TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8088" 【題型1 網(wǎng)格中解直角三角形】 PAGEREF _Tc8088 \h 1
\l "_Tc4447" 【題型2 坐標(biāo)系中解直角三角形】 PAGEREF _Tc4447 \h 2
\l "_Tc5492" 【題型3 直接解直角三角形】 PAGEREF _Tc5492 \h 4
\l "_Tc31527" 【題型4 化斜為直解非直角三角形】 PAGEREF _Tc31527 \h 5
\l "_Tc14759" 【題型5 在四邊形中解直角三角形】 PAGEREF _Tc14759 \h 6
\l "_Tc7951" 【題型6 解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡比問題）】 PAGEREF _Tc7951 \h 7
\l "_Tc32016" 【題型7 解直角三角形的應(yīng)用（俯角仰角問題）】 PAGEREF _Tc32016 \h 9
\l "_Tc9617" 【題型8 解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題）】 PAGEREF _Tc9617 \h 11
\l "_Tc23795" 【題型9 解直角三角形的應(yīng)用（實(shí)物建模問題）】 PAGEREF _Tc23795 \h 13
【知識(shí)點(diǎn)1 直角三角形的邊角關(guān)系】
兩銳角關(guān)系：
（2）三邊關(guān)系：（勾股定理）
（3）邊角關(guān)系：， ，
【知識(shí)點(diǎn)2 解直角三角形的類型和解法】
【題型1 網(wǎng)格中解直角三角形】
【例1】（江蘇省江陰市澄江片2022-2023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖是由6個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知菱形的一個(gè)角（∠O）為120°，A、B、C都在格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值是________________．
【變式1-1】（2022年四川省廣元市萬達(dá)實(shí)驗(yàn)學(xué)校中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為_______．
【變式1-2】（2022年福建省中考數(shù)學(xué)模擬試卷（六））如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin=____．
【變式1-3】（2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（北京））如圖所示的正方形網(wǎng)格中，，，是網(wǎng)格線交點(diǎn)，的度數(shù)為__．
【題型2 坐標(biāo)系中解直角三角形】
【例2】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線y=x+3交x軸于A點(diǎn)，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)置于原點(diǎn)O，另兩個(gè)頂點(diǎn)M、N恰落在直線y=x+3上，若N點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則tan∠AON的值為（ ）
A．B．C．D．
【變式2-1】（2022年黑龍江省佳木斯市前進(jìn)區(qū)九年級(jí)中考三模數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)，，，，…所在直線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，，，…都在x軸上，，，，…都是等腰直角三角形，則等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為_______________．
【變式2-2】（2022·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10，4)，四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE=．若直線l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線l的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【變式2-3】（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在y軸和x軸上，為的中位線，過點(diǎn)D向x軸作垂線段，垂足為E，可得矩形．將矩形沿著x軸向右平移，設(shè)斜邊AB所在直線與矩形所圍直角三角形的面積為S．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，矩形頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________．
【題型3 直接解直角三角形】
【例3】（2022年廣東省深圳市寶安區(qū)中考數(shù)學(xué)備考沖刺題--模擬卷（四））如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分線EA與∠BCA的角平分線CD相交于點(diǎn)O，已知BD=4，OC=2，則OE=_________．
【變式3-1】（2022-2023中考1年模擬數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編）如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB為邊作等邊三角形ABD，使點(diǎn)D與點(diǎn)C在AB同側(cè)，連接CD，則CD=______．
【變式3-2】（安徽省亳州市2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研三數(shù)學(xué)試題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F．若BC＝4，，則AC的長(zhǎng)為__________．
【變式3-3】（2022·湖北武漢·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)．
（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；
（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；
（3）如圖3，若AC=BC，點(diǎn)H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．
【題型4 化斜為直解非直角三角形】
【例4】（福建省泉州市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，∠AEC=90°，ED=EC，DE交AC于點(diǎn)K，若EC=10，tan∠AED=，則AK=_______．
【變式4-1】（2022·湖北武漢·中考真題）如圖．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)．若DE平分△ABC的周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)是_____．
【變式4-2】（2022·江蘇省洪澤縣黃集中學(xué)一模））如圖，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）利用此圖形求tan15°的值.
【變式4-3】（2022·四川廣元·模擬預(yù)測(cè)）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出的一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形有兩角對(duì)應(yīng)相等，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“優(yōu)美分割線”．
（1）如圖，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”．
（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”，且△ACD是等腰三角形，求線段BD的長(zhǎng)．
【題型5 在四邊形中解直角三角形】
【例5】（2022年廣東省深圳市南山區(qū)南山外國(guó)語學(xué)校中考二模質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（5月））如圖，在菱形ABCD中，AB＝30，，點(diǎn)E在CD上，且DE＝10，BE交AC于點(diǎn)F，連接DF．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③；④正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【變式5-1】（2022·廣東·深圳市海濱中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，且AE=BE，連接DE，若AB=CD=CE=2，則tan∠DEC=_____．
【變式5-2】（2022·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=2，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使得點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F．G分別在邊AB．AD上，則sin∠EFG=__________ ．
【變式5-3】（河南省鄭州市中原區(qū)中原區(qū)第一中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，點(diǎn)E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△BAE沿BE折疊，點(diǎn)A落在處(在矩形內(nèi)部)，如果恰在矩形的某條對(duì)稱軸上，則AE的長(zhǎng)為__________．
【題型6 解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡比問題）】
【例6】（2022·重慶八中九年級(jí)期末）為了消防安全，學(xué)校在校園廣場(chǎng)步行梯（折線ABCD）處新建了學(xué)生宿舍安全通道（折線AEF），其剖面示意圖如圖所示，廣場(chǎng)步行梯AB，CD的坡角都是32°，且米，米，水平部分米；新建安全通道中水平部分米，步梯EF的坡度（即坡角的正切值）．新建安全通道頂端點(diǎn)F到廣場(chǎng)步行梯底部所在水平面DG的距離DF的長(zhǎng)約為（ ）（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）
A．8.8米B．9.0米C．9.4米D．9.6米
【變式6-1】（2022·四川資陽·九年級(jí)期末）如圖，在操場(chǎng)上的A處，測(cè)得旗桿頂端N點(diǎn)的仰角是，前進(jìn)20米后到達(dá)旗臺(tái)的底端B處，測(cè)得旗桿頂端N點(diǎn)的仰角是，繼續(xù)沿著坡比為的斜坡BC上升到C處，此時(shí)又測(cè)得旗桿頂端N點(diǎn)的仰角是，旗桿MN垂直于水平線AD，點(diǎn)A、B、D在同一直線上，CM//AD，求旗桿MN的高度．
【變式6-2】（2022·浙江嘉興·九年級(jí)專題練習(xí)）為了監(jiān)控危險(xiǎn)路段的車輛行駛情況，通常會(huì)設(shè)置電子眼進(jìn)行區(qū)間測(cè)速．如圖電子眼位于點(diǎn)P處，離地面的鉛垂高度PQ為11米；離坡AB的最短距離是11.2米，坡AB的坡比為3：4；電子眼照射在A 處時(shí)，電子眼的俯角為30°，電子眼照射在坡角點(diǎn)B處時(shí)，電子眼的俯角為70°．（A、B、P、Q在同一平面內(nèi)）
(1)求路段BQ的長(zhǎng)；（sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
(2)求路段AB的長(zhǎng)；（≈1.7，結(jié)果保留整數(shù)）
(3)如圖的這輛車看成矩形KLNM，車高2米，當(dāng)PA過M點(diǎn)時(shí)開始測(cè)速，PB過M點(diǎn)時(shí)結(jié)束測(cè)速，若在這個(gè)測(cè)速路段車輛所用的時(shí)間是1.5秒．該路段限速5米/秒，計(jì)算說明該車是否超速？
【變式6-3】（2022·上海市羅山中學(xué)九年級(jí)期中）圖1是某區(qū)規(guī)劃建設(shè)的過街天橋的側(cè)面示意圖，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨橋，兩腰AB，CD表示橋兩側(cè)的斜梯，A，D兩點(diǎn)在地面上，已知AD＝40m，設(shè)計(jì)橋高為4m，設(shè)計(jì)斜梯的坡度為1：2.4．點(diǎn)A左側(cè)25m點(diǎn)P處有一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以P為圓心，半徑為3m的圓形保護(hù)區(qū)．
(1)求主跨橋與橋兩側(cè)斜梯的長(zhǎng)度之和；
(2)為了保證橋下大貨車的安全通行，橋高要增加到5m，同時(shí)為了方便自行車及電動(dòng)車上橋，新斜梯的坡度要減小到1：4，新方案主跨橋的水平位置和長(zhǎng)度保持不變．另外，新方案要修建一個(gè)緩坡MN作為輪椅坡道，坡道終點(diǎn)N在左側(cè)的新斜梯上，并在點(diǎn)N處安裝無障礙電梯，坡道起點(diǎn)M在AP上，且不能影響到古樹的圓形保護(hù)區(qū)．已知點(diǎn)N距離地面的高度為0.9m，請(qǐng)利用表中的數(shù)據(jù)，通過計(jì)算判斷輪椅坡道的設(shè)計(jì)是否可行．
表：輪椅坡道的最大高度和水平長(zhǎng)度
【題型7 解直角三角形的應(yīng)用（俯角仰角問題）】
【例7】（2022·重慶巴蜀中學(xué)九年級(jí)）如圖，巴蜀中學(xué)旁邊高36米的高樓AB正對(duì)著斜坡CD，點(diǎn)E在斜坡處．已知斜坡的坡角∠DCG為30°，AB⊥BC，若點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，從點(diǎn)E處測(cè)得樓頂A的仰角α為37°，樓底B的俯角β為24°，現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)E處挖去部分斜坡，修建一個(gè)平行于水平線BC的平臺(tái)EF和一條新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比為：1．某施工隊(duì)承接這項(xiàng)任務(wù)，為盡快完成任務(wù)，增加了人手，實(shí)際工作效率提高到原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前2天完成任務(wù)，施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天修建_________米？（結(jié)果保留1位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cs24°≈0.91）
【變式7-1】（2022·四川廣元·中考真題）如圖，某無人機(jī)愛好者在一小區(qū)外放飛無人機(jī)，當(dāng)無人機(jī)飛行到一定高度D點(diǎn)處時(shí)，無人機(jī)測(cè)得操控者A的俯角為，測(cè)得小區(qū)樓房頂端點(diǎn)C處的俯角為．已知操控者A和小區(qū)樓房之間的距離為45米，小區(qū)樓房的高度為米．
（1）求此時(shí)無人機(jī)的高度；
（2）在（1）條件下，若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行．問：經(jīng)過多少秒時(shí)，無人機(jī)剛好離開了操控者的視線？（假定點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面內(nèi)．參考數(shù)據(jù)：，．計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）
【變式7-2】（2022·山東聊城·中考真題）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國(guó)寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測(cè)量古槐的高度，如圖②所示，當(dāng)無人機(jī)從位于塔基B點(diǎn)與古槐底D點(diǎn)之間的地面H點(diǎn)，豎直起飛到正上方45米E點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點(diǎn)B，H，D三點(diǎn)在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【變式7-3】（2022·四川自貢·九年級(jí)專題練習(xí)）某水庫(kù)大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中，大壩頂上有一瞭望臺(tái)PC，PC正前方有兩艘漁船M，N．觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°．已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長(zhǎng)為30米．
(1)求兩漁船M，N之間的距離（結(jié)果精確到1米）；
(2)已知壩高24米，壩長(zhǎng)100米，背水坡AD的坡度，為提高大壩防洪能力，請(qǐng)施工隊(duì)將大壩的背水坡通過填筑土石方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度，完成這項(xiàng)工程需填筑土石方多少立方米？（參考數(shù)據(jù)：，）
【題型8 解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題）】
【例8】（2022·河南·漯河市郾城區(qū)第二初級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到來自故障船C的求救信號(hào)，已知A、B相距海里，C在A的北偏東60°方向上，C在B的東南方向上，MN上有一觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得C正好在觀測(cè)點(diǎn)D的南偏東75°方向上．
(1)求AC和AD（運(yùn)算結(jié)果若有根號(hào)，保留根號(hào)）；
(2)已知距觀測(cè)點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁，若巡邏船A沿直線AC去營(yíng)救船C，在去營(yíng)救的途中有無觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：，）
【變式8-1】（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一艘軍艦在A處測(cè)得小島P位于南偏東60°方向，向正東航行40海里后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小島P位于南偏西75°方向，求小島P離觀測(cè)點(diǎn)B的距離．
【變式8-2】（2022·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，線段EF與MN表示某一段河的兩岸，EF平行MN．綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們需要在河岸MN上測(cè)量這段河的寬度（EF與MN之間的距離），已知河對(duì)岸EF上有建筑物C、D，且CD＝30米，同學(xué)們首先在河岸MN上選取點(diǎn)A處，用測(cè)角儀測(cè)得C建筑物位于A北偏東45°方向，再沿河岸走10米到達(dá)B處，測(cè)得D建筑物位于B北偏東55°方向，請(qǐng)你根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)求出該段河的寬度，（用非特殊角的三角函數(shù)或根式表示即可）
【變式8-3】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）因東坡文化遠(yuǎn)近聞名的遺愛湖公園，“國(guó)慶黃金周”期間，游人絡(luò)繹不絕，現(xiàn)有一艘游船載著游客在遺愛湖中游覽，當(dāng)船在A處時(shí)，船上游客發(fā)現(xiàn)岸上P1處的臨皋亭和P2處的遺愛亭都在東北方向；當(dāng)游船向正東方向行駛600m到達(dá)B處時(shí)，游客發(fā)現(xiàn)遺愛亭在北偏西15°方向；當(dāng)游船繼續(xù)向正東方向行駛400m到達(dá)C處時(shí)，游客發(fā)現(xiàn)臨皋亭在北偏西60°方向．則臨皋亭P1處與遺愛亭P2處之間的距離為 _____．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）
【題型9 解直角三角形的應(yīng)用（實(shí)物建模問題）】
【例9】（2022·浙江溫州·八年級(jí)期中）圖1是一張可調(diào)節(jié)靠椅，調(diào)節(jié)示意圖如圖2，已知兩支腳AB＝AC＝10分米，BC＝12分米，O為AC上固定連接點(diǎn)，靠背OD＝10分米．檔位為Ⅰ檔時(shí)，ODAB．檔位為Ⅱ檔時(shí)，OD⊥AC．當(dāng)靠椅由Ⅰ檔調(diào)節(jié)為Ⅱ檔時(shí)，EF＝________分米．
【變式9-1】（2022·浙江·金華市南苑中學(xué)九年級(jí)期中）圖1是一種兒童可折疊滑板車，該滑板車完全展開后示意圖如圖2所示，由車架和兩個(gè)大小相同的車輪組成，已知，，，當(dāng)，，F(xiàn)在同一水平高度上時(shí)，135°，則______；為方便存放，將車架前部分繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至，如圖3所示，則為______．
【變式9-2】（2022·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)期中）如圖1是一個(gè)水龍頭的示意圖，類似于字母“”的形狀，將其抽象成如圖2所示的截面圖形，線段是一根固定的軸，線段，均垂直于線段，出水口在點(diǎn)處，為自來水開關(guān)，即為無水狀態(tài)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針向上轉(zhuǎn)動(dòng)即是開水．若已知，，．（參考數(shù)據(jù)，精確到0．1，，，，，）
(1)求出水龍頭不開時(shí)，點(diǎn)與出水口的距離；
(2)當(dāng)向上旋轉(zhuǎn)時(shí)，即是最大出水量，求出最大出水量時(shí)，點(diǎn)與出水口的距離．
【變式9-3】（2022·江蘇宿遷·一模）如圖1是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，如圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．量得托板長(zhǎng)AB=120mm，支撐板長(zhǎng)CD=80mm，底座長(zhǎng)DE=90mm．托板AB固定在支撐板頂端點(diǎn)C處，且CB=40mm，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)．
(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求點(diǎn)A到直線DE的距離；
(2)為了觀看舒適，在（1）的條件下，把AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°后，再將CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線DE上．畫出圖形，并求CD旋轉(zhuǎn)的角度；
（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cs26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732．計(jì)算結(jié)果均精確到0.1）已知條件
圖形
解法
對(duì)邊
鄰邊
斜邊
A
C
B
b
已知一直角邊和一個(gè)銳角
已知斜邊和一個(gè)銳角
已知兩直角邊
已知斜邊和一條直角邊
坡度
1：20
1：16
1：12
1：10
1：8
最大高度（m）
1.20
0.90
0.75
0.60
0.30
水平長(zhǎng)度（m）
24.00
14.40
9.00
6.00
2.40

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23.2 解直角三角形及其應(yīng)用

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