目錄
【真題自測】2
【考點突破】3
【考點一】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算3
【考點二】等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)4
【考點三】等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明6
【專題精練】7
考情分析：
1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).
2.等差、等比數(shù)列求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點．
真題自測
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）已知等差數(shù)列an的前項和為，若，則（ ）
A．B．C．1D．
2．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．
3．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列an的前項和，已知，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（ ）
A．25B．22C．20D．15
5．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1B．C．0D．
6．（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
7．（2023·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（ ）
A．B．C．15D．40
8．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（ ）．
A．120B．85C．D．
二、填空題
9．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則 .
10．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則 .
考點突破
【考點一】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算
核心梳理：
等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)
(1)等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d，
an＝am＋(n－m)d.
(2)等比數(shù)列的通項公式：an＝a1qn－1，
an＝am·qn－m.
(3)等差數(shù)列的求和公式：
Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.
(4)等比數(shù)列的求和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))
一、單選題
1．（2024·湖南長沙·一模）古印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在《莉拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日4德拉瑪（古印度貨幣單位），其后日增5德拉瑪.朋友啊，請馬上告訴我，半個月中，他總共布施多少德拉瑪？在這個問題中，這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為（ ）
A．413B．427C．308D．133
2．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）記等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
3．（22-23高二下·河南信陽·階段練習(xí)）等差數(shù)列的前項和記為，若，則成立的是（ ）
A．
B．的最大值是
C．
D．當(dāng)時，最大值為
4．（23-24高三上·河南·期末）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且(為常數(shù))，則（ ）
A．B．的公比為2C．D．
三、填空題
5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則 .
6．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則 .
規(guī)律方法：
等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略
(1)抓住基本量，首項a1、公差d或公比q.
(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列．
(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進行相關(guān)計算．
【考點二】等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)
核心梳理：
1．通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq \\al(2,k).
2．前n項和的性質(zhì)：
(1)對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)時除外)．
(2)對于等差數(shù)列有S2n－1＝(2n－1)an.
一、單選題
1．（2024·北京朝陽·一模）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則（ ）
A．9B．16C．21D．25
2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）法布里-貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用時，用光波依次透過層薄膜，記光波的初始功率為，記為光波經(jīng)過第層薄膜后的功率，假設(shè)在經(jīng)過第層薄膜時光波的透過率，其中，2，3…，為使得，則的最大值為（ ）
A．31B．32C．63D．64
二、多選題
3．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知是等比數(shù)列的前n項和，若存在，，，使得，則（ ）
A．
B．是數(shù)列的公比
C．?dāng)?shù)列可能為等比數(shù)列
D．?dāng)?shù)列不可能為常數(shù)列
4．（2024·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列an的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)最大
B．使得成立的最小自然數(shù)
C．
D．中最小項為
三、填空題
5．（2024·上海閔行·三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，，則 .
6．（23-24高三上·福建莆田·期中）在等差數(shù)列中，為前項和，，則 .
規(guī)律方法：
等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)問題的求解策略
(1)抓關(guān)系，抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進行求解．
(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題．
【考點三】等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明
核心梳理：
證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法．
一、解答題
1．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知數(shù)列中，，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
2．（22-23高二下·河南周口·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足:.
(1)證明:是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的前項和.
3．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知為數(shù)列的前項和，且為正項等比數(shù)列，，.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)設(shè)，且數(shù)列的前項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
4．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
5．（23-24高三下·四川綿陽·階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，且為等差數(shù)列．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項和．
6．（23-24高三上·山西太原·期末）為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校食堂從開學(xué)第1天起，每餐只推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，如果他第1天選擇了米飯?zhí)撞?，那么?天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；如果他?天選擇了面食套餐，那么第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開學(xué)第1天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?
(1)求該同學(xué)開學(xué)第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?br>(2)記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋?br>（i）證明：為等比數(shù)列；
（ii）證明：當(dāng)時，.
規(guī)律方法：
(1)aeq \\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.
(2){an}為等比數(shù)列，可推出a1，a2，a3成等比數(shù)列，但a1，a2，a3成等比數(shù)列并不能說明{an}為等比數(shù)列．
(3)證明{an}不是等比數(shù)列可用特值法．
專題精練
一、單選題
1．（2024·廣東佛山·二模）設(shè)數(shù)列an的前項之積為，滿足（），則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川成都·三模）設(shè)為正項等差數(shù)列的前項和．若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）記為等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．20B．16C．14D．12
4．（2023·北京海淀·三模）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
5．（2024·江蘇南通·二模）若，，成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·廣東廣州·一模）記為等比數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二上·廣西南寧·期末）在正項等比數(shù)列中，為其前n項和，若，則的值為（ ）
A．10B．18C．36D．40
8．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為.若對任意的，都有，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．（22-23高二上·甘肅金昌·期中）若為等差數(shù)列，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．是數(shù)列中的項
C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減
D．?dāng)?shù)列前7項和最大
10．（2023·山東德州·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為，，，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．當(dāng)時，的最大值為
C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，且和數(shù)列的首項、公差均相同
D．?dāng)?shù)列前項和為，最大
11．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列中，，，若，，則（ ）
A．有最小值，無最小值B．有最小值，無最大值
C．無最小值，有最小值D．無最大值，有最大值
三、填空題
12．（23-24高二上·山東濟寧·期末）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則 ．
13．（2024·安徽淮北·一模）正項等差數(shù)列的前項和為，若，，成等比數(shù)列，則的最小值為 .
14．（23-24高二上·廣東潮州·期末）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則實數(shù) ．
四、解答題
15．（2023·四川南充·一模）已知數(shù)列an是首項為2的等比數(shù)列,且是和的等差中項．
(1)求an的通項公式；
(2)若數(shù)列的公比,設(shè)數(shù)列bn滿足,求bn的前2023項和．
16．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前項和為，，等比數(shù)列bn的公比為，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前10項和．
17．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）各項均不為0的數(shù)列對任意正整數(shù)滿足：．
(1)若為等差數(shù)列，求；
(2)若，求的前項和．
18．（2024·山東·二模）已知an是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項和為16，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列an的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項和.
19．（2023·湖南常德·一模）已知數(shù)列滿足（）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求的前n項和.
等差數(shù)列
等比數(shù)列
定義法
an＋1－an＝d
eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0)
通項法
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
中項法
2an＝an－1＋an＋1(n≥2)
aeq \\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)
前n項和法
Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))
Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)

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