知識精講
知識點01 二次函數(shù)與一元二次方程的關系
1．二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況
求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點坐標，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數(shù)就轉化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點的個數(shù)，它們的關系如下表：
注意：
二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定的.
(1)當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時，，方程有兩個不相等的實根；
(2)當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點時，，方程有兩個相等的實根；
(3)當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點時，，方程沒有實根.
2．拋物線與直線的交點問題
拋物線與x軸的兩個交點的問題實質就是拋物線與直線的交點問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
拋物線(a≠0)與y軸的交點是(0，c)．
拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定．
當方程組有兩組不同的解時兩函數(shù)圖象有兩個交點；
當方程組有兩組相同的解時兩函數(shù)圖象只有一個交點；
當方程組無解時兩函數(shù)圖象沒有交點．
總之，探究直線與拋物線的交點的問題，最終是討論方程(組)的解的問題．
注意：
求兩函數(shù)圖象交點的問題主要運用轉化思想，即將函數(shù)的交點問題轉化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉化為求拋物線與直線的交點問題．
知識點02 利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解
1．用圖象法解一元二次方程的步驟
(1)作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點個數(shù)，即方程解的個數(shù)；
(2)確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線 與x軸交點的橫坐標的大致范圍；
(3)在(2)確定的范圍內，用計算器進行探索。即在(2)確定的范圍內，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應的y值．
(4)確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對應的x值即是一元二次方的近似根．
2．求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）
(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與x軸交點的橫坐標就是方程的根；
(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺讼抵挟嫵鰭佄锞€和直線圖象交點的橫坐標就是方程的根；
(3)將方程化為，移項后得，設和，在同一坐標系中畫出拋物線和直線的圖象，圖象交點的橫坐標即為方程的根。
知識點03 拋物線與x軸的兩個交點之間的距離公式
當△＞0時，設拋物線與x軸的兩個交點為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個根．由根與系數(shù)的關系得，。
∴
即 （△＞0）
知識點04 拋物線與不等式的關系
二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關系如下：
注意：
拋物線在x軸上方的部分點的縱坐標都為正，所對應的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標都為負，所對應的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號，其解集也相應帶有等號。
能力拓展
考法01 二次函數(shù)的圖象與坐標軸交點
【典例1】在平面直角坐標系內，拋物線與軸的一個交點是，另一交點為，則的長為（ ）
A．2B．3C．6D．8
【答案】C
【解析】解：∵拋物線與軸的一個交點是
∴0=a+4a+2
∴a=
∴
當y=0時，，
解得
∴B（5，0）
∴AB=5-（-1）=6，
故選：C．
【典例2】二次函數(shù)的圖象與x軸的交點是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【解析】解：令y=0，
則
解得：x1=，x2=2
故選：D
【典例3】拋物線與軸的交點坐標是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：令，得：，
∴與軸的交點坐標為（0，-3），
故選：B．
【典例4】下列拋物線經過原點的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：、將代入，得，
所以該拋物線經過原點，
本選項符合題意；
、將代入，得，
所以該拋物線不經過原點，
本選項不符合題意；
、將代入，得，
所以該拋物線不經過原點，
本選項不符合題意；
、將代入，得，
所以該拋物線不經過原點，
本選項不符合題意；
故選：．
考法02 利用圖象法求一元二次方程的近似解
【典例5】根據(jù)表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對應值，可以判斷方程 ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（ ）
A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2
【答案】B
【解析】解：觀察表格可知：當x=0.5時，y=-0.5；當x=1時，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是0.5＜x＜1．
故選：B．
【即學即練】如表，是二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的幾組對應值．那么方程的一個近似解是（ ）
A．1B．1.1C．1.2D．1.3
【答案】C
【解析】解：由表格可得時，，時，，
的一個解在1.1與1.2之間，
，
的一個近似解是1.2，
故選：C．
【典例6】如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，下列是關于x的不等式或方程，結論正確的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．的解是或
【答案】D
【解析】解：由函數(shù)圖象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集為：x4；故A、B、C不符合題意；
方程ax2+bx+c=x+h，即的解為或，故D符合題意；
故選：D．
【即學即練】二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，已知頂點坐標為（﹣2，﹣9a）．有下列結論：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1．其中正確結論的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】解：拋物線的頂點坐標為，
，
拋物線的開口向上，
，
，，
，所以①正確；
當時，，解得或，
拋物線與軸的交點坐標為，，
時，，
，所以②正確；
，
而，
，所以③錯誤；
方程有兩個根和，
拋物線與直線有兩個交點，交點的橫坐標分別為和，
，所以④正確；
綜上：正確的個數(shù)為3個，
故選：C．
考法03 判斷二次函數(shù)的圖象與x軸交點的情況
【典例7】從-1、0、3、5、7五個數(shù)中任意選取一個數(shù)，記為m，則使二次函數(shù)y=mx2+6x+2與x軸有交點時的m的值有（ ）個
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【解析】解：關于x的函數(shù)y=mx2+6x+2的圖象與x軸有交點，
當函數(shù)為二次函數(shù)時m≠0，Δ=b2-4ac=62-8m≥0，
即：m≤4.5且m≠0．
又從-1、0、3、5、7五個數(shù)中任意選取，
∴m=-1，3，
∴m的值有2個．
故選：B．
【即學即練】拋物線y=x2+x+c與x軸只有一個公共點，則c的值為（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【解析】解：∵y=x2+x+c與x軸只有一個公共點，
∴x2+x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=．
故選：B．
【典例8】在平面直角坐標系中，已知點M，N的坐標分別為，，若拋物線與線段MN有兩個不同的交點，則a的取值范圍是（ ）
A．或B．或
C．D．或
【答案】B
【解析】
拋物線的解析式為①，
設直線MN的解析式為，
將點M，N的坐標，代入得，，
解得，
直線MN的解析式為②，
聯(lián)立①②并整理得，
拋物線與線段MN有兩個不同的交點，
，即，
當時，拋物線開口向上，需要滿足拋物線上與點M、N橫坐標相等的點與點M、N重合或在點M、N的上方，
，
解得；
當時，拋物線開口向下，需要滿足拋物線上與點M、N橫坐標相等的點與點M、N重合或在點M、N的下方，
，
解得；
綜上，a的取值范圍是或．
【即學即練】已知二次函數(shù)y=ax2?4ax?5a+1(a>0)下列結論正確的是（ ）
①已知點M(4，y1)，點N(?2，y2)在二次函數(shù)的圖象上，則y1>y2；
②該圖象一定過定點（5，1）和（－1，1）；
③直線y=x?1與拋物線y=ax2?4ax?5a+1一定存在兩個交點；
④當?3≤x≤1時，y的最小值是a，則a=
A．①④B．②③C．②④D．①②③④
【答案】B
【解析】解：二次函數(shù)y=ax2?4ax?5a+1(a>0)，開口向上，
且對稱軸為x=-=2，
①點N(?2，y2)關于對稱軸對稱的點為(6，y2) ，
∵a>0，∴y隨x的增加而增加，
∵40，
∴abc0，
∴3a+c>0，
故丙正確；
由圖象可知，當x≥0時，拋物線y＝ax2+bx+c有最大值，沒有最小值，
故丁錯誤；
故選：B．
5．已知關于x的方程的兩個根分別是-1和3，若拋物線與y軸交于點A，過A作軸，交拋物線于另一交點B，則AB的長為（ ）
A．2B．3C．1D．1.5
【答案】A
【解析】將-1，3分別代入，
，
解得，
∴拋物線解析式為：，
∴與y軸交點為：A（0，6），
∵AB⊥y軸，∴B的縱坐標為6，
代入拋物線解得，，
∴B（2，6）
∴AB=2-0=2．
故選：A．
6．下表是一組二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的對應值：
那么方程的一個近似根（精確到0.1）是（ ）
A．1B．1.1C．1.2D．1.3
【答案】C
【解析】解：觀察表格得：方程的一個近似根為1.2，
故選：C．
7．已知拋物線與x軸的公共點坐標是，則_______．
【答案】6
【解析】解：∵拋物線與x軸的公共點坐標是，
令y=0，則，
解得：，
∴．
故答案為：6．
8．已知拋物線的部分圖像如圖所示，則方程的解是___________
【答案】或
【解析】解：由圖像可知拋物線與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，
設拋物線與x軸的另一個交點為，則，
解得：．
∴方程的解為或．
故答案為：或
9．已知二次函數(shù)．
（1）求拋物線開口方向及對稱軸．
（2）寫出拋物線與y軸的交點坐標．
【答案】（1）開口向上，直線；（2）
【解析】（1）∵，
∴拋物線開口向上，
∵=，
∴對稱軸是直線；
（2）∵，
∴，
∴與y軸交點坐標是．
10．二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：
（1）寫出方程的根；
（2）寫出不等式的解集；
（3）若方程無實數(shù)根，寫出的取值范圍．
【答案】（1），；（2）或；（3）
【解析】解：（1）觀察圖象可知，方程的根，即為拋物線與軸交點的橫坐標，
∴，．
（2）觀察圖象可知：不等式的解集為或．
（3）由圖象可知，時，方程無實數(shù)根．
題組B 能力提升練
1．拋物線y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n與x軸只有一個交點(x1，0)．下列式子中正確的是（ ）
A．x1﹣x2＝mB．x2﹣x1＝mC．m(x1﹣x2)＝nD．m(x1+x2)＝n
【答案】B
【解析】解：∵拋物線經過（x1，0），且拋物線與x軸只有一個交點，
∴拋物線頂點坐標為（x1，0），y＝（x﹣x1）2，
∴x2﹣2x1x+＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，
∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，
故選：B．
2．已知拋物線y＝x2+bx+c經過點A(m，n)，B(4﹣m，n)，且拋物線與x軸有交點，則c的最大值為（ ）
A．0B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】解：∵拋物線經過點A（m，n），B（4﹣m，n），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝＝2．
∴．
∴b＝﹣4．
∵拋物線與x軸有交點，
∴Δ＝．
∴16﹣4c≥0．
∴c≤4．
∴c的最大值為4．
故選：C．
3．如圖，拋物線的對稱軸是，關于x的方程的一個根為，則另一個根為（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【解析】解：∵拋物線的對稱軸是，
∴，即，
設的另一根為m，
利用根與系數(shù)的關系可得：，
∴．
故選：C
4．已知拋物線y=x2﹣x﹣1與x軸的一個交點為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+1的值為( )
A．0B．1C．D．2
【答案】D
【解析】解：將（m，0）代入y＝x2?x?1得m2?m?1＝0，即m2?m＝1，
∴m2?m＋1＝2，
故選：D．
5．已知二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，對稱軸為，下列結論中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：A、圖象開口向上，與y軸交于負半軸，對稱軸在y軸左側，能得到：a＞0，c＜0，，則b＞0，
∴abc0）的圖象經過點P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判斷二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3的圖象與x軸交點的個數(shù)，并說明理由．
【答案】(1)m=1
(2)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，理由見解析．
【解析】（1）解：∵二次函數(shù)y= x2+mx+m2?3圖象經過點P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2?3，
即m2+2m?3=0，
解得：m1=1，m2=?3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函數(shù)y=x2+x?2，
∵Δ=b2?4ac=12+8=9>0，
∴二次函數(shù)y=x2+x?2的圖象與x軸有兩個交點．
10．已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，）的對稱軸為．
(1)填空：b=________；（用含a的代數(shù)式表示）
(2)若拋物線的頂點在x軸上，求的值；
(3)若拋物線過點（?2，?2），當時，二次函數(shù)的最值是?2，求k的取值范圍；
(4)當a=?1時，若關于x的方程式在的范圍內有解，求c的取值范圍．
【答案】(1)4a
(2)0
(3)?6≤k≤0
(4)?4≤c＜5
【解析】(1)解：由題意得：拋物線的，解得b=4a，
故答案為：4a；
(2)解∶∵拋物線的頂點在x軸上，
∴拋物線與x軸只有一個交點，
∴Δ=b2?4ac=0，
∴16a2?4ac=0，
∵a≠0，
∴4a?c=0，即c=4a，
∴c?b=4a?4a=0；
(3)解：∵拋物線過點（?2，?2），且對稱軸為直線x=?2，
∴拋物線的頂點是（?2，?2），
∵當k?2≤x≤k+4時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值是?2，
∴，解得：?6≤k≤0；
(4)解：當a=?1時，b=?4，
∴拋物線y=?x2?4x+c，
∵關于x的方程式ax2+bx+c=0在?3＜x＜1的范圍內有解，即關于x的方程?x2?4x+c=0在?3＜x＜1的范圍內有解，
c=x2+4x，
可以看作是拋物線y=x2+4x=（x+2）2?4與直線y=c在?3＜x＜1的范圍內有交點，
當x=?2時，y=4?8=?4，x=1時，y=1+4=5，
如圖所示，由圖象得：c的取值范圍：?4≤c＜5．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．已知拋物線與軸的兩個交點之間的距離為6，對稱軸為，則拋物線的頂點關于軸對稱的點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：設拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個交點坐標為（x1，0），（x2，0），
∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個交點間的距離為6，對稱軸為直線x＝3，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，，
∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，
解得：c＝0，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，
∴頂點P的坐標為（3，﹣9），
∴點P關于x軸的對稱點的坐標是（3，9），
故選：A．
2．拋物線的對稱軸為，若關于的二次方程在范圍內有實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：∵拋物線的對稱軸為，
∴，解得：b=6，
∴，
∴二次方程在范圍內有實數(shù)根看作拋物線與直線y=－t在內有交點，
當x=－1時，y=－4，
當x=4時，y=11，
當x=3時，y=12，
∴拋物線在的范圍是－4＜y≤12，
∴－4＜－t≤12，則－12≤t＜4，
故選：C．
3．對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，x與y的部分對應值如表，下列結論正確的是（ ）
A．該函數(shù)圖象頂點坐標是（1，﹣2）
B．無論x取何值，y恒小于0
C．當x＞2時，y隨著x的增大而增大
D．該函數(shù)圖象與x軸有兩個公共點
【答案】D
【解析】∵，；，；，，分別代入，得：
，
解得：，
即二次函數(shù)，
∴拋物線對稱軸為直線，
將代入得：，
∴該函數(shù)圖象頂點坐標是（，），故選項A不符合題意；
∵拋物線開口向下，但是頂點在x軸上方，
∴y不恒小于0，例如：當，；故選項B不符合題意；
∵拋物線開口向下，拋物線對稱軸為直線，
∴當x＞2時，y隨著x的增大而減小，故選項C不符合題意；
∵，
∴拋物線圖象與x軸有兩個公共點，故選項D符合題意；
故選：D．
4．關于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解為x1，x2，且x1＜x2，則下列結論正確的是( )
A．﹣2＜x1＜x2＜1B．﹣2＜x1＜1＜x2C．x1＜﹣2＜x2＜1D．x1＜﹣2＜1＜x2
【答案】A
【解析】解：二次函數(shù)的圖象如圖所示：
它與軸的交點坐標為，，
關于的一元二次方程的解x1，x2看作直線與二次函數(shù)的交點橫坐標，
由圖象可知，，
故選：A．
5．已知二次函數(shù)中，函數(shù)y與自變量x的部分對應值如上表，以下結論正確的是（ ）
A．拋物線的開口向下B．當時，y隨x增大而增大
C．當時，x的取值范圍是D．方程的根為0和2
【答案】D
【解析】解：由表格可得，二次函數(shù)的對稱軸為直線，
∴頂點坐標為（1，1），該拋物線開口向上，故選項A錯誤，不符合題意；
當1＜x＜3時，y隨x的增大而增大，當x＜1時，y隨x的增大而減小，故選項B錯誤，不符合題意；
當y＞0時，x的取值范圍是x＜0或x＞2，故選項C錯誤，不符合題意；
方程的根為0和2，故選項D正確，符合題意；
故選：D．
6．如圖，頂點為的拋物線經過點，則下列結論中正確的是（ ）
A．
B．若點都在拋物線上，則
C．當時，y隨x的增大而減小
D．關于x的一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根
【答案】C
【解析】解：A、圖像與x軸有兩個交點，方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，b2-4ac＞0，故A選項不符合題意；
B、拋物線的對稱軸為直線x=-3，因為-2離對稱軸的距離等于-4離對稱軸的距離，所以m=n，故B選項不符合題意；
C、頂點為（-3，-6），則對稱軸為直線x=-3，拋物線開口向上，則當x＜-3時，y隨x的增大而減小，故C選項符合題意；
D、由拋物線開口向上及頂點為（-3，-6）可知，此函數(shù)的最小值為-6，則ax2+bx+c=-7（a≠0）沒有實數(shù)根，故D選項不符合題意．
故選：C．
7．已知二次函數(shù)，當＝______時，圖象的頂點在軸上；當＝_________時，圖象過原點．
【答案】 10+ 或10- 2
【解析】解：∵圖象的頂點在x軸上，
∴b2﹣4ac＝0，
（m﹣6）2﹣4（2m﹣4）＝0，
化簡得：m2﹣20m+52＝0
解得：m＝10+ 或10-，
故答案為：10+ 或10-．
∵圖象經過原點，即可得出圖象過（0，0），
∴2m﹣4＝0，
∴m，
故答案為：2；
8．已知二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，）的部分圖像如圖所示，m，是關于x的一元二次方程的兩根，則下列結論正確的有______．（填序號即可）．
①
②
③存在實數(shù)x，使得
④若時，，則
【答案】①②
【解析】①當x=-1時，，
通過函數(shù)圖像可知，此時函數(shù)圖像在x軸上方，即a-b+c>0，
故①錯誤；
②通過函數(shù)圖像可知，對稱軸為x=-2，函數(shù)圖像與x軸的一個交點n的范圍為2

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這是一份北師大版九年級下冊6 直線與圓的位置關系導學案，共34頁。學案主要包含了即學即練等內容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學北師大版九年級下冊2 圓的對稱性導學案：

這是一份初中數(shù)學北師大版九年級下冊2 圓的對稱性導學案，共25頁。學案主要包含了即學即練等內容，歡迎下載使用。

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初中數(shù)學北師大版（2024）九年級下冊電子課本

5 二次函數(shù)與一元二次方程

版本： 北師大版（2024）

年級： 九年級下冊

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