【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】4
【考點1】等比數(shù)列基本量的運算4
【考點2】等比數(shù)列的判定與證明5
【考點3】等比數(shù)列的性質(zhì)及應用7
【分層檢測】8
【基礎篇】8
【能力篇】10
【培優(yōu)篇】11
考試要求：
1.理解等比數(shù)列的概念.
2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.
3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系．
知識梳理
1.等比數(shù)列的概念
(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).
數(shù)學語言表達式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).
(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.此時G2＝ab.
2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；
通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.
(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
1.若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq \\al(2,n)}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也是等比數(shù)列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.
3.在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤.
4.三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設為eq \f(x,q)，x，xq；四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設為eq \f(x,q3)，eq \f(x,q)，xq，xq3.
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（ ）
A．B．C．15D．40
2．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（ ）．
A．120B．85C．D．
3．（2022·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（ ）
A．14B．12C．6D．3
二、填空題
4．（2024·北京·高考真題）設與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結(jié)論：
①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；
②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；
③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；
④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.
其中正確結(jié)論的序號是 .
5．（2024·上?！じ呖颊骖}）無窮等比數(shù)列滿足首項，記，若對任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是 ．
6．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則 ；數(shù)列所有項的和為 ．
7．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為 ．
8．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則 .
考點突破
【考點1】等比數(shù)列基本量的運算
一、單選題
1．（2024·河南·三模）設為數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．4B．8C．D．
2．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）在各項為正的等比數(shù)列中，與的等比中項為，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
3．（2024·江蘇南通·模擬預測）在數(shù)列中，若對，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“等差比數(shù)列”，為公差比，設數(shù)列的前項和是，則下列說法一定正確的是（ ）
A．等差數(shù)列是等差比數(shù)列
B．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同
C．若數(shù)列是等差比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列
D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列等差比數(shù)列
4．（23-24高二下·陜西安康·期末）已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．數(shù)列可能為常數(shù)列
B．數(shù)列可能為等比數(shù)列
C．若，則
D．若，記是數(shù)列的前項積，則的最大值為
三、填空題
5．（2024·河北邯鄲·模擬預測）記為等比數(shù)列的前項的和，若，，則 .
6．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為 ，且斛量器的高為，則斗量器的高為 ，升量器的高為 ．
反思提升：
1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.
2.等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
【考點2】等比數(shù)列的判定與證明
一、解答題
1．（23-24高二下·上海寶山·期末）已知等差數(shù)列的首項為1，前項和為，且是3與的等比中項.
(1)求數(shù)列的通項公式：
(2)若是數(shù)列的前項和，求的最小值.
2．（23-24高二下·廣東江門·階段練習）已知數(shù)列的首項為，且滿足.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設，記數(shù)列的前項和為，求，并證明：.
3．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知數(shù)列中，，.
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和.
4．（23-24高二下·北京·期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(3)設，求數(shù)列的前項和.
5．（2024·全國·模擬預測）對于給定的正整數(shù)，若對任意的正整數(shù)，數(shù)列均滿足，且，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．
(1)證明：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”．
(2)已知數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“（3）數(shù)列”．
①證明：數(shù)列是等比數(shù)列．
②設數(shù)列的前項和為，若，，問：是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出所有的；若不存在，請說明理由．
6．（23-24高二下·遼寧·階段練習）曲線的切線?曲面的切平面在平面幾何?立體幾何以及解析幾何中有著重要的應用，更是聯(lián)系數(shù)學與物理學的重要工具，在極限理論的研究下，導數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，更是與切線有著密不可分的關系，數(shù)學家們以不同的方法研究曲線的切線?曲面的切平面，用以解決實際問題：
(1)對于函數(shù)，分別在點處作函數(shù)的切線，記切線與軸的交點分別為，記為數(shù)列的第項，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”，同理記切線與軸的交點分別為，記為數(shù)列的第項，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”.
①設函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為；
②設函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為，
則，求的通項公式.
(2)在探索高次方程的數(shù)值求解問題時，牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓迭代法：用“作切線”的方法求方程的近似解.具體步驟如下：設是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，曲線在點處的切線為，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；曲線在點處的切線為，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，曲線在點處的切線為，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.已知二次函數(shù)有兩個不相等的實根，其中.對函數(shù)持續(xù)實施牛頓迭代法得到數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列，令數(shù)列滿足，且，證明：.（注：當時，恒成立，無需證明）
反思提升：
1.證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.
2.在利用遞推關系判定等比數(shù)列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.
【考點3】等比數(shù)列的性質(zhì)及應用
一、單選題
1．（2024·安徽滁州·三模）已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比的值是（ ）
A．2B．C．3D．
2．（23-24高二下·四川達州·階段練習）等比數(shù)列中，則（ ）
A．B．5C．10D．20
二、多選題
3．（2024·湖南長沙·一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標有的10個小球，每次隨機抽取一個小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號碼小于或等于5的小球，則前進1步，若每次抽取號碼大于5的小球，則前進2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進步的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．小華一共前進3步的概率最大
4．（2024·湖北·二模）無窮等比數(shù)列的首項為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空題
5．（21-22高三上·山東聊城·期末）已知等比數(shù)列的公比，且，則 .
6．（23-24高二下·廣東廣州·期中）中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.”則該人第一天走的路程為 里.
反思提升：
(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.
(2)涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.
分層檢測
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·河南洛陽·模擬預測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡練、或復雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術已發(fā)展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學實踐課上某同學將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列等比數(shù)列，且則的值為（ ）
A．B．2C．3D．4
3．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，且滿足，則（ ）
A．2B．4C．8D．16
4．（2024·山東泰安·模擬預測）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，其前項之積為，且，則取得最大值時，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比數(shù)列的首項為，公比為，則下列能判斷為遞增數(shù)列的有（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高二上·山東青島·期末）在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．的公比為B．的前項和為
C．的前項積為D．
7．（23-24高三上·全國·開學考試）記公比為的單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項和為，若，，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
8．（23-24高二下·江西贛州·階段練習）已知是等比數(shù)列的前項和，若，則 .
9．（23-24高二上·山東青島·期末）數(shù)列是等比數(shù)列，且前項和為，則實數(shù) ．
10．（2024·貴州·模擬預測）拓撲結(jié)構(gòu)圖在計算機通信、計算機網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)設計和網(wǎng)絡維護等方面有著重要的作用.某樹形拓撲結(jié)構(gòu)圖如圖所示，圓圈代表節(jié)點，每一個節(jié)點都有兩個子節(jié)點，則到第10層一共有 個節(jié)點.（填寫具體數(shù)字）
四、解答題
11．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列前n項和．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求、的通項公式；
(3)設，求的最大值．
12．（23-24高三下·湖南岳陽·階段練習）已知等差數(shù)列滿足（），數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)數(shù)列和中的項由小到大組成新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，求．
【能力篇】
一、單選題
1．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）已知非零實數(shù)a，b，c不全相等，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，構(gòu)成等差數(shù)列
B．若a，b，c成等比數(shù)列，則，，構(gòu)成等差數(shù)列
C．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，構(gòu)成等比數(shù)列
D．若a，b，c成等比數(shù)列，則，，構(gòu)成等比數(shù)列
二、多選題
2．（23-24高二下·湖北·階段練習）在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴充”．如數(shù)列1，3，第1次“和擴充”后得到數(shù)列1，4，3；第2次“和擴充”后得到數(shù)列1，5，4，7，3；依次擴充，記第次“和擴充”后所得數(shù)列的項數(shù)記為，所有項的和記為，數(shù)列的前項為，則（ ）
A．B．滿足的的最小值為11
C．D．
三、填空題
3．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的最小值為 .
四、解答題
4．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為，且．
(1)求，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知是等比數(shù)列，公比為，若存在無窮多個不同的滿足，則下列選項之中，不可能成立的為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）在邊長為3的正方形中，作它的內(nèi)接正方形，且使得，再作正方形的內(nèi)接正方形，使得依次進行下去，就形成了如圖所示的圖案.設第個正方形的邊長為（其中第1個正方形的邊長為，第2個正方形的邊長為），第個直角三角形（陰影部分）的面積為（其中第1個直角三角形的面積為，第2個直角三角形的面積為，，）則（ ）
A．B．
C．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列D．數(shù)列的前項和取值范圍
三、填空題
3．（2023·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，（），對任意，都存在，使得.若（），則 ， .

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