一、基本概念
1、數(shù)列
（1）定義．
按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列．
（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系．
從函數(shù)的角度來看，數(shù)列是特殊的函數(shù)．在中，當(dāng)自變量時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就構(gòu)成一數(shù)列，通常記為，所以數(shù)列有些問題可用函數(shù)方法來解決．
2、等差數(shù)列
（1）定義．
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù)，則該數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公差，常用字母表示，即．
（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．
若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則其通項(xiàng)公式為，是關(guān)于的一次型函數(shù)．或，公差（直線的斜率）（）．
（3）等差中項(xiàng)．
若成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)，即或．在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外），每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上，等差數(shù)列中每一項(xiàng)都是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)．
（4）等差數(shù)列的前項(xiàng)和（類似于），是關(guān)于的二次型函數(shù)（二次項(xiàng)系數(shù)為且常數(shù)項(xiàng)為0）．的圖像在過原點(diǎn)的直線上或在過原點(diǎn)的拋物線上．
3、等比數(shù)列
（1）定義．
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，則該數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公比，常用字母表示，即．
（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．
等比數(shù)列的通項(xiàng)，是不含常數(shù)項(xiàng)的指數(shù)型函數(shù)．
（3）．
（4）等比中項(xiàng)
如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)，即或（兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)）．
（5）等比數(shù)列的前項(xiàng)和
二、基本性質(zhì)
1、等差數(shù)列的性質(zhì)
（1）等差中項(xiàng)的推廣．
當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有．
（2）等差數(shù)列線性組合．
①設(shè)是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．
②設(shè)是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．
（3）等差數(shù)列的單調(diào)性及前項(xiàng)和的最值．
公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；
公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；
公差為常數(shù)列．
特別地
若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；
若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．
（4）其他衍生等差數(shù)列．
若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則為等差數(shù)列，公差為．
2、等比數(shù)列的性質(zhì)
（1）等比中項(xiàng)的推廣．
若時(shí)，則，特別地，當(dāng)時(shí)，．
（2）①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．
②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．
（3）等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)與公比決定）．
當(dāng)或時(shí)，為遞增數(shù)列；
當(dāng)或時(shí)，為遞減數(shù)列．
（4）其他衍生等比數(shù)列．
若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則為等比數(shù)列，公比為（當(dāng)時(shí)，不為偶數(shù)）．
3、等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化
（1）若為正項(xiàng)等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．
（2）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列．
（3）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．
【典型例題】
例1．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】因?yàn)椋畹墓顬閐，
則，
故選：D．
例2．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，為等差數(shù)列，若，則（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】，故，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
所以，故，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
故選：D．
例3．（2024·北京海淀·一模）已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和.若，公差，則m的值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】由已知，得，
又，又，
所以，解得或（舍去）
故選：B.
例4．（2024·四川南充·二模）在中國文化中，竹子被用來象征高潔、堅(jiān)韌、不屈的品質(zhì).竹子在中國的歷史可以追溯到遠(yuǎn)古時(shí)代，早在新石器時(shí)代晚期，人類就已經(jīng)開始使用竹子了.竹子可以用來加工成日用品，比如竹簡(jiǎn)、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等.現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料，這九種竹筒的容積（單位：L）依次成等差數(shù)列，若，，則（ ）
A．5.4B．6.3C．7.2D．13.5
【答案】C
【解析】為等差數(shù)列，
，故
．
故選：C．
例5．（2024·北京朝陽·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（ ）
A．9B．16C．21D．25
【答案】C
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，得，
.
故選：C
例6．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】由題意，知且，則，解得．
故選：C．
例7．（2024·廣東廣州·一模）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，即，
故．
故選：C．
例8．（2024·寧夏固原·一模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則 ．
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則有,解得：，
所以.
故答案為：
例9．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，則 ．
【答案】
【解析】由數(shù)列的首項(xiàng)，且數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，
可得，則，
所以.
故答案為：.
例10．（2024·高三·上?！ｎ}練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則實(shí)數(shù)λ的值是 ．
【答案】-2
【解析】等比數(shù)列中，由可得，
則，若公比，則，
則，故，
則等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，（），
故令，即，
故答案為：
例11．（2024·高三·廣東廣州·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列的公比 ．
【答案】
【解析】由題意可知：，
根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)公式可得：①，②,
聯(lián)立①②可得，解得.
故答案為：
例12．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則 ．
【答案】/
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為．
，
，解得．
，
，解得.
，，
．
故答案為：.
例13．（2024·青?！ざ＃┑炔顢?shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記為數(shù)列前項(xiàng)的和，若，求．
【解析】（1）設(shè)的公差為，由題設(shè)得
因?yàn)?，所以，解得?br>故.
（2）由（1）得．
所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以，
由得，解得.
例14．（2024·四川瀘州·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，整理得，
所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為;
（2）因?yàn)椋?br>由題意得：，即，
所以.
例15．（2024·高三·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知數(shù)列滿足，，設(shè).
(1)求，，；
(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；
(3)求的通項(xiàng)公式
【解析】（1）由條件可得，
將代入，得，而，所以，
將代入，得，所以，
又，從而，，.
（2）數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，理由如下：
由條件可得，即，
又，所以是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列
（3）由（2）可得，所以.
【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·三模）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，則（ ）
A．65B．55C．45D．35
【答案】D
【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，則，
．
故選：D
2．（2024·湖北·二模）已知公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是等比數(shù)列，則當(dāng)取最大值時(shí)，（ ）
A．2或3B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是等比數(shù)列，
得，解得，則，
顯然等差數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)取最大值時(shí)，.
故選：B
3．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列：，，，，滿足，，則（ ）
A．5.4B．6.3C．7.2D．13.5
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的的公差為，
由題意可知，解得，
所以.
故選：B.
4．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列滿足，，則（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，?br>可得，解得，所以.
故選：B.
5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若，則（ ）
A．5B．7C．9D．17
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，
由，得，
所以．
故選：C
6．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【答案】C
【解析】由等差數(shù)列的等和性可得，
.
故選：C.
7．（2024·高三·甘肅張掖·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．39B．63C．75D．99
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，所以?br>解得或（舍去），
所以.
故選：B.
8．（2024·山西朔州·一模）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】A
【解析】因?yàn)?，故即，而?br>故，
故選：A
9．（2024·高一·江西南昌·期中）已知等差數(shù)列中，是它的前項(xiàng)和，若，則當(dāng)最大時(shí)，的值為（ ）
A．8B．9C．10D．16
【答案】A
【解析】∵等差數(shù)列中，,
∴
故，繼而,
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知前8項(xiàng)均為正數(shù)項(xiàng)，
∴數(shù)列的前8項(xiàng)和最大；
故選：A．
10．（2024·天津·一模）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，，則（ ）
A．54B．45C．23D．18
【答案】C
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，?br>所以，解得，
所以.
故選：C
11．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（ ）
A．4B．5C．6D．3
【答案】B
【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，解得，
所以.
故選：B.
12．（2024·河南·三模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且與的等差中項(xiàng)為，則（ ）
A．29B．31C．33D．36
【答案】B
【解析】不妨設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，因，則①
又由與的等差中項(xiàng)為可得：，即②
將①代入②，可得：，回代入①，解得：，于是
故選：B.
13．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（ ）
A．12B．23C．24D．18
【答案】C
【解析】由數(shù)列為等差數(shù)列，得，得，
又，則．
故選:C．
14．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋?br>可得，解得，
又由，可得，解得，
所以.
故選：C.
15．（2024·湖南·二模）已知是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和.若，則的值為（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【解析】由可得：等比數(shù)列的公比.
，化簡(jiǎn)得，整理得，
又，
，
.
故選：C.
16．（2024·高三·江西·階段練習(xí)）已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（ ）
A．212B．168C．121D．163
【答案】C
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，
因?yàn)?，又?br>所以，因?yàn)椋?br>所以或，
若，則，解得，，
所以，
若，則，解得，，
所以，
所以，
故選：C.
17．（2024·廣西·二模）設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【解析】由題意得，，
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，故，
即，解得，
故.
故選：D
18．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．63B．728C．730D．64
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，即，
，
.
故選：B．
19．（2024·高三·陜西安康·階段練習(xí)）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知，
可得，，，，，，等式左右分別相加可得，
又，即，
所以，
又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，
所以，
所以，
故選：A.
20．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，，所以，解得，
又，解得，
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
所以，所以.
故選：B．
21．（2024·廣東江門·一模）已知是等比數(shù)列，，且，是方程兩根，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，，又，所以，
又，是方程兩根，
所以.
故選：C
22．（2024·河北邯鄲·三模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)互不相等，且，，成等差數(shù)列，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，即，
所以，解得或（舍去），
所以．
故選：D
23．（2024·陜西西安·二模）已知等差數(shù)列的公差為，且是與的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可得，即，解得，
則.
故選：C.
24．（2024·陜西西安·二模）已知等比數(shù)列中，公比，其前項(xiàng)和 ，則（ ）
A．B．C．D．24
【答案】C
【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列前項(xiàng)和，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：C.
25．（2024·江蘇·一模）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，得：，
即：，
所以，，
又，所以，，
所以，.
故選：A.
26．（2024·湖南衡陽·二模）已知是等比數(shù)列，且，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，又，解得.
故選：C.
27．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則=（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】C
【解析】是正項(xiàng)等比數(shù)列，由，
得，得．
故選：C
28．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使得這三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，則這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)是（ ）
A．8B．10
C．12D．16
【答案】A
【解析】解析：當(dāng)公比為2時(shí)，等比數(shù)列可為1，2，4；2，4，8；當(dāng)公比為3時(shí)，等比數(shù)列可為1，3，9；當(dāng)公比為
時(shí)，等比數(shù)列可為4，6，9.同時(shí)，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比數(shù)列，共8個(gè)．
29．（2024·安徽黃山·一模）已知是以為公比的等比數(shù)列，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)閿?shù)列是以為公比的等比數(shù)列，且，，
則，解得.
故選：A.
二、多選題
30．（2024·高一·福建寧德·期末）公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，下列說法正確的有（ ）
A．B．C．中最大D．
【答案】AD
【解析】由，得，
又，得，，
所以，，數(shù)列是遞減數(shù)列，其前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)起均為負(fù)數(shù)，
等差數(shù)列，公差，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；前6項(xiàng)和最大，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由，，有，則，D選項(xiàng)正確.
故選：AD.
三、填空題
31．（2024·高三·湖南·階段練習(xí)）等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差不為，若，，成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)的和為 ．
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為且，且，
因?yàn)椋?，成等比?shù)列，可得，即，
即或（舍去），
設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以.
故答案為：.
32．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，公差，且成等比數(shù)列，則 .
【答案】4
【解析】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，
即，解得或（舍）.
故答案為：4
33．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則 .
【答案】10
【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，即，所以，
又因?yàn)?，所以，所以?br>所以，，
所以公差，所以，
所以.
故答案為：10
34．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則 ．
【答案】0
【解析】設(shè)首項(xiàng)為，公差為d．∵，
∴，
∴，∴，
∴．
故答案為：.
35．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則 ．
【答案】
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意知且，
則，解得．
則，，
．
故答案為：.
36．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差不為零，成等比數(shù)列，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 .
【答案】
【解析】設(shè)的公差為，
成等比數(shù)列，，即，解得，
，，解得，
.
故答案為：
37．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則 ．
【答案】
【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，而，
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，則，，
所以.
故答案為：
四、解答題
38．（2024·高三·四川巴中·階段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中；
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題可得：，又，解得，
故.
（2），
故.
故數(shù)列的前項(xiàng)和.
39．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，是的等比中項(xiàng)，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為．
【解析】（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)槭堑牡缺戎许?xiàng)，所以，即，
又，即，即，
解得或（舍去），
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
所以，
所以．
40．（2024·黑龍江吉林·二模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，是公差為1的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
【解析】（1）因是公差為1的等差數(shù)列，而，則，
因此，即，
當(dāng)時(shí)，，
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，
所以的通項(xiàng)公式是.
（2）證明：由（1）知：，
所以
.
41．（2024·四川瀘州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在，與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，
所以，即，
所以，
即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以，則，
所以
.
42．（2024·高三·山東濟(jì)寧·期末）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，成等差數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，
由條件可知，，即，
所以，得，
又因?yàn)椋茫?br>所以；
（2）由（1）可知，，，
所以.
43．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，且滿足．設(shè)，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】（1）∵，，∴，
∵，∴，
又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴，.
（2）∵，
∴當(dāng)時(shí)，
，又也滿足上式，
所以.
44．（2024·高三·浙江溫州·期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）由題知：①，
②，
②÷①得，，解得，代入①式得，，
所以．
（2）由（1）知：，
所以，
所以 ．
45．（2024·新疆烏魯木齊·一模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
由題意可得，則，
即，解得，
所以.
（2）因?yàn)?，則，且，
即數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以．
46．（2024·高二·湖南·期末）已知數(shù)列滿足，且對(duì)于任意m，，都有．
(1)證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）取，則由，得．
因?yàn)?，所以，所以是?為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
故．
（2）由（1）可知，
則，
故．

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