皖國(guó)古都、二喬故里、京劇之祖、禪宗之地、黃梅之鄉(xiāng)等等眾多美名．擁有“潛陽(yáng)十景”之首美譽(yù)的胭脂井，完美融入二喬公園之中，為古皖名城增輝，為百姓休閑生活增色．二喬公園占地面積57622.48m2，其中景觀綠化面積約為37000m2，在按比例尺1：300縮小繪制的公園示意圖中，景觀綠化面積大約相當(dāng)于（ ）
A．某縣體育中心體育館的面積
B．一張乒乓球臺(tái)的面積
C．一張《安徽日?qǐng)?bào)》報(bào)紙的面積
D．《數(shù)學(xué)》教科書封面的面積
8．（2022秋?大埔縣期中）已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且＝＝≠0，若△ABC的周長(zhǎng)為60，求各邊的長(zhǎng)．
9．（2022秋?新昌縣校級(jí)期中）已知線段a，b滿足＝，且a+b＝34．
（1）求a，b的值．
（2）若線段x是線段a，b的比例中項(xiàng)，求x的值．
三．黃金分割（共3小題）
10．（2021秋?防城港期末）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺(jué)美感，這個(gè)比值叫黃金分割數(shù)．按此比例，若雕像的高為2米，那么它的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？設(shè)雕像下部高x米，可列方程為（ ）
A．x2+2x﹣4＝0B．x2﹣2x+4＝0C．x2﹣2x﹣4＝0D．x2+2x+4＝0
11．（2022秋?漢陽(yáng)區(qū)期中）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺(jué)美感．按此比例，如果雕像的高度為2m，那么它的下部應(yīng)設(shè)計(jì)的高度為（ ）m．
A．﹣1B．+1C．D．
12．（2022?茂南區(qū)一模）我們定義：頂角等于36°的等腰三角形為黃金三角形．如圖，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，則△ABC為黃金三角形．
（1）尺規(guī)作圖：作∠B的角平分線，交AC于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）請(qǐng)判斷△BDC是否為黃金三角形，如果是，請(qǐng)給出證明，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
四．平行線分線段成比例（共2小題）
13．（2021秋?雙灤區(qū)期末）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．已知AB＝1，DE＝2，BC＝3，則EF的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．5C．6D．8
14．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC：OC＝1：2，過(guò)C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
五．相似圖形（共2小題）
15．（2021秋?福州期末）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．有一個(gè)角等于100°的兩個(gè)等腰三角形相似
B．兩個(gè)矩形一定相似
C．有一個(gè)角等于45°的兩個(gè)等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
16．（2021秋?耒陽(yáng)市期末）下列四組圖形中，不是相似圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
六．相似多邊形的性質(zhì)（共2小題）
17．（2021秋?順平縣期末）一個(gè)四邊形ABCD各邊長(zhǎng)為2，3，4，5，另一個(gè)和它相似的四邊形A1B1C1D1最長(zhǎng)邊為15，則四邊形A1B1C1D1的最短邊長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．6D．8
18．（2021秋?敘州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，則∠D的度數(shù)為（ ）
A．100B．110C．120D．130
七．相似三角形的性質(zhì)（共2小題）
19．（2021秋?滄州期末）如圖所示，若△DAC∽△ABC，則需滿足（ ）
A．CD2＝AD?DBB．AC2＝BC?CDC．D．
20．（2022?賀州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，則S△ADE：S△ABC的值是（ ）
A．B．C．D．
八．相似三角形的判定（共4小題）
21．（2021秋?盧龍縣期末）下列判斷中，不正確的有（ ）
A．三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似
B．兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似
C．有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似
D．有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似
22．（2022秋?徐匯區(qū)期中）如圖，D是△ABC邊BC上的一點(diǎn)，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分線交邊AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．△BFA∽△BECB．△BDF∽△BECC．△BAC∽△BDAD．△BDF∽△BAE
23．（2022?沈陽(yáng)模擬）已知等邊△ABC，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是邊BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，BD＝CE，則圖中相似的三角形的對(duì)數(shù)是（ ）
A．3對(duì)B．4對(duì)C．5對(duì)D．6對(duì)
24．（2021秋?藤縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BO向點(diǎn)O以1厘米/秒的速度移動(dòng)．當(dāng)一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0＜t＜6），求當(dāng)△POQ與△AOB相似時(shí)t的值．
九．相似三角形的判定與性質(zhì)（共6小題）
25．（2021秋?南宮市期末）如圖，∠C＝∠E，AC＝2，BC＝4，AE＝1.5，則DE的長(zhǎng)為（ ）
A．B．3C．4D．
26．（2022?大慶模擬）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝60°，AB＝2BC，E是AB的中點(diǎn)，連接CE，OE．下列結(jié)論：①∠ACD＝30°；②CE平分∠DCB；③CD＝4OE；④S△COE＝S四邊形ABCD．其中結(jié)論正確的序號(hào)有（ ）
A．①②B．②③④C．①②③D．①③④
27．（2022?南充模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的中線，EF垂直平分CD，分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DE，DF．
（1）求證：△OCE∽△OFD．
（2）當(dāng)AE＝7，BF＝24時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)．
28．（2021秋?德?？h期末）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝4，CE＝6，BC＝15．
（1）求BF和CF的長(zhǎng)；
（2）直接判定四邊形DFCE的形狀．
29．（2022?惠民縣一模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AP，與OD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接CP，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求證：EC2＝EA?EB．
30．（2022?十堰模擬）如圖，已知CE是⊙O的直徑，點(diǎn)B在⊙O上．
（1）若⊙O的半徑為2，且D為的中點(diǎn)，求圓心O到弦CD的距離；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)DF?DB＝CD2時(shí)，求∠CBD的大小．
一十．相似三角形的應(yīng)用（共6小題）
31．（2021秋?定興縣期末）如圖，淇淇同學(xué)在湖邊看到一棵樹，他目測(cè)出自己與樹的距離為20m，樹的頂端在水中的倒影距自己5m遠(yuǎn)，淇淇的身高為1.7m，則樹高為（ ）
A．3.4mB．4.7mC．5.1mD．6.8m
32．（2021秋?涿州市期末）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝150cm，CD＝800cm，則樹高AB等于（ ）
A．300cmB．400cmC．550cmD．都不對(duì)
33．（2021秋?城固縣期末）某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量一古建筑的高度（如圖1）．如圖2，在地面BC上取E，G兩點(diǎn)，分別豎立兩根高為2m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為23m，并且古建筑AB，標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D三點(diǎn)成一線；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也成一線．已知B、E、D、G、C在同一直線上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助實(shí)踐小組求出該古建筑AB的高度．
34．（2022秋?東湖區(qū)期中）某“綜合與實(shí)踐”小組開展了測(cè)量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)，如圖，他們?cè)谄鞐U底部所在的平地上放置一個(gè)平面鏡E來(lái)測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，鏡子中心E與旗桿的距離EB＝20米，當(dāng)鏡子中心E與測(cè)量者的距離ED＝2米時(shí)，測(cè)量者剛好從鏡子中看到旗桿頂部的端點(diǎn)A．已知測(cè)量者的身高為1.6米，測(cè)量者的眼睛距地面的高度為1.5米．
（1）在計(jì)算過(guò)程中C、D之間的距離應(yīng)是 米；
（2）根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果，求出學(xué)校旗桿AB的高度．
35．（2022?碑林區(qū)模擬）小潁想利用標(biāo)桿和皮尺測(cè)量自己小區(qū)大門口前遮雨玻璃水平寬度AB，他在樓門前水平地面上選擇一條直線CH，AB∥CH，在CH上距離C點(diǎn)8米的D處豎立標(biāo)桿DE，DE⊥CH，他沿著DH方向走了2米到點(diǎn)N處，發(fā)現(xiàn)他的視線從M處通過(guò)標(biāo)桿的頂端E正好落在遮雨玻璃的B點(diǎn)處，繼續(xù)沿原方向再走2米到點(diǎn)Q處，發(fā)現(xiàn)他的視線從P處通過(guò)標(biāo)桿的頂端E正好落在遮雨玻璃的A點(diǎn)處，求遮雨玻璃的水平寬度AB．
36．（2022?柯橋區(qū)一模）課本中有一個(gè)例題：木工師傅可以用角尺測(cè)量并計(jì)算出圓的半徑，如圖，用角尺的較短邊緊靠⊙O于點(diǎn)A，并使較長(zhǎng)邊與⊙O相切于點(diǎn)C．記角尺的直角頂點(diǎn)為B，量得AB＝8cm，BC＝16cm，求⊙O的半徑．
（1）課堂上，小敏同學(xué)說(shuō)：“這個(gè)題目還可以用構(gòu)造相似三角形的方法來(lái)求解！”請(qǐng)你根據(jù)小敏同學(xué)提到的方法解答這個(gè)問(wèn)題；
（2）老師提出：若將角尺的兩邊抽象成兩條互相垂直的射線．如圖（2），∠PBQ＝90°，⊙O與BQ、BP分別交于點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、E，若AB＝8，BC＝6，CD＝12．求AE的長(zhǎng)．
一十一．作圖-相似變換（共2小題）
37．（2021秋?鐘山區(qū)期末）如圖①，在△ABC中，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)P的直線PE與AC交于點(diǎn)E使∠AEP＝∠B．
（1）試判斷△ABC與△AEP的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）若把滿足（1）的直線PE稱作“△ABC的一條相似線”，在圖②的△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，且點(diǎn)P在AC垂直平分線上，請(qǐng)問(wèn)過(guò)點(diǎn)P的“△ABC的相似線”有幾條？并在圖②中作出所有過(guò)點(diǎn)P的“△ABC的相似線”．
38．（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在BC上求作一點(diǎn)D，使得△DAB∽△ABC．
一十二．位似變換（共2小題）
39．（2021秋?鐘山區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心為點(diǎn)O，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
40．（2022?榮昌區(qū)自主招生）如圖，將△ABC以點(diǎn)O為位似中心縮小得到△DEF，若OD＝AD，則△ABC與△DEF的相似比是（ ）
A．1：1B．2：1C．1：2D．3：1
一十三．作圖-位似變換（共3小題）
41．（2021秋?定安縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度）．
（1）將△OAB先向左平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到△O1A1B1，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出平移后的△O1A1B1．
（2）請(qǐng)以0為位似中心，在y軸右側(cè)畫出△O1A1B1的位似圖形△O2A2B2，使△O2A2B2與△O1A1B1的相似比為2：1．
42．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)三模）如圖，9×9的方格都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成．平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)按以下要求在圖1，圖2中畫出相應(yīng)的格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．
（1）畫出平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到的平行四邊形AB′C′D′，使得點(diǎn)B′落在邊BC上．
（2）請(qǐng)以A為位似中心，作與平行四邊形ABCD的面積比為的位似圖形平行四邊形AEFG．
43．（2021秋?北海期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）作出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；
（2）以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)將△ABC放大為原圖形的2倍，得到△A2BC2，并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)．
課本中給出的解答是：如圖，連接OC，OA，作AD⊥OC，垂足為D，設(shè)圓的半徑為rcm，
∵⊙O與BC相切于點(diǎn)C，∴OC⊥BC，
∵AB⊥BC，AD⊥OC，∴四邊形ABCD為矩形，
∴AD＝BC，DC＝AB，OD＝OC﹣CD＝OC﹣AB，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣8）2+162，
解得：r＝20，即該圓的半徑為20cm．

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