專題34 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）解析版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】9
【考點(diǎn)1】等比數(shù)列基本量的運(yùn)算9
【考點(diǎn)2】等比數(shù)列的判定與證明12
【考點(diǎn)3】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用21
【分層檢測】25
【基礎(chǔ)篇】25
【能力篇】32
【培優(yōu)篇】36
考試要求：
1.理解等比數(shù)列的概念.
2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
知識梳理
1.等比數(shù)列的概念
(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).
數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).
(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時G2＝ab.
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；
通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.
(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
1.若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq \\al(2,n)}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也是等比數(shù)列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.
3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.
4.三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq \f(x,q)，x，xq；四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq \f(x,q3)，eq \f(x,q)，xq，xq3.
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（）
A．B．C．15D．40
2．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）．
A．120B．85C．D．
3．（2022·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）
A．14B．12C．6D．3
二、填空題
4．（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結(jié)論：
①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；
②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；
③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；
④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.
其中正確結(jié)論的序號是 .
5．（2024·上?！じ呖颊骖}）無窮等比數(shù)列滿足首項(xiàng)，記，若對任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是．
6．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．
7．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．
8．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則 .
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計(jì)算出,即可求出.
【詳解】由題知,
即,即,即.
由題知,所以.
所以.
故選:C.
2．C
【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；
方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．
【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，，所以，否則，
從而，成等比數(shù)列，
所以有，，解得：或，
當(dāng)時，，即為，
易知，，即；
當(dāng)時，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算．
3．D
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
4．①③④
【分析】利用兩類數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.
【詳解】對于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，
而兩條直線至多有一個公共點(diǎn)，故中至多一個元素，故①正確.
對于②，取則均為等比數(shù)列，
但當(dāng)為偶數(shù)時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.
對于③，設(shè)，，
若中至少四個元素，則關(guān)于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，
若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；
若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，
當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個偶數(shù)解，
當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時即
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個奇數(shù)解，
因?yàn)椋豢赡芡瑫r成立，
故不可能有4個不同的整數(shù)解，即M中最多有3個元素，故③正確.
對于④，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢，
后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點(diǎn)，故④正確.
故答案為：①③④.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時要注意合理轉(zhuǎn)化.
5．
【分析】當(dāng)時，不妨設(shè)，則，結(jié)合為閉區(qū)間可得對任意的恒成立，故可求的取值范圍.
【詳解】由題設(shè)有，因?yàn)?，故，故?br>當(dāng)時，，故，此時為閉區(qū)間，
當(dāng)時，不妨設(shè)，若，則，
若，則，
若，則，
綜上，，
又為閉區(qū)間等價于為閉區(qū)間，
而，故對任意恒成立，
故即，故，
故對任意的恒成立，因，
故當(dāng)時，，故即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與等比數(shù)列性質(zhì)有關(guān)的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立為轉(zhuǎn)為關(guān)于與公比有關(guān)的不等式恒成立，必要時可利用參變分離來處理.
6． 48 384
【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，
則，且，可得，
則，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，
且，所以；
又因?yàn)?，則；
空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，
可得，所以.
故答案為：48；384.
7．
【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式和平方差公式化簡即可求出公比.
【詳解】若，
則由得，則，不合題意.
所以.
當(dāng)時，因?yàn)椋?br>所以，
即，即，即，
解得.
故答案為：
8．
【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出，最后得.
【詳解】設(shè)的公比為，則，顯然，
則，即，則，因?yàn)椋瑒t，
則，則，則，
故答案為：.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
一、單選題
1．（2024·河南·三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）
A．4B．8C．D．
2．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）在各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，與的等比中項(xiàng)為，則（）
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，若對，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“等差比數(shù)列”，為公差比，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和是，則下列說法一定正確的是（）
A．等差數(shù)列是等差比數(shù)列
B．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同
C．若數(shù)列是等差比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列
D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列等差比數(shù)列
4．（23-24高二下·陜西安康·期末）已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（）
A．?dāng)?shù)列可能為常數(shù)列
B．?dāng)?shù)列可能為等比數(shù)列
C．若，則
D．若，記是數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值為
三、填空題
5．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，若，，則 .
6．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)的關(guān)系可得遞推公式，利用遞推公式可得.
【詳解】當(dāng)時，，所以，
整理得，所以.
故選：B．
2．B
【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到，再由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)榕c的等比中項(xiàng)為，
所以，
所以.
故選：B
3．BCD
【分析】考慮常數(shù)列可以判定A錯誤，代入等差比數(shù)列公式可判斷BCD說法正確
【詳解】等差數(shù)列若為常數(shù)列，則，無意義，
所以等差數(shù)列不一定是等差比數(shù)列，A選項(xiàng)錯誤；
若公比為的等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則不是常數(shù)列，，
，即該數(shù)列的公比與公差比相同， B選項(xiàng)正確.
若數(shù)列是等差比數(shù)列，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故C選項(xiàng)正確；
若數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，則，
所以數(shù)列等差比數(shù)列，故D選項(xiàng)正確
故選：BCD.
4．ABD
【分析】根據(jù)常數(shù)列的定義，結(jié)合條件，判斷A；根據(jù)等比數(shù)列的定義，判斷為常數(shù)，判斷B；根據(jù)數(shù)列的公比，并求數(shù)列的首項(xiàng)，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式判斷C；結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷D.
【詳解】A.當(dāng)時，，得或（舍），
此時為常數(shù)列，故A正確；
B.，，
，
若時，此時，不是等比數(shù)列，
若時，，此時數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，故B正確；
C.若，，所以，故C錯誤；
D.若，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
，數(shù)列單調(diào)遞減，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以的最大值為，故D正確.
故選：ABD
5．
【分析】由等比數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可求解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，
由，可得，解得，
又，即，所以，
同理，，，，
因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：
6． 23 57.5/
【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個圓柱的高度.
【詳解】設(shè)升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，
故，.
故答案為：.
反思提升：
1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.
2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
【考點(diǎn)2】等比數(shù)列的判定與證明
一、解答題
1．（23-24高二下·上海寶山·期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且是3與的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的最小值.
2．（23-24高二下·廣東江門·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求，并證明：.
3．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，.
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．（23-24高二下·北京·期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）對于給定的正整數(shù)，若對任意的正整數(shù)，數(shù)列均滿足，且，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．
(1)證明：各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”．
(2)已知數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“（3）數(shù)列”．
①證明：數(shù)列是等比數(shù)列．
②設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，問：是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出所有的；若不存在，請說明理由．
6．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）曲線的切線?曲面的切平面在平面幾何?立體幾何以及解析幾何中有著重要的應(yīng)用，更是聯(lián)系數(shù)學(xué)與物理學(xué)的重要工具，在極限理論的研究下，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，更是與切線有著密不可分的關(guān)系，數(shù)學(xué)家們以不同的方法研究曲線的切線?曲面的切平面，用以解決實(shí)際問題：
(1)對于函數(shù)，分別在點(diǎn)處作函數(shù)的切線，記切線與軸的交點(diǎn)分別為，記為數(shù)列的第項(xiàng)，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”，同理記切線與軸的交點(diǎn)分別為，記為數(shù)列的第項(xiàng)，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”.
①設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為；
②設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為，
則，求的通項(xiàng)公式.
(2)在探索高次方程的數(shù)值求解問題時，牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓迭代法：用“作切線”的方法求方程的近似解.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值.一般地，曲線在點(diǎn)處的切線為，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值.已知二次函數(shù)有兩個不相等的實(shí)根，其中.對函數(shù)持續(xù)實(shí)施牛頓迭代法得到數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列，令數(shù)列滿足，且，證明：.（注：當(dāng)時，恒成立，無需證明）
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可得，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式代入化簡可求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由裂項(xiàng)相消法求和即可得，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可求得答案.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，
即，解得，
所以，
即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由，
.
因?yàn)?，即?br>所以為嚴(yán)格增數(shù)列，
所以時，有最小值.
2．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；
（2）由錯位相減法求得和，再由分離出，證明恒成立即得證．
【詳解】（1）由得
又，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）的結(jié)論有
①
②
①②得：
因?yàn)椋院愠闪?br>.
3．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由條件推導(dǎo)，即證明是公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得的通項(xiàng)公式，從而求出，由分組求和即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列中，，，
所以，且，
所以是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2
（2）由(1)可得，即，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和
4．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）先求出的公差，然后利用首項(xiàng)即得通項(xiàng)公式；
（2）直接利用條件即可證明；
（3）寫出的求和式，再分組求和.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，故.
再由即知，故所求通項(xiàng)公式為.
（2）由于，，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（3）在（2）最后我們得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而，即.
所以.
分別使用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，可得，.
所以.
5．(1)證明見解析
(2)①證明見解析；②存在，，
【分析】（1）根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合“數(shù)列”的定義即可證明；
（2）①根據(jù)題意，結(jié)合“數(shù)列”的定義，再由等比數(shù)列的定義即可證明；②假設(shè)存在，即可得到，然后分為奇數(shù)與為偶數(shù)分別討論，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，
所以，
因此各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”．
（2）①數(shù)列既是“（2）數(shù)列”，又是“（3）數(shù)列”，
因此當(dāng)時，（?。?br>當(dāng)時，（ⅱ），
由（?。┲?dāng)時，（ⅲ），
（ⅳ），
將（ⅲ）（ⅳ）代入（ⅱ），得，其中，
所以是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，
在（?。┲校?，則，所以，
在（ⅰ）中，取，則，所以，
所以數(shù)列是等比數(shù)列．
②由①及，知
所以．易知，所以．
所以，．
假設(shè)存在正整數(shù)，使得，即，即．
當(dāng)為奇數(shù)時，，
設(shè)，，則，
所以，
可得，所以，
所以，
所以存在，使得．
當(dāng)為偶數(shù)時，，
若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，所以．
若為奇數(shù)，則，（提示：時，不成立）
為偶數(shù)，為個奇數(shù)之和，也為奇數(shù)，所以．
（提示：一個偶數(shù)與一個大于1的奇數(shù)的乘積一定不等于）
所以當(dāng)為偶數(shù)時，不存在正整數(shù)，使得．
綜上所述，存在，，，使得．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了等比數(shù)列的定義以及數(shù)列新定義問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于理解“數(shù)列”的定義，然后結(jié)合數(shù)列的知識解答.
6．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出函數(shù)，在時的切線方程，由此可求，再利用錯位相減法求；
（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義證明，由此可得，證明為等比數(shù)列，結(jié)合所給結(jié)論，利用放縮法和等比數(shù)列求和公式證明結(jié)論.
【詳解】（1）由題意則.
設(shè)切點(diǎn)為
則過切點(diǎn)的切線為
令，整理得，
所以.
由題意則.
設(shè)切點(diǎn)為則過切點(diǎn)的切線為.
令整理得
所以.
對于當(dāng)是正奇數(shù)時；當(dāng)是正偶數(shù)時即
.
所以
兩式相減，得
所以.
（2）因?yàn)槎魏瘮?shù)有兩個不等實(shí)根,
所以不妨設(shè)，
則，
因?yàn)樗?br>所以在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程為
令則
即，
因?yàn)?br>所以.
因?yàn)樗运?
令則，又
所以，
數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.
.
由因?yàn)樗约?
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)列求和，證明不等式，第一問解題的關(guān)鍵在于結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)一步求出，利用錯位相減法求和，第二問解決的關(guān)鍵在于結(jié)合所給結(jié)論，通過適當(dāng)放縮，證明結(jié)論.
反思提升：
1.證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.
2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時，要注意對n＝1的情形進(jìn)行驗(yàn)證.
【考點(diǎn)3】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·安徽滁州·三模）已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比的值是（）
A．2B．C．3D．
2．（23-24高二下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）等比數(shù)列中，則（）
A．B．5C．10D．20
二、多選題
3．（2024·湖南長沙·一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標(biāo)有的10個小球，每次隨機(jī)抽取一個小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號碼小于或等于5的小球，則前進(jìn)1步，若每次抽取號碼大于5的小球，則前進(jìn)2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進(jìn)步的概率為，則下列說法正確的是（）
A．
B．
C．
D．小華一共前進(jìn)3步的概率最大
4．（2024·湖北·二模）無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空題
5．（21-22高三上·山東聊城·期末）已知等比數(shù)列的公比，且，則 .
6．（23-24高二下·廣東廣州·期中）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為里.
參考答案：
1．A
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再解方程組求出，即可得解.
【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，
所以，
則，解得或，
又因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的等比數(shù)列，
所以，
所以公比.
故選：A.
2．C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì)求得公比，即可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，所以，
故.
故選：C.
3．BC
【分析】根據(jù)題意直接求概率判斷選項(xiàng)A，然后根據(jù)題意求出遞推公式即可判斷選項(xiàng)B，根據(jù)遞推公式判斷數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式判斷選項(xiàng)C，分類討論求解概率通項(xiàng)的最大值判斷D.
【詳解】根據(jù)題意，小郡前進(jìn)1步的概率和前進(jìn)2步的概率都是，所以，，
故選項(xiàng)A錯誤；
當(dāng)時，其前進(jìn)幾步是由兩部分組成：先前進(jìn)步，再前進(jìn)1步，其概率為，
或者先前進(jìn)步，再前進(jìn)2步，其概率為，所以，
故選項(xiàng)B正確；
因?yàn)?，所以?br>而，所以，即，
故選項(xiàng)C正確；
因?yàn)楫?dāng)時，，所以，
又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
所以，所以.
當(dāng)n為奇數(shù)時，為偶數(shù)，則，此時數(shù)列單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)n為偶數(shù)時，為奇數(shù)，則，此時數(shù)列單調(diào)遞減，
所以；
綜上，當(dāng)時，概率最大，即小華一共前進(jìn)2步的概率最大，故選項(xiàng)D錯誤.
故選：BC
4．BC
【分析】結(jié)合選項(xiàng)，利用等比數(shù)列單調(diào)性分析判斷即可.
【詳解】，時，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故只有最大值，沒有最小值；
，時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列，此時為大值，為最小值；
，時，奇數(shù)項(xiàng)都相等且小于零，偶數(shù)項(xiàng)都相等且大于零，
所以等比數(shù)列有最大值，也有最小值；
，時，因?yàn)?，所以無最大值，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)無最小值，
偶數(shù)項(xiàng)為正無最大值.
故選：BC
5．120
【分析】在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則，結(jié)合所求，化簡計(jì)算，即可得答案.
【詳解】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則，
所以
.
故答案為：120
6．192
【分析】設(shè)第一天走里，則每日行走里程構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)的求和公式列方程求出.
【詳解】設(shè)第一天走里，則每日行走里程構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
由題意得，解得，
所以該人第一天走的路程為192里.
故答案為：192
反思提升：
(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.
(2)涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項(xiàng)的符號對其的影響.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項(xiàng)利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進(jìn)行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡練、或復(fù)雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上某同學(xué)將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（）
A．B．C．D．
2．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列等比數(shù)列，且則的值為（）
A．B．2C．3D．4
3．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）
A．2B．4C．8D．16
4．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，其前項(xiàng)之積為，且，則取得最大值時，則的值為（）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則下列能判斷為遞增數(shù)列的有（）
A．B．
C．D．
6．（23-24高二上·山東青島·期末）在等比數(shù)列中，，，則（）
A．的公比為B．的前項(xiàng)和為
C．的前項(xiàng)積為D．
7．（23-24高三上·全國·開學(xué)考試）記公比為的單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）
A．B．
C．D．
三、填空題
8．（23-24高二下·江西贛州·階段練習(xí)）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 .
9．（23-24高二上·山東青島·期末）數(shù)列是等比數(shù)列，且前項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù) ．
10．（2024·貴州·模擬預(yù)測）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖在計(jì)算機(jī)通信、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和網(wǎng)絡(luò)維護(hù)等方面有著重要的作用.某樹形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖如圖所示，圓圈代表節(jié)點(diǎn)，每一個節(jié)點(diǎn)都有兩個子節(jié)點(diǎn)，則到第10層一共有個節(jié)點(diǎn).（填寫具體數(shù)字）
四、解答題
11．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列前n項(xiàng)和．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求、的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)，求的最大值．
12．（23-24高三下·湖南岳陽·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足（），數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列和中的項(xiàng)由小到大組成新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．
參考答案：
1．A
【分析】由題意知對折后的等腰直角三角形的腰長成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而求出對折6次后的腰長，即可求解.
【詳解】由題意可知，對折后的等腰直角三角形的腰長成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，
故對折6次后，得到腰長為的等腰直角三角形，
所以斜邊長為.
故選：A．
2．D
【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算得，從而可得，再利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】由等比中項(xiàng)性質(zhì)可知，
又.
故選：D
3．C
【分析】利用等比中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，
所以，解得，
所以，
故選：C
4．A
【分析】由已知可得，進(jìn)而可得，可得等比數(shù)列是遞減數(shù)列，且，可求取得最大值時的值．
【詳解】由，得，，
則，由于，得，
所以等比數(shù)列是遞減數(shù)列，故，則取得最大值時．
故選：A．
5．BD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，
對于A中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以A錯誤；
對于B中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以B正確；
對于C中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以C錯誤；
對于D中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以D正確.
故選：BD.
6．AB
【分析】對A，根據(jù)等比數(shù)列的基本量關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷即可；對B，由A可得，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解即可；對C，根據(jù)求解即可；對D，代入求解即可.
【詳解】對A，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，得，
所以，所以，
所以，
所以數(shù)列的公比為，故A正確
對B，因?yàn)椋缘那绊?xiàng)和為
，故B正確；
對C，的前項(xiàng)積為，故C錯誤
對D，因?yàn)椋?br>所以的前項(xiàng)和為，故D錯誤．
故選：AB
7．ABC
【分析】先求得，進(jìn)而求得，由此求得，進(jìn)而判斷出正確選項(xiàng)．
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，
得，解得或，
又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，故A正確；
所以，解得，
所以，故B正確；
，，故C正確，D錯誤.
故選：ABC.
8．5
【分析】結(jié)合推論若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，，成等比數(shù)列即可直接求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，
所以，，，成等比數(shù)列，
因?yàn)?，所以?br>所以，
即，
所以，
所以，
所以.
故答案為：5.
9．
【分析】由作差求出的通項(xiàng)，再由是等比數(shù)列，求出.
【詳解】因?yàn)椋?dāng)時，
當(dāng)時，所以，
則，
又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，所以，解得.
故答案為：
10．1023
【分析】由等比數(shù)列的求和公式即可求得答案.
【詳解】由圖可知，每一層節(jié)點(diǎn)的個數(shù)組成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以到第10層節(jié)點(diǎn)的總個數(shù)是.
故答案為：1023.
11．(1)證明見解析
(2)，
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件，取倒數(shù)可得，進(jìn)而可證結(jié)論；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求，利用的關(guān)系可得；
（3）根據(jù)的通項(xiàng)公式，判斷其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
則，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）可得：，
所以，
當(dāng)時，
，
當(dāng)時，滿足，所以 .
（3）由（2）可得，
可得，
所以，
由，
可得當(dāng)，2時，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
可得為最大值，.
12．(1)，
(2)4582
【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的定義即可得到公差，代入計(jì)算即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由分組求和代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1），①，（），②，
得：，
∵為等差數(shù)列，∴，，
，即，
∴，
因?yàn)閿?shù)列是公比為3的等比數(shù)列，，
即，解得：，
所以；
（2）由（1）可知，，，
且數(shù)列和中的項(xiàng)由小到大組成新的數(shù)列，
其中，，此時，
所以數(shù)列中數(shù)列有項(xiàng)，數(shù)列有項(xiàng)，
，
．
【能力篇】
一、單選題
1．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)a，b，c不全相等，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，構(gòu)成等差數(shù)列
B．若a，b，c成等比數(shù)列，則，，構(gòu)成等差數(shù)列
C．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，構(gòu)成等比數(shù)列
D．若a，b，c成等比數(shù)列，則，，構(gòu)成等比數(shù)列
二、多選題
2．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”．如數(shù)列1，3，第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，4，3；第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，5，4，7，3；依次擴(kuò)充，記第次“和擴(kuò)充”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為，所有項(xiàng)的和記為，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（）
A．B．滿足的的最小值為11
C．D．
三、填空題
3．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的最小值為 .
四、解答題
4．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
參考答案：
1．C
【分析】A、B、D選項(xiàng)可以通過特值法排除，C選項(xiàng)直接翻譯得到，用等比中項(xiàng)的方法可判斷C對.
【詳解】解：當(dāng)，，時，,A錯誤；
當(dāng)，，時，,，B錯誤；
若a，b，c成等差數(shù)列，則，
所以，
故，，構(gòu)成等比數(shù)列，C正確；
當(dāng)，，時，D顯然錯誤．
故選：C．
2．BD
【分析】由條件可得數(shù)列滿足遞推關(guān)系，結(jié)合遞推證明數(shù)列是等比數(shù)列，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷A，結(jié)合通項(xiàng)公式判斷B，結(jié)合拓展規(guī)則可得，證明數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)判斷C，利用分組求和法求判斷D.
【詳解】數(shù)列1，3第次拓展后的項(xiàng)數(shù)為，則，，
根據(jù)拓展規(guī)則可知，，
即，又，
數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列
，即；故A項(xiàng)錯誤；
由，即，解得，故B項(xiàng)正確；
根據(jù)拓展規(guī)則可知，第次“和擴(kuò)充”所新增的數(shù)的和為，
所以，
，又，
數(shù)列是首項(xiàng)為6，公比為3的等比數(shù)列，
，所以；故C項(xiàng)錯誤；
，故D項(xiàng)正確．
故選：BD.
3．
【分析】根據(jù)條件，利用等比列的性質(zhì)及基本不等式，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，又，
所以，得到，即，
故答案為：.
4．(1)，
(2)
【分析】（1）作差得到，利用累乘法求出的通項(xiàng)公式，根據(jù)作差得到，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；
（2）由（1）可得，利用錯位相減法計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時，，得．
當(dāng)時，，
所以，所以．
因?yàn)闀r也滿足，
所以，所以，即，
又也滿足，所以.
因?yàn)?，所以?dāng)時，，解得．
當(dāng)時，，所以，所以，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故．
（2）由（1）可得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知是等比數(shù)列，公比為，若存在無窮多個不同的滿足，則下列選項(xiàng)之中，不可能成立的為（）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）在邊長為3的正方形中，作它的內(nèi)接正方形，且使得，再作正方形的內(nèi)接正方形，使得依次進(jìn)行下去，就形成了如圖所示的圖案.設(shè)第個正方形的邊長為（其中第1個正方形的邊長為，第2個正方形的邊長為），第個直角三角形（陰影部分）的面積為（其中第1個直角三角形的面積為，第2個直角三角形的面積為，，）則（）
A．B．
C．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和取值范圍
三、填空題
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（），對任意，都存在，使得.若（），則， .
參考答案：
1．C
【分析】分類討論，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)分析判斷.
【詳解】當(dāng)時，則有：
①當(dāng)，則為非零常數(shù)列，故符合題意，A可能成立；
②當(dāng)，則為單調(diào)數(shù)列，故恒不成立，即且不合題意；
當(dāng)時，可得，則有：
①當(dāng)，若為偶數(shù)時，則；
若為奇數(shù)時，則；
故符合題意，B可能成立；
②當(dāng)，若為偶數(shù)時，則，
且，即；
若為奇數(shù)時，則，且，
即；故符合題意，D可能成立；
③當(dāng)，若，可得，
，則，可得，則，這與等比數(shù)列相矛盾，
故和均不合題意，C不可能成立.
故選：C.
2．ABD
【分析】利用正方形的特征結(jié)合的三角函數(shù)值可判定A、B選項(xiàng)，利用相似三角形的相似比可判定C選項(xiàng)，同時結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可判定D選項(xiàng).
【詳解】對A：由題意可知，
，
而，則，
所以，故A正確；
對B：由上可知，
所以，故B正確；
對C：易知，此后對應(yīng)三角形均相似，
而相似比，
即是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，
是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故C錯誤；
對D：由上可得，則，
則，
顯然單調(diào)遞減，即，所以的取值范圍為，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由此即可順利得解.
3．
【分析】由和與的關(guān)系，得出（），分別求出與，再由建立方程組進(jìn)行求解即可.
【詳解】∵，
∴當(dāng)時，，
以上兩式相減，得，即（），
又∵，∴當(dāng)時，，
∴，
①當(dāng)時，，
∴，即，
對任意，不一定存在，使得，
∴不成立；
②當(dāng)時，則（），
∴（），即（），
當(dāng)時，，，即時，存在使成立；
當(dāng)時，，，
若對任意，都存在，使得，
則，即時，有滿足題意，
解得.
又∵
∴將和代入，得，解得.
∴，.
故答案為：，.
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是由建立方程組，再由題意得出，存在使成立，從而可以對和進(jìn)行求解
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