教學(xué)目標(biāo)： 1.使學(xué)生把方向角問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，從 而會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，進一步提 高數(shù)學(xué)建模能力； 2.通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互 　 余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分 　 析問題、解決問題的能力． 教學(xué)重點： 將方向角問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形 元素之間的關(guān)系，從而利用所學(xué)知識解決實際題．
在解直角三角形及應(yīng)用時經(jīng)常接觸到的一些概念
1.已知島P位于島Q的正西方，由島P，Q分 別測得船R位于南偏東30°和南偏西45°方向，則下列符合條件的示意圖是( ).
4.如圖，一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛40海里到達B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛40海里到達C地，則A，C兩地的距離為 .
有一個角是60的三角形是等邊三角形
例 如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(結(jié)果取整數(shù))？
解：如圖 ，設(shè)PC⊥AB于C
在Rt△APC中，∠APC=90°－ 65°=25°
∴PC=80cs25°
=80×0.9063
在Rt△BPC中，∠B=34°
當(dāng)海輪到達位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約130海里．
例5.一船以20 n mile/h的速度向東航行，在A處測得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達B處，再測得燈塔C在北偏東30°方向上. 已知燈塔C四周10 n mile內(nèi)有暗礁，問這船繼續(xù)向東航行是否安全？
燈塔C到航線的距離是否大于10
解：由點C作AB的垂線
交AB的延長線于點D，垂足為D，
由題意圖示可知∠CAD=30° ，
∴這船繼續(xù)向東航行是安全的.
∴CD=BD tan60°
一船向東航行，上午9：00到達燈塔C的西南60n mile的點A處，上午10：00到達燈塔C的正南的點B處.(1)畫出示意圖.(2)求這船的航行速度. (結(jié)果保留根號).
一船向東航行，上午9：00到達燈塔C的西南60n mile的點A處，上午10：00到達燈塔C的正南的點B處. (2)求這船的航行速度(結(jié)果保留根號).
在Rt△BPC中，∠A=45°，AC=60
∴AB=ACcs45°
對于方向角問題，首先要清楚方向角的表示方法，然后將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解.解題時要充分利用表示南北和東西的方向線作輔助線或?qū)ふ医嵌戎g的關(guān)系.
1. 如圖 ，甲從點 A 出發(fā)向北偏東 60°方向走到點B，乙從點A出發(fā)向南偏西 20°方向走到點C，則∠BAC的度數(shù)是( ). A.80°B. 100° C.120°D.140°
2.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向距離燈塔2nmile的點A處.若海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，則海輪航行的距離AB為( ). A.2 n mile B. 2cs 55°n mile C. 2sin 55°n mile D. 2tan 55°n mile
3.如圖，一艘船向東航行，上午8時到達A處，此時測得燈塔B在船的北偏東 30°方向，且距離船48nmile.上午11時船到達C處，此時測得燈塔 B在船的正北方向，則這艘船航行的速度是( ). A.24 n mile/h B. 8 n mile/h C.24 n mile/h D. 8 n mile/h
4.如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔60nmile的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距離為( ). A.60 n mile B. 60 n mile C.30 n mile D. 30 n
5.如圖，某海防哨所O發(fā)現(xiàn)在它的北偏西30°方向，距離為400m的A處有一艘船，該船向正東方向航行，經(jīng)過2min到達哨所東北方向的B處，則該船的航速為 m/min. (結(jié)果保留根號)
6.如圖，輪船在A處觀測燈塔C位于北偏東70°方向上，輪船從A處以30nmile/h的速度沿南偏東50°方向勻速航行，1h后到達碼頭B處，此時觀測燈塔C位于北偏東25方向上，則燈塔C與碼頭B之間的距離是 nmile(結(jié)果保留根號).
7.如圖，漁船由西向東航行，到達A處時，測得小島C位于它的北偏東53°方向，再航行3km后達到B處，測得小島C位于它的北偏東45°方向.小島C的周圍8km內(nèi)有暗礁，若漁船不改變航向繼續(xù)向東航行，請你通過計算說明漁船有無觸礁的危險(參考數(shù)據(jù):sin 53°≈ ，cs 53≈ ，tan 53°≈ .)
答：漁船沒有觸礁的危險.
解：過點C作CD⊥AB于點D，
則∠ ACD=53°，
∠BCD=∠CBD= 45°.
在Rt△ACD中，tan∠ACD= ·
∴ 3(3＋x)=4x

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23.2 解直角三角形及其應(yīng)用

版本： 滬科版（2024）

年級： 九年級上冊

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