一．銳角三角函數(shù)的定義
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．
即sinA＝∠A的對邊除以斜邊＝．
（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作csA．
即csA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．
（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．
即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊＝．
（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．
二．銳角三角函數(shù)的增減性
（1）銳角三角函數(shù)值都是正值． （2）當角度在0°～90°間變化時，
①正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?br>②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；
③正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）．
（3）當角度在0°≤∠A≤90°間變化時，0≤sinA≤1，1≥csA≥0．
當角度在0°＜∠A＜90°間變化時，tanA＞0．
三．同角三角函數(shù)的關系
（1）平方關系：sin2A+cs2A＝1；
（2）正余弦與正切之間的關系（積的關系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA?csA．
四．互余兩角三角函數(shù)的關系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°時，正余弦之間的關系為：
①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA＝cs（90°﹣∠A）；
②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即csA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝csB或sinB＝csA．
五．特殊角的三角函數(shù)值
（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．
sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
（2）應用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．
（3）特殊角的三角函數(shù)值應用廣泛，一是它可以當作數(shù)進行運算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應用較多．
六．計算器—三角函數(shù)
（1）用計算器可以求出任意銳角的三角函數(shù)值，也可以根據(jù)三角函數(shù)值求出銳角的度數(shù)．
（2）求銳角三角函數(shù)值的方法：
如求tan46°35′的值時，先按鍵“tan”，再輸入角的度數(shù)46°35′，按鍵“＝”即可得到結果．
注意：不同型號的計算器使用方法不同．
（3）已知銳角三角函數(shù)值求銳角的方法是：
如已知sinα＝0.5678，一般先按鍵“2ndF”，再按鍵“sin”，輸入“0.5678”，再按鍵“＝”即可得到結果．
注意：一般情況下，三角函數(shù)值直接可以求出，已知三角函數(shù)值求角需要用第二功能鍵．
七．解直角三角形
（1）解直角三角形的定義
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的關系
①銳角、直角之間的關系：∠A+∠B＝90°；
②三邊之間的關系：a2+b2＝c2；
③邊角之間的關系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）
八．解直角三角形的應用
（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關測量問．
如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．
（2）解直角三角形的一般過程是：
①將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題）．
②根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉化得到實際問題的答案．
九．解直角三角形的應用-坡度坡角問題
（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．
（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關系為：i＝h/l＝tanα．
（3）在解決坡度的有關問題中，一般通過作高構成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質也是解直角三角形問題．
應用領域：①測量領域；②航空領域 ③航海領域：④工程領域等．
十．解直角三角形的應用-仰角俯角問題
（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．
（2）解決此類問題要了解角之間的關系，找到與已知和未知相關聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決．
十一．解直角三角形的應用-方向角問題
（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉相應度數(shù)．
（2）在解決有關方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角．
【專題過關】
一．銳角三角函數(shù)的定義（共5小題）
1．（2021秋?遵化市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，sinA的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出sinA即可．
【解答】解：由勾股定理得：BC＝＝＝4，
所以sinA＝＝，
故選：A．
【點評】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關鍵．
2．（2021秋?南宮市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，則下列結論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義計算，判斷即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，
則BC＝＝＝4，
∴sinA＝＝＝，csB＝＝＝，tanA＝＝＝2，tanB＝＝＝，
則選項B結論正確，符合題意，
故選：B．
【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
3．（2022?沈陽模擬）如圖，已知AB為⊙O的直徑，∠ADC＝30°，則tan∠CAB的值為（ ）
A．B．1C．D．
【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝30°，進而求出∠CAB，再根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值進行計算即可．
【解答】解：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＝∠ADC＝30°，
∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，
∴tan∠CAB＝tan60°＝，
故選：A．
【點評】本題考查圓周角定理，特殊銳角的三角函數(shù)值，掌握圓周角定理以及特殊銳角三角函數(shù)值是正確解答的關鍵．
4．（2022?蓮湖區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點A的坐標為（0，3），tan∠ABO＝，則菱形ABCD的周長為（ ）
A．6B．6C．12D．8
【分析】根據(jù)點A的坐標為（0，3），可以得到AO＝3，根據(jù)tan∠ABO＝，可以求出BO，根據(jù)勾股定理可以求出AB，最后由菱形的性質可以求出菱形的周長．
【解答】解：∵點A的坐標為（0，3），
∴AO＝3，
∵tan∠ABO＝，
∴＝，
∴＝，
∴BO＝，
∵△AOB是直角三角形，
∴AB＝＝＝＝2，
∵菱形的四條邊相等，
∴菱形ABCD的周長為2×4＝8．
故選：D．
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理和菱形的性質，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理和菱形的性質是解題的關鍵．
5．（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（ ）
A．B．C．D．3
【分析】根據(jù)OP∥AB，證明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，過點P作PQ⊥x軸于點Q，根據(jù)∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根據(jù)P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠OAP的值．
【解答】解：如圖，過點P作PQ⊥x軸于點Q，
∵OP∥AB，
∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
∴tan∠OAP＝＝＝．
故選：C．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解題的關鍵．
二．銳角三角函數(shù)的增減性（共3小題）
6．（2022?五通橋區(qū)模擬）若銳角α滿足csα＜且tanα＜，則α的范圍是（ ）
A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°
【分析】先由特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)隨銳角的增大而減小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函數(shù)值及正切函數(shù)隨銳角的增大而增大，得出0＜α＜60°；從而得出45°＜α＜60°．
【解答】解：∵α是銳角，
∴csα＞0，
∵csα＜，
∴0＜csα＜，
又∵cs90°＝0，cs45°＝，
∴45°＜α＜90°；
∵α是銳角，
∴tanα＞0，
∵tanα＜，
∴0＜tanα＜，
又∵tan0°＝0，tan60°＝，
0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
故選：B．
【點評】本題主要考查了余弦函數(shù)、正切函數(shù)的增減性與特殊角的余弦函數(shù)、正切函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關鍵．
7．（2022春?連山區(qū)月考）若∠A為銳角，且csA＝，則∠A的取值范圍是 60°＜∠A＜90° ．
【分析】由cs60°＝，cs90°＝0，再根據(jù)銳角余弦函數(shù)值隨角度的增大而減小進行分析即可．
【解答】解：∵0＜＜，
又cs60°＝，cs90°＝0，銳角余弦函數(shù)值隨角度的增大而減小，
∴當csA＝時，60°＜∠A＜90°．
故答案為：60°＜∠A＜90°．
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性．熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關鍵．
8．（2021秋?泗縣期末）如圖，半徑為13的⊙O內有一點A，OA＝5，點P在⊙O上，當∠OPA最大時，S△OPA等于（ ）
A．40B．45C．30D．65
【分析】當OA⊥PA時，∠P最大，由勾股定理求出PA長即可求解．
【解答】解：作OH⊥AP于H，
∵sinP＝，
∴sinP＝，
∵∠P是銳角，當OH最大時，sinP最大，此時∠P最大，
∴當OA與OH重合時，即OA⊥PA時，∠P最大，
當OA⊥PA時，
∵PA2＝OP2﹣OA2，
∴PA2＝132﹣52，
∴PA＝12，
∴S△POA＝OA?PA＝×12×5＝30，
故選：C．
【點評】本題考查幾何中的最值問題，關鍵是明白當OA⊥PA時，∠P最大．
三．同角三角函數(shù)的關系（共3小題）
9．（2021秋?海淀區(qū)校級期末）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，則sinA的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用正切的定義得到tanA＝＝2，則設AC＝x，BC＝2x，利用勾股定理表示出AB＝x，然后利用正弦的定義求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴tanA＝＝2，
設AC＝x，則BC＝2x，
∴AB＝＝x，
∴sinA＝＝＝．
故選：C．
【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關系：利用一個銳角的一個三角函數(shù)值表示出邊之間的關系，再利用勾股定理表示出第三邊，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求這個角的另兩個三角函數(shù)值．
10．（2022?海曙區(qū)校級開學）已知∠A是銳角tanA＝，則sinA＝ ． ．
【分析】根據(jù)已知設∠A的對邊為a，則鄰邊為2a，然后利用勾股定理求出斜邊長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．
【解答】解：∵tanA＝，
∴設∠A的對邊為a，則鄰邊為2a，
∴斜邊長＝＝a，
∴sinA＝＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了勾股定理，同角三角函數(shù)的關系，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
11．（2022?婁星區(qū)一模）規(guī)定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cs（﹣x）＝csx，sin（x+y）＝sinx?csy+csx?siny．
據(jù)此判斷下列等式成立的是 ②③ （寫出所有正確的序號）
①cs（﹣60°）＝﹣；
②sin75°＝；
③sin2x＝2sinx?csx；
④sin（x﹣y）＝sinx﹣siny．
【分析】利用cs（﹣x）＝csx和特殊角的三角函數(shù)值對①進行判斷；把75°化為30°+45°，再利用sin（x+y）＝sinx?csy+csx?siny對②進行判斷；利用題中的規(guī)定對③④進行判斷．
【解答】解：①cs（﹣60°）＝cs60°＝，所以①錯誤；
②sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°?cs45°+cs30°?sin45°＝×+×＝，所以②正確；
③sin2x＝sin（x+x）＝sinx?csx+csx?sinx＝2sinx?csx，所以③正確；
④sin（x﹣y）＝sinx?cs（﹣y）+csx?sin（﹣y）＝sinx?csy﹣csx?siny，所以④錯誤．
故答案為：②③．
【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關系：理解題目的公式是解決問題的關鍵．也考查了特殊角的三角函數(shù)值．
四．互余兩角三角函數(shù)的關系（共2小題）
12．（2022?鹿城區(qū)校級模擬）已知＜csA＜sin80°，則銳角A的取值范圍是（ ）
A．60°＜A＜80°B．30°＜A＜80°C．10°＜A＜60°D．10°＜A＜30°
【分析】首先把所有的三角函數(shù)都化成余弦函數(shù)，然后利用余弦函數(shù)的增減性即可求解．
【解答】解：∵＝cs60°，sin80°＝cs10°，
∴cs60°＜csA＜cs10°，
∴10°＜A＜60°．
故選：C．
【點評】本題主要考查了余弦函數(shù)的增減性及互余三角函數(shù)之間的關系，尤其余弦函數(shù)的增減性容易出錯．
13．（2022?西湖區(qū)校級二模）已知△ABC中，∠A＝90°，tanB＝，則sinC＝ ．
【分析】根據(jù)三角函數(shù)值的定義以及勾股定理的定義解決此題．
【解答】解：如圖．
∵∠A＝90°，tanB＝，
∴設AC＝x，則AB＝2x．
∴BC＝＝．
∴sinC＝．
故答案為：．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的定義、勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義以及勾股定理是解決本題的關鍵．
五．特殊角的三角函數(shù)值（共3小題）
14．（2021秋?八步區(qū)期末）計算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值、有理數(shù)的乘方運算法則、零指數(shù)冪的性質分別化簡，進而得出答案．
【解答】解：原式＝
＝﹣﹣1﹣1
＝﹣2．
【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．
15．（2022?石家莊模擬）下列說法中正確的是（ ）
A．在Rt△ABC中，若，則a＝4，b＝3
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，則
C．tan30°+tan60°＝1
D．tan75°＝tan（45°+30°）＝tan45°+tan30°＝1+
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及相關角的三角函數(shù)之間的關系，逐一判斷即可．
【解答】解：A、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，則a＝3x，b＝4x，x≠0，故A不符合題意；
B、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，則，故B符合題意；
C、tan30°+tan60°＝+＝，故C不符合題意；
D、tan75°＝tan（45°+30°）＝＝2+，故D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．
16．（2021秋?南宮市期末）已知α是銳角，，則α＝ 60 ；csα＝ ．
【分析】求出tanα的值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案．
【解答】解：∵tanα﹣＝0，
∴tanα＝，
∵α是銳角，
∴α＝60°，
∴cs60°＝，
故答案為：60°；．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，掌握tan60°＝是解題的關鍵．
六．計算器—三角函數(shù)（共2小題）
17．（2022?文登區(qū)一模）利用科學計算器計算，下列按鍵順序正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)計算器計算的輸入順序計算即可．
【解答】解：根據(jù)科學計算器計算知，計算按鍵順序為：
故選：A．
【點評】本題主要考查用計算器計算的知識，熟練掌握科學計算器的使用方法是解題的關鍵．
18．（2021秋?梧州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanB＝0.75，求AC的長．
【分析】根據(jù)正切的概念即可得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanB＝，
又∵tanB＝0.75，BC＝6，
∴AC＝BC?tanB＝6×0.75＝4.5．
【點評】本題考查三角函數(shù)，掌握正切的概念是解題關鍵．
七．解直角三角形（共4小題）
19．（2021秋?德?？h期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若將各邊長度都擴大為原來的3倍，則∠A的正弦值（ ）
A．擴大3倍B．縮小3倍C．擴大6倍D．不變
【分析】設Rt△ABC的三邊長為a，b，c，則sinA＝，如果各邊長都擴大3倍，則sinA＝＝，即可得出答案．
【解答】解：設Rt△ABC的三邊長為a，b，c，則sinA＝，
如果各邊長都擴大3倍，
∴sinA＝＝，
故∠A的正弦值大小不變．
故選：D．
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，屬于基礎題，關鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．
20．（2022?湖里區(qū)二模）如圖，在4×4正方形網格中，點A，B，C為網格交點，AD⊥BC，垂足為D，則sin∠BAD的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用等面積法求出AD，在△ABD中，再利用勾股定理求出BD，利用正弦的定義求出sin∠BAD即可．
【解答】解：法一：如圖，連接AC，
在Rt△BEC中，BC＝＝5，
∵AD⊥BC，
∴＝8，
即，
解得AD＝，
在Rt△ADB中，BD＝，
∴sin∠BAD＝．
法二：在Rt△BEC中，BC＝＝5，
∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠ABD+∠CBE＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴sin∠BAD＝sin∠CBE＝．
故選：C．
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，解題的關鍵熟記三角函數(shù)的定義并靈活運用．
21．（2022?固原校級一模）閱讀以下材料，并解決相應問題：
在學習了直角三角形的邊角關系后，我們可以繼續(xù)探究任意銳角三角形的邊角關系，在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c．如圖1，過點A作AD⊥BC于點D，則根據(jù)定義得sinB＝，sinC＝，于是AD＝csinB，AD＝bsinC，也就是csinB＝bsinC，即．同理有，，即最終得到．即在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結論就可以求出其余三個未知元素．
（1）在銳角△ABC中，若∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB．
（2）仿照證明過程，借助圖2或圖3，證明和中的其中一個．
【分析】（1）根據(jù)在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等列出式子，即可求解；
（2）借助圖3，再連接AD，根據(jù)正弦的定義證明即可．
【解答】解：（1）根據(jù)閱讀材料可知，，
∵∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，
∴＝，
∴AB＝＝2；
（2）證明．理由如下：
如圖，連接CO并延長交⊙O于D，連接AD、BD，則
∠DAC＝∠DBC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠ABC＝∠ADC．
在Rt△ADC中，sin∠ADC＝，
∴CD＝．
在Rt△BDC中，sin∠BDC＝，
∴CD＝，
∴＝，
∴＝，
即在△ABC中，．
【點評】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)，學生的閱讀理解能力以及知識的遷移能力，準確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
22．（2021秋?定安縣期末）如圖，在4×4的正方形網格中，每格小正方形的邊長C都是1，則tan∠ACB的值為（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】利用勾股定理的逆定理證明∠ABC＝90°，可得結論．
【解答】解：∵AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴tan∠ACB＝＝2，
故選：C．
【點評】本題考查解直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識，解題的關鍵是證明∠ABC＝90°．
八．解直角三角形的應用（共7小題）
23．（2022春?歷城區(qū)校級月考）圖1是一款平板電腦支架，由托板、支撐板和底座構成．工作時，可將平板電腦吸附在托板上，底座放置在桌面上．圖2是其側面結構示意圖，已知托板AB長200mm，支撐板CB長80mm，當∠ABC＝130°，∠BCD＝70°時，則托板頂點A到底座CD所在平面的距離為（ ）（結果精確到1mm）．
（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）
A．246 mmB．247mmC．248mmD．249mm
【分析】延長DC，過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥AE，垂足為F，過點B作BG⊥CD，垂足為G，根據(jù)題意可得：EF＝BG，BF∥ED，從而可得∠FBC＝∠BCD＝70°，進而可得∠ABF＝60°，然后在Rt△ABF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，再在Rt△BCG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BG的長，最后進行計算即可解答．
【解答】解：延長DC，過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥AE，垂足為F，過點B作BG⊥CD，垂足為G，
由題意得：EF＝BG，BF∥ED，
∴∠FBC＝∠BCD＝70°，
∵∠ABC＝130°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠FBC＝60°，
在Rt△ABF中，AB＝200mm，
∴AF＝AB?sin60°＝200×＝100（mm），
在Rt△BCG中，BC＝80mm，
∴BG＝BC?sin70°≈80×0.94≈75.2（mm），
∴EF＝BG＝75.2（mm），
∴AE＝AF+EF＝100+75.2≈248（mm），
∴托板頂點A到底座CD所在平面的距離約為248mm，
故選：C．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
24．（2022?長春模擬）如圖，數(shù)學探究活動中要測量河的寬度，小明在河一側岸邊選定點P和點B，在河對岸選定一點A，使PB⊥PA，測得PB＝40米，∠PBA＝36°，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可計算小河寬度PA為（ ）
A．40tan36°米B．40cs36°米C．40sin36°米D．米
【分析】在Rt△ABP中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進行計算即可解答．
【解答】解：∵PB⊥PA，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，PB＝40米，∠PBA＝36°，
∴AP＝PB?tan∠PBA＝40tan36°（米），
∴小河寬度PA為40tan36°米，
故選：A．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
25．（2021秋?義烏市期末）圖1是某型號挖掘機，該挖掘機是由基座、主臂和伸展臂構成．圖2是其側面結構示意圖（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN為0.5米，主臂MP長為3米，主臂伸展角α的范圍是：0°＜α≤60°，伸展臂伸展角β的范圍是：45°≤β≤135°．當α＝45°時（如圖3），伸展臂PQ恰好垂直并接觸地面．
（1）伸展臂PQ長為 （16+0.5） 米；
（2）挖掘機能挖的最遠處距點N的距離為 米．
【分析】（1）過點M作MH⊥PQ，垂足為Q，根據(jù)題意可得HQ＝MN＝0.5米，然后在Rt△PHM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出PH的長，從而求出PQ的長，即可解答；
（2）當∠QPM＝135°時，過點Q作QA⊥PM，交MP的延長線于點A，連接QM，利用平角定義可求出∠APQ＝45°，然后在Rt△APQ中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AP，AQ的長，從而求出AM的長，再在Rt△AQM中，利用勾股定理求出QM的長，最后在Rt△QMN中，利用勾股定理求出QN的長，即可解答．
【解答】解：（1）過點M作MH⊥PQ，垂足為Q，
則HQ＝MN＝0.5米，
在Rt△PHM中，∠PMH＝45°，PM＝32米，
∴PH＝PM?sin45°＝32×＝（米），
∴PQ＝PH+HQ＝（16+0.50）米，
∴伸展臂PQ長為（16+0.5）米，
故答案為：（16+0.5）；
（2）當∠QPM＝135°時，過點Q作QA⊥PM，交MP的延長線于點A，連接QM，
∴∠APQ＝180°﹣∠QPM＝45°，
在Rt△APQ中，PQ＝（16+0.5）米，
∴AQ＝PQ?sin45°＝（16+0.5）×＝（16+）（米），
∵PM＝3米，
∴AM＝AP+PM＝16（米），
在Rt△AQM中，QM＝＝＝（米），
在Rt△QMN中，QN＝＝＝（米），
∴挖掘機能挖的最遠處距點N的距離為米，
故答案為：．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
26．（2021秋?殷都區(qū)期末）某校數(shù)學社團利用自制測角儀和皮尺測量河寬（把河兩岸看作平行線）．如圖，他們在河岸MN一側的A處，觀察到對岸P點處有一棵樹，測得∠PAN＝31°，向前走45m到達B處，測得∠PBN＝45°．（sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60，）
（1）求河的寬度（精確到1m）；
（2）據(jù)河道建造碑文記載，該河實際寬70m．請計算本次測量結果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．
【分析】（1）過點P作PC⊥MN于點C，設PC＝xm，先在Rt△PBC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC＝xm，從而可得AC＝（x+45）m，然后在Rt△APC中，利用銳角三角函數(shù)的定義，列出方程，進行計算即可解答；
（2）利用（1）的結論可求出誤差，再根據(jù)多次測量求平均值可以減小誤差，即可解答．
【解答】解：（1）過點P作PC⊥MN于點C，
設PC＝xm，
在Rt△PBC中，∠PBN＝45°，
∴BC＝＝x（m），
∵AB＝45m，
∴AC＝AB+BC＝（45+x）m，
在Rt△APC中，∠PAC＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
解得：x≈68，
經檢驗：x≈68是原方程的根，
答：河的寬度約為68m；
（2）∵70﹣68＝2（m），
∴本次測量結果的誤差是2m，
減小誤差的建議：多次測量求平均值．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
27．（2022?普蘭店區(qū)二模）如圖1，圖2分別是網上某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據(jù)商品介紹，獲得了如下信息：滑桿DE、箱長BC、拉桿AB的長度都相等，即DE＝BC＝AB，點B、F在線段AC上，點C在DE上，支桿DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°．
請根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）求滑竿DE的長度；
（2）求拉桿端點A到水平滑桿ED的距離（結果精確到0.1）．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，≈1.414．
【分析】（1）過點F作FG⊥CD，垂足為G，在Rt△DFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FG，DG的長，再在Rt△CFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CG的長，從而求出CD的長，然后根據(jù)已知CE：CD＝1：4，求出CE的長，最后利用線段的和差關系求出DE的長，即可解答；
（2）過點A作AH⊥CD，交CD的延長線于點H，利用（1）的結論和已知可得AC＝140cm，然后在Rt△ACH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CH的長，即可解答．
【解答】解：（1）過點F作FG⊥CD，垂足為G，
在Rt△DFG中，∠CDF＝37°．DF＝40cm，
∴FG＝DF?sin37°≈40×＝24（cm），
DG＝DF?cs37°≈40×＝32（cm），
在Rt△CFG中，∠DCF＝45°，
∴CG＝＝24（cm），
∴DC＝CG+DG＝24+32＝56（cm），
∵CE：CD＝1：4，
∴CE＝CD＝14（cm），
∴DE＝CE+CD＝70（cm），
∴滑竿DE的長度約為70cm；
（2）過點A作AH⊥CD，交CD的延長線于點H，
∵DE＝BC＝AB＝70cm，
∴AC＝AB+BC＝140（cm），
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝AC?sin45°＝140×＝70≈99.0（cm），
∴拉桿端點A到水平滑桿ED的距離約為99.0cm．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
28．（2022?夏邑縣模擬）如圖（1）是一種迷你型可收縮式樂譜支架，圖（2）是其側面示意圖，其中AB＝BC＝CD＝24cm，DB⊥BA，Q是CD的中點，P是眼睛所在的位置，PM⊥BA于點M，AM＝12cm，當PQ⊥CD時，P為最佳視力點．
（1）若∠ABC＝α，則∠DCB＝ 2α ；
（2）當∠ABC＝37°且PM＝53cm時，請通過計算說明點P是不是最佳視力點．（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝cs53°≈，cs37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan53°≈）
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質以及三角形內角和定理可求出答案；
（2）通過作平行線，由（1）可求出∠C，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠PQF即可．
【解答】解：（1）∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵BD⊥AB，即∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠ABC
＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB
＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）
＝2α，
故答案為：2α；
（2）如圖，過點Q作EF∥AB，交PM、BD分別于F、E，則EF⊥BD，EF⊥PM，
∵∠ABC＝37°，
∴∠CBD＝∠CDB＝90°﹣37°＝53°，
∴∠DQE＝∠CQF＝90°﹣53°＝37°，
在Rt△DEQ中，DQ＝CD＝12，∠EDQ＝53°，
∴EQ＝DQ?sinD
≈12×
＝9.6，
DE＝DQ?csD
≈12×
＝7.2，
∴QF＝24+12﹣9.6＝26.4，
過點C作CH⊥BD于H，則BH＝DH，
∵Q是CD的中點，QD∥CH，
∴DE＝EH，
∴BE＝3DE＝21.6＝FM，
∴PF＝53﹣21.6＝31.4，
∴tan∠PQF＝＝≈1.19≠，
∴∠PQF≠53°，
∴∠PQC＝∠PQF+∠CQF≠90°，
即PQ與CD不垂直，
∴不是最佳視力點．
【點評】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提，構造直角三角形是解決問題的關鍵．
29．（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）點C處有一燈塔，CD與直線L垂直，一輪船從點B出發(fā)駛到點A，（A、B、D三點都在直線L上），測量得到CD為30千米，∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．
（1）求AB的長（結果保留根號）；
（2）輪船從B點出發(fā)時，另一快艇同時從C點出發(fā)給輪船提供物資，一個小時后剛好在M點與輪船相遇，已知快艇行駛了50千米，問輪船相遇后能否在1.3小時之內到達點A．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41）
【分析】（1）解直角三角形求出BD，AD的長，可得結論；
（2）求出DM，可得BM＝10千米，再求出船相遇后到達點A的時間即可．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，CD＝30千米，∠CBD＝45°，
∴DB＝DC＝30千米，
在Rt△CDA中，∠A＝30°，
∴AD＝CD＝30千米，
∴AB＝（30﹣30）千米；
（2）在Rt△CDM中，DM＝＝＝40，
∴BM＝40﹣30＝10千米，
∴船相遇后到達點A的時間＝≈1.19小時，
1.19＜1.3，
∴輪船相遇后能在1.3小時之內到達點A．
【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
九．解直角三角形的應用-坡度坡角問題（共3小題）
30．（2022?匯川區(qū)模擬）如圖，某購物廣場要修建一個地下停車場，停車場的入口設計示意圖如圖所示，其中斜坡AD與地平線的夾角為20°，地下停車場層高CD＝3米，如果在停車場的入口處設置一塊限高牌，則限高牌上的限高數(shù)值比較恰當?shù)氖牵▍⒖紨?shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94）（ ）
A．3.2米B．3米C．2.75米D．2.6米
【分析】首先過C作CE⊥AD，垂足為E，可求得∠DCE的度數(shù)，然后在Rt△CDE中，由三角函數(shù)的性質即可得CE＝CD?cs20°，繼而求得答案．
【解答】解：過C作CE⊥AD，垂足為E，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠DCE＝∠BAD＝20°，
在Rt△CDE中，CE＝CD?cs20°＝3×0.94≈2.82（米），
故限高牌上的限高數(shù)值比較恰當?shù)氖?.75米．
故選：C．
【點評】此題考查了坡度坡角問題，解題的關鍵是根據(jù)題意構造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知識求解．
31．（2022?南崗區(qū)校級開學）如圖，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：2，河堤高BC＝5m，則坡面AB的長為（ ）
A．5mB．10mC．15mD．20m
【分析】根據(jù)坡度的概念求出AC，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．
【解答】解：∵BC＝5m，坡AB的坡比i＝1：2，
∴AC＝2×5＝10（m），
∴AB＝＝＝5（m），
故選：A．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關鍵．
32．（2021秋?德?？h期末）如圖，一個小球由坡底沿著坡度為1：2的坡面前進了10米，此時小球在豎直方向上上升了（ ）
A．4米B．米C．5米D．米
【分析】可利用勾股定理及所給的比值得到所求的線段長．
【解答】解：∵AB的坡度為1：2，
∴＝．
∴設BC＝x米，AC＝2x米，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝100米．
即100＝x2+4x2，
解得：x＝2，
∴BC＝2米．
故選：B．
【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角，正確掌握勾股定理以及坡角的定義是解題關鍵．
一十．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共3小題）
33．（2022?五華區(qū)校級模擬）近日，有很多人收到防疫部門的電話或短信提示是“時空伴隨者”，那什么是時空伴隨者呢？時空交集與時空伴隨是相同概念，是公安和電信部門的專業(yè)術語．如圖（1）是指本人的電話號碼和確診患者號碼在同一時空網格內（范圍是800×800）共同停留超過10分鐘，且最近14天任一方號碼累計停留時長超過30小時以上，查出的號碼為“時空伴隨號碼”，本人的綠色健康碼就會變?yōu)閹в芯嫘再|的黃色碼并被系統(tǒng)標記為“時空伴隨者”．如圖（2），某工人在點B處，用測傾儀測得移動電話基站頂端（點D）的仰角為α，測得移動電話基站的高度CD為50米，測傾儀高BE為1米，若此時在A處一位確診患者出現(xiàn)在某移動電話基站800×800的范圍內，患者、移動電話基站、工人正好共線，患者與工人分別位于該移動電話基站兩側，且與這個工人共同停留超過10分鐘，則這個工人（ ）收到“時空伴隨者”電話或短信提示．
（參考數(shù)據(jù)：sinα＝，csα＝，tanα＝）
A．會B．不會C．可能會D．無法確定
【分析】過點E作EF⊥CD于點F，由題意可得DF＝49米，在Rt△DEF中，利用三角函數(shù)求出EF的值，即可得BC的值，再將BC與400作比較，可得出結論．
【解答】解：過點E作EF⊥CD于點F，
由題意得，BE＝CF＝1米，EF＝BC，
∴DF＝CD﹣CF＝50﹣1＝49（米），
在Rt△DEF中，tanα＝＝，
解得EF＝168，
∴BC＝168米，
∵168＜400，
∴這個工人會收到“時空伴隨者”電話或短信提示．
故選：A．
【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關鍵．
34．（2021秋?崇左期末）如圖，為了測量某建筑物AB的高度，小穎采用了如下的方法：先從建筑物底端B點出發(fā)，沿斜坡BC行走26米至坡頂C處，在C點測得該建筑物頂端A的仰角為60°，斜坡BC的坡度i＝1：2.4．根據(jù)小穎的測量數(shù)據(jù)，求建筑物AB的高度（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，結果精確到0.1）．
【分析】過C作CE⊥BD于點E，作CF⊥AB于點F，則四邊形BECF是矩形，得BF＝CE，CF＝BE，由坡度的定義和勾股定理得BF＝CE＝10米，CF＝BE＝24米，再由銳角三角函數(shù)定義得AF＝24米，即可解決問題．
【解答】解：如圖，過C作CE⊥BD于點E，作CF⊥AB于點F，
則四邊形BECF是矩形，
∴BF＝CE，CF＝BE，
∵斜坡BC的坡度i＝＝1：2.4＝，
∴設CE＝5x米，則BE＝12x米，
在Rt△BCE中，BC＝26米，
由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝262，
解得：x＝2，
∴CE＝10米，BE＝24米，
∴BF＝CE＝10米，CF＝BE＝24米，
在Rt△ACF中，∠ACF＝60°，tan∠ACF＝＝tan60°＝，
∴AF＝CF＝24米，
∴AB＝AF+BF＝24+10≈51.6（米），
答：建筑物AB的高度約為51.6米．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題、坡度坡角問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．
35．（2021秋?全州縣期末）如圖，樓房AB后有一假山CD，CD的坡度為i＝1：2，測得B與C的距離為24米，山坡坡面上E點處有一休息亭，與山腳C的距離CE＝8米，小麗從樓房房頂A處測得E的俯角為45°．
（1）求點E到水平地面的距離；
（2）求樓房AB的高．
【分析】（1）過點E作EF⊥BC，交BC的延長線于F，根據(jù)已知可設EF＝a米，則CF＝2a米，再在Rt△CEF中，利用勾股定理可得CE＝a米，從而求出a的值，進而求出EF，CF的長，即可解答；
（2）延長FE交AG于點H，根據(jù)題意可得：∠HAE＝45°，AH＝BF＝24+16＝40米，AB＝FH，然后在Rt△AHE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出HE的長，最后進行計算即可解答．
【解答】解：（1）過點E作EF⊥BC，交BC的延長線于F，
∵CD的坡度i＝EF：CF＝1：2，
∴設EF＝a米，則CF＝2a米，
在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得：
CE＝＝＝a（米），
∵CE＝8米，
∴a＝8，
∴a＝8，
∴EF＝8米，CF＝2a＝16（米），
∴點E到水平地面的距離為8米；
（2）如圖：延長FE交AG于點H，
由題意得：
∠HAE＝45°，AH＝BF＝BC+CF＝24+16＝40（米），AB＝FH，
在Rt△AHE中，HE＝AH?tan45°＝40×1＝40（米），
∴AB＝HF＝HE+EF＝40+8＝48（米），
∴樓房AB的高為48米．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
一十一．解直角三角形的應用-方向角問題（共3小題）
36．（2022?深圳模擬）如圖，點A到點C的距離為200米，要測量河對岸B點到河岸AD的距離．小明在A點測得B在北偏東60°的方向上，在C點測得B在北偏東30°的方向上，則B點到河岸AD的距離為（ ）
A．100米B．200米C．米D．100米
【分析】過點B作BE⊥AD，垂足為E，根據(jù)題意可得∠BAD＝30°，∠BCD＝60°，再利用三角形的外角可得∠ABC＝30°，從而可得AC＝BC＝200米，然后在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．
【解答】解：過點B作BE⊥AD，垂足為E，
由題意得：
∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°，
∴∠ABC＝∠BAD＝30°，
∴AC＝BC＝200米，
在Rt△BCE中，BE＝BC?sin60°＝200×＝100（米），
∴B點到河岸AD的距離為100米，
故選：D．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
37．（2021秋?碧江區(qū) 期末）一艘漁船以每小時40km的速度向正東航行，在A處測得燈塔C在北偏東60°方向；繼續(xù)航行1h到達B處，測得燈塔C在北偏東30°方向．已知燈塔C的四周30km內有暗礁，問這艘船繼續(xù)向東航行是否安全？
【分析】過C作CD⊥AB于點D，根據(jù)方向角的定義及余角的性質求出∠BCA＝30°，∠ACD＝60°，證∠ACB＝30°＝∠BAC，根據(jù)等角對等邊得出BC＝AB＝40海里，然后解Rt△BCD，求出CD即可．
【解答】解：過點C作CD⊥AB，垂足為D．
如圖所示：
根據(jù)題意可知∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，
∴∠BAC＝30°＝∠ACB，
∴BC＝AB＝40×1＝40（km），
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝，
∴CD＝40×sin60°＝40×＝20（km）＞30km，
∴這艘船繼續(xù)向東航行安全．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握等腰三角形的判定和銳角三角函數(shù)定義是解題的關鍵．
38．（2022?錦州二模）某海港南北方向上有兩個海岸觀測站A，B，距離為10海里．從港口出發(fā)的一艘輪船正沿北偏東30°方向勻速航行，某一時刻在觀測站A，B兩處分別測得此輪船正好航行到南偏東30°和北偏東75°方向上的C處．經過0.5時輪船航行到D處，此時在觀測站A處測得輪船在北偏東75°方向上，求輪船航行的速度（結果精確到0.1海里/時，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，＝1.732）
【分析】根據(jù)三角形內角和得到∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，求得∠ABC＝∠ACB，根據(jù)等腰三角形的性質得到AC＝AB＝10海里，根據(jù)平行線的性質得到∠ACF＝30°，求得∠ACD＝60．平角的性質得到∠DAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，即可求得∠DAE＝45°，解直角三角形求得CE＝5海里，AE＝DE＝5海里，即可求得CD＝5+5≈13.66（海里），進一步求得輪船航行的速度．
【解答】解：作AE⊥CD于E，
∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB＝10海里，
∵向北的方向線是平行的，
∴∠ACF＝∠CAB＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴CE＝AC＝5海里，AE＝AC＝5海里，
∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，
∴DE＝AE＝5海里，
∴CD＝5+5≈13.66（海里），
輪船航行的速度為：13.66÷＝27.3（海里/時），
答：輪船航行的速度是27.3海里/時，
【點評】本題考查了解直角三角形應用，等腰三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出AC＝AB，題目比較好，難度適中．

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