1.內(nèi)容
本章是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第一章“有理數(shù)”1.2有理數(shù)第1課時，內(nèi)容包括理解有理數(shù)的概念，掌握有理數(shù)的兩種分類方法.
2.內(nèi)容解析
本節(jié)課是在引入了負數(shù)和學(xué)習(xí)了運用正數(shù)與負數(shù)表示具有相反意義的量的基礎(chǔ)上，將小學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)擴充到有理數(shù)并對有理數(shù)進行分類，既是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)到有理數(shù)的銜接與過渡，也是后面學(xué)習(xí)數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值以及有理數(shù)運算的基礎(chǔ).本節(jié)課還初步滲透了集合的思想和分類的方法，形成新的知識體系，使學(xué)生感受數(shù)的應(yīng)用價值以及增強學(xué)生數(shù)感.因此，本節(jié)內(nèi)容在教材中處于十分重要的地位.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：理解有理數(shù)的概念.
二、目標和目標解析
1.目標
（1）理解有理數(shù)的意義，了解數(shù)由整數(shù)到分數(shù)到負數(shù)進而發(fā)展到有理數(shù)的擴充過程.
（2）了解有理數(shù)兩種不同的分類方法，會判斷一個有理數(shù)是正數(shù)、負數(shù)，或是正整數(shù)、負整數(shù)、正分數(shù)和負分數(shù).
2.目標解析
（1）有理數(shù)的意義是在正數(shù)、負數(shù)概念的基礎(chǔ)上給出的.有理數(shù)概念的教學(xué)，應(yīng)在全面回顧正整數(shù)、正分數(shù)、0，以及負整數(shù)、負分數(shù)的基礎(chǔ)上，先完善整數(shù)、分數(shù)的內(nèi)涵，再給出有理數(shù)的概念.
（2）有理數(shù)概念的教學(xué)，應(yīng)該讓學(xué)生體會有理數(shù)概念的擴充過程，了解正整數(shù)、自然數(shù)的差異，了解有理數(shù)0的地位和作用，并會用兩種不同的標準理清有理數(shù)的分類，初步體會分類思想在有理數(shù)概念學(xué)習(xí)中的使用.
三、教學(xué)問題診斷分析
通過小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生對數(shù)已經(jīng)有了比較全面深刻的的認識，不過同時思維也造成了一定程度的定勢，這就容易與數(shù)的概念的擴充發(fā)生沖突.另外，剛剛步入初中的學(xué)生年齡小，對概念的理解能力不強，對枯燥的數(shù)字不如具體事物感興趣，抽象思維能力弱，好奇、好動、好表現(xiàn)，不能長時間集中精力，因此，他們更喜歡參與生動有趣的教學(xué)活動，更容易接受形象直觀的教學(xué)模型，更渴望得到教師的表揚與鼓勵. 本節(jié)課還初步滲透了集合的思想和分類的方法，所以本堂課不僅是發(fā)展學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)，形成新的知識體系的主要通道，而且是滲透數(shù)學(xué)思想方法，感受數(shù)的應(yīng)用價值以及增強學(xué)生數(shù)感的有效載體.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：準確領(lǐng)會、掌握有理數(shù)的分類方法.
四、教學(xué)過程設(shè)計
（一）出示問題，回顧舊知
1.上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？
（1）用正數(shù)、負數(shù)表示具有相反意義的量；
（2）“0”不再僅僅表示沒有，在記數(shù)中有實際意義；
（3）0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).
2. 如果自行車車條的長度比標準長度長2mm，記作+2mm，那么比標準長度短1.5mm，應(yīng)記為 -1.5 mm.
3. 糧食每袋標準重50kg，先測得甲、乙、丙三袋糧食分別重：52kg，49kg，49.8kg，如果超重部分用正數(shù)表示，請用正數(shù)和負數(shù)記錄甲、乙、丙三袋糧食的超重數(shù)和不足數(shù).
+2kg，－1kg，－0.2kg
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶上一節(jié)內(nèi)容，學(xué)生可舉出日常生活中的實例.學(xué)生在小組內(nèi)快速回答第2、3題.
【設(shè)計意圖】學(xué)生根據(jù)所學(xué)內(nèi)容，回憶所學(xué)過的數(shù)，同時舉出相應(yīng)的例子，一可以讓學(xué)生復(fù)習(xí)舊的知識，二可以在所提問題中發(fā)現(xiàn)新的知識，引發(fā)學(xué)生的探究欲望. 在已有的認知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)過閱讀、思考、交流后，發(fā)表意見，評價補充，加深認知，回憶數(shù)的擴充過程.
（二）推進新課
問題1：我們在小學(xué)和前一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)過那些數(shù)？請你任意說出一些.
師生活動：學(xué)生根據(jù)所學(xué)內(nèi)容，回憶所學(xué)過的數(shù)，同時舉出相應(yīng)的例子，既可以讓學(xué)生復(fù)習(xí)舊的知識，又可以在所提問題中發(fā)現(xiàn)新的知識.
追問1：①既是正數(shù)又是整數(shù)的數(shù)有___________________.
②既是負數(shù)又是整數(shù)的數(shù)有___________________.
③ 0是正數(shù)嗎？是負數(shù)嗎？是整數(shù)嗎？
④既是正數(shù)又是分數(shù)的數(shù)有___________________.
⑤既是負數(shù)又是分數(shù)的數(shù)有
追問2：在上述列舉的數(shù)中，我們可以怎樣進行分類？
師生活動：學(xué)生根據(jù)數(shù)的特征進行分類，顯然可以把小學(xué)學(xué)過的數(shù)（正數(shù)）分成一類――正數(shù)，把正數(shù)前面加負號（負數(shù)）的數(shù)分成一類――負數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負數(shù)；也可以分成整數(shù)和分數(shù)，于是有下列分類：
正整數(shù)：如1，2，3，…；
零：0；
負整數(shù)：如－1，－2，－3，…；
正分數(shù)：如
負分數(shù)：如
師生活動：學(xué)生可能只給出很粗略的分類，如只分為“正數(shù)”和“負數(shù)”或“零”三類，此時，教師應(yīng)給予引導(dǎo)和鼓勵．例如，對于數(shù)5，可這樣問：5和5. 1有相同的類型嗎？5可以表示5個人，而5. 1可以表示人數(shù)嗎？（不可以）所以它們是不同類型的數(shù)，數(shù)5是正數(shù)中整個的數(shù)，我們就稱它為“正整數(shù)”，而5. 1不是整個的數(shù)，稱為“正分數(shù)”．……（由于小數(shù)可化為分數(shù)，以后把小數(shù)和分數(shù)都稱為分數(shù)）
通過教師的引導(dǎo)、鼓勵和不斷完善，以及學(xué)生自己的概括，最后歸納出我們已經(jīng)學(xué)過的5類不同的數(shù)，它們分別是“正整數(shù)，零，負整數(shù)，正分數(shù)，負分數(shù)”．
【設(shè)計意圖】通過問題的引入，復(fù)習(xí)舊知識，使學(xué)生感受數(shù)的分類方法.
問題2：上面各個的數(shù)字是否都能寫成分數(shù)的形式？寫寫看.
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生與同桌分析、交流、歸納，理解有理數(shù)以及有理數(shù)的分類，按照書本的說法，得出“整數(shù)”“分數(shù)”和“有理數(shù)”的概念：正整數(shù)，零和負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)，正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，這里的分數(shù)特指是分母不為1的分數(shù)，整數(shù)有時可以認為是分母是1的分數(shù)．看書了解有理數(shù)名稱的由來．
師強調(diào)：“統(tǒng)稱”是指“合起來總的名稱”的意思．
【設(shè)計意圖】結(jié)合小學(xué)的知識，讓學(xué)生通過計算作出判斷，并在思考后歸納得出結(jié)論：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)，為下一問題做好鋪墊. 通過將三者進行比較，歸納得出有理數(shù)是一個整數(shù)和一個非零整數(shù)的比的本質(zhì)特征，讓學(xué)生深入理解有理數(shù)的概念.
問題3：有理數(shù)、分數(shù)、整數(shù)與非零整數(shù)的比三者之間有何關(guān)系？
師生活動：引導(dǎo)學(xué)生對比、分析，歸納得出有理數(shù)的本質(zhì)特征.
追問1：任意寫出三個有理數(shù)，并說出是什么類型的數(shù)，與同伴進行交流．
追問2：講述有理數(shù)的意義及由來.
【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生進行對有理數(shù)進行分類，從而體會分類討論的數(shù)學(xué)思想．
問題4：根據(jù)有理數(shù)的概念，你如何對有理數(shù)分類？
學(xué)生活動：根據(jù)以上知識學(xué)生組內(nèi)交流，進行分類．
師生活動：按照以上的分類，你能作出一張有理數(shù)的分類表嗎？你能說出以上有理數(shù)的分類是以什么為標準的嗎？（是按照整數(shù)和分數(shù)來劃分的）
或
師說明：把一些數(shù)放在一起，就組成一個數(shù)的集合，簡稱數(shù)集．所有的有理數(shù)組成的數(shù)集叫做有理數(shù)集，所有整數(shù)組成的數(shù)集叫做整數(shù)集．
【設(shè)計意圖】通過對有理數(shù)的分類，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的分類思想和集合思想，體驗數(shù)的分類方法. 經(jīng)過將數(shù)字進行歸類，讓學(xué)生理解整數(shù)和分數(shù)的概念.領(lǐng)會有理數(shù)的形式特征，理解有理數(shù)的概念.
問題5：你能解決下列問題嗎？談?wù)勀愕目捶ǎ?br>（1）0是整數(shù)嗎？是正數(shù)嗎？是有理數(shù)嗎？
（2）-5是整數(shù)嗎？是負數(shù)嗎？是有理數(shù)嗎？
（3）自然數(shù)是整數(shù)嗎？是正數(shù)嗎？是有理數(shù)嗎？
（4）下列有理數(shù)中，哪些是整數(shù)？哪些是分數(shù)？哪些是正數(shù)？哪些是負數(shù)？
-7、10.1、89、0、-0.67、、
（解答）（1）0是整數(shù)、不是正數(shù)但是有理數(shù)；（2）－5是整數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)；（3）自然數(shù)是整數(shù)，不是所有的自然數(shù)是正數(shù)（比如0），所有的自然數(shù)都是有理數(shù)；（4）整數(shù)：－7、89、0；分數(shù)：10.1、-0.67、、；正數(shù)：10.1、89、；負數(shù)：-7、-0.67、.
學(xué)生活動：學(xué)生獨立思考上述問題，必要時進行適當?shù)挠懻?，然后學(xué)生進行適當?shù)慕涣?，個別同學(xué)在交流中逐步完善自己對問題的看法．
教師活動：學(xué)生根據(jù)上述學(xué)習(xí)，組內(nèi)討論，師強調(diào)：1. 整數(shù)中除了正整數(shù)和負整數(shù)，還有0；2. 兩個整數(shù)的比（如，等）、有限小數(shù)（如0.2，－3.14等）、無限循環(huán)小數(shù)（如）等都是分數(shù)；3. 小數(shù)除有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)外，還有一類無限不循環(huán)小數(shù)（無理數(shù)），不在有理數(shù)的學(xué)習(xí)范圍（以后學(xué)習(xí)）. 所以，我們不能說小數(shù)都是有理數(shù).
【設(shè)計意圖】消除學(xué)生對有理數(shù)稱謂的疑惑，讓學(xué)生了解有理數(shù)的意義，進一步加深對有理數(shù)概念的理解，突出本堂課的教學(xué)重點.
（三）典例分析
例： 把下列各數(shù)填入他所屬于的集合的圈內(nèi)：
15，-5，0.1，-5.32，-80，123，2.333，，，.

正整數(shù) 負整數(shù)

正分數(shù) 負分數(shù)
（解答）
教師點撥：（1）把一些數(shù)看作一個整體，那么這個整體就叫這些數(shù)的集合．其中的每一個數(shù)叫做這個集合的一個元素．（2）特別要注意“零”是整數(shù)集合、非負數(shù)集合、有理數(shù)集合中的一個元素；“零”不僅表示“沒有”，而且具有非常確定的內(nèi)容，如零時、零度；“零”是正負數(shù)的界限；“零”是偶數(shù)；“零”能被任何非零數(shù)整除；“零”也是一個不可缺少的數(shù)碼；在數(shù)的表示中起著十分重要的作用．（3）非負有理數(shù)包括正有理數(shù)和零，在數(shù)學(xué)里，“正”和“整”不能通用，是有區(qū)別的：“正”是相對于負來說；“整”是相對于分數(shù)而言的．
追問：上面練習(xí)中的四個集合合并在一起就是全體有理數(shù)的集合嗎？
【設(shè)計意圖】通過對數(shù)的分類的練習(xí)，感受數(shù)的分類方法，體驗分類的思想和原則.
（四）針對訓(xùn)練
1. 在2 ，-5 ，，0 ，-1 中是分數(shù)的是 . （）
2. 判斷下面說法是否正確：
①正整數(shù)和負整數(shù)的總和就是整數(shù)； （ × ）
②分數(shù)包括了正分數(shù)和負分數(shù)和 0； （ × ）
③有理數(shù)是整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱； （ √ ）
④0是整數(shù) （ √ ）
⑤分數(shù)包括了小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)； （ √ ）
3. 下列說法正確的有幾個？（4個）
①零是整數(shù)；②零是有理數(shù)；③零是自然數(shù)； ④零是正數(shù)；⑤零是負數(shù)；⑥零是非負數(shù).
4. 下列說法錯誤的有幾個？（2個）
①負整數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為負有理數(shù)；
②正整數(shù)，0和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；
③正有理數(shù)與負有理數(shù)組成全體有理數(shù)；
④一個有理數(shù)不是正數(shù)，就是負數(shù)；
⑤一個分數(shù)，不是正分數(shù)，就是負分數(shù)；
⑥最小的正整數(shù)是1.
5.下列說法正確的是（ D ）.
A. 非負有理數(shù)就是正有理數(shù)； B. 0僅表示沒有，是有理數(shù)；
C. 正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)； D. 整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).
6.下列說法錯誤的是（ C ）.
A. 沒有最大的有理數(shù)；
B. 正整數(shù)與正分數(shù)前面添加“-”后都是負數(shù)；
C. 因為正號可以省略，所以0是正數(shù)；
D. 有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).
7. 最小的正整數(shù)是 1 ，最大的負整數(shù)是 -1 .
8. 所有正數(shù)組成正數(shù)集合，所有負數(shù)組成負數(shù)集合.把下面的有理數(shù)填入它屬于的集合的圈內(nèi)：
教師活動：引導(dǎo)學(xué)生進行自主分析問題，在分析問題的過程抓住細節(jié)，啟發(fā)學(xué)生進行解決問題，在學(xué)生沒有思路時進行適當?shù)奶崾镜龋?br>教師強調(diào)：把一些數(shù)放在一起，就組成了一個數(shù)的集合，簡稱“數(shù)集”，所有有理數(shù)組成的數(shù)集叫做有理數(shù)集．類似地，所有整數(shù)組成的數(shù)集叫做整數(shù)集，所有負數(shù)組成的數(shù)集叫做負數(shù)集……；數(shù)集一般用圓圈或大括號表示，因為集合中的數(shù)是無限的，而第8題中只填了所給的幾個數(shù)，所以應(yīng)該加上省略號．
【設(shè)計意圖】鞏固所學(xué)知識，通過對數(shù)的分類的體驗，進一步理解有理數(shù)的兩種分類方法，感受分類的原則．
（五）知識歸納，當堂鞏固
教師活動：知識歸納：我們從例題和練習(xí)中體會到，有理數(shù)如果要分兩大類的話，可以有兩種分法：
①分成“正有理數(shù)”和負有理數(shù).（按正負數(shù)分）
②分成整數(shù)和分數(shù)（按有理數(shù)的定義分）
同時，我們從例題和練習(xí)中可以看到，我們要特別的對“0”多加注意，“0”既不是正數(shù)又不是負數(shù)，但是“0”是自然數(shù)或整數(shù).
【當堂鞏固】 圖中兩個圓圈分別表示正數(shù)集合和整數(shù)集合，請任意寫出幾個符合條件的數(shù)并填入兩個圓圈的重疊部分.你能說出這個重疊部分表示什么數(shù)的集合嗎?
【能力提升】 某中學(xué)初一男生測試引體向上，以10個為標準，超過次數(shù)用正數(shù)表示，不足次數(shù)用負數(shù)表示，其中6個男生的成績?nèi)缦拢?br>（1）這6名男生有幾名達到標準？達標率為百分之幾？
（2）他們共做了多少個引體向上？
解：（1）次數(shù)記為+3，0，+4的男生達標，.
答：這6名男生有3名達到標準，達標率為50%.
（2）10×6+（+3-4+0-2+4-1）=60
答：他們共做了60個引體向上.
【設(shè)計意圖】鞏固所學(xué)知識，加深對有理數(shù)分類的認識，感受分類思想．
（六）課堂小結(jié)
這一節(jié)課我們學(xué)到了什么？
1. 什么是有理數(shù)？
2. 有理數(shù)的分類：
（1）按整數(shù)與分數(shù)劃分；
（2）按正有理數(shù)，0，負有理數(shù)劃分.
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的重點內(nèi)容，談?wù)勛约簩τ欣頂?shù)的概念及有理數(shù)的兩種分類方法的理解，同時注意分類要做到不重不漏．
（七）布置作業(yè)
P14：教材習(xí)題1.2： 第1題.．
五、教學(xué)反思
本節(jié)課是第一章“有理數(shù)”1.2有理數(shù)第1課時，在理解有理數(shù)概念的同時，還初步滲透了集合的思想和分類的方法，所以本節(jié)課不僅是發(fā)展學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)，形成新的知識體系的主要通道，而且是滲透數(shù)學(xué)思想方法，感受數(shù)的應(yīng)用價值以及增強學(xué)生數(shù)感的有效載體.
本節(jié)課在引入了負數(shù)后對所學(xué)過的數(shù)按照一定的標準進行分類，提出了有理數(shù)的概念．分類是數(shù)學(xué)中解決問題的常用手段，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生了解分類的思想并進行簡單的分類是數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)，教師在教學(xué)中應(yīng)引起足夠的重視．關(guān)于分類標準與分類結(jié)果的關(guān)系，分類標準的確定可向?qū)W生作適當?shù)臐B透，集合的概念比較抽象，學(xué)生真正接受需要很長的過程，本課不要過多展開.
關(guān)于有理數(shù)的分類可視學(xué)生的程度確定是否有必要進一步教學(xué)：應(yīng)使學(xué)生了解分類的標準不一樣時，分類的結(jié)果也是不同的，所以分類的標準要明確，使分類后每一個參加分類的對象屬于其中的某一類而且只能屬于這一類，教學(xué)中教師可舉出通俗易懂的例子作些說明，可以按年齡，也可以按性別、地域來分等. 兩種分類方法，應(yīng)以第一種方法為主，第二種方法可視學(xué)生的情況進行.
本節(jié)課具有開放性的特點，給學(xué)生提供了較大的思維空間，能促進學(xué)生積極主動地參加學(xué)習(xí)，親自體驗知識的形成過程，可避免直接進行分類所帶來的枯燥性；同時還體現(xiàn)合作學(xué)習(xí)、交流、探究提高的特點，對學(xué)生分類能力的養(yǎng)成有很好的作用.

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級上冊電子課本 舊教材

1.2.1 有理數(shù)

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級上冊

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