人教版數(shù)學(xué)九上期末考點(diǎn)訓(xùn)練專題02二次函數(shù)（14個(gè)考點(diǎn)）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．二次函數(shù)的定義
（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．
判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．
（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問(wèn)題有意義．
二．二次函數(shù)的圖象
（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：
①列表：先取原點(diǎn)（0，0），然后以原點(diǎn)為中心對(duì)稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．
②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點(diǎn)．
③連線：用平滑的曲線按順序連接各點(diǎn)．
④在畫拋物線時(shí)，取的點(diǎn)越密集，描出的圖象就越精確，但取點(diǎn)多計(jì)算量就大，故一般在頂點(diǎn)的兩側(cè)各取三四個(gè)點(diǎn)即可．連線成圖象時(shí)，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來(lái)．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時(shí)，還可以根據(jù)它的對(duì)稱性，先用描點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè)，再利用對(duì)稱性畫另一側(cè)．
（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．
三．二次函數(shù)的性質(zhì)
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：
①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．
②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＝﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．
③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．
四．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小．
②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右側(cè)．（簡(jiǎn)稱：左同右異）
③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．
五．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）．
①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣成軸對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．
②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．
③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱軸為x＝．
六．二次函數(shù)圖象與幾何變換
由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．
七．二次函數(shù)的最值
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．
（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．
八．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）； ②頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)； ③交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．
在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．
九．二次函數(shù)的三種形式
二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c）；
②頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）；
③交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．
十．拋物線與x軸的交點(diǎn)
求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．
（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．
△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．
（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．
十一．圖象法求一元二次方程的近似根
利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：
（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)；
（2）由圖象與y＝h的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；
（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．
十二．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式
根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來(lái)確定．
①描點(diǎn)猜想問(wèn)題需要?jiǎng)邮植僮?，這類問(wèn)題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問(wèn)題．
②函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問(wèn)題，有些是以函數(shù)知識(shí)為背景考查幾何相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式．
十三．二次函數(shù)的應(yīng)用
（1）利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題
在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問(wèn)題．解此類題的關(guān)鍵是通過(guò)題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問(wèn)題中自變量x的取值要使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問(wèn)題
幾何圖形中的二次函數(shù)問(wèn)題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．
（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題
利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過(guò)解析式可解決一些測(cè)量問(wèn)題或其他問(wèn)題．
十四．二次函數(shù)綜合題
（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問(wèn)題
解決此類問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．
（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用
將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問(wèn)題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．
（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題
從實(shí)際問(wèn)題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問(wèn)題有意義．
【專題過(guò)關(guān)】
一．二次函數(shù)的定義（共1小題）
1．（2021秋?密山市校級(jí)期末）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）
A．y＝﹣2x+3B．y＝5x2+1
C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝x3+2x2﹣1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）判斷即可．
【解答】解：A、y＝﹣2x+3，是一次函數(shù)，故A不符合題意；
B、y＝5x2+1，是二次函數(shù)，故B符合題意；
C、y＝（x﹣1）2﹣x2，是一次函數(shù)，故C不符合題意；
D、y＝x3+2x2﹣1，不是二次函數(shù)，故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
二．二次函數(shù)的圖象（共1小題）
2．（2022?青縣一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的圖象所在坐標(biāo)系的原點(diǎn)是（）
A．點(diǎn)O1B．點(diǎn)O2C．點(diǎn)O3D．點(diǎn)O4
【分析】由函數(shù)解析式可知函數(shù)的對(duì)稱軸，即可求解．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a＜0），
∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，
所以點(diǎn)O2是原點(diǎn)；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握函數(shù)的解析式與函數(shù)圖象的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
三．二次函數(shù)的性質(zhì)（共5小題）
3．（2022秋?安圖縣校級(jí)月考）二次函數(shù)y＝2（x+1）2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，0）D．（﹣1，0）
【分析】由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)式可求得答案．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2（x+1）2，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對(duì)稱軸為x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．
4．（2022?南崗區(qū)校級(jí)二模）拋物線y＝（x+3）2+4的對(duì)稱軸是直線 x＝﹣3 ．
【分析】根據(jù)拋物線頂點(diǎn)式求解．
【解答】解：∵y＝（x+3）2+4，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣3，
故答案為：x＝﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
5．（2022?淮北一模）設(shè)二次函數(shù)y1、y2的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（a，b）、（c、d），若a＝2c、b＝2d，且兩圖象開口方向相同，則稱y1是y2的“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”．
（1）寫出二次函數(shù)y＝x2+x+1的一個(gè)“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”；
（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝x2+nx和二次函數(shù)y2＝x2+3nx+1，若y1+y2是y1的“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”，求n的值．
【分析】（1）先求出y＝x2+x+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)同倍項(xiàng)二次函數(shù)的定義求出答案；
（2）先求出y1和y1+y2的解析式并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)條件a＝2c，b＝2d，且開口方向相同求出n的值．
【解答】解：（1）∵y＝x2+x+1，
∴y＝（x+）2+，
∴二次函數(shù)y＝x2+x+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，），
∴二次函數(shù)y＝x2+x+1的一個(gè)“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，），
∴同倍項(xiàng)二次函數(shù)的解析式為y＝（x+1）2+；
（2）y1＝x2+nx＝（x+）2﹣，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），
y1+y2＝x2+nx+x2+3nx+1＝2x2+4nx+1＝2（x+n）2+1﹣2n2，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣n，1﹣2n2），
∵y1+y2是y1的“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”，
∴1﹣2n2＝2×（﹣），
解得：n＝±．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”的定義，理解題意，按條件的要求求得答案即可．
6．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝（x+1）（x+a）（其中a是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，5），B（m，n），
（1）求a的值；
（2）求該拋物線的對(duì)稱軸；
（3）當(dāng)n＜5時(shí)，求m的取值范圍．
【分析】（1）把A（4，5）代入解析式即可求出a的值；
（2）根據(jù)解析式即可求出該拋物線的對(duì)稱軸；
（3）由（2）知A（4，5）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣2，5），所以當(dāng)n＜5時(shí)，m的取值范圍為﹣2＜m＜4．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝（x+1）（x+a）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，5），
∴5（4+a）＝5，
∴a＝﹣3；
（2）∵a＝﹣3，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴該拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣＝1；
（3）由（2）知A（4，5）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣2，5），
∴當(dāng)n＜5時(shí)，m的取值范圍為﹣2＜m＜4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2022?寧海縣模擬）如圖，拋物線與拋物線相交于點(diǎn)T，點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為1．過(guò)點(diǎn)T作x軸的平行線交拋物線C1于點(diǎn)A，交拋物線C2于點(diǎn)B．拋物線C1與C2分別與y軸交于點(diǎn)C，D．
（1）求拋物線C1的對(duì)稱軸和點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；
（2）求線段AB和CD的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)P（﹣2，p）在拋物線C1上，點(diǎn)Q（5，q）在拋物線C2上，請(qǐng)比較p與q的大小關(guān)系并說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式直接求拋物線C1的對(duì)稱軸，以及A，B關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1對(duì)稱和點(diǎn)T的橫坐標(biāo)直接求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；
（2）求出A，B和C，D的坐標(biāo)即可求出AB和CD的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)圖象和點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)直接可以判斷．
【解答】解：（1）拋物線C1的對(duì)稱軸為x＝﹣＝﹣1，
∵AB∥x軸，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)T關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1對(duì)稱，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣3；
（2）∵拋物線C2的對(duì)稱軸為x＝﹣＝2，
∵AB∥x軸，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)T關(guān)于對(duì)稱軸x＝2對(duì)稱，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，
∴AB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6；
∵點(diǎn)T是拋物線C1與拋物線C2的交點(diǎn)，
∴1+2+c＝1﹣4+d，
∴c＝d﹣6，
令x＝0，則C（0，c），D（0，d），
∴CD＝d﹣c＝d﹣（d﹣6）＝d﹣d+6＝6；
（3）根據(jù)A，T，B的橫坐標(biāo)以及函數(shù)圖象可知，點(diǎn)P在AB下方，點(diǎn)Q在AB上方，
∴p＜q．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是判斷點(diǎn)A與點(diǎn)T關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1對(duì)稱，點(diǎn)B與點(diǎn)T關(guān)于對(duì)稱軸x＝2對(duì)稱．
四．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）
8．（2022?銅仁市三模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝1，有下列4個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意實(shí)數(shù)）．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由拋物線開口向下得到a＜0；由拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1得到b＞0；由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方得到c＞0，則abc＜0；觀察圖象得到當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，即a﹣b+c＜0；當(dāng)x＝2時(shí)，y＞0，即4a+2b+c＞0；根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題得到x＝1時(shí)，y有最大值a+b+c，則a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），變形得到a+b＞m（am+b）
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＞0；
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，所以②不正確；
當(dāng)x＝2時(shí)，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴x＝1時(shí)，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥＞am2+bm，所以④正確．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象為一條拋物線，當(dāng)a＜0，拋物線的開口向下，當(dāng)x＝﹣時(shí)，函數(shù)值最大；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．
五．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共2小題）
9．（2022?淄博）若二次函數(shù)y＝ax2+2的圖象經(jīng)過(guò)P（1，3），Q（m，n）兩點(diǎn)，則代數(shù)式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值為（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用配方法解決問(wèn)題即可．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+2的圖象經(jīng)過(guò)P（1，3），
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝x2+2，
∵Q（m，n）在y＝x2+2上，
∴n＝m2+2，
∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，
∵（m2﹣2）≥0，
∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值為1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用配方法解決問(wèn)題．
10．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線y＝x2+bx+c（c為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（p，m），（q，m），（4，c），當(dāng)1≤q﹣p＜6時(shí)，則m的取值范圍為
（）
A．c﹣4≤m＜c+5B．
C．c＜m≤c+5D．c﹣3≤m＜c+24
【分析】根據(jù)題意求得拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝＝2，進(jìn)而得到拋物線為y＝x2﹣4x+c，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得出p+q＝4，即可得到p＝4﹣q，代入1≤q﹣p＜6得到2.5≤q＜5，根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得﹣+c≤m＜5+c．
【解答】解：∵拋物線y＝x2+bx+c（c為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，c），（4，c），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝＝2，
∴b＝﹣4，
∴拋物線為y＝x2﹣4x+c，
∵拋物線y＝x2+bx+c（c為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（p，m），（q，m），
∴＝2，
∴p+q＝4，
∴p＝4﹣q，
∵1≤q﹣4+q＜6，
∴2.5≤q＜5，
∵m＝q2﹣4q+c，
∴﹣+c≤m＜5+c，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．
六．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共3小題）
11．（2022?南崗區(qū)校級(jí)二模）通過(guò)平移y＝﹣（x﹣1）2+3的圖象，可得到y(tǒng)＝﹣x2的圖象，下列平移方法正確的是（）
A．向左移動(dòng)1個(gè)單位，向上移動(dòng)3個(gè)單位
B．向右移動(dòng)1個(gè)單位，向上移動(dòng)3個(gè)單位
C．向左移動(dòng)1個(gè)單位，向下移動(dòng)3個(gè)單位
D．向右移動(dòng)1個(gè)單位，向下移動(dòng)3個(gè)單位
【分析】根據(jù)平移前后兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化來(lái)判定平移方法．
【解答】解：拋物線y＝﹣2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）．
拋物線y＝﹣（x﹣1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3）．
則由二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3的圖象向左移動(dòng)1個(gè)單位，向下移動(dòng)3個(gè)單位，可得到y(tǒng)＝﹣x2的圖象．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)頂點(diǎn)式得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
12．（2022春?海曙區(qū)校級(jí)期中）將拋物線y＝x2﹣6x﹣3沿x軸對(duì)稱，得到的新的拋物線解析式為 y＝﹣（x﹣3）2+12 ．
【分析】先把拋物線y＝x2+4x+3化為頂點(diǎn)式的形式，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，即可得出變化后解析式．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，
∴拋物線y＝x2﹣6x﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣12），
∵點(diǎn)（3，﹣12）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，12），
∴將拋物線y＝x2﹣6x﹣3沿x軸對(duì)稱，得到的新的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣3）2+12，
故答案為：y＝﹣（x﹣3）2+12．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟記平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，是解題關(guān)鍵．也考查了配方法．
13．（2022?景縣校級(jí)模擬）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝2，將拋物線在y軸左側(cè)的部分沿x軸翻折，翻折后的部分和拋物線在y軸右側(cè)的部分組成圖形G．
（1）填空：b＝ 4 ；
（2）如圖1，在圖形G中，c＝0．
①當(dāng)x取何值時(shí)，圖形G中的函數(shù)值隨x的增大而減少？
②當(dāng)﹣4≤x≤3時(shí)，求圖形G的最大值與最小值；
（3）如圖2，若c＝2，直線y＝n﹣1與圖形G恰有3個(gè)公共點(diǎn)，求n的取值范圍；
（4）若|c|＝3，直線y＝﹣x+m與圖形G恰有2個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）利用拋物線的對(duì)稱軸即可求得b＝4；
（2）①觀察圖象即可得出結(jié)論；
②根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得出當(dāng)﹣4≤x≤3時(shí)，圖形G的最大值與最小值；
（3）求得拋物線y＝﹣x2+4x+2的最高點(diǎn)，然后根據(jù)圖象即可求得；
（4）求得直線y＝﹣x+m分別過(guò)點(diǎn)（0，3）、（0，﹣3）時(shí)的m的值，然后根據(jù)圖象即可求得．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝4，
故答案為：4；
（2）①由圖象可知，當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，圖形G中的函數(shù)值隨x的增大而減少；
②∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴函數(shù)y＝﹣x2+4x的最大值為4，
當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣（﹣4）2+4×（﹣4）＝﹣32，
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣32+4×3＝3，
∴當(dāng)﹣4≤x≤3時(shí)，圖形G的最大值是32，最小值是0；
（3）若c＝2，則y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴直線y＝n﹣1與圖形G恰有3個(gè)公共點(diǎn)，則2≤n﹣1＜6，即3≤n＜7，
∴n的取值范圍是3≤n＜7；
（4）把點(diǎn)（0，3）代入y＝﹣x+m得，m＝3，
把點(diǎn)（0，﹣3）代入y＝﹣x+m得，m＝﹣3，
∴若|c|＝3，直線y＝﹣x+m與圖形G恰有2個(gè)公共點(diǎn)，m的取值范圍是﹣3≤m≤3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的最值，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
七．二次函數(shù)的最值（共5小題）
14．（2022?包頭）已知實(shí)數(shù)a，b滿足b﹣a＝1，則代數(shù)式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（）
A．5B．4C．3D．2
【分析】由題意得b＝a+1，代入代數(shù)式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此題的最小值是5．
【解答】解：∵b﹣a＝1，
∴b＝a+1，
∴a2+2b﹣6a+7
＝a2+2（a+1）﹣6a+7
＝a2+2a+2﹣6a+7
＝a2﹣4a+4+5
＝（a﹣2）2+5，
∴代數(shù)式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了代數(shù)式的變式與二次函數(shù)最值問(wèn)題的解決能力，關(guān)鍵是能對(duì)以上知識(shí)準(zhǔn)確理解并正確變形、計(jì)算．
15．（2022?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），A、C分別在y軸、x軸上；若D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），連結(jié)AD，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別從A點(diǎn)、B點(diǎn)出發(fā)，在AB上相向而行，速度均為1個(gè)單位/每秒，當(dāng)E、F兩點(diǎn)相遇時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)；過(guò)E點(diǎn)作EG∥AD交x軸于H點(diǎn)，交y軸于G點(diǎn)，連結(jié)FG、FH，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△FGH的最大面積為 4.5 ．
【分析】先求得直線AD的解析式，進(jìn)而得到設(shè)直線EG的解析式為y＝﹣2x+b，則G（0，b），由此得出BF＝AE＝，即可得出EF＝6﹣b，利用S△FGH＝S△EFG+S△EFH＝EF?OG得出S△FGH＝＝（6﹣b）?b＝﹣（b﹣3）2+4.5，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得△FGH的最大面積．
【解答】解：由題意可知A（0，2），
∴設(shè)直線AD為y＝kx+2，
把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2，
∴直線AD為y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴設(shè)直線EG的解析式為y＝﹣2x+b，則G（0，b），
當(dāng)y＝2時(shí)，x＝，
∴E（，2），
∴AE＝，
∴BF＝AE＝，
∴EF＝4﹣2×＝6﹣b，
∴S△FGH＝S△EFG+S△EFH＝EF?OG＝（6﹣b）?b＝﹣（b﹣3）2+4.5，
∵﹣＜0，
∴△FGH的最大面積為4.5，
故答案為：4.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求由此函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，利用S△FGH＝S△EFG+S△EFH得出S△FGH＝（6﹣b）?b＝﹣（b﹣3）2+4.5是解題的關(guān)鍵．
16．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）二次函數(shù)y＝x2+4x﹣7的最小值為 ﹣11 ．
【分析】將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)開口方向確定二次函數(shù)最小值．
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣7＝（x+2）2﹣11，
∵a＝1，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y有最小值為﹣11，
故答案為：﹣11．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，掌握將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
17．（2022?蜀山區(qū)校級(jí)三模）已知，點(diǎn)A（1，m）和點(diǎn)B（3，n）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0）的圖象上，若點(diǎn)C（x0，y0）是該二次函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，且滿足y0≥m．
（1）用含a的代數(shù)式表示b為 b＝﹣2a ；
（2）mn的最大值為．
【分析】（1）根據(jù)題意得出拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，利用對(duì)稱軸公式即可得到結(jié)論；
（2）用含a代數(shù)式表示mn，然后配方求解．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)C（x0，y0）是二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，且滿足y0≥m，
∴二次函數(shù)圖像開口向上，即a＞0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），
∴對(duì)稱軸為x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
故答案為：b＝﹣2a；
（2）∵mn＝（a+b+1）（9a+3b+1）＝（﹣a+1）（3a+1）＝﹣3（a﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴mn的最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．
18．（2022春?涪陵區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH＝2，連接CF．
（1）若DG＝2，求證四邊形EFGH為正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面積；
（3）當(dāng)DG為何值時(shí)，△FCG的面積最?。?br>【分析】（1）由于四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，而AH＝DG＝2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG＝∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG＝90°，易證四邊形HEFG為正方形；
（2）過(guò)F作FM⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于M，連接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG＝∠MGE，同理有∠HEG＝∠FGE，利用等式性質(zhì)有∠AEH＝∠MGF，再結(jié)合∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，可證△AHE≌△MFG，從而有FM＝HA＝2（即無(wú)論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2），進(jìn)而可求三角形面積；
（3）先設(shè)DG＝x，由第（2）小題得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，進(jìn)而可求x≤，從而可得當(dāng)x＝時(shí)，△GCF的面積最小．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，
∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠DHG＝∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四邊形HEFG為正方形；
（2）過(guò)F作FM⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于M，連接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM＝HA＝2，即無(wú)論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2，
因此S△FCG＝＝＝1；
（3）設(shè)DG＝x，則由第（2）小題得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤，
∴S△FCG的最小值為，此時(shí)DG＝，
∴當(dāng)DG＝時(shí)，△FCG的面積最小為（7﹣）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是作輔助線：過(guò)F作FM⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于M，連接GE，構(gòu)造全等三角形和內(nèi)錯(cuò)角．
八．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共2小題）
19．（2022?蜀山區(qū)校級(jí)三模）如圖，直線y＝﹣x+1與x軸交于點(diǎn)A，直線m是過(guò)點(diǎn)A、B（﹣3，0）的拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸，直線y＝﹣x+1與直線m交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)D（n，5）在直線y＝﹣x+1上，作線段CD關(guān)于直線m對(duì)稱的線段CE，若拋物線與折線DCE有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為（）
A．a(chǎn)≥1B．0＜a≤1
C．﹣＜a＜0或0＜a＜1D．a(chǎn)≥1或a＜﹣
【分析】根據(jù)題意求得C、D、E的坐標(biāo)，由對(duì)稱軸為x＝﹣1，得出b＝2a，由拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（1，0）得出c＝3a，即可得出拋物線為y＝ax2+2ax﹣3a，然后分兩種情況：（i）若a＞0，拋物線開口向上且經(jīng)過(guò)D（﹣4，5），求得a＝1，由對(duì)稱性可知：當(dāng)a≥1時(shí)，拋物線與折線DCE有兩個(gè)交點(diǎn)；ii）若a＜0，拋物線開口向下且經(jīng)過(guò)C（﹣1，2），求得a＝﹣；由對(duì)稱性可知：當(dāng)a＜﹣時(shí)，拋物線與折線DCE有兩個(gè)交點(diǎn)；據(jù)此即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵直線y＝﹣x+1與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)D（n，5）在直線y＝﹣x+1上，
∴A（1，0），D（﹣4，5），
∴拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x＝﹣1，
∴y＝1+1＝2，
∴C（﹣1，2），
∵C、E關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，
∴E（2，5），
∵＝﹣1，
∴b＝2a，
把A（1，0）代入拋物線y＝ax2+bx+c得c＝﹣3a，
∴拋物線的解析式為：y＝ax2+2ax﹣3a
（i）若a＞0，拋物線開口向上且經(jīng)過(guò)D（﹣4，5），把（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝1；
由對(duì)稱性可知：當(dāng)a≥1時(shí)，拋物線與折線DCE有兩個(gè)交點(diǎn)；
（ii）若a＜0，拋物線開口向下且經(jīng)過(guò)C（﹣1，2），把C（﹣1，2）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝﹣；
由對(duì)稱性可知：當(dāng)a＜﹣時(shí)，拋物線與折線DCE有兩個(gè)交點(diǎn)；
綜上所述：當(dāng)a≥1或a＜﹣時(shí)，拋物線與折線DCE有兩個(gè)交點(diǎn)；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
20．（2022?金水區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（m，y1）在二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上，點(diǎn)Q（m，y2）在一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象上．
（1）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），（2，1）．①求二次函數(shù)的解析式與圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)m＞1時(shí)，請(qǐng)直接寫出y1與y2的大小關(guān)系；
（2）若只有當(dāng)m≥0時(shí)，滿足y1?y2≤0，請(qǐng)求出此時(shí)二次函數(shù)的解析式．
【分析】（1）①用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，配成頂點(diǎn)式求出圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②根據(jù)二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征表示y1＝（m﹣1）2，y2＝﹣m+1，比較大小看差的結(jié)果；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征表示y1，y2，①當(dāng)0≤m≤1時(shí)，﹣m+1≥0，②當(dāng)1＜m時(shí)，﹣m+1＜0，分兩種情況討論得出函數(shù)所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出解析式．
【解答】解：（1）①把（0，1），（2，1）代入y＝x2+bx+c，
得c＝1，4+2b+1＝1，
解得b＝﹣2，
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）；
②∵點(diǎn)P（m，y1）在二次函數(shù)y＝x2﹣2x+1上，
∴y1＝（m﹣1）2，
∵點(diǎn)Q（m，y2）在一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象上，
∴y2＝﹣m+1，
∵y1﹣y2＝（m﹣1）2﹣（﹣m+1）
＝m（m﹣1），
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴m（m﹣1）＞0，
∴y1＞y2；
（2）∵點(diǎn)P（m，y1）在二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上，
∴y1＝m2+bm+c，
∵點(diǎn)Q（m，y2）在一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象上，
∴y2＝﹣m+1，
∴y1?y2＝（m2+bm+c）?（﹣m+1），
∵m≥0時(shí)，滿足y1?y2≤0，
①當(dāng)0≤m≤1時(shí)，﹣m+1≥0，
∴m2+bm+c≤0，
②當(dāng)1＜m時(shí)，﹣m+1＜0，
∴m2+bm+c＞0，
∴y＝x2+bx+c的圖象過(guò)（0，0），（1，0），
∴，
∴b＝﹣1，
∴二次函數(shù)的解析式：y＝x2﹣x．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中分情況討論是解題關(guān)鍵．
九．二次函數(shù)的三種形式（共1小題）
21．（2022?山西二模）用配方法將二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣4化為y＝a（x﹣h）2+k的形式為（）
A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣6
【分析】運(yùn)用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式，正確運(yùn)用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
一十．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共4小題）
22．（2022?興慶區(qū)校級(jí)一模）已知拋物線y＝x2+2x+k與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則一次函數(shù)y＝kx﹣k的大致圖形是（）
A．B．
C．D．
【分析】二次函數(shù)y＝x2+2x+k的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則一元二次方程y＝x2+2x+k＝0的判別式小于0，從而求得k的取值范圍．然后根據(jù)符號(hào)來(lái)確定該一次函數(shù)所經(jīng)過(guò)的象限．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+2x+k的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
∴Δ＝22﹣4×1×k＜0，
解得k＞1，
∴一次函數(shù)y＝x2+2x+k的圖象第一、三、四象限．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．
23．（2022?興慶區(qū)校級(jí)三模）若拋物線y＝x2+bx+c對(duì)稱軸為直線x＝2，且與x軸有交點(diǎn)，則c的最大值為（）
A．0B．3C．4D．8
【分析】利用拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而得到b的值，再利用拋物線與x軸有交點(diǎn)則Δ＞0，列出不等式即可求解．
【解答】解：∵拋物線y＝x2+bx+c對(duì)稱軸為直線x＝2，
∴x＝﹣＝2．
∴b＝﹣4，
∴拋物線的表達(dá)式可寫成y＝x2﹣4x+c．
∵拋物線與x軸有交點(diǎn)，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4c≥0，
解得：c≤4，
∴c的最大值為4．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，不等式的解法，利用拋物線的對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．
24．（2022?順德區(qū)校級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），拋物線上有一點(diǎn)D滿足CD＝4AC，連接AD交y軸于點(diǎn)C．
（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)（請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示）；
（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值．
【分析】（1）過(guò)D點(diǎn)作DF⊥x軸于F，如圖，先解方程ax2﹣2ax﹣3a＝0得A（﹣1，0），B（3，0），再根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OF＝4OA＝4，則計(jì)算x＝4時(shí)y＝5a，所以DF＝﹣5a，接著利用平行線分線段成比例定理得到
OC＝﹣a，從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)
（2）過(guò)E點(diǎn)作EQ∥y軸交AD于Q點(diǎn)，如圖，先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y＝ax+a，設(shè)E（t，at2﹣2at﹣3a），則Q（t，at+a），所以EQ＝at2﹣3at﹣4a，利用三角形面積公式得到△ACE的面積＝at2﹣at﹣2a，接著根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到△ACE的面積有最大值為﹣a，所以﹣a＝，然后解關(guān)于a的方程即可．
【解答】解：（1）過(guò)D點(diǎn)作DF⊥x軸于F，如圖，
當(dāng)y＝0時(shí)，ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵OC∥DF，
∴＝＝＝，
∴OF＝4OA＝4，
當(dāng)x＝4時(shí)，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝16a﹣8a﹣3a＝5a，
∴DF＝﹣5a，
∵OC∥DF，
∴＝，即＝，
解得OC＝﹣a，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a）；
（2）過(guò)E點(diǎn)作EQ∥y軸交AD于Q點(diǎn)，如圖，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
把A（﹣1，0），C（0，a）分別代入得，
解得，
∴直線AC的解析式為y＝ax+a，
設(shè)E（t，at2﹣2at﹣3a），則Q（t，at+a），
∴EQ＝at2﹣2at﹣3a﹣（at+a）＝at2﹣3at﹣4a，
∴△ACE的面積＝△EAQ的面積﹣△ECQ的面積＝×EQ×1＝at2﹣at﹣2a，
∵△ACE的面積＝（t﹣）2﹣a，
∴當(dāng)t＝時(shí)，△ACE的面積有最大值為﹣a，
∴﹣a＝，
解得a＝﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)．
25．（2022?碑林區(qū)模擬）已知拋物線L：y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A、B點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）把拋物線L關(guān)于y軸對(duì)稱，得到拋物線L'，在拋物線L'上是否存在點(diǎn)P，使得S△ABP＝S△BCP？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）令y＝0，x＝0，分別求出x，y的值；
（2）先根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)求拋物線L'解析式，根據(jù)S△ABP＝S△BCP，得出BP∥AC，進(jìn)而求出直線AC的解析式，直線BP的解析式，再求直線BP與拋物線L'交點(diǎn)得橫坐標(biāo)．
【解答】解：（1）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
令x＝0，得y＝3，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）；
（2）答：存在；
∵拋物線L關(guān)于y軸對(duì)稱，得到拋物線L'，
∴拋物線L'解析式：y＝﹣x2+2x+3，
∵S△ABP＝S△BCP，
∴BP∥AC，
設(shè)直線AC的解析式：y＝kx+b，
把A（﹣3，0）、C（0，3）代入y＝kx+b，
得b＝3，﹣3k+3＝0，
解得k＝1，
∴直線AC的解析式：y＝x+3，
∵BP∥AC，
∴設(shè)直線BP的解析式：y＝x+c，
把B（1，0）代入y＝x+c，
得1+c＝0，
解得c＝﹣1，
∴直線BP的解析式：y＝x﹣1，
把y＝x﹣1代入y＝﹣x2+2x+3，
得x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝，
∴在拋物線L'上存在點(diǎn)P，使得S△ABP＝S△BCP；點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)、用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，利用兩直線平行一次函數(shù)比例系數(shù)相同解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．
一十一．圖象法求一元二次方程的近似根（共2小題）
26．（2022?北侖區(qū)校級(jí)三模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸為直線x＝2，則下列說(shuō)法中正確的有（）
①abc＜0；
②＞0；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一個(gè)解的取值范圍為﹣2＜x＜﹣1．
A．1個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【分析】由拋物線開口方向、對(duì)稱軸以及與y軸的交點(diǎn)即可判斷①；根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)情況以及a的符號(hào)即可判斷②；由16a+4b+c＝c即可判斷③；由x＝5時(shí)，y＜0，即可判斷④；由拋物線與x軸的交點(diǎn)即可判斷⑤．
【解答】解：由圖象開口向下，可知a＜0，
與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可知c＞0，
又﹣＝2，所以b＝﹣4a＞0，
∴abc＜0，故①正確；
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＜0，
∴＞0，故②正確；
∵16a+4b+c＝16a﹣16a+c＝c＞0，
∴16a+4b+c＞0，故③正確；
當(dāng)x＝5時(shí)，y＝25a+5b+c＜0，
∴25a﹣20a+c＜0，
∴5a+c＜0，故④錯(cuò)誤；
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在4＜x＜5，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一個(gè)解的取值范圍為﹣1＜x＜0，故⑤錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握?qǐng)D象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)與方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
27．（2022?荊門模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表：
當(dāng)m＞3時(shí)，有下列5個(gè)結(jié)論：①b＜0；②ab＜﹣；③若t＞4，則m＜n；④拋物線y＝ax2+bx+c+1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為0和﹣2；⑤關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的正實(shí)數(shù)根在2與3之間．其中一定正確的結(jié)論有（）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【分析】先利用拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣1），x＝﹣2時(shí)，m＞3可判斷a＞0，由對(duì)稱軸方程得到b＝﹣2a＜0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；由于當(dāng)x＝﹣2時(shí)，m＝8a﹣1＞3，則a＞，所以ab＝a?（﹣2a）＝﹣2a2，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性和增減性，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），（2，0），可對(duì)④進(jìn)行判斷；由于x＝2時(shí)，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝4a﹣4a﹣1＝﹣1＜0，x＝3時(shí)，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝9a﹣6a﹣1＝3a﹣1＞0，則可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣1），x＝﹣2時(shí)，函數(shù)值m＞3，
∴拋物線的開口向上，
∴a＞0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，所以①正確；
∵x＝0時(shí)，y＝﹣1，
∴c＝﹣1，
∵當(dāng)x＝﹣2時(shí)，m＝4a﹣2b+c＝8a﹣1＞3，
∴a＞，
∵ab＝a?（﹣2a）＝﹣2a2，
∴ab＜﹣，所以②正確；
∵拋物線的開口向上，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，
∵（﹣2，m）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為（4，m），拋物線過(guò)點(diǎn)（t，n），t＞4，
∴m＜n，所以③正確；
∵y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），
∴此拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），（2，0），
∴拋物線y＝ax2+bx+c+1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為0和2，所以④錯(cuò)誤；
∵x＝2時(shí)，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝4a﹣4a﹣1＝﹣1＜0，
x＝3時(shí)，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝9a﹣6a﹣1＝3a﹣1，
∵a＞，
∴3a﹣1＞0
∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的正實(shí)數(shù)根在2與3之間，所以⑤正確．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
一十二．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式（共2小題）
28．（2021秋?中山區(qū)期末）一臺(tái)機(jī)器原價(jià)100萬(wàn)元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺(tái)機(jī)器約為y萬(wàn)元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）
A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2
C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2
【分析】根據(jù)兩年后機(jī)器價(jià)值＝機(jī)器原價(jià)值×（1﹣折舊百分比）2可得函數(shù)解析式．
【解答】解：根據(jù)題意知y＝100（1﹣x）2，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來(lái)確定．
29．（2021秋?金寨縣期末）為方便市民進(jìn)行垃圾分類投放，某環(huán)保公司第一個(gè)月投放a個(gè)垃圾桶，計(jì)劃第三個(gè)月投放垃圾桶y個(gè)，設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放垃圾桶數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（）
A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝x2+a
【分析】主要考查增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量＝增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），如果設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放垃圾桶數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x，然后根據(jù)已知條件可得出方程．
【解答】解：設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放垃圾桶數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x，
依題意得第三個(gè)月投放垃圾桶a（1+x）2輛，
則y＝a（1+x）2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，求平均變化率的方法為：若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．
一十三．二次函數(shù)的應(yīng)用（共5小題）
30．（2022?杏花嶺區(qū)校級(jí)模擬）太原某中學(xué)利用學(xué)校的體育場(chǎng)地設(shè)施和設(shè)備，充分調(diào)動(dòng)全體師生的積極性，廣泛開展各項(xiàng)體育活動(dòng)，努力提高學(xué)生的身體素質(zhì)，如圖①是小杰在鉛球比賽中的一次擲球，鉛球出手以后的軌跡可近似看作是拋物線的一部分，已知鉛球出手時(shí)離地面1.6米，鉛球離拋擲點(diǎn)水平距離3米時(shí)達(dá)到最高，此時(shí)鉛球離地面2.5米，如圖②，以水平面為x軸，小杰所站位置的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則他擲鉛球的運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)表達(dá)式為（）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)題意設(shè)出拋物線解析式為y＝a（x﹣3）2+2.5，再把點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求出a即可．
【解答】解：根據(jù)題意，得B（0，1.6），C（3，2.5）
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣3）2+2.5，
將B點(diǎn)代入解析式得：9a+2.5＝1.6，
解得a＝﹣，
∴小杰擲鉛球的運(yùn)動(dòng)路線的解析式為y＝﹣（x﹣3）2+2.5＝﹣x2+x+．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
31．（2022?二道區(qū)校級(jí)模擬）如圖，一個(gè)橫截面為拋物線形的隧道部寬12米、高6米．車輛雙向通行，若規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)、距離道路邊緣2米的范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于一米的空隙，則通過(guò)隧道車輛的高度限制應(yīng)為米．
【分析】首先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求拋物線解析式再進(jìn)行求解即可．
【解答】【解答】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
根據(jù)題意得：A（﹣6，0），B（6，0），C（0，6），
設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+6，
把B（6，0）代入j解析式，得36a+6＝0，
解得a＝﹣，
所以拋物線的解析式為y＝﹣x2+6，
當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣×42+6＝，
﹣1＝．
所以通過(guò)隧道車輛的高度限制應(yīng)為米．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系．
32．（2022?鄖陽(yáng)區(qū)模擬）“水都數(shù)學(xué)建?！迸d趣小組對(duì)某超市一種熱賣的商品做了市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，開始到3月底的一段時(shí)間，超市以每件40元售出，每天可以賣出120件．從4月1日開始，該商品每天比前一天漲價(jià)1元，銷售量每天比前一天減少2件；從5月1日起到5月30日當(dāng)天，該商品價(jià)格一直穩(wěn)定在每件70元，銷售量一直持續(xù)每天比前一天減少2件，設(shè)從4月1日起的第x天的銷售量為y件，銷售該商品的每天利潤(rùn)為w元．
（1）第x（1≤x≤30）天的銷售價(jià)為每件（40+x）元，這段時(shí)間每天的銷售量y（件）與x（天）的函數(shù)關(guān)系式為 y＝120﹣2x ；
（2）問(wèn)銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
（3）該商品在銷售過(guò)程中，共有多少天每天銷售利潤(rùn)不低于2000元？
【分析】（1）第x（1≤x≤30）天的銷售價(jià)為每件（40+x）元，銷售量y（件）與x（天）的函數(shù)關(guān)系式為y＝120﹣2x；
（2）根據(jù)每件利潤(rùn)乘以銷售量為總利潤(rùn)可得：w＝（40+x﹣30）（120﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+2450，由二次函數(shù)性質(zhì)可得從4月1日起，銷售該商品第25天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)2450元；
（3）當(dāng)1≤x≤60時(shí)，y＝120﹣2x，分兩種情況：①當(dāng)1≤x≤30時(shí)，由﹣2（x﹣25）2+2450＝2000可得當(dāng)10≤x≤30時(shí)，每天銷售利潤(rùn)不低于2000元，共21天；②當(dāng)31≤x≤60時(shí)，由（70﹣30）×（120﹣2x）≥2000可得當(dāng)31≤x≤35時(shí)，每天銷售利潤(rùn)不低于2000元，共5天；即得該商品在銷售過(guò)程中，共有26天，每天銷售利潤(rùn)不低于2000元．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：第x（1≤x≤30）天的銷售價(jià)為每件（40+x）元，
這段時(shí)間每天的銷售量y（件）與x（天）的函數(shù)關(guān)系式為y＝120﹣2x，
故答案為：（40+x），y＝120﹣2x；
（2）根據(jù)題意得：w＝（40+x﹣30）（120﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+2450，
∵﹣2＜0，
∴x＝25時(shí)，w取最大值2450，
答：從4月1日起，銷售該商品第25天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)2450元；
（3）∵從5月1日起到5月30日當(dāng)天，銷售量一直持續(xù)每天比前一天減少2件，
∴當(dāng)1≤x≤60時(shí)，y＝120﹣2x，
①當(dāng)1≤x≤30時(shí)，由﹣2（x﹣25）2+2450＝2000得：x1＝10，x2＝40，
∴當(dāng)10≤x≤30時(shí)，每天銷售利潤(rùn)不低于2000元，共21天；
②當(dāng)31≤x≤60時(shí)，由（70﹣30）×（120﹣2x）≥2000得：x≤35，
∴當(dāng)31≤x≤35時(shí)，每天銷售利潤(rùn)不低于2000元，共5天；
綜上所述，該商品在銷售過(guò)程中，共有26天，每天銷售利潤(rùn)不低于2000元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式和不等式．
33．（2022?集美區(qū)二模）今年某市疫情形勢(shì)嚴(yán)峻，物資緊缺．為保障物資供應(yīng)，相關(guān)部門加強(qiáng)蔬菜搶種和搶收力度，建議取消蔬菜采收后養(yǎng)地的傳統(tǒng)做法，采用采收后立即播種的新種植方式．當(dāng)季某種蔬菜的適宜生育溫度為15℃﹣30℃，在平均溫度20℃時(shí)，傳統(tǒng)種植方式平均產(chǎn)量為2500千克/畝，采用新種植方式后，平均產(chǎn)量為a千克/畝．已知A公司在郊區(qū)承包該種蔬菜種植面積50畝，其中30畝采用新種植方式，這50畝共采收蔬菜110000千克．
（1）平均溫度20℃時(shí)，求該種蔬菜采用新種植方式每畝的平均產(chǎn)量；
（2）采用新種植方式的蔬菜原計(jì)劃在5月15日上市，為提前上市應(yīng)對(duì)需求的激增，A公司啟動(dòng)大棚內(nèi)智能化控溫設(shè)備，縮短蔬菜生長(zhǎng)周期．經(jīng)調(diào)查，當(dāng)平均溫度超過(guò)20℃時(shí)，溫度升高會(huì)導(dǎo)致蔬菜幼苗成活率下降，每升高1℃，平均每畝產(chǎn)量減少50千克；提前上市的天數(shù)y（天）與溫度t（℃）滿足y＝﹣t2+30t﹣360（20≤t≤30）．為了確保蔬菜所需的供應(yīng)量，要求平均產(chǎn)量不低于1600千克/畝，判斷這批蔬菜能否在5月1日上市？并說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意得：30a+（50﹣30）×2500＝110000，可解得平均溫度20℃時(shí)，該種蔬菜采用新種植方式每畝的平均產(chǎn)量是2000千克；
（2）由要求平均產(chǎn)量不低于1600千克/畝，有2000﹣50（t﹣20）≥1600，得t≤28，而y＝﹣t2+30t﹣360＝﹣（t﹣25）2+15，可知當(dāng)t＝25時(shí)，y取最大值15，又25＜28，故這批蔬菜可提前15天上市，即這批蔬菜能在5月1日上市．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：30a+（50﹣30）×2500＝110000，
解得a＝2000，
答：平均溫度20℃時(shí)，該種蔬菜采用新種植方式每畝的平均產(chǎn)量是2000千克；
（2）∵每升高1℃，平均每畝產(chǎn)量減少50千克，要求平均產(chǎn)量不低于1600千克/畝，
∴2000﹣50（t﹣20）≥1600，
解得t≤28，
∵y＝﹣t2+30t﹣360＝﹣（t﹣25）2+15，
∴當(dāng)t＝25時(shí)，y取最大值15，
而25＜28，
∴這批蔬菜可提前15天上市，即這批蔬菜能在5月1日上市．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程，一元一次不等式和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能列出方程和不等式．
34．（2022?蜀山區(qū)校級(jí)三模）某商場(chǎng)銷售一種季節(jié)性產(chǎn)品，以下是該產(chǎn)品在銷售期（30天）內(nèi)的部分信息：
①第x天（x為整數(shù)）的銷量為（40+2x）千克；
②該產(chǎn)品前10天的售價(jià)都是50元千克，從第11天開始售價(jià)y（元千克）是第x天的一次函數(shù)，對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：
（1）當(dāng)11≤x≤30時(shí)，求出y與x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)日銷售額w最大，最大為多少？
【分析】（1）用待定系數(shù)法可得y與x的關(guān)系式；
（2）分1≤x≤10和11≤x≤30，分別求出銷售額w的最大值，再比較即可得答案．
【解答】解：（1）當(dāng)11≤x≤30時(shí)，設(shè)y與x的關(guān)系式為y＝kx+b，
將（15，45），（20，40）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣x+60（11≤x≤30）；
（2）當(dāng)1≤x≤10時(shí)，w＝50（40+2x）＝100x+2000，
∵100＞0，
∴w隨x的增大而增大，
∴x＝10時(shí)，w最大為100×10+2000＝3000（元），
當(dāng)11≤x≤30時(shí)，w＝（﹣x+60）（40+2x）＝﹣2（x﹣20）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴x＝20時(shí)，w取最大值3200，
∵3000＜3200，
∴x為20時(shí)日銷售額w最大，最大為3200元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
一十四．二次函數(shù)綜合題（共7小題）
35．（2022?新河縣一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（﹣1，0），A（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2），P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則有以下結(jié)論：
①拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝；
②拋物線的最大值為；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值為．
則正確的結(jié)論為（）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
【分析】用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式即可對(duì)①②進(jìn)行判斷；利用勾股定理對(duì)③進(jìn)行判斷即可；求出直線AC的解析式，設(shè)P（t，﹣t+2），再利用兩點(diǎn)間距離公式求出OP的最大值即可．
【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，
將B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝，
故①正確；
當(dāng)x＝時(shí)，拋物線有最大值，
故②不正確；
∵B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2），
∴AB＝5，AC＝2，BC＝，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
故③正確；
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
設(shè)P（t，﹣t+2），
∴OP＝，
∴當(dāng)t＝時(shí)，OP有最小值為，
故④正確；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，會(huì)用待定系數(shù)求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
36．（2022?開福區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）當(dāng)a＝1，b＝c+1且c＜0時(shí)，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（可用含c的式子表示）；
（2）若拋物線與y軸交于點(diǎn)C，當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，求ac的值；
（3）若拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)M（2，0），與y軸交于（0，2），直線l：y＝kx+2﹣2k與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)（P在Q的左側(cè)），過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線與直線MQ相交于點(diǎn)N，判斷點(diǎn)N的縱坐標(biāo)是否為一個(gè)定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由x2+（c+1）x+c＝0，可得A（﹣1，0），B（﹣c，0）；
（2）設(shè)A（x1，0），B（x2，0），則x1，x2是ax2+bx+c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，有x1?x2＝，而△ABC是直角三角形，有x12+c2+x22+c2＝（x1﹣x2）2，可得ac＝﹣1；
（3）由拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)M（2，0），與y軸交于（0，2）得y＝（x﹣2）2＝x2﹣2x+2，設(shè)直線l：y＝kx+2﹣2k與拋物線交于點(diǎn)P（xP，yP）、Q（xQ，yQ），則xP+xQ＝4+2k，xPxQ＝4k，設(shè)直線MQ的解析式為y＝mx+n，將M（2，0），Q（xQ，yQ）代入，得直線MQ的解析式為y＝x﹣，當(dāng)x＝xP時(shí)，yN＝?xP﹣＝＝?＝（xQ﹣2）（xP﹣2）＝xPxQ﹣（xP+xQ）+2，即得yN＝×4k﹣（4+2k）+2＝﹣2．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝1，b＝c+1時(shí)，y＝x2+（c+1）x+c，
令y＝0得x2+（c+1）x+c＝0，
∴（x+c）（x+1）＝0，
∴x＝﹣c或x＝﹣1，
∵c＜0，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（﹣1，0），B（﹣c，0）；
（2）在y＝ax2+bx+c中，令x＝0得y＝c，
∴C（0，c），
設(shè)A（x1，0），B（x2，0），則x1，x2是ax2+bx+c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，有x1?x2＝，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
即x12+c2+x22+c2＝（x1﹣x2）2，
整理變形得x1x2+c2＝0，
∴+c2＝0，
∵a≠0，
∴c（1+ac）＝0，
∴c＝0或ac＝﹣1，
當(dāng)c＝0時(shí)，不能構(gòu)成△ABC，故不符合題意，舍去，
∴ac＝﹣1；
（3）點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為一個(gè)定值，理由如下：
∵拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)M（2，0），與y軸交于（0，2），
∴拋物線頂點(diǎn)為（2，0），
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2，把（0，2）代入得：
2＝4a，
解得a＝，
∴y＝（x﹣2）2＝x2﹣2x+2，
設(shè)直線l：y＝kx+2﹣2k與拋物線交于點(diǎn)P（xP，yP）、Q（xQ，yQ），
∴x2﹣2x+2＝kx+2﹣2k，
整理得：x2﹣（4+2k）x+4k＝0，
∴xP+xQ＝4+2k，xPxQ＝4k，
設(shè)直線MQ的解析式為y＝mx+n，將M（2，0），Q（xQ，yQ）代入，
得：，
解得：，
∴直線MQ的解析式為y＝x﹣，
當(dāng)x＝xP時(shí)，
yN＝?xP﹣＝＝?＝（xQ﹣2）（xP﹣2）＝xPxQ﹣（xP+xQ）+2
∵xP+xQ＝4+2k，xPxQ＝4k，
∴yN＝×4k﹣（4+2k）+2＝﹣2，
故對(duì)于每個(gè)給定的實(shí)數(shù)k，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)均為定值﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，直角三角形性質(zhì)，二次函數(shù)最值運(yùn)用等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大．
37．（2022?北碚區(qū)自主招生）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸正半軸交于點(diǎn)A，B，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且OC＝OB＝3OA，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為直線BC下方該拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E為直線BC與該拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，求△PBE面積的最大值；
（3）如圖2，將該拋物線沿射線CB的方向平移2個(gè)單位后得到新拋物線y'，新拋物線y′的頂點(diǎn)為D'，過(guò)（2）問(wèn)中使得△PBE面積為最大時(shí)的點(diǎn)P作平行于y軸的直線交新拋物線y'于點(diǎn)M．在新拋物線y′的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，D'，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）設(shè)P（t，t2﹣4t+3），先求出直線PB的解析式為y＝（t﹣1）x+3﹣3t，則PB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為（1，2﹣2t），可得S△PBE＝﹣（t﹣）2+，當(dāng)t＝時(shí)，△PBE面積的最大值為；
（3）求出平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣4）2﹣3，則D'（4，﹣3），設(shè)N（4，t），分兩種情況討論：①當(dāng)PD'為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，N（4，﹣7）；②當(dāng)PN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，N（4，1）．
【解答】解：（1）令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∵OC＝OB＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A（1，0），B（3，0），
將A（1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
∴E（2，1），
設(shè)P（t，t2﹣4t+3），直線PB的解析式為y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝（t﹣1）x+3﹣3t，
∴PB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為（1，2﹣2t），
∴S△PBE＝（2﹣2+2t）×（3﹣t）＝3t﹣t2＝﹣（t﹣）2+，
∴當(dāng)t＝時(shí)，△PBE面積的最大值為；
（3）存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，D'，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：
∵直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
∴拋物線沿x軸正方向平移2個(gè)單位，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位，
∴平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣4）2﹣3＝x2﹣8x+13，
∴D'（4，﹣3），
由（2）知，P（，﹣），
∵PM∥y軸，
∴M（，），
設(shè)N（4，t），
∵PM∥ND'，
∴PM與ND'一定是平行四邊形的一組對(duì)邊，
①當(dāng)PD'為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
∴﹣﹣3＝+t，
解得t＝﹣7，
∴N（4，﹣7）；
②當(dāng)PN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
∴t﹣＝﹣3+，
解得t＝1，
∴N（4，1）；
綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣7）或（4，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
38．（2022?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）定義：對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值；當(dāng)x＜0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為關(guān)聯(lián)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y＝x﹣1，它的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y＝．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣．
（1）當(dāng)?shù)诙笙撄c(diǎn)B（m，）在這個(gè)函數(shù)的關(guān)聯(lián)函數(shù)的圖象上時(shí)，求m的值；
（2）當(dāng)﹣3≤x≤﹣1時(shí)求函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣的關(guān)聯(lián)函數(shù)的最大值和最小值．
【分析】（1）由題干定義可得二次函數(shù)的關(guān)聯(lián)函數(shù)解析式，分別討論m≥0與m＜0，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入對(duì)應(yīng)解析式求解．
（2）由（1）可得二次函數(shù)在x＜0時(shí)的關(guān)聯(lián)函數(shù)解析式，分別將x＝﹣1，x＝﹣3代入解析式求解．
【解答】解：（1）由題意得二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y＝，
當(dāng)m≥0時(shí)，將（m，）代入y＝﹣x2+4x﹣得＝﹣m2+4m﹣，
解得m＝2+或m＝2﹣，
當(dāng)m＜0時(shí)，將（m，）代入y＝x2﹣4x+得＝m2﹣4m+，
解得m＝2﹣或m＝2+（舍）．
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，y＝﹣x2+4x﹣的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y＝x2﹣4x+，
∵y＝x2﹣4x+＝（x﹣2）2﹣，
∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝2，
∴x＜0時(shí)，y隨x增大而減小，
將x＝﹣3代入y＝x2﹣4x+得y＝9+12+＝21.5，
將x＝﹣1代入x2﹣4x+得y＝1+4+＝5.5，
∴當(dāng)﹣3≤x≤﹣1時(shí)求函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣的關(guān)聯(lián)函數(shù)的最大值和最小值分別為21.5，5.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的新定義問(wèn)題，解題關(guān)鍵是理解題意，通過(guò)分類討論求解．
39．（2022?龍華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+3x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，8），點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CP，PB，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△BCP的面積最大值；
（3）點(diǎn)M是拋物線的對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)．
①是否存在點(diǎn)M，使得△BEM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②請(qǐng)?jiān)谄矫鎯?nèi)找到一點(diǎn)N，使得以B、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，并直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PG∥y軸交BC于G，設(shè)P（t，﹣t2+3t+8），則G（t，﹣t+8），可得S△CBP＝﹣2（t﹣4）2+32，即可求解；
（3）①設(shè)M（3，m），分別求出BE＝5，BM＝，EM＝|m﹣5|，分三種情況討論：當(dāng)BE＝BM時(shí)，M（3，0）；當(dāng)BE＝EM時(shí)，M（3，5+5）或（3，﹣5+5）；當(dāng)BM＝EM時(shí)，M（3，0）；
②設(shè)N（x，y），分三種情況討論：當(dāng)BE為菱形的對(duì)角線時(shí)，此時(shí)N（8，5）；當(dāng)BM為菱形的對(duì)角線時(shí)，此時(shí)N（8，5）或（8，﹣5）；當(dāng)BN為菱形的對(duì)角線時(shí)，此時(shí)N（﹣2，10）或（﹣2，0）．
【解答】解：（1）將A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，
∴，
解得﹣，
∴y＝﹣x2+3x+8；
（2）令y＝0，則﹣x2+3x+8＝0，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B（8，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+8，
過(guò)點(diǎn)P作PG∥y軸交BC于G，
設(shè)P（t，﹣t2+3t+8），則G（t，﹣t+8），
∴PG＝﹣t2+3t+8+t﹣8＝﹣t2+4t，
∴S△CBP＝8×（﹣t2+4t）＝﹣2t2+16t＝﹣2（t﹣4）2+32，
∴當(dāng)t＝4時(shí)，△BCP的面積有最大值，最大值為32；
（3）①存在點(diǎn)M，使得△BEM為等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+3x+8＝﹣（x﹣3）2+，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝3，
∴E（3，5），
設(shè)M（3，m），
∴BE＝5，BM＝，EM＝|m﹣5|，
當(dāng)BE＝BM時(shí)，5＝，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
當(dāng)BE＝EM時(shí)，5＝|m﹣5|，
解得m＝5+5或m＝﹣5+5，
∴M（3，5+5）或（3，﹣5+5）；
當(dāng)BM＝EM時(shí)，＝|m﹣5|，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）或（3，5+5）或（3，﹣5+5）；
②設(shè)N（x，y），M（3，m），
當(dāng)BE為菱形的對(duì)角線時(shí)，BM＝EM，
∴，
解得，
∴N（8，5）；
當(dāng)BM為菱形的對(duì)角線時(shí)，BE＝EM，
∴，
解得或，
∴N（8，5）或（8，﹣5）；
當(dāng)BN為菱形的對(duì)角線時(shí)，BE＝BM，
∴，
解得或，
∴N（﹣2，10）或（﹣2，0）；
綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為（8，5）或（8，5）或（8，﹣5）或（﹣2，10）或（﹣2，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
40．（2022?五華區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（6，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線y＝x+經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與拋物線交于D點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P是在直線AD上方二次函數(shù)圖象（含A、D兩點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少時(shí)，△PCD的面積最大，并求出最大面積；
（3）如圖2，若H是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OH，交直線AD于點(diǎn)G，延長(zhǎng)OH，交拋物線于點(diǎn)M，試探究是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）求出D點(diǎn)坐標(biāo)，可知CD∥x軸，則當(dāng)M點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，△CDP的面積最大；
（3）過(guò)點(diǎn)M作MK∥x軸交AD于點(diǎn)K，可得＝＝KM，當(dāng)KM的值最大值時(shí)，的值也最大，設(shè)M（t，﹣t2+t+3），則K（﹣t2+5t+5，﹣t2+t+3），則KM＝﹣（t﹣2）2+9，當(dāng)t＝2時(shí)，KM有最大值9．
【解答】解：將A（﹣1，0）、B（6，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+3；
（2）聯(lián)立方程組，
解得或，
∴D（5，3），
∴CD∥x軸，
∴當(dāng)P點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，△PCD的面積最大，
∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣）2+，
∴P（，），此時(shí)S△PCD＝5×（﹣3）＝；
（3）存在最大值，理由如下：
過(guò)點(diǎn)M作MK∥x軸交AD于點(diǎn)K，
∴＝＝KM，
∴當(dāng)KM的值最大時(shí)，的值也最大，
設(shè)M（t，﹣t2+t+3），則K（﹣t2+5t+5，﹣t2+t+3），
∴KM＝﹣t2+5t+5﹣t＝﹣t2+4t+5＝﹣（t﹣2）2+9，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，KM有最大值9，
∴的最大值為9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
41．（2022?淄博）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）在x軸上方的拋物線上．
（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥l于點(diǎn)N，當(dāng)1＜m＜3時(shí)，求PM+PN的最大值；
（3）設(shè)直線AP，BP與拋物線的對(duì)稱軸分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，請(qǐng)?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)）為頂點(diǎn)的四邊形面積是否隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化，若不變，求出這個(gè)四邊形的面積；若變化，說(shuō)明理由．
【分析】（1）利用頂點(diǎn)式求解，可得結(jié)論；
（2）如圖，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)T，連接PT，BD，BD交PM于點(diǎn)J．設(shè)P（m，﹣m2+2m+3）．四邊形DTBP的面積＝△PDT的面積+△PBT的面積＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN），推出四邊形DTBP的面積最大時(shí)，PM+PN的值最大，求出四邊形DTBP的面積的最大值，可得結(jié)論；
（3）四邊形AFBG的面積不變．如圖，設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），求出直線AP，BP的解析式，可得點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，求出FG的長(zhǎng)，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)D（1，4），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）如圖，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)T，連接PT，BD，BD交PM于點(diǎn)J．設(shè)P（m，﹣m2+2m+3）．
點(diǎn)D（1，4）在直線l：y＝x+t上，
∴4＝+t，
∴t＝，
∴直線DT的解析式為y＝x+，
令y＝0，得到x＝﹣2，
∴T（﹣2，0），
∴OT＝2，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
∴BT＝5，
∵DT＝＝5，
∴TD＝TB，
∵PM⊥BT，PN⊥DT，
∴四邊形DTBP的面積＝△PDT的面積+△PBT的面積＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN），
∴四邊形DTBP的面積最大時(shí)，PM+PN的值最大，
∵D（1，4），B（3，0），
∴直線BD的解析式為y＝﹣2x+6，
∴J（m，﹣2m+6），
∴PJ＝﹣m2+4m﹣3，
∵四邊形DTBP的面積＝△DTB的面積+△BDP的面積
＝×5×4+×（﹣m2+4m﹣3）×2
＝﹣m2+4m+7
＝﹣（m﹣2）2+11
∵﹣1＜0，
∴m＝2時(shí)，四邊形DTBP的面積最大，最大值為11，
∴PM+PN的最大值＝×11＝；
（3）四邊形AFBG的面積不變．
理由：如圖，設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴直線AP的解析式為y＝﹣（m﹣3）x﹣m+3，
∴E（1，﹣2m+6），
∵E，G關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴G（1，2m﹣6），
∴直線PB的解析式y(tǒng)＝﹣（m+1）x+3（m+1），
∴F（1，2m+2），
∴GF＝2m+2﹣（2m﹣6）＝8，
∴四邊形AFBG的面積＝×AB×FG＝×4×8＝16．
∴四邊形AFBG的面積是定值．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
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