1．等比數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義：
如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，eq \f(an＋1,an)＝q．
說明：等比數(shù)列中沒有為0的項(xiàng)，其公比也不為0.
(2)等比中項(xiàng)：
如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab?G＝± eq \r(ab) ．
說明：任何兩個實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)，但與等差中項(xiàng)不同，只有同號的兩個數(shù)才有等比中項(xiàng)．兩個同號的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個，它們互為相反數(shù)．
2．等比數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1．
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比數(shù)列的性質(zhì)
已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，則am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,r)；
(2)數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數(shù)列；
(3)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比數(shù)列(此時(shí){an}的公比q≠－1)．
精講精練
題型一 等比數(shù)列基本運(yùn)算
【例1】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，則S6＝
(2)等比數(shù)列中，．記為的前項(xiàng)和.若，=________．
(3)已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，又，，成等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為
【答案】(1)﹣63(2)6(3)
【解析】(1)設(shè)公比為，則，即，解得，所以，
所以，故選:A.
(2)設(shè)的公比，由可得，
當(dāng)時(shí)，所以，即，此時(shí)方程沒有正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，所以，即，解得.故答案為：6.
A．B．C．D．
(3)由題意，設(shè)數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，所以，解?負(fù)值舍去)；
又，，成等差數(shù)列，
所以，即，
則，解得， .
【方法總結(jié)】
（1）等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解．
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
【舉一反三】
1．設(shè)等比數(shù)列滿足，，則公比______．
【答案】
【解析】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故由，可得，
，兩式作比可得：，解得，即.故答案為：
2．已知等比數(shù)列滿足且，則________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，所?故由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得.故答案為：
3．已知在等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_______.
【答案】或
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)椋?，解得?br>所以，解得或.
當(dāng)時(shí)， ，所以， 即有；
當(dāng)時(shí)， ，所以， 即有．
故答案為：或.
4．?dāng)?shù)列中，數(shù)列前項(xiàng)和為，若，，則________.
【答案】1023
【解析】因?yàn)?，，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以.故答案為：.
題型二 等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)
【例2】(1)已知等比數(shù)列，，，則( )
A．B．C．D．1
(2)等比數(shù)列中，，，則與的等比中項(xiàng)是( )
A．B．4C．D．
(3)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿足，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2b8b11等于( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】(1)D(2)A(3)D
【解析】(1)由題意得：，由，得，故，
故選：D.
(2)∵，，∴.又.∴與的等比中項(xiàng)是.
故選：A.
(3)因?yàn)閧an}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，由可得：．解得，所以，所以，關(guān)系存在D
【舉一反三】
1．若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，由，得，所以，因此.
故選：C.
2．正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足，則有，即，
又由數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，故．故選：C．
3．公差不為0的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則( )
A．2B．4C．8D．16
【答案】D
【解析】等差數(shù)列中,,故原式等價(jià)于解得或
各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列,故得到，數(shù)列是等比數(shù)列，故=16.故選：D.
4．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.則( )
A．3B．505C．1010D．2020
【答案】C
【解析】由，
所以.故選：C
5．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的值是( )
A．10B．1000C．100D．10000
【答案】D
【解析】正項(xiàng)等比數(shù)列中，因?yàn)椋?，即，，故?故選：D.
6.在等比數(shù)列中，是方程的根，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意：，，故，，
故，則.故選：A.
7．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值是( )
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】在等差數(shù)列中，由，得，，
在等比數(shù)列中，由，得，，，
則．故選：D．
題型三 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)
【例3】(1)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n+2+3t，則t＝( )
A．1B．﹣1C．﹣3D．﹣9
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則為( )
A．18B．30C．54D．14
(3)在等比數(shù)列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135B．100
C．95D．80
(4)已知一個項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之積為64，則( ).
A．11B．12C．13D．14
【答案】(1)C(2)B(3)A(4)B
【解析】(1)因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n+2+3t，則a1＝S1＝33+3t＝27+3t，
a2＝S2﹣S1＝(34+3t)﹣(33+3t)＝54，a3＝S3﹣S2＝(35+3t)﹣(34+3t)＝162，
則有(27+3t)×162＝542，解得t＝﹣3，故選：C.
(2)是等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列，
，，，則，，則.故選：B.
(3)由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比數(shù)列，
其首項(xiàng)為40，公比為，所以a7＋a8＝.故選：A
(4)由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，∴，
設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即，
∴，∵,∴解得，
又前3項(xiàng)之積，解得，∴.故選:B.
【舉一反三】
1．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則( )
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】B
【解析】，所以，解得.故選：
2．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則( )
A．31B．32C．63D．64
【答案】C
【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，所以，，成等比數(shù)列，
所以，即，解得.故選：C
3．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，則S12=
A．40B．60
C．32D．50
【答案】B
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3，S6?S3，S9?S6，S12?S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8，S9?S6，S12?S9是等比數(shù)列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，選B．
4．已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則其偶數(shù)項(xiàng)為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，設(shè)，則，
所以，，故，故選D.
5．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6：S3=1：2，則S9：S3=( )
A．1：2B．2：3C．3：4D．1：3
【答案】C
【解析】∵{an}為等比數(shù)列則S3，S6-S3，S9-S6也成等比數(shù)列
由S6：S3=1：2令S3=x，則S6=x, ,則S3：S6-S3=S6-S3：S9-S6=-1：2
則S9-S6=x則S9=則S9：S3=：x=3：4故選C．
6．設(shè)，.若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為( )
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】∵是與的等比中項(xiàng)，∴，∴.
∵，.∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.∴的最小值為.故選：D.
7．已知等比數(shù)列中，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可知，對任意的，，
由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，可得，則.
由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得.故選：A.
8．已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足﹐則的值為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，
由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得.故選：D.
題型四 等比數(shù)列的定義運(yùn)用
【例4】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足，.證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列與數(shù)列通項(xiàng)公式；
【答案】證明見解析；；，
【解析】，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比等比數(shù)列，
所以，即，；
由，解得，，所以
【方法總結(jié)】
等比數(shù)列的判定方法
定義法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列
中項(xiàng)公式法
若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列
通項(xiàng)公式法
若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列
前n項(xiàng)和公式法
若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為非零常數(shù)，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列
【舉一反三】
1．已知數(shù)列滿足，，證明：是等比數(shù)列；
【答案】見解析；
【解析】由題意，數(shù)列滿足，所以
又因?yàn)椋?，即?br>所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
2．在數(shù)列中，，，求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求關(guān)于的通項(xiàng)公式；
【答案】證明見解析；
【解析】，
∴為等比數(shù)列且首項(xiàng)為，公比為2，
∴，.
3．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，，判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列，并說明理由；
【答案】答案不唯一，具體見解析；
【解析】∵，
又是正項(xiàng)數(shù)列，可得，∴，
∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，易知，故，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2.
4．已知數(shù)列滿足：=1，.求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
【答案】證明見解析
【解析】設(shè)，則，
∴
∵，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即數(shù)列是等比數(shù)列
題型五 歷史中的數(shù)列
【例5】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現(xiàn)有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的3倍，則塔的中間一層共有燈( )
A．3盞B．9盞C．27盞D．81盞
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，設(shè)塔的底層共有盞燈，則每層燈的數(shù)目構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則有，解可得：，所以中間一層共有燈盞.故選：C
【舉一反三】
1．明代數(shù)學(xué)家程大位編著的《算法統(tǒng)宗》是中國數(shù)學(xué)史上的一座豐碑.其中有一段著述“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一”.注：“倍加增”意為“從塔頂?shù)剿?，相比于上一層，每一層燈的盞數(shù)成倍增加”，則該塔正中間一層的燈的盞數(shù)為( )
A．3B．12C．24D．48
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，可知從塔頂?shù)剿祝繉拥臒舯K數(shù)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)塔頂燈盞數(shù)為，則有，解得，中間層燈盞數(shù)，故選：C.
2．我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題(意為)：“有一個人要走里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了天后到達(dá)目的地.”那么，此人第天和第天共走路程是( )
A．里B．里C．里D．里
【答案】A
【解析】設(shè)這個人第天所走的路程為里，可知是公比的等比數(shù)列，
由，得，解得，
.所以此人第天和第天共走了里.故選：A.
3．)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何?”意思是：“女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這名女子每天分別織布多少?”某數(shù)學(xué)興趣小組依托某制造廠用織布機(jī)完全模擬上述情景，則從第一天開始，要使織布機(jī)織布的總尺數(shù)為165尺，則所需的天數(shù)為( )
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【解析】設(shè)該女子第一天織布尺，則5天共織布，解得尺，在情境模擬下，設(shè)需要天織布總尺數(shù)達(dá)到165尺，則有整理得，解得.故選：D．
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