一．隨機(jī)事件
（1）確定事件
事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．
（2）隨機(jī)事件
在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件．
（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A為不確定事件（隨機(jī)事件），那么0＜P（A）＜1．
二．可能性的大小
隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法：
（1）理論計(jì)算又分為如下兩種情況：
第一種：只涉及一步實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對(duì)一類概率模型進(jìn)行的計(jì)算；第二種：通過列表法、列舉法、樹狀圖來計(jì)算涉及兩步或兩步以上實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：配紫色，對(duì)游戲是否公平的計(jì)算．
（2）實(shí)驗(yàn)估算又分為如下兩種情況：
第一種：利用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算．要知道當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)非常大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計(jì)值，即大量實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率．
第二種：利用模擬實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算．如，利用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬實(shí)驗(yàn)．
三．概率的意義
（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）＝p．
（2）概率是頻率（多個(gè)）的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對(duì)事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．
（3）概率取值范圍：0≤p≤1．
（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）＝1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通過設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實(shí)際生活聯(lián)系密切，通過理解什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語言說明游戲的公平性，并能按要求設(shè)計(jì)游戲的概率模型，以及結(jié)合具體實(shí)際問題，體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系，可以解決一些實(shí)際問題．
四．概率公式
（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
五．幾何概率
所謂幾何概型的概率問題，是指具有下列特征的一些隨機(jī)現(xiàn)象的概率問題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G，又區(qū)域g包含在區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面積），現(xiàn)隨機(jī)地向G內(nèi)投擲一點(diǎn)M，假設(shè)點(diǎn)M必落在G中，且點(diǎn)M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量（長(zhǎng)度、面積、體積等）成正比，而與g的位置和形狀無關(guān)．具有這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)（擲點(diǎn)），稱為幾何概型．關(guān)于幾何概型的隨機(jī)事件“向區(qū)域G中任意投擲一個(gè)點(diǎn)M，點(diǎn)M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量與G的度量之比，即 P＝g的測(cè)度G的測(cè)度
簡(jiǎn)單來說：求概率時(shí)，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計(jì)算方法是長(zhǎng)度比，面積比，體積比等．
六．列表法與樹狀圖法
（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．
（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖．
（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n．
（5）當(dāng)有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．
七．游戲公平性
（1）判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．
（2）概率＝．
八．利用頻率估計(jì)概率
（1）大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
（2）用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確．
（3）當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率．
九．模擬試驗(yàn)
（1）在一些有關(guān)抽取實(shí)物實(shí)驗(yàn)中通常用摸取卡片代替了實(shí)際的物品或人抽取，這樣的實(shí)驗(yàn)稱為模擬試驗(yàn)．
（2）模擬試驗(yàn)是用卡片、小球編號(hào)等形式代替實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，或用計(jì)算機(jī)編號(hào)等進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，目的在于省時(shí)、省力，但能達(dá)到同樣的效果．
（3）模擬試驗(yàn)只能用更簡(jiǎn)便方法完成，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)?zāi)康模荒芨淖儗?shí)驗(yàn)?zāi)康?，這部分內(nèi)容根據(jù)《新課標(biāo)》要求，只要設(shè)計(jì)出一個(gè)模擬試驗(yàn)即可．
【專題過關(guān)】
一．隨機(jī)事件（共4小題）
1．（2022春?龍崗區(qū)校級(jí)期中）將2個(gè)紅球、3個(gè)白球、2個(gè)黑球放入一個(gè)不透明袋子里，從中摸出6個(gè)球，恰好紅球、白球、黑球都摸到，這個(gè)事件是（ ）
A．不太可能事件B．不可能事件
C．隨機(jī)事件D．必然事件
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【解答】解：由題意可知，從中摸出6個(gè)球，紅球、白球、黑球都可以摸到，
∴這個(gè)事件是必然事件，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
2．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．疫情期間參加聚會(huì)會(huì)感染新冠病毒
B．拋擲一枚硬幣，落地后正面朝上
C．打開的電視機(jī)正在播放新聞
D．13個(gè)同學(xué)中至少有兩個(gè)同學(xué)同一個(gè)月生日
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【解答】解：A、疫情期間參加聚會(huì)會(huì)感染新冠病毒，是隨機(jī)事件，不符合題意；
B、拋擲一枚硬幣，落地后正面朝上，是隨機(jī)事件，不符合題意；
C、打開的電視機(jī)正在播放新聞，是隨機(jī)事件，不符合題意；
D、一年有12個(gè)月，所以13個(gè)同學(xué)中至少有兩個(gè)同學(xué)同一個(gè)月生日，是必然事件，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
3．（2022春?潤(rùn)州區(qū)校級(jí)期中）數(shù)學(xué)課上，師生進(jìn)行了摸球試驗(yàn)：一只不透明的袋子中裝有編號(hào)分別為1、2、3、…、m的小球（除編號(hào)外完全相同）：
活動(dòng)一：當(dāng)m＝2時(shí)，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記錄編號(hào)后放回袋中并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球記錄下編號(hào)后放回袋中并搖勻，重復(fù)上述操作，若事件：“記錄的編號(hào)中出現(xiàn)兩個(gè)相同的編號(hào)”是必然事件，則最少需摸 3 次．
活動(dòng)二：當(dāng)m＝3時(shí)，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記錄編號(hào)后放回袋中并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球記錄下編號(hào)后放回袋中并搖勻，重復(fù)上述操作．
（1）若事件A：“記錄的編號(hào)中出現(xiàn)兩個(gè)相同的編號(hào)”是必然事件，則最少需摸 4 次．
（2）若事件B：“記錄的編號(hào)中出現(xiàn)三個(gè)相同的編號(hào)”是必然事件，則最少需摸 7 次．
活動(dòng)三：在這只裝有編號(hào)分別為1、2、3、…、m的小球（除編號(hào)外完全相同）的不透明的袋子中，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記錄編號(hào)后放回袋中并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球記錄下編號(hào)后放回袋中并搖勻，重復(fù)上述操作，若事件：“記錄的編號(hào)中出現(xiàn)4個(gè)相同的編號(hào)”是必然事件至少需要摸100次，則袋中有多少個(gè)小球？
【分析】活動(dòng)一：通過例舉得出答案；
活動(dòng)二：通過例舉得出答案；
活動(dòng)三：總結(jié)規(guī)律，列出方程求解即可得出答案．
【解答】解：活動(dòng)一：僅摸一次，不可能出現(xiàn)兩相同編號(hào)，
摸兩次，有可能出現(xiàn)不同的編號(hào)，如2，1或1，2，不符合必然事件，
摸三次，才能保證出現(xiàn)兩個(gè)相同的編號(hào)為必然事件，
故答案為：3；
活動(dòng)二：有編號(hào)為1，2，3三個(gè)小球，
（1）摸兩次時(shí)，不符合題意，如摸到1，2，
摸三次時(shí)，不符合題意，如摸到1，2，3，
摸四次時(shí)，一定會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)相同的編號(hào)，為必然事件，
故答案為：4；
（2）摸六次時(shí)，不符合題意，如1，2，3，1，2，3，
摸七次時(shí)，符合題意，一定會(huì)摸到三個(gè)相同的編號(hào)為必然事件，
故答案為：7；
活動(dòng)三：根據(jù)題意得：m+m+m+1＝100，
解得：m＝33，
答：袋中有33個(gè)小球．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)事件，探索規(guī)律，通過例舉，尋找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
4．（2021春?鹽都區(qū)期中）近期教育局將要舉辦“文學(xué)名著閱讀分享大賽”，某校從3名男生（含小強(qiáng)）和5名女生中選4名學(xué)生參加全區(qū)比賽，規(guī)定其中女生選n名．
（1）當(dāng)n為何值時(shí)，“男生小強(qiáng)參加”是必然事件？
（2）當(dāng)n為何值時(shí)，“男生小強(qiáng)參加”是隨機(jī)事件？
【分析】根據(jù)隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)，判斷即可．
【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，“男生小強(qiáng)參加”是必然事件；
（2）當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，“男生小強(qiáng)參加”是隨機(jī)事件．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)事件，熟練掌握隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
二．可能性的大?。ü?小題）
5．（2022春?溧陽市期中）一個(gè)黑色不透明的袋子里裝有除顏色外其余都相同的5個(gè)紅球和2個(gè)白球，那么從這個(gè)袋子中摸出一個(gè)紅球的可能性和摸出一個(gè)白球的可能性相比（ ）
A．摸出一個(gè)紅球的可能性大
B．摸出一個(gè)白球的可能性大
C．兩種可能性一樣大
D．無法確定
【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．
【解答】解：∵黑色不透明的袋子里裝有除顏色外其余都相同的5個(gè)紅球和2個(gè)白球，共7個(gè)球，
∴摸出一個(gè)紅球的概率是，摸出一個(gè)白球的概率是，
∴摸出一個(gè)紅球的可能性大；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．
6．（2022春?六盤水期末）昆昆沉迷游戲，有個(gè)人加了他好友，哄騙他能送游戲英雄和皮膚，并要求加他為QQ好友，這位“游戲好友”告知其現(xiàn)在有個(gè)“掃碼轉(zhuǎn)賬返利”活動(dòng)，充值300元可返利500元，充值700元可返利1000元，如果你是昆昆你會(huì)（ ）
A．這么劃算，趕緊充值后可以購(gòu)買更多游戲裝備和皮膚
B．天上沒有掉餡餅的事，肯定是騙子，必須立馬刪除“好友”
C．立即和喜歡玩游戲的同學(xué)分享這么好的事情
D．對(duì)這種事情一直抱著期待
【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)、事件發(fā)生的可能性大小解答．
【解答】解：天上沒有掉餡餅的事，肯定是騙子，必須立馬刪除“好友”，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是可能性的大小，通過解答本題，使學(xué)生了解一些防詐騙知識(shí)．
7．（2022春?余江區(qū)期末）口袋里有除顏色外其它都相同的6個(gè)紅球和4個(gè)白球．
（1）先從袋子里取出m（m≥1）個(gè)白球，再?gòu)拇永镫S機(jī)摸出一個(gè)球，將“摸出紅球”記為事件A、如果事件A是隨機(jī)事件，則m＝ 1或2或3 ；
（2）先從袋子中取出m個(gè)白球，再放入m個(gè)一樣的紅球并搖勻，摸出一個(gè)球是紅球的可能性大小是，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)隨機(jī)事件的定義和可能性的大小即可得出答案；
（2）根據(jù)概率公式列出算式，再進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：（1）如果事件A是隨機(jī)事件，m＝1或2或3；
故答案為：1或2或3；
（2）根據(jù)題意得：
，
解得m＝2，
則m的值是2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了基本概率的計(jì)算及比較可能性大小，用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
8．（2022春?于洪區(qū)期末）甲袋中有紅球8個(gè)、白球5個(gè)和黑球12個(gè)；乙袋中有紅球18個(gè)、白球9個(gè)和黑球23個(gè)．（每個(gè)球除顏色外都相同）
（1）若從中任意摸出一個(gè)球是紅球，選哪袋成功的機(jī)會(huì)大？請(qǐng)說明理由；
（2）“從乙袋中取出10個(gè)紅球后，乙袋中的紅球個(gè)數(shù)和甲袋中紅球個(gè)數(shù)一樣多，所以此時(shí)若從中任意摸出一個(gè)球是紅球，選甲、乙兩袋成功的機(jī)會(huì)相同”．你認(rèn)為這種說法正確嗎？為什么？
【分析】（1）首先求得從甲袋中摸到紅球的可能性，從乙袋中摸到紅球的可能性，比較得到結(jié)論；
（2）分別求得從甲袋中摸到紅球的可能性，從乙袋中摸到紅球的可能性，做判斷即可．
【解答】解：（1）甲袋中有紅球8個(gè)、白球5個(gè)和黑球12個(gè)，從甲袋中摸到紅球的可能性為，
乙袋中有紅球18個(gè)、白球9個(gè)和黑球23個(gè)，從乙袋中摸到紅球的可能性為＝，
因?yàn)椋?br>故從中任意摸出一個(gè)球是紅球，選乙袋成功的機(jī)會(huì)大；
（2）從乙袋中取出10個(gè)紅球后，從乙袋中摸到紅球的可能性為＝，
因?yàn)椋?br>所以選甲、乙兩袋成功的機(jī)會(huì)不相同，故說法不正確．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了可能性的大小，概率公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）＝且0≤P（A）≤1．
三．概率的意義（共4小題）
9．（2022?思明區(qū)校級(jí)二模）下列說法正確的是（ ）
A．甲、乙兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)的方差分別為S甲2＝3，S乙2＝4，說明乙的跳遠(yuǎn)成績(jī)比甲穩(wěn)定
B．了解某市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合全面調(diào)查
C．一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是2.5
D．可能性是1%的事件在一次試驗(yàn)中一定不會(huì)發(fā)生
【分析】根據(jù)方差、中位數(shù)、眾數(shù)、概率的意義以及全面調(diào)查與抽樣調(diào)查分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分想，即可得出答案．
【解答】解：A、甲、乙兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)的方差分別為S甲2＝3，S乙2＝4，說明甲的跳遠(yuǎn)成績(jī)比乙穩(wěn)定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、了解某市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合抽樣調(diào)查，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是＝2.5，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
D、可能性是1%的事件在一次試驗(yàn)中也可能發(fā)生，只是發(fā)生的可能性很小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方差、中位數(shù)、眾數(shù)、概率的意義以及全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，熟記定義與公式是解題的關(guān)鍵．
10．（2022春?巴中期末）下列說法中，正確的是（ ）
A．“任意畫一個(gè)多邊形，其內(nèi)角和是360°”是必然事件
B．任意買一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù)是必然事件
C．“從一副撲克牌中抽一張，恰好是紅桃”是隨機(jī)事件
D．可能性是50%的事件，是指在兩次試驗(yàn)中一定有一次會(huì)發(fā)生
【分析】根據(jù)概率的意義，隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)，即可解答．
【解答】解：A、“任意畫一個(gè)多邊形，其內(nèi)角和是360°”是隨機(jī)事件，故A不符合題意；
B、任意買一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù)是隨機(jī)事件，故B不符合題意；
C、“從一副撲克牌中抽一張，恰好是紅桃”是隨機(jī)事件，故C符合題意；
D、可能性是50%的事件，但是在兩次試驗(yàn)中不一定有一次會(huì)發(fā)生，故D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義，隨機(jī)事件，熟練掌握隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
11．（2022?豐順縣校級(jí)開學(xué)）一則廣告聲稱本次活動(dòng)的中獎(jiǎng)率為20%，其中一等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率為1%．小明看到這則廣告后，想：“我抽5張就會(huì)有1張中獎(jiǎng)，抽100張就會(huì)有1張中一等獎(jiǎng)．”你認(rèn)為小明的想法對(duì)嗎？
【分析】概率是反映事件發(fā)生機(jī)會(huì)的大小的概念，只是表示發(fā)生的機(jī)會(huì)的大小，機(jī)會(huì)大也不一定發(fā)生．
【解答】解：小明的想法不對(duì)．
因?yàn)樾∶鲗⒈敬纬楠?jiǎng)活動(dòng)中獎(jiǎng)率為20%，一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)率為1%，理解錯(cuò)了，其中的20%、1%是針對(duì)所有的獎(jiǎng)券而言，而不是任抽幾張，這幾張的1%為一等獎(jiǎng)，20%都獲獎(jiǎng)，所抽取的幾張，可能都有獎(jiǎng)，也可能都沒有中獎(jiǎng)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義．正確理解概率的含義是解決本題的關(guān)鍵．
12．（2021?倉山區(qū)校級(jí)三模）甲乙兩家快遞公司的“快遞小哥”的日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪70元，每單抽成1元；乙公司規(guī)定底薪100元，每日前45單無抽成，超過45單的部分每單抽成6元．
（1）求甲、乙快遞公司的“快遞小哥”一日工資y（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；
（2）假設(shè)同一公司的“快遞小哥”一日送貨單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名“快遞小哥”，并記錄其100天的送貨單數(shù)，得到如下條形圖：
若將頻率視為概率，回答下列問題：
小趙擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘“快遞小哥”的工作，如果僅從日收入的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)甲、乙兩個(gè)公司的日工資方案即可得出函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出甲、乙兩個(gè)公司的日工資的平均數(shù)，再作出判斷即可．
【解答】解：（1）由甲、乙兩個(gè)公司的日工資方案可知，
y甲＝70+n（n＞0），
當(dāng)0＜n≤45時(shí)，y＝100，
當(dāng)n＞45時(shí)，y乙＝100+6（n﹣45）＝6n﹣170，
∴y甲＝70+n（n＞0），
y乙＝；
（2）選擇甲公司，理由如下：
甲公司日銷售單數(shù)平均數(shù)為＝45（單），
甲公司日銷售工資為70+45＝115元，
乙公司日銷售工資為＝112（元），
∵115＞112，
∴選擇甲公司，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、概率的意義以及函數(shù)關(guān)系式，求出甲、乙公司的平均日工資是正確判斷的關(guān)鍵．
四．概率公式（共4小題）
13．（2022?溫州校級(jí)模擬）在一個(gè)不透明的口袋中裝有3個(gè)白球和4個(gè)黃球這些球除顏色不同外其他完全相同，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到白球的概率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出球的總數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：∵一個(gè)不透明的袋子中有3個(gè)白球、4個(gè)黃球，
∴球的總數(shù)＝3+4＝7，
∴從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則它是白球的概率為．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．
14．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）在一個(gè)不透明的袋子中裝有9個(gè)小球，其中6個(gè)紅球、3個(gè)黃球，這些小球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的小球是黃球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】用黃色球的個(gè)數(shù)除以球的總個(gè)數(shù)即可．
【解答】解：∵袋子中共有9個(gè)除顏色外其它都相同的球，其中黃球有3個(gè)，
∴從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，摸出的球是紅球的概率是＝，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
15．（2022?豐澤區(qū)校級(jí)模擬）今年是脫貧攻堅(jiān)決勝之年，我市某鄉(xiāng)為了增加農(nóng)民收入，決定利用當(dāng)?shù)貎?yōu)質(zhì)山林土地資源發(fā)展園林綠化樹苗培育產(chǎn)業(yè)．前期由鄉(xiāng)農(nóng)技站引進(jìn)“銀杏”、“羅漢松”、“廣玉蘭”、“竹柏”四品種共300棵幼苗進(jìn)行試育成苗實(shí)驗(yàn)，并把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖和不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖，已知實(shí)驗(yàn)中竹柏的成苗率是80%．
（1）請(qǐng)你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）如果從這300棵實(shí)驗(yàn)幼苗中隨機(jī)抽取一棵幼苗，求它能成苗的概率；
（3）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，這四個(gè)品種的樹苗的幼苗進(jìn)價(jià)、成苗售價(jià)和市場(chǎng)需求如下表所示：
假設(shè)除了購(gòu)買幼苗外，培育每棵成苗還需肥料等支出10元（未成功培育成成苗的此項(xiàng)支出忽略不計(jì)），該鄉(xiāng)根據(jù)市場(chǎng)需求組織A村農(nóng)民培育銀杏樹苗和羅漢松樹苗并將全部成苗銷售完成后，可為本鄉(xiāng)A村農(nóng)民增加收入多少萬元？
【分析】（1）實(shí)驗(yàn)中竹柏的成苗數(shù)＝幼苗的總棵數(shù)×0.25×成苗率，依此求出竹柏的成苗數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）根據(jù)概率公式求解可得；
（3）先分別求得該鄉(xiāng)A村培育銀杏樹苗和羅漢松樹苗并將全部成苗銷售完成后的總銷售收入，以及該鄉(xiāng)A村培育銀杏樹苗和羅漢松樹苗的總成本，相減即可求解．
【解答】解：（1）竹柏的成苗數(shù)：300×0.25×0.8＝60（棵），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：
（2）＝0.8．
故它能成苗的概率是0.8；
（3）該鄉(xiāng)A村培育銀杏樹苗和羅漢松樹苗并將全部成苗銷售完成后，總銷售收入y1萬元，
則y1＝20.4×60+50×19＝2174（萬元），
該鄉(xiāng)A村培育銀杏樹苗和羅漢松樹苗的總成本y2萬元，
則y2＝（20.4÷×28+19÷×15）+（20.4+19）×10＝1441（萬元），
y1﹣y2＝2174﹣1441＝733（萬元）．
故可為本鄉(xiāng)A村農(nóng)民增加收入733萬元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用以及概率的求法，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。?br>16．（2022?晉江市校級(jí)模擬）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：
說明：好評(píng)率是指一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．
（1）已知第三類電影獲得好評(píng)的有45部，則m＝ 0.15 ；
（2）如果電影公司從收集的電影中隨機(jī)選取1部，求抽到的這部電影是第四類電影中的好評(píng)電影的概率；
（3）根據(jù)前期調(diào)查反饋：第一類電影上座率與好評(píng)率的關(guān)系約為：上座率＝好評(píng)率×1.5+0.1，第二類電影上座率與好評(píng)率的關(guān)系約為：上座率＝好評(píng)率×1.5+0.45．現(xiàn)有一部第一類的A電影和一部第二類的B電影將同時(shí)在某影院上映．A電影的票價(jià)為45元，B電影的票價(jià)為40元，該影院的最大放映廳的滿座人數(shù)為1000人，公司要求排片經(jīng)理將這兩部電影安排在最大放映廳放映，且兩部電影每天都要有排片．現(xiàn)有3個(gè)場(chǎng)次可供排片，僅從該放映廳的票房收入最高考慮，排片經(jīng)理應(yīng)如何分配A、B兩部電影的場(chǎng)次，以使得當(dāng)天的票房收入最高？
【分析】（1）根據(jù)所有好評(píng)率的定義計(jì)算即可；
（2）根據(jù)古典概型公式計(jì)算；
（3）求得第一類的A電影和第二類的B電影上座率，第一類的A電影和第二類的B電影的收入，即可得到答案
【解答】解：（1）m＝＝0.15．
故答案為：0.15．
（2）由題意，＝．
∴如果電影公司從收集的電影中隨機(jī)選取1部，抽到的這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率為：．
（3）第一類電影上座率＝0.4×1.5+0.1＝0.7，
第二類電影上座率＝0.2×1.5+0.45＝0.75，
第一類的A電影收入＝0.7×1000×45＝31500（元），
第二類的B電影收入＝0.75×1000×40＝30000（元），
由于有3個(gè)場(chǎng)次可供排片，為使當(dāng)天的票房收入最高，應(yīng)安排第一類的A電影兩個(gè)場(chǎng)次，第二類的B電影一個(gè)場(chǎng)次．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；讀懂圖表，從圖表中找到必要的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．
五．幾何概率（共4小題）
17．（2022?阜新）如圖，是由12個(gè)全等的等邊三角形組成的圖案，假設(shè)可以隨機(jī)在圖中取點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先設(shè)每個(gè)小等邊三角的面積為x，則陰影部分的面積是6x，得出整個(gè)圖形的面積是12x，再根據(jù)幾何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：先設(shè)每個(gè)小等邊三角的面積為x，
則陰影部分的面積是6x，得出整個(gè)圖形的面積是12x，
則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是＝．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）發(fā)生的概率．
18．（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，一只螞蟻在如圖所示的地板上自由爬行，并隨機(jī)停留在某處，那么這只螞蟻停留在陰影部分的概率是 ．
【分析】大正方形被分成8個(gè)全等的等腰直角三角形，而陰影部分占4個(gè)等腰直角三角形，然后根據(jù)幾何概率的方法計(jì)算這只螞蟻停留在陰影部分的概率．
【解答】解：根據(jù)題意，這只螞蟻停留在陰影部分的概率＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概率：某事件的概率＝這個(gè)三角形所對(duì)應(yīng)的面積與總面積之比．
19．（2022春?陳倉區(qū)期末）如圖為多個(gè)小等邊三角形組成的六芒星圖案，其中有三個(gè)三角形已涂為灰色．
（1）請(qǐng)你在每個(gè)圖形中再將一個(gè)或兩個(gè)小等邊三角形涂為灰色，使其成為軸對(duì)稱圖形；
（2）一顆玻璃彈子在紙上自由滾動(dòng)，選擇你涂好的其中一個(gè)圖形，計(jì)算它停留在灰色區(qū)域的概率．
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行設(shè)計(jì)即可；
（2）選擇圖形，計(jì)算陰影部分占整體的幾分之幾即可．
【解答】解：（1）添加的情況如圖所示，答案不唯一；
（2）若選擇圖①，則停留在灰色區(qū)域的概率為＝，
若選擇圖③，則停留在灰色區(qū)域的概率為 ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱圖形，概率的計(jì)算，理解軸對(duì)稱圖形的定義，掌握概率的計(jì)算方法是正確解答的前提．
20．（2022春?錦州期末）如圖，是一個(gè)材質(zhì)均勻的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成8個(gè)全等的扇形，顏色分為紅、綠、黃三種，指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后任其自由停止，（若指針指向兩個(gè)扇形的交線時(shí)，當(dāng)作指向右邊的扇形），轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤：
（1）求指針指向綠色扇形的概率；
（2）指針指向紅色扇形的概率大，還是綠色扇形概率大？為什么？
【分析】（1）將所用可能結(jié)果和指針指向綠色的結(jié)果列舉出來，后者除以前者即可；
（2）將所用可能結(jié)果和指針指向紅色的結(jié)果列舉出來，求出指針指向紅色扇形的概率，進(jìn)而比較即可．
【解答】解：按顏色把8個(gè)扇形分為2紅、3綠、3黃，所有可能結(jié)果的總數(shù)為8，
（1）指針指向綠色的結(jié)果有3個(gè)，
∴P（指針指向綠色）＝；
（2）指針指向紅色的結(jié)果有2個(gè)，
則P（指針指向紅色）＝＝，
由（1）得：指針指向綠色扇形的概率大．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概率的求法，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
六．列表法與樹狀圖法（共4小題）
21．（2022?杏花嶺區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率是（ ）
A．0B．C．D．
【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把開關(guān)S1，S2，S3分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如圖：
共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的結(jié)果有2種，
∴能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為＝，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22．（2022?金鳳區(qū)校級(jí)三模）在元旦游園晚會(huì)上有一個(gè)闖關(guān)活動(dòng)：將5張分別畫有正方形、圓、平行四邊形、等邊三角形、菱形的卡片任意擺放（卡片大小、質(zhì)地、顏色完全相同），將有圖形的一面朝下，從中任意翻開2張，如果翻開的圖形都是中心對(duì)稱圖形，就可以過關(guān)．那么一次過關(guān)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能的情況，其中一次過關(guān)的情況有12種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：正方形、圓、平行四邊形、菱形是中心對(duì)稱圖形，
將5張分別畫有正方形、圓、平行四邊形、等邊三角形、菱形的卡片分別記為A、B、C、D、E，
畫樹狀圖如下：
共有20種等可能的情況，其中一次過關(guān)的情況有12種，
∴一次過關(guān)的概率為＝，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及中心對(duì)稱圖形．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
23．（2022?烏魯木齊模擬）為在中小學(xué)生心中厚植變黨情懷，某市開展“重心向黨”教育實(shí)踐活動(dòng)．有舞蹈、書法、唱歌、國(guó)學(xué)誦讀四項(xiàng)．為了解學(xué)生的參與情況，該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行“你愿意參加哪一項(xiàng)活動(dòng)（必選且只選一種）的調(diào)查，部分信息如統(tǒng)計(jì)圖所示，請(qǐng)回答下列問題：
（1）這次抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 200 人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“舞蹈”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為 108° ：
（2）若該校有1400名學(xué)生，估計(jì)選擇參加書法的有多少人？
（3）學(xué)校準(zhǔn)備從推薦的4位同學(xué)（兩男兩女）中選取2人主持活動(dòng)，利用畫樹狀圖或列表法求恰為一男一女的概率．
【分析】（1）由參加唱歌的人數(shù)和所占百分比求出這次抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)，即可解決問題；
（2）由該校學(xué)生人數(shù)乘以參加書法的學(xué)生所占的比例即可；
（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中選取的2人恰為一男一女的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）這次抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：36÷18%＝200（人），
則參加舞蹈”的學(xué)生人數(shù)為：200﹣36﹣80﹣24＝60（人），
∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中“舞蹈”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為：360°×＝108°，
故答案為：200，108°；
（2）1400×＝560（人），
答：估計(jì)選擇參加書法有560人；
（3）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中選取的2人恰為一男一女的結(jié)果有8種，
∴選取的2人恰為一男一女的概率為＝．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了樹狀圖法求概率以及以及條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
24．（2022?廬陽區(qū)校級(jí)三模）為了疫情防控，合肥某商場(chǎng)的家裝節(jié)開通了1、2、3、4號(hào)四個(gè)入口，參加入員領(lǐng)取入場(chǎng)券后，由電腦隨機(jī)安排其由某個(gè)入口進(jìn)場(chǎng)．
（1）小明領(lǐng)取入場(chǎng)券后，被安排從3號(hào)入口進(jìn)場(chǎng)的概率是多少？
（2）某品牌瓷磚的商家開展了“買瓷磚砸金蛋”的活動(dòng)，即購(gòu)買該品牌瓷磚的顧客有一次砸金蛋的機(jī)會(huì)．小明和小亮同時(shí)購(gòu)買了該品牌的瓷磚，商家提供了五個(gè)金蛋，只有一個(gè)是一等獎(jiǎng)，其余都是二等獎(jiǎng)．商家讓小明執(zhí)錘先砸，小亮認(rèn)為商家這種做法對(duì)他不公平．請(qǐng)從兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率的角度說明小亮的質(zhì)疑是否合理．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中小明獲得一等獎(jiǎng)的結(jié)果有4種，小亮獲得一等獎(jiǎng)的結(jié)果有4種，再由概率公式求出小明和小亮獲得一等獎(jiǎng)的概率，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）小明領(lǐng)取入場(chǎng)券后，被安排從3號(hào)入口進(jìn)場(chǎng)的概率是；
（2）小亮的質(zhì)疑不合理，理由如下：
畫樹狀圖如下：
共有20種等可能的結(jié)果，其中小明獲得一等獎(jiǎng)的結(jié)果有4種，小亮獲得一等獎(jiǎng)的結(jié)果有4種，
∴小明獲得一等獎(jiǎng)的概率為＝，小亮獲得一等獎(jiǎng)的概率為＝，
∴小明獲得一等獎(jiǎng)的概率＝小亮獲得一等獎(jiǎng)的概率，
∴小亮的質(zhì)疑不合理．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
七．游戲公平性（共3小題）
25．（2022?漢陽區(qū)校級(jí)模擬）甲、乙兩人玩“石頭，剪刀，布”的游戲，約定只玩一局，描述錯(cuò)誤的是（ ）
A．甲，乙獲勝的概率均低于0.5
B．甲，乙獲勝的概率相同
C．甲，乙獲勝的概率均高于0.5
D．游戲公平
【分析】列表得出所有等可能結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求出甲、乙獲勝的概率，從而得出答案．
【解答】解：由題意，列表如下：
由表格可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中甲獲勝的有3種結(jié)果，乙獲勝的有3種結(jié)果，
所以甲獲勝的概率＝乙獲勝的概率＝＝，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查游戲的公平性，判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．
26．（2022春?順義區(qū)期末）如圖，有8張標(biāo)記數(shù)字1﹣8的卡片．甲、乙兩人玩一個(gè)游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人輪流從中取走卡片；每次可以取1張，也可以取2張，還可以取3張卡片（取2張或3張卡片時(shí)，卡片上標(biāo)記的數(shù)字必須連續(xù)）；最后一個(gè)將卡片取完的人獲勝．
若甲先取走標(biāo)記2，3的卡片，乙又取走標(biāo)記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，則 甲 （填“甲”或“乙”）一定獲勝；若甲首次取走標(biāo)記數(shù)字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案是 5，6，7（答案不唯一） ．（只填一種方案即可）
【分析】由游戲規(guī)則分別分析判斷，即可得出結(jié)論．
【解答】解：若甲先取走標(biāo)記2，3的卡片，乙又取走標(biāo)記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，為4，5或5，6，
然后乙只能取走一張卡片，最后甲將一張卡片取完，則甲一定獲勝；
若甲首次取走標(biāo)記數(shù)字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，則甲再取走4或8，最后乙取走8或4，則乙一定獲勝；
故答案為：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了游戲公平性，理解游戲規(guī)則是解題的關(guān)鍵．
27．（2022?雁塔區(qū)模擬）在一次數(shù)學(xué)小組活動(dòng)中，小亮和小明都想去參加，但是只剩下一個(gè)名額，于是他們決定采用摸球的辦法決定勝負(fù)，獲勝者去參加，游戲規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的袋子中裝有編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)球（除編號(hào)外都相同），從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下數(shù)字后不放回，再?gòu)闹忻鲆粋€(gè)球，記下數(shù)字，若兩次數(shù)字之和大于5，則小亮獲勝，若兩次數(shù)字之和小于5，則小明獲勝．
（1）隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸到偶數(shù)的概率是 ；
（2）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法分析這個(gè)游戲?qū)π×梁托∶魇欠窆剑?br>【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次數(shù)字之和小于5和大于5的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸到偶數(shù)的概率是＝，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中小亮獲勝的有4種結(jié)果，小明獲勝的有4種結(jié)果，
所以小亮獲勝的概念＝小明獲勝的概率＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了樹狀圖法以及條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)還要注意是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
八．利用頻率估計(jì)概率（共3小題）
28．（2022?思明區(qū)校級(jí)二模）廈門在形式上助手?jǐn)?shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)做了估算π的實(shí)驗(yàn)．方法如下：
第一步：請(qǐng)全校同學(xué)隨意寫出兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y（x、y可以相等），且它們滿足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：統(tǒng)計(jì)收集上來的有效數(shù)據(jù)，設(shè)“以x，y，1為三條邊長(zhǎng)能構(gòu)成銳角三角形”為事件A；
第三步：計(jì)算事件A發(fā)生的概率，及收集的本校有效數(shù)據(jù)中事件A出現(xiàn)的頻率；
第四步：估算出π的值．
為了計(jì)算事件A的概率，同學(xué)們通過查閱資料得到以下兩條信息：
①如果一次試驗(yàn)中，結(jié)果落在區(qū)域D中每一個(gè)點(diǎn)都是等可能的，用A表示“試驗(yàn)結(jié)果落在區(qū)域D中一個(gè)小區(qū)域M中”這個(gè)事件，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）＝；
②若x，y，1三個(gè)數(shù)據(jù)能構(gòu)成銳角三角形，則需滿足x2+y2＞1．
根據(jù)上述材料，社團(tuán)的同學(xué)們畫出圖，若共搜集上來的m份數(shù)據(jù)中能和“1”構(gòu)成銳角三角形的數(shù)據(jù)有n份，則可以估計(jì)π的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)“以x，y，1為三條邊長(zhǎng)能構(gòu)成銳角三角形”則需滿足x2+y2＞1，可以用圖中（3）區(qū)域表示，再根據(jù)①幾何概率的計(jì)算方法得到滿足題意的概率，最后通過共搜集上來的m份數(shù)據(jù)中能和“1”構(gòu)成銳角三角形的數(shù)據(jù)有n份的條件得到用m，n表示上述方法計(jì)算的概率，即可求解．
【解答】解：根據(jù)第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用圖中正方形區(qū)域表示，
∴S正＝1×1＝1，
再根據(jù)“以x，y，1為三條邊長(zhǎng)能構(gòu)成銳角三角形”
則需滿足x2+y2＞1，
可以用圖中（3）區(qū)域表示，
∴面積為正方形面積減去四分之一圓的面積，
∴S（3）＝1﹣，
設(shè)“以x，y，1為三條邊長(zhǎng)能構(gòu)成銳角三角形”為事件A，
∴根據(jù)①概率計(jì)算方法可以得到：P（A）＝，
又∵共搜集上來的m份數(shù)據(jù)中能和“1”構(gòu)成銳角三角形的數(shù)據(jù)有n份，
∴P（A）＝，
解得π＝，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，幾何概率的計(jì)算方法以及圓的面積公式，解題的關(guān)鍵是利用圖中所給條件找出符合條件的圖形的面積，從而求出概率．
29．（2022春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）在一個(gè)不透明的盒子里裝有紅球、白球共30個(gè)，這些球除顏色外完全相同．通過多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則盒子中白球的個(gè)數(shù)約為 12個(gè) ．
【分析】用球的總個(gè)數(shù)乘以摸出白球的頻率穩(wěn)定值即可．
【解答】解：根據(jù)題意，盒子中白球的個(gè)數(shù)約為30×0.4＝12（個(gè)），
故答案為：12個(gè)．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
30．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)三模）某毛絨玩具廠對(duì)一批毛絨玩具進(jìn)行質(zhì)量抽檢的結(jié)果如下：
估計(jì)從這批玩具中，任意抽取的一個(gè)毛絨玩具是殘次品的概率是 0.08 ．（精確到0.01）
【分析】由表中數(shù)據(jù)可判斷頻率在0.08左右擺動(dòng)，利用頻率估計(jì)概率可判斷任意抽取一個(gè)毛絨玩具是殘次品的概率為0.08．
【解答】解：從這批毛絨玩具中，任意抽取一個(gè)毛絨玩具是殘次品的概率為0.08．
故答案為：0.08．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨試驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確．
九．模擬試驗(yàn)（共4小題）
31．（2022春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）在一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共20只，這些球除顏色外其余完全相同．?dāng)噭蚝?，小明做摸球試?yàn)，他從盒子里隨機(jī)摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程，表是實(shí)驗(yàn)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
問盒子里白色的球有（ ）只．
A．10B．12C．14D．16
【分析】用總數(shù)乘以其頻率即可求得頻數(shù)．
【解答】解：∵摸到白球的頻率約為0.6，
∴當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的概率將會(huì)接近0.6；
∵共有20只球，
∴則白球的個(gè)數(shù)為20×0.6＝12（只），
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】考查利用頻率估計(jì)概率．大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：部分的具體數(shù)目＝總體數(shù)目×相應(yīng)頻率．
32．（2021秋?孟津縣期末）某人在做擲硬幣試驗(yàn)時(shí)，拋擲m次，正面朝上有n次，則即正面朝上的頻率是P＝，下列說法中正確的是（ ）
A．P一定等于
B．拋擲次數(shù)逐漸增加，P穩(wěn)定在附近
C．多拋擲一次，P更接近
D．硬幣正面朝上的概率是
【分析】頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小，盡管每進(jìn)行一連串（n次）試驗(yàn)，所得到的頻率可以各不相同，但只要n相當(dāng)大，頻率與概率是會(huì)非常接近的．
【解答】解：隨著拋擲次數(shù)的增加，P穩(wěn)定在附近，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查模擬實(shí)驗(yàn)，熟練掌握模擬實(shí)驗(yàn)的頻率與概率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
33．（2022春?甘州區(qū)校級(jí)期末）社團(tuán)課上，同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”在一個(gè)不透明的盒子里裝有幾十個(gè)除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖如圖所示，經(jīng)分析可以估計(jì)盒子里黑球與白球的個(gè)數(shù)比為
2：8
．
【分析】根據(jù)頻率估計(jì)概率得出摸到黑球的近似概率，再得出摸到白球的概率，即可推斷出是白球多還是黑球多．
【解答】解：由圖可知，摸出黑球的概率約為0.2，
∴摸出白球的概率約為0.8，
∴黑球與白球的個(gè)數(shù)比為0.2：0.8＝2：8．
故答案為2：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用頻率估計(jì)概率，需要注意的是試驗(yàn)次數(shù)要足夠大，次數(shù)太少時(shí)不能估計(jì)概率．
34．（2022?蒲城縣一模）4張背面相同的卡片正面上分別寫有數(shù)字0、1、﹣2、3，將卡片的背面朝上洗勻．
（1）從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下數(shù)字，放回洗勻，不斷重復(fù)上述過程，若共抽卡片20次，其中有6次抽到數(shù)字0，求這20次中抽到數(shù)字0的頻率；
（2）天天設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則：從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來，不放回，再?gòu)挠唷碌?張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來，當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛淼臄?shù)字減去第二次記錄下來的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝．天天設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)用樹狀圖或列表方法說明理由．
【分析】（1）利用頻率公式求解即可；
（2）利用列表法列舉出所有可能，進(jìn)而利用概率公式進(jìn)而得出甲、乙獲勝的概率即可得出答案．
【解答】解：（1）這20次中抽到數(shù)字0的頻率為＝0.3．
（2）（2）列表如下：
由表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中結(jié)果為非負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果，結(jié)果為負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果，
所以甲獲勝的概率＝乙獲勝的概率＝＝，
∴此游戲公平．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
樹苗品種
銀杏
羅漢松
廣玉蘭
竹柏
每棵幼苗進(jìn)價(jià)（元）
28
15
8
16
每棵幼苗售價(jià)（元）
60
50
40
50
市場(chǎng)需求（萬顆）
20.4
19
30
25
電影類型
第一類
第二類
第三類
第四類
第五類
第六類
電影部數(shù)
140
50
300
200
800
510
好評(píng)率
0.4
0.2
m
0.25
0.2
0.1
石
剪
布
石
（石，石）
（石，剪）
（石，布）
剪
（剪，石）
（剪，剪）
（剪，布）
布
（布，石）
（布，剪）
（布，布）
抽取的毛絨玩具數(shù)n
20
50
100
200
500
1000
1500
2000
殘次品的頻數(shù)m
1
3
9
16
38
79
121
154
殘次品的頻率
0.050
0.060
0.090
0.080
0.076
0.079
0.081
0.077
摸球的次數(shù)n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次數(shù)m
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的概率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
0
1
﹣2
3
0
1
﹣2
3
1
﹣1
﹣3
2
﹣2
2
3
5
3
﹣3
﹣2
﹣5

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