一．直線的傾斜角
(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.
(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.
(3)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)．
二．斜率公式
(1)定義式：直線l的傾斜角為αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))，則斜率k＝tan α.
(2)坐標(biāo)式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率 k＝eq \f(y2－y1,x2－x1). 
三．直線方程的五種形式
四．兩直線的位置關(guān)系
(1)兩條直線平行
①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.
(2)兩條直線垂直
①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.
（3）兩直線相交
(1)交點：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標(biāo)與方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對應(yīng)．
(2)相交?方程組有唯一解，交點坐標(biāo)就是方程組的解．
(3)平行?方程組無解．
(4)重合?方程組有無數(shù)個解．
五．三種距離公式
(1)兩點間的距離公式
平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
(2)點到直線的距離公式
點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)兩平行直線間的距離公式
兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) .
六．與對稱問題相關(guān)的四個結(jié)論：
(1)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y)．
(2)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．
(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
(4)點(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對稱點為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對稱點為(k＋y，x－k)．
考向分析
考向一 斜率與傾斜角
【例1】（1）（2020·全國高三（理））直線的傾斜角是
（2）(舊教材必修2P86練習(xí)T3改編)若過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為________．
（3）（2021·全國高三月考（理））已知直線的傾斜角為，則
【舉一反三】
1.（2020·浙江衢州市·高三學(xué)業(yè)考試）直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·安徽高三月考（理））直線傾斜角為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·北京高三期末）已知、、三點共線，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·安徽六安市·六安一中高三月考（理））直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·江蘇蘇州市·高三月考）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線垂直，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
考向二 直線的方程
【例2】（1）（2021·全國課時練習(xí)）過兩點(－2,1)和(1,4)的直線方程為（ ）
A．y＝x＋3B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2D．y＝－x－2
（2）．（2021·全國課時練習(xí)）在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
（3）．（2021·云南?。┮阎本€過點（1，2），且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，則直線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【方法總結(jié)】
1．求解直線方程的2種方法
直接法
根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程
待定系數(shù)法
①設(shè)所求直線方程的某種形式；
②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；
③解這個方程(組)求出參數(shù)；
④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程
2．謹(jǐn)防3種失誤
(1)應(yīng)用“點斜式”和“斜截式”方程時，要注意討論斜率是否存在．
(2)應(yīng)用“截距式”方程時要注意討論直線是否過原點，截距是否為0.
(3)應(yīng)用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時注意討論B是否為0.
【舉一反三】
1．（2021·西安市）過點（5，2），且在軸上的截距是在軸上截距2倍的直線方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
2．（2021·全國高二課時練習(xí)）過點P(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為0的直線方程為_________.
3．（2021·遼寧營口市）已知直線過點，經(jīng)過第一象限且在兩個坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為___________.
考向三 直線的位置關(guān)系
【例3】（1）（2021·北京海淀區(qū)·高三期末）已知直線，點和點，若，則實數(shù)的值為（ ）
A．1B．C．2D．
(2)已知直線l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，則a＝( )
A．2或eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)或－1
C.eq \f(1,3) D．－1
【方法總結(jié)】
1．與兩直線的位置關(guān)系有關(guān)的常見題目類型
(1)判斷兩直線的位置關(guān)系．
(2)由兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)．
(3)根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求直線方程．
2．由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法
直線方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1與l2垂直的充要條件
A1A2＋B1B2＝0
l1與l2平行的充分條件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1與l2相交的充分條件
eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0)
l1與l2重合的充分條件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
【舉一反三】
1．（2020·黑龍江哈爾濱市）直線與直線平行，則m等于（ ）
A．2B．C．6D．
2．（2021·云南?。┲本€與直線互相垂直，則的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·重慶）已知直線l經(jīng)過點，且與直線垂直，則直線l在y軸上的截距為（ ）
A．B．C．2D．4
4（2021·浙江）已知直線，直線，若，則實數(shù)______．
考向四 距離
【例4】（1）(2020·南昌模擬)已知點A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值為________．
（2）（2021·安徽池州市）若直線與交于點A，且，則___________．
（3）（2020·江蘇）兩條平行直線與之間的距離為
【方法總結(jié)】
1．點到直線的距離的求法
可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式．
2．兩平行線間的距離的求法
(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離．
(2)利用兩平行線間的距離公式．
【舉一反三】
1．（2021·浙江湖州市）點到直線的距離是（ ）
A．B．C．1D．
2．（2021·北京房山區(qū)）已知點，則線段的中點坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·黑龍江哈爾濱市）直線與直線之間的距離是___________.
4．（2021·廣西桂林市）已知點，直線．
（1）求A點到直線l距離；
（2）求過點A且與直線l平行的直線的方程．
考向五 對稱
【例5】（1）（2020·全國高三專題練習(xí)）點關(guān)于點的對稱點為（ ）
A．B．
C．D．
（2）若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，則直線l2過定點( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
（3）（2021·黑龍江哈爾濱市）直線關(guān)于對稱的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【方法總結(jié)】
1.點關(guān)于點對稱的求解方法
若點M(x1，y1)和點N(x，y)關(guān)于點P(a，b)對稱，則由中點坐標(biāo)公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進(jìn)而求解．
2.點關(guān)于直線對稱的解題方法
若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，則由方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點P1關(guān)于直線l對稱的點P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
3.線關(guān)于點對稱的求解方法
(1)在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程；
(2)求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．
4.線關(guān)于點對稱的實質(zhì)
“線關(guān)于點的對稱”其實質(zhì)就是“點關(guān)于點的對稱”，只要在直線上取兩個點，求出其對稱點的坐標(biāo)即可，可統(tǒng)稱為“中心對稱”．
【舉一反三】
1.過點P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為____________________．
2.已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)，則直線l關(guān)于點A對稱的直線m的方程為________________．
3．（2021·浙江）直線關(guān)于原點對稱的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點C的坐標(biāo)為( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
強(qiáng)化練習(xí)
1．（2021·河南平頂山市·高三二模（文））已知直線過第一象限的點和，直線的傾斜角為，則的最小值為（ ）
A．4B．9C．D．
2．（2020·全國高三專題練習(xí)）直線的傾斜角為（ ）
A．30°B．60°C．150°D．120°
3．（2020·寧夏銀川市·賀蘭縣景博中學(xué)高三月考（理））若直線的傾斜角為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·全國高三專題練習(xí)（文））直線的傾斜角的取值范圍是（ ）.
A．B．
C．D．
5．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知直線，則該直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·貴溪市實驗中學(xué)高三月考）在平直角坐標(biāo)系中，過點和的直線的斜率為（ ）
A．B．C．1D．
15．（2021·舒城育才學(xué)校高二期末）直線kx－y＋1－3k＝0，當(dāng)k變動時，所有直線都通過定點（ ）
A．(3，1)B．(0，1)
C．(0，0)D．(2，1)
8．（2021·山東德州市）已知直線，平行，則它們之間的距離是（ ）
A．1B．2C．D．
9．（2021·全國高三其他模擬）已知直線，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
10．（2021·合肥市第六中學(xué)）已知直線與直線垂直，則（ ）
A．B．或C．或D．或
11．（2021·河北唐山市）過點和點的直線與直線垂直，則（ ）
A．B．4C．D．2
11．（2021·北京房山區(qū)）已知，，則線段中點的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知為正數(shù)，且直線與直線互相垂直，則的最小值為________．
13．（2020·江蘇期中）若直線與垂直，則直線的交點為__________.
14．（2021·山東濟(jì)南市=）若直線與直線互相垂直，則實數(shù)的值為__________．
15．（2021·山東淄博市）已知直線和直線垂直，則實數(shù)___________.
16（2021·江西上饒市）點到直線距離的最大值______.
17．（2020·全國高三專題練習(xí)（理））直線l經(jīng)過A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)兩點，則直線l的傾斜角α的取值范圍是________．
18．（2021·全國高二課時練習(xí)）斜率為－2，且過兩條直線3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交點的直線方程為______________．
19．（2021·全國高二課時練習(xí)）不論m取何實數(shù)，直線(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒過定點________．
20．（2020·黑龍江哈爾濱市·哈九中高二期中（理））直線與之間的距離是___________.
21．（2021·天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學(xué)高一月考）在中，A（1，3），B（2，-2），C（-3，1），則D是線段AC的中點，則中線BD長為_______________；
22．（2021·廣東湛江市·高三一模）一條與直線x-2y+3=0平行且距離大于的直線方程為_______________.
23．（2021·安徽池州市）若直線與平行，則間的距離為_________．
24．（2021·全國課時練習(xí)）三角形的三個頂點是，，．
（1）求邊上的高所在直線的方程；
（2）求邊上的中線所在直線的方程．
25．（2021·全國課時練習(xí)）求曲線上的點到直線的最短距離.
26．（2021·東至縣第二中學(xué)）已知直線經(jīng)過點.
（1）若原點到直線的距離為2，求直線l的方程；
（2）若直線被兩條相交直線：和：所截得的線段恰被點平分，求直線的方程.名稱
方程
適用范圍
點斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x軸的直線
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x軸的直線
兩點式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面內(nèi)所有直線都適用

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