解直角三角形的理論在實(shí)際中的應(yīng)用是學(xué)生在熟練掌握了勾股定理，直角三角形中兩銳角互余，銳角三角函數(shù)，能利用直角三角形中的這些關(guān)系解直角三角形的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，主要應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會用直角三角形的有關(guān)知識去解決某些簡單的實(shí)際問題．它既是前面所學(xué)知識的運(yùn)用，也是高中繼續(xù)解斜三角形的重要預(yù)備知識．它的學(xué)習(xí)還蘊(yùn)涵著深刻的數(shù)學(xué)思想方法(數(shù)學(xué)建模、轉(zhuǎn)化化歸)，在本節(jié)教學(xué)中有針對性地對學(xué)生進(jìn)行這方面的能力培養(yǎng)．
教學(xué)目標(biāo)： 1.使學(xué)生把仰角、俯角問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題， 從而會把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，進(jìn)一步 提高數(shù)學(xué)建模能力； 2.通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互 　 余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分 　 析問題、解決問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)： 將仰角、俯角問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形 元素之間的關(guān)系，從而利用所學(xué)知識解決實(shí)際題．
(1)三邊之間的關(guān)系　　　　　
直角三角形各元素之間的關(guān)系
(2)兩銳角之間的關(guān)系 　　
例3.如圖，一學(xué)生要測量校園內(nèi)一棵水杉樹的高度，他站在距離水杉樹8米的E處，測得樹頂?shù)难鼋恰螦CD=52°，已知測角器的架高CE=1.6m，問樹高AB為多少米？(精確到0.1m)．
在進(jìn)行測量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；
從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.
要求tan∠ACD=?
∵ tan∠ACD=
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=52°，
∴AD=CD·tan∠ACD
∵ DB= CE=1.6m.
答：樹高AB為11.8米.
1.如圖，飛機(jī)的飛行高度AB=1000米，從飛機(jī)上測得地面著陸點(diǎn)C的俯角為18°，求飛機(jī)到著陸點(diǎn)的距離AC的值(精確到1m).
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=18°，
答：飛機(jī)到著陸點(diǎn)的距離AC的值為3236m.
2. 如圖，沿AC方向開山修路．為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一側(cè)的E處同時(shí)施工，如果從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么開挖點(diǎn)E離D多遠(yuǎn)，才能使點(diǎn)A，C，E正好成一直線(精確到1m).
∴∠E=∠ABD－∠D
答：開挖點(diǎn)E離點(diǎn)D 333m能使A，C，E正好成一直線.
解：要使A、C、E在同一直線上，則 ∠ABD是 △BDE 的一個(gè)外角.
∴DE=BDcs50°
=140°－50°=90°.
在Rt△BED中，∠E=90°，∠D=50°，
由于仰角、俯角是視線與水平線所夾的角，因此當(dāng)題目中已知仰角、俯角時(shí)，我們可以作出水平線，獲得直角三角形，從而根據(jù)解直角三角形的知識求出線段長．
1.如圖，從點(diǎn)C觀測點(diǎn)D的仰角是( ). A. ∠DAB B. ∠DCE C. ∠DCA D. ∠ADC
2.如圖，從點(diǎn)A處觀測點(diǎn)B的仰角為40°，則從點(diǎn)B處觀測點(diǎn)A的俯角為( ). A. 30° B.40° C.50° D. 60°
4.如圖，小亮為了測量校園里教學(xué)樓 AB 的高度，將測角儀CD 豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為18 m的地面上.若測角儀的高度為1.5m，測得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30°，則教學(xué)樓AB的高度是( ). A.55.5 m B.54 m C. 19.5 m D. 18 m
5.如圖，從一棟二層樓的樓頂點(diǎn)A處看對面的教學(xué)樓，探測器顯示，教學(xué)樓底部點(diǎn)C處的俯角為45°，樓頂部點(diǎn)D處的仰角為60°，且兩棟樓之間的水平距離為6m，則教學(xué)樓的高CD是( ). A.(6＋6 )m B.(6＋3 )m C.(6＋2 )m D. 12 m
6.如圖，為了測量樓的高度，自樓的頂部A看地面上的一點(diǎn)B，俯角為 30°.已知地面上的這點(diǎn)與樓的水平距離BC為30m，那么樓的高度AC為 m(結(jié)果保留根號).
7.如圖，從位于塔頂?shù)挠^測點(diǎn)C測得兩建筑物底部A，B俯角分別為 45°和60°，此觀測點(diǎn)C離地面的高度為51m，A，B兩點(diǎn)在CD的兩側(cè)，且點(diǎn)A，B，D在同一水平直線上，則A，B之間的距離是 m(結(jié)果保留根號).
8.如圖，從甲樓的底部A處測得乙樓頂部C出的仰角為30°，從甲樓頂部B處測得乙樓D處的俯角時(shí)45°.已知甲樓的高是100m，則乙樓的高CD是 m.
　　應(yīng)用解直角三角形的方法解決實(shí)際問題的一般步驟：　　(1)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)；　　(2)根據(jù)條件，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)解直角三角形；　　(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；　　(4)得到實(shí)際問題的答案．　　如果問題不能歸結(jié)為一個(gè)直角三角形，則應(yīng)當(dāng)對所求的量進(jìn)行分解，將其中的一部分量歸結(jié)為直角三角形中的量．
課本P131頁第1、2題

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23.2 解直角三角形及其應(yīng)用

版本： 滬科版（2024）

年級： 九年級上冊

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