一、函數(shù)的零點(diǎn)
對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).
二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).
三、零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有
，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)
所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟
（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.
（2）求區(qū)間的中點(diǎn).
（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）
（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.
【方法技巧與總結(jié)】
函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧:
①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn).
②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).
③連續(xù)不斷的函數(shù)通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào).
④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)，不一定能推出.
【典例例題】
例1．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝2x＋x－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【解析】解析：f′（x）＝2x ln 2＋1＞0，所以f（x）在R上單調(diào)遞增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選B.
例2．（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】令，得，則；
故，，
所以在共有4個(gè)零點(diǎn)，
故選： C.
例3．（2024·高三·北京海淀·階段練習(xí)）已知符號(hào)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】令，則
，
當(dāng)時(shí)，若，得，符合；
當(dāng)時(shí)，若，得，符合；
當(dāng)時(shí)，若，得，符合；
故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.
故選：C.
例4．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．的零點(diǎn)為3
C．在上為增函數(shù)D．的定義域?yàn)?br>【答案】C
【解析】,可知函數(shù)的零點(diǎn)為3，可知A,B正確；
中，由，解得：，
故函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：C
例5．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，則t的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函數(shù)，可得函數(shù)在，上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，只需，
解得或，所以t的取值范圍為.
故選：B．
例6．（2024·高三·全國(guó)·競(jìng)賽）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】依題意，
原方程等價(jià)于
即，顯然只有一個(gè)正實(shí)根.
故選：B.
例7．（2024·高三·陜西西安·期末）已知函數(shù)若，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意，作出的大致圖象，如圖所示，
要使得，
即函數(shù)與的圖象有4個(gè)不同交點(diǎn)，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：A.
例8．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的定義域?yàn)椋?br>又與在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以，
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為，
故選：B.
例9．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與直線y＝x恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，所以三個(gè)解必須為－1，－2和2，所以有－1≤m＜2.
例10．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝則使得方程x＋f（x）＝m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，即有解，則；
當(dāng)時(shí)，，即有解，則，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：
例11．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為 ．
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，
且當(dāng),時(shí)，，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
例12．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .
【答案】2
【解析】令，則，由題意知，即；
，令，則，
即，則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
所以函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn).
故答案為：2.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【解析】設(shè)，．在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出與的大致圖象，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
根據(jù)圖象可得兩個(gè)函數(shù)共有11個(gè)交點(diǎn)．
故選：C．
2．（2024·高三·浙江紹興·期末）已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則命題成立的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，
得，解得，即命題成立的充要條件是，
顯然成立，不等式、、都不一定成立，
而成立，不等式恒成立，反之，當(dāng)時(shí)，不一定成立，
所以命題成立的一個(gè)必要不充分條件是.
故選：D
3．（2024·高三·重慶·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)有（ ）
A．4個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
【答案】B
【解析】令，即，
可知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
結(jié)合函數(shù)的圖像，可知與的函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè).
故選：C.
4．（2024·高三·浙江寧波·期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知，可知為增函數(shù)，
且，
，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在有零點(diǎn)，且零點(diǎn)是唯一的.
故選：B
5．（2024·高三·山東煙臺(tái)·期末）已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
綜上，
當(dāng)時(shí)，令無(wú)解；當(dāng)時(shí)，令解得；
當(dāng)時(shí)，令無(wú)解；當(dāng)時(shí)，令解得；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
綜上實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為個(gè)，
故選：C
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】依題意，作出函數(shù)與的圖象，如圖，
可知兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；
又函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，故當(dāng)時(shí)，也有兩個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即也是函數(shù)的1個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，共有5個(gè)零點(diǎn)．
故選：D．
7．（2024·高三·浙江寧波·期末）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象.若在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
由題意得，故當(dāng)時(shí)，，
顯然當(dāng)，即為的一個(gè)零點(diǎn)，
要想在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
若，解得，
若，無(wú)解，
若，無(wú)解.
故選：A
8．（2024·高三·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以?br>由，即，在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，
則，解得.
故選：D
9．（2024·高二·河南焦作·期末）設(shè)分別是方程，，的實(shí)根，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，可得在上單調(diào)遞增，
又由，所以；
再令，可得在上單調(diào)遞增，
且，所以；
對(duì)于，即，則方程的根為與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)圖象，如圖所示，
由圖可知，或，綜上，.
故選：B.
10．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，其定理陳述如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為m，函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為n，則有（ ）（參考數(shù)據(jù)：.）
A．1B．2C．0D．
【答案】B
【解析】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”為，由，得，
則由拉格朗日中值定理得，，即，而，
則，即函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1，因此，
設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”為，由，求導(dǎo)得，
由拉格朗日中值定理得，，即，
令函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有1個(gè)解，
因此函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1，即，
所以.
故選：B
11．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）已知為偶函數(shù)，對(duì)任意有，當(dāng)時(shí)，，則方程的所有實(shí)根之和為（ ）
A．3B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】由得，
又為偶函數(shù)，所以，
故，，因此為周期為2的周期函數(shù)且為偶函數(shù)，
由時(shí)，，
作出和的圖象，又，
由于和均關(guān)于對(duì)稱，
由圖象可知和的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，
根據(jù)對(duì)稱可知：方程所有實(shí)根之和為6.
故選：B
12．（2024·高一·貴州·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
且，，
所以的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.
故選：C
13．（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于二分法的敘述中，正確的是（ ）
A．用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值
B．用二分法可求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，可精確到小數(shù)點(diǎn)后任一位
C．二分法無(wú)規(guī)律可循，無(wú)法在計(jì)算機(jī)上完成
D．只能用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)
【答案】B
【解析】A選項(xiàng)，由二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值需要函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)且區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，二分法，反復(fù)求區(qū)間中點(diǎn)，確定函數(shù)值符號(hào)，故可求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，
可精確到小數(shù)點(diǎn)后任一位，B正確；
C選項(xiàng)，二分法是一種程序化的運(yùn)算過(guò)程，反復(fù)求區(qū)間中點(diǎn)，確定函數(shù)值符號(hào)，
因而可以通過(guò)編程，在計(jì)算機(jī)上完成，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，求零點(diǎn)的方法有解方程法、作圖法等，D錯(cuò)誤．
故選：B．
二、多選題
14．（2024·高三·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．為奇函數(shù)B．在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
C．有2個(gè)零點(diǎn)D．的最小值為
【答案】AC
【解析】對(duì)于A中，由函數(shù)，可得定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以A正確；
對(duì)于B中，由，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以函數(shù)在，單調(diào)遞增，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，令，即，解得，所以C正確；
對(duì)于D中，例如：當(dāng)時(shí)，，所以D不正確.
故選：AC.
15．（2024·高一·云南玉溪·期末）已知函數(shù)的所有零點(diǎn)從小到大依次記為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】令，
在同一直角坐標(biāo)系，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖象如下圖所示：
由圖可知共有20個(gè)交點(diǎn)，故，則A正確，B錯(cuò)誤；
又函數(shù)的圖象都關(guān)于對(duì)稱，則，
故，則C正確，錯(cuò)誤，
故選：AC
16．（2024·高一·山西呂梁·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的解，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由函數(shù) ，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
因?yàn)殛P(guān)于x的方程 有四個(gè)不同的解，且，
結(jié)合圖象，可得，且，
則，其中，
所以，所以A不正確.
根據(jù)圖象，要使得方程 有四個(gè)不同的解，可得，所以B正確；
因?yàn)椋?，可得?br>所以，可得，
又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
顯然，所以，所以C正確；
令，可得，結(jié)合圖象，可得，所以D不正確.
故選：BC.
17．（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論，其中結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．在區(qū)間單調(diào)遞增
C．在有4個(gè)零點(diǎn)D．的最大值為2
【答案】BC
【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>又，為偶函數(shù)，故A正確．
當(dāng)時(shí)，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤．
當(dāng)時(shí)，，它有兩個(gè)零點(diǎn)：；
當(dāng)時(shí)，，
它有一個(gè)零點(diǎn)：，故在有個(gè)零點(diǎn)：，故C錯(cuò)誤．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
又為偶函數(shù)，的最大值為，故D正確．
故選：BC．
18．（2024·高三·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱
C．函數(shù)的值域?yàn)镈．若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】A選項(xiàng)，，A正確；
B選項(xiàng)，，
由于，故函數(shù)圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，畫(huà)出的圖象，如下：
數(shù)形結(jié)合可知函數(shù)的值域?yàn)椋珻正確；
D選項(xiàng)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則與有4個(gè)交點(diǎn)，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是，D正確.
故選：ACD
三、填空題
19．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)在所有零點(diǎn)之和為
【答案】
【解析】由，
令，即，解得或，
因?yàn)?，所以或或，所以零點(diǎn)之和為.
故答案為：.
20．（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·期中）設(shè)函數(shù)，為常數(shù).若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因?yàn)榇嬖?，使得?br>所以函數(shù)在上有零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，不存在零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，為一次函數(shù)形式，具有單調(diào)性，
由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知，即，
解得或.
故答案為：.
21．（2024·高三·廣東中山·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
【答案】6
【解析】，故，
畫(huà)出和，兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
由圖象可得，共6個(gè)交點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.
故答案為：6
22．（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，關(guān)于x的方程有三個(gè)不等實(shí)根，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖形可知，僅當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不等實(shí)根，
分別對(duì)應(yīng)直線與圖象三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中兩個(gè)交點(diǎn)位于二次函數(shù)圖象上，
不妨設(shè)，
顯然關(guān)于對(duì)稱，故，
另一個(gè)交點(diǎn)位于一次函數(shù)圖象上，令 ?2x+6=?1 ，解得 x=72 ，
顯然它在和以及的交點(diǎn)和之間，
故，
所以，
故答案為： ．
23．（2024·高三·山東·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（）在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題知，又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>當(dāng)或，或時(shí)，，
要滿足函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得．
故答案為：.
24．（2024·上海徐匯·一模）函數(shù)的零點(diǎn)是 ．
【答案】/0.5
【解析】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?
，令可得，解得或（舍），
故答案為：.
25．（2024·高三·海南儋州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】方程等價(jià)于，
由一次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，作函數(shù)的圖象如圖，
由圖象可知，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
26．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題意知，
因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，
即在區(qū)間有零點(diǎn)，
又，即為的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，
所以解得，即m的取值范圍是．
故答案為：
27．（2024·高一·河南鄭州·期中）已知函數(shù)若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值是 ．
【答案】0
【解析】由函數(shù)解析式，在上遞減，、上遞增，且在處連續(xù)，
所以大致圖象如下，
由函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，即與僅有一個(gè)交點(diǎn)，
由圖知：.
故答案為：0

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