教學目標： 1.使學生把仰角、俯角問題轉化為解直角三角形問題， 從而會把實際問題轉化為數學問題來解決，進一步 提高數學建模能力； 2.通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互 　 余及銳角三角函數解直角三角形，逐步培養(yǎng)學生分 　 析問題、解決問題的能力． 教學重點： 將仰角、俯角問題中的數量關系，歸結為直角三角形 元素之間的關系，從而利用所學知識解決實際題．
一條邊和一個銳角　　　　　
斜邊 c 和銳角∠A　　　　　
直角邊 a 和銳角∠A　　　　　
兩條直角邊 a 和 b　　　　
斜邊 c 和直角邊 a　　　　
∠B=90°－∠A，　　　　
勾股求邊，互余求角. 有斜用弦，無斜用切. 取原避中，寧乘勿除.
上節(jié)課，我們利用銳角三角函數的知識解決了測量可以到達物體底部的物體高度問題。
如果物體底部不可達到時，又如何測量的物體高度呢？
例4如圖，某校九年級學生要測量當地電視塔的高度AB，因為不能直接到達塔底B處，他們采用在發(fā)射臺院外與電視塔底B成一直線的C、D兩處地面上，用測角器測得電視塔頂部A的仰角分別為45°和30°，同時量得CD為50m，已知測角器高為1m，問電視塔的高度為多少米?(精確到1 m)
要求∠C1AB1=∠AC1B1
解:設AB1=x?m.?
在Rt△AC1B1中，∵ ∠AC1B1=45°，?
∴∠C1AB1=∠AC1B1=45°，
∴C1B1=AB1.?
∵ D1C1=DC=50，?
∴D1B1=D1C1＋C1B1?
在Rt△AD1B1中，
tan∠AD1B1=?
∵ ∠AD1B1=30°，?
∴AB1=D1B1tan30°
∴x= (50＋x)
x= (50＋x)
∴3x= (50＋x)
∴3x－ =
=25( ＋1)
∴x= (50＋x)，
∴x=25( ＋1)
∴AB=AB1＋BB1?
答：電視塔的高度為69米.
∵∠AD1B1=30°，?
D1B12＋AB12?
∴(2x)2=(50＋x)2＋x2
因測量得的仰角是特殊銳角，所以可有特殊解法
∴4x2=2500＋100x＋x2＋x2
∴x2－50x－1250=0
∴2x2－100x－2500=0
∴x2－50x=1250
∴x2－50x＋625=1250＋625
∴(x－25)2=1875
∴AB1= .?
1.如圖，某直升機于空中A處測得正前方地面控制點C的俯角為30°；若航向不變，直升機繼續(xù)向前飛行1000米至B處，測得地面控制點C的俯角為45°.求直升機再向前飛行遠，與地面控制點C的距離最近？(結果保留根號).
過點C作CD垂直于AB于D.
在Rt△BCD中，∵ ∠CBD=45°，?
∴∠BCD=∠CBD=45°，
AD=(1000＋x)m
∵∠CAD=30°，?
∴CD=ADtan30°
∴x= (1000＋x)，
∴x=500( ＋1)
2.海上有一小島，為了測量小島兩端A、B的距離，測量人員設計了一種測量方法，如圖所示，已知B點是CD的中點，E是BA延長線上的一點，測得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cs∠D= .
(1)求小島兩端A、B的距離；(2)過點C作CF⊥AB交AB的延長線于點F， 求sin∠BCF的值.
解：(1)在Rt△CDE中，
∴BE= CD
(2)在Rt△CDE中，由勾股定理得
∴cs∠BEC=cs∠BCE
∴sin∠BCF =
利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：
　　(1)將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題）；　　(2)根據條件的特點，適當選用銳角三角函數等去解直角三角形；　　(3)得到數學問題的解；　　(4)得到實際問題的解．
1.如圖，大樓外墻有高為AB 的廣告牌，由距離大樓20 米的點 C(即CD=20米)觀察它的頂部 A的仰角是55° ，底部B 的仰角是42° ．則 AB的高度為 米．參考數據：
sin55° ≈0.82，cs55° ≈0.57，tan55° ≈1.43;
sin42° ≈0.67，cs42° ≈0.74，tan42° ≈0.90.
2.如圖，某景區(qū)有一處索道游覽山谷的旅游點，已知索道兩端距離AB為1300米，在山腳C點測得BC的距離為500米，∠ACB=90°，在C點觀測山峰頂點A的仰角∠ACD=23.5°，則山峰AD的高度為 米.(參考數據:sin23.5°≈0.40,cs23.5°=0.92,tan23.5°=0.43)
3.如圖，某樓房附近有一個斜坡，小張發(fā)現樓房在水平地面與斜坡處形成的投影中，在斜坡上的影子CD=6m，坡腳到樓房的距離CB＝8m.在D點處觀察樓頂A點的仰角為54°，坡角∠DCE＝30o.則樓房AB的高為 m. (結果精確0.1m).( ， ， ， . )
本節(jié)課在前面研究了解直角三角形的方法，通過例3、例4介紹了利用直角三角形中余弦、正切關系解決有關測量、建筑等方面的實際問題的基礎上，結合“在航海中確定輪船距離燈塔有多遠”的實際問題介紹解直角三角形的理論在實際中的應用，進一步領悟解直角三角形的知識也是解決實際問題的有效數學工具，在思想和方法上是提升．

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23.2 解直角三角形及其應用

版本： 滬科版（2024）

年級： 九年級上冊

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